資源簡介

第四節　事件的獨立性、條件概率與全概率公式
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解兩個事件相互獨立的含義.
2.了解條件概率與獨立性的關系,會利用乘法公式計算概率.
3.會利用全概率公式計算概率.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以現實生活為載體,考查相互獨立事件、條件概率、全概率;條件概率、全概率是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年高考中條件概率、全概率仍會出題.可能與其他知識交匯命題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.相互獨立事件
(1)概念:對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=　P(A)P(B)　成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.
(2)性質:若事件A與B相互獨立,那么A與,與B,與也都相互獨立.
2.條件概率
(1)概念:一般地,設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=為在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率,簡稱條件概率.
(2)兩個公式:
①利用古典概型:P(B|A)=;
②概率的乘法公式:P(AB)=　P(A)P(B|A)　.
微點撥
P(B|A)與P(A|B)是兩個不同的概率,前者是在A發生的條件下B發生的概率,后者是在B發生的條件下A發生的概率.
3.全概率公式
一般地,設A1,A2,…,An是一組　兩兩互斥　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B Ω,有P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)　.我們稱此公式為全概率公式.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　　)
(2)若事件A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B).(　　)
(3)拋擲2枚質地均勻的硬幣,設“第一枚正面朝上”為事件A,“第二枚正面朝上”為事件B,則A,B相互獨立.(　　)
(4)若事件A1與A2是對立事件,則對任意的事件B Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　　)
2.(必修第二冊P253習題4改條件)甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題,破解出此謎題的概率分別為,,則此謎題沒被破解出的概率為(　　)
A. B. C. D.1
3.(條件概率公式使用錯誤)已知3件次品和2件正品混在一起,現需要通過檢測將其區分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.(2022·天津高考)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為　　　　　　;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為　　　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一事件的相互獨立性
角度1 事件獨立性的判斷
[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則(　　)
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
解題技法
兩個事件相互獨立的判斷方法
(1)定義法:由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.
(2)充要條件法:事件A,B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).
對點訓練
(多選題)(2024·吉林模擬)口袋中裝有大小質地完全相同的白球和黑球各2個,從中不放回地依次取出2個球,事件A=“取出的兩球同色”,事件B=“第一次取出的是白球”,事件C=“第二次取出的是白球”,事件D=“取出的兩球不同色”,則(　　)
A.P=
B.B與C互斥
C.A與B相互獨立
D.A與D互為對立
角度2 獨立性事件的概率
[例2](2023·臨沂模擬)“11分制”乒乓球比賽,每贏一球得1分,當某局打成10∶10平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,若甲先發球,兩人又打了2個球后該局比賽結束的概率為　　　;若乙先發球,兩人又打了4個球后該局比賽結束,則甲獲勝的概率為　　　　.
解題技法
求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)相互獨立事件同時發生的概率等于它們各自發生的概率之積.
(2)當正面計算較復雜或難以入手時,可從其對立事件入手計算.
對點訓練
(2020·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.經抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為.
(1)求甲連勝四場的概率;
(2)求需要進行第五場比賽的概率;
(3)求丙最終獲勝的概率.
【加練備選】
某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成,元件1和元件2同時正常工作,或元件3正常工作,則部件正常工作.設三個電子元件正常工作的概率均為,且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件正常工作的概率為(　　)
A. B. C. D.
考點二條件概率
[例3](1)七巧板是中國民間流傳的智力玩具.它是由如圖所示的七塊板組成:五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.可以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等多種圖案.現從七巧板中取出兩塊,已知取出的是三角形,則兩塊板恰好是全等三角形的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·郴州模擬)第二屆湖南旅游發展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行,為讓廣大學生知曉郴州,熱愛郴州,親身感受“走遍五大洲,最美有郴州”綠色生態研學,現有甲、乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地、王仙嶺旅游風景區、雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學,記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”,事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
解題技法
求條件概率的常用方法
(1)定義法:P(B|A)=.
(2)樣本點法:P(B|A)=.
對點訓練
1.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰,50%的同學愛好滑雪,70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪,在該地的中學生中隨機調查一位同學,若該同學愛好滑雪,則該同學也愛好滑冰的概率為(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
2.(2024·雅安模擬)甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中,準備從①②③④⑤5個項目中分別隨機選擇其中一項,記事件A:甲和乙選擇的活動各不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇①,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
考點三 全概率公式的應用
[例4](1)一份新高考數學試卷中有8道單選題,小胡對其中5道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是0.9,沒有思路的題只能猜一個答案,猜對答案的概率為0.25,則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·門頭溝模擬)同一種產品由甲、乙、丙三個廠商供應.由長期的經驗知,三家產品的正品率分別為0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家產品數占比例為2∶3∶5,將三家產品混合在一起.從中任取一件,則此產品為正品的概率為　　　　.
解題技法
利用全概率公式解題的思路
(1)按照確定的標準,將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n).
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生條件下的概率P(B|Ai).
(3)代入全概率公式計算.
