資源簡介

第二節　導數與函數的單調性
【課標解讀】
【課程標準】
1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.
2.能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次).
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以函數的導數符號與函數的單調性的關系為主,求函數的單調區間,或已知函數的單調性(單調區間)求函數解析式中的參數范圍.
預測 2025年高考中仍是重點考點.函數單調性的討論與應用是高考考查的重點,而含有參數的函數單調性的討論與應用是高考中的難點.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的單調性與導數的關系
前提 條件 結論
函數y=f(x)在區間(a,b)上可導 f'(x)>0 f(x)在區間(a,b)上單調遞增
f'(x)<0 f(x)在區間(a,b)上單調遞減
f'(x)=0 f(x)在區間(a,b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數單調性的步驟
第1步,確定函數的定義域;
第2步,求出導數f'(x)的零點;
第3步,用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間,列表給出f'(x)在各區間上的正負,由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.
常用結論
1.若函數f(x)在(a,b)上單調遞增,則x∈(a,b)時,f'(x)≥0恒成立;若函數f(x)在(a,b)上單調遞減,則x∈(a,b)時,f'(x)≤0恒成立.
2.若函數f(x)在(a,b)上存在單調遞增區間,則x∈(a,b)時,f'(x)>0有解;若函數f(x)在(a,b)上存在單調遞減區間,則x∈(a,b)時,f'(x)<0有解.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若函數f(x)在(a,b)內單調遞增,那么一定有f'(x)>0.(　　)
(2)若函數y=f(x)在(a,b)內恒有f'(x)≥0,則y=f(x)在(a,b)上一定單調遞增.(　　)
(3)若函數f(x)在定義域上都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調遞增.(　　)
(4)如果函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0,則f(x)在此區間內沒有單調性.(　　)
2.(選修二P97T2·變形式)函數f(x)=x3+2x2-4x的單調遞增區間是__________.
3.(2022·浙江高考節選)設函數f(x)=+ln x(x>0).則f(x)的單調遞減區間為________,單調遞增區間為__________.
4.(單調性與充要條件的關系把握不準)若函數f(x)=sin x+kx在(0,π)上單調遞增,則實數k的取值范圍為____________.
【核心考點·分類突破】
考點一不含參數的函數單調性
[例1](1)下列函數在(0,+∞)上單調遞增的是(　　)
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
(2)求下列函數的單調區間.
①f(x)=4x2+;　②f(x)=;
③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2.
解題技法
單調區間的求法
(1)求函數的單調區間注意先求定義域.
(2)使f'(x)>0的區間為f(x)的單調遞增區間,使f'(x)<0的區間為f(x)的單調遞減區間.
(3)函數的單調區間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.
對點訓練
1.函數f(x)=x2-2ln x的單調遞減區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
2.已知函數f(x)=x-ln x-.判斷函數f(x)的單調性.
考點二含有參數的函數的單調性
[例2]已知函數g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,試討論函數g(x)的單調性.
解題技法
利用分類討論思想解決含參數函數單調性問題
利用導數求含參數函數的單調區間時,基本策略是分類討論,注意以下幾點:
(1)注意確定函數的定義域,在定義域的限制條件下研究單調區間.
(2)注意觀察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某個因式等)的取值是否恒為正(或恒為負),這往往是分類討論的出發點.
(3)注意結合解含參數不等式中分類討論的一些常用方法,例如:對二次項系數正負的討論,對判別式Δ的討論,對根的大小比較的討論等.
(4)分類討論要做到不重不漏,同時還要注意對結果進行綜述.
對點訓練
已知函數f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,討論f(x)的單調性.
考點三函數單調性的應用
角度1　比較大小
[例3](1)(多選題)(2024·淄博模擬)已知e是自然對數的底數,則下列不等關系中不正確的是(　　)
A.ln 2> B.ln 3<
C.ln π> D.<
(2)(2023·衡陽模擬)已知函數f(x)=x2-cos x,則f (),f(0),f (-)的大小關系為________(用“<”連接).
角度2　解不等式
[例4](1)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(2)=20,且f(x)的導函數f'(x)滿足f'(x)>6x2+2,則不等式f(x)>2x3+2x的解集為(　　)
A.{x|x>-2} B.{x|x>2}
C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}
(2)已知函數f(x)=ex-e-x-2x+1,則不等式f(2x-3)>1的解集為__________.
角度3　根據函數的單調性求參數的范圍
[例5](1)金榜原創·易錯對對碰
已知g(x)=2x+ln x-.
①若函數g(x)在區間[1,2]內單調遞增,則實數a的取值范圍為____________.
②若函數g(x)在區間[1,2]上存在單調遞增區間,則實數a的取值范圍為__________.
(2)(2023·全國乙卷)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是________.
解題技法
1.利用導數比較大小,其關鍵是判斷已知(或構造后的)函數的單調性,利用其單調性比較大小.
2.與函數有關的不等式,要充分挖掘條件關系,恰當構造函數,再利用導數研究新函數的單調性,從而解不等式.
3.根據函數單調性求參數的方法:
(1)利用集合間的包含關系處理:y=f(x)在(a,b)上單調,則區間(a,b)是相應單調區間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)內的任一非空子區間上,f'(x)不恒為零,應注意此時式子中的等號不能省略,否則會漏解.
(3)若函數y=f(x)在區間(a,b)上不單調,則轉化為f'(x)=0在(a,b)上有解(需驗證解的兩側導數是否異號).
對點訓練
1.(2023·長沙模擬)已知函數f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),則a,b,c的大小關系是(　　)
A.aC.b2.已知定義域為R的函數f(x)的導數為f'(x),且滿足f'(x)<2x,f(2)=3,則不等式f(x)>x2-1的解集是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)=aex-ln x在區間(1,2)上單調遞增,則a的最小值為(　　)
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2第二節　導數與函數的單調性
【課標解讀】
【課程標準】
1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.
2.能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次).
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以函數的導數符號與函數的單調性的關系為主,求函數的單調區間,或已知函數的單調性(單調區間)求函數解析式中的參數范圍.
預測 2025年高考中仍是重點考點.函數單調性的討論與應用是高考考查的重點,而含有參數的函數單調性的討論與應用是高考中的難點.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的單調性與導數的關系
前提 條件 結論
函數y=f(x)在區間(a,b)上可導 f'(x)>0 f(x)在區間(a,b)上單調遞增
f'(x)<0 f(x)在區間(a,b)上單調遞減
f'(x)=0 f(x)在區間(a,b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數單調性的步驟
第1步,確定函數的定義域;
第2步,求出導數f'(x)的零點;
第3步,用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間,列表給出f'(x)在各區間上的正負,由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.
常用結論
1.若函數f(x