對點訓練
(2024·莆田模擬)某醫用口罩生產廠家生產醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩三種產品,三種產品的生產比例如圖所示,且三種產品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%.若從該廠生產的口罩中任選一個,則選到綁帶式口罩的概率為(　　)
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77第四節　事件的獨立性、條件概率與全概率公式
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解兩個事件相互獨立的含義.
2.了解條件概率與獨立性的關系,會利用乘法公式計算概率.
3.會利用全概率公式計算概率.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以現實生活為載體,考查相互獨立事件、條件概率、全概率;條件概率、全概率是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年高考中條件概率、全概率仍會出題.可能與其他知識交匯命題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.相互獨立事件
(1)概念:對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=　P(A)P(B)　成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.
(2)性質:若事件A與B相互獨立,那么A與,與B,與也都相互獨立.
2.條件概率
(1)概念:一般地,設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=為在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率,簡稱條件概率.
(2)兩個公式:
①利用古典概型:P(B|A)=;
②概率的乘法公式:P(AB)=　P(A)P(B|A)　.
微點撥
P(B|A)與P(A|B)是兩個不同的概率,前者是在A發生的條件下B發生的概率,后者是在B發生的條件下A發生的概率.
3.全概率公式
一般地,設A1,A2,…,An是一組　兩兩互斥　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B Ω,有P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)　.我們稱此公式為全概率公式.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　×　)
提示:因為當兩個事件A,B相互獨立時公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以(1)錯誤;
(2)若事件A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B).(　√　)
提示:因為事件A,B相互獨立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)==P(B),所以(2)正確;
(3)拋擲2枚質地均勻的硬幣,設“第一枚正面朝上”為事件A,“第二枚正面朝上”為事件B,則A,B相互獨立.(　√　)
提示:因為拋擲2枚質地均勻的硬幣,第一枚正面朝上,與第二枚正面的朝向無關,所以(3)正確;
(4)若事件A1與A2是對立事件,則對任意的事件B Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　√　)
提示:因為事件A1與A2是對立事件,所以B=A1B+A2B,
所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以(4)正確.
2.(必修第二冊P253習題4改條件)甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題,破解出此謎題的概率分別為,,則此謎題沒被破解出的概率為(　　)
A. B. C. D.1
【解析】選A.設“甲獨立地破解出此謎題”為事件A,“乙獨立地破解出此謎題”為事件B,則P(A)=,P(B)=,故P()=,P()=,所以P( )=×=,即此謎題沒被破解出的概率為.
3.(條件概率公式使用錯誤)已知3件次品和2件正品混在一起,現需要通過檢測將其區分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.設事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=,P(AB)=×=,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)===.
4.(2022·天津高考)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為　　　　　　;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為　　　　　　.
【解析】由題意,設第一次抽到A為事件B,第二次抽到A為事件C,
則P(BC)=×=,P(B)==,所以P(C|B)===.
答案:　
【核心考點·分類突破】
考點一事件的相互獨立性
角度1 事件獨立性的判斷
[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則(　　)
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
【解析】選B.設甲、乙、丙、丁事件發生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D).
則P(A)=P(B)=, P(C)==,P(D)==,
對于A選項,P(AC)=0;
對于B選項, P(AD)= =;
對于C選項, P(BC)= =;
對于D選項,P(CD)=0.
若兩事件X,Y相互獨立,則P(XY)=P(X)P(Y),因此B選項正確.
解題技法
兩個事件相互獨立的判斷方法
(1)定義法:由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.
(2)充要條件法:事件A,B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).
對點訓練
(多選題)(2024·吉林模擬)口袋中裝有大小質地完全相同的白球和黑球各2個,從中不放回地依次取出2個球,事件A=“取出的兩球同色”,事件B=“第一次取出的是白球”,事件C=“第二次取出的是白球”,事件D=“取出的兩球不同色”,則(　　)
A.P=
B.B與C互斥
C.A與B相互獨立
D.A與D互為對立
【解析】選ACD.設2個白球分別為a1,a2,2個黑球分別為b1,b2,則樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1)},共12個基本事件.
事件A={(a1,a2),(a2,a1),(b1,b2),(b2,b1)},共4個基本事件;
事件B={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2)},共6個基本事件;
事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共6個基本事件;
事件D={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共8個基本事件,
對于A,由P(B)==,故A正確;
對于B,因為B∩C≠ ,所以事件B與C不互斥,故B錯誤;
對于C,因為P(A)==,P(B)==,P(AB)==,
則P(AB)=P(A)·P(B),故事件A與B相互獨立,故C正確;
對于D,因為A∩D= ,A∪D=Ω,所以事件A與D互為對立,故D正確.
角度2 獨立性事件的概率
[例2](2023·臨沂模擬)“11分制”乒乓球比賽,每贏一球得1分,當某局打成10∶10平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,若甲先發球,兩人又打了2個球后該局比賽結束的概率為　　　;若乙先發球,兩人又打了4個球后該局比賽結束,則甲獲勝的概率為　　　　.
【解析】記兩人又打了X個球后該局比賽結束,
設雙方10∶10平后的第k個球甲得分為事件Ak(k=1,2,3…),
則P(X=2)=P(A1A2)+P()=P(A1)P(A2)+P()P()=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
由乙先發球,且甲獲勝的概率P=P(A1A3A4)+P(A2A3A4)
=P(A1)P()P(A3)P(A4)+P()P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5=0.1.
答案:0.5　0.1
解題技法
求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)相互獨立事件同時發生的概率等于它們各自發生的概率之積.
(2)當正面計算較復雜或難以入手時,可從其對立事件入手計算.
對點訓練
(2020·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.經抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為.
(1)求甲連勝四場的概率;
(2)求需要進行第五場比賽的概率;
(3)求丙最終獲勝的概率.
【解析】(1)甲連勝四場的概率為.
(2)根據賽制,至少需要進行四場比賽,至多需要進行五場比賽.
比賽四場結束,共有三種情況:
甲連勝四場的概率為;
乙連勝四場的概率為;
丙上場后連勝三場的概率為.所以需要進行第五場比賽的概率為1---=.
(3)丙最終獲勝有兩種情況:
比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為.
比賽五場結束且丙最終獲勝,則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結果有三種情況:勝勝負勝,勝負空勝,負空勝勝,概率分別為,,.
因此丙最終獲勝的概率為+++=.
【加練備選】
某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成,元件1和元件2同時正常工作,或元件3正常工作,則部件正常工作.設三個電子元件正常工作的概率均為,且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件正常工作的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.討論元件3正常與不正常:第一類,元件3正常,上部分正常或不正常都不影響該部件正常工作,則正常工作的概率為×1=;第二類,元件3不正常,上部分必須正常,則正常工作的概率為×(×)=,故該部件正常工作的概率為+=.
考點二條件概率
[例3](1)七巧板是中國民間流傳的智力玩具.它是由如圖所示的七塊板組成:五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.可以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等多種圖案.現從七巧板中取出兩塊,已知取出的是三角形,則兩塊板恰好是全等三角形的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.設事件A為“從七巧板中取出兩塊,取出的是三角形”,事件B為“兩塊板恰好是全等三角形”,則P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)===.
(2)(2024·郴州模擬)第二屆湖南旅游發展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行,為讓廣大學生知曉郴州,熱愛郴州,親身感受“走遍五大洲,最美有郴州”綠色生態研學,現有甲、乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地、王仙嶺旅游風景區、雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學,記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”,事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.依題意,甲、乙隨機選擇一條線路去研學的試驗有32個基本事件,
事件A含有的基本事件數是2×2+1=5,則P(A)=,
事件AB含有的基本事件數為2×2=4,
則P(AB)=,所以P(B|A)==.
解題技法
求條件概率的常用方法
(1)定義法:P(B|A)=.
(2)樣本點法:P(B|A)=.
對點訓練
1.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰,50%的同學愛好滑雪,70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪,在該地的中學生中隨機調查一位同學,若該同學愛好滑雪,則該同學也愛好滑冰的概率為(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
【解析】選A.根據題意,在該地的中學生中隨機調查一位同學,設選出的同學愛好滑冰為事件A,選出的同學愛好滑雪為事件B,
由于該地中學生中有60%的同學愛好滑冰,50%的同學愛好滑雪,70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪,則P(B)=0.5,
同時愛好兩個項目的占該地中學生總人數的50%+60%-70%=40%,
則P(AB)=0.4,則P(A|B)===0.8.
2.(2024·雅安模擬)甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中,準備從①②③④⑤5個項目中分別隨機選擇其中一項,記事件A:甲和乙選擇的活動各不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇①,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.由題意知,n==20,n==8,所以P===.
考點三 全概率公式的應用
[例4](1)一份新高考數學試卷中有8道單選題,小胡對其中5道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是0.9,沒有思路的題只能猜一個答案,猜對答案的概率為0.25,則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.設事件A表示“小胡做對”,事件B表示“小胡選到有思路的題”,則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率
P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×0.9+×0.25=.
(2)(2024·門頭溝模擬)同一種產品由甲、乙、丙三個廠商供應.由長期的經驗知,三家產品的正品率分別為0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家產品數占比例為2∶3∶5,將三家產品混合在一起.從中任取一件,則此產品為正品的概率為　　　　.
【解析】由全概率公式,得所求概率P(A)=0.95×0.2+0.90×0.3+0.80×0.5=0.86.
答案:0.86
解題技法
利用全概率公式解題的思路
(1)按照確定的標準,將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n).
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生條件下的概率P(B|Ai).
(3)代入全概率公式計算.
對點訓練
(2024·莆田模擬)某醫用口罩生產廠家生產醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩三種產品,三種產品的生產比例如圖所示,且三種產品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%.若從該廠生產的口罩中任選一個,則選到綁帶式口罩的概率為(　　)
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77
【解析】選D.由題圖可知醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩的占比分別為70%,20%,10%,
記事件A1,A2,A3分別表示選到醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩,
則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥,所以P=0.7,P=0.2,P=0.1,
又三種產品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%,
記事件B為“選到綁帶式口罩”,則P=0.9,P=0.5,P=0.4,
所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為
P=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.

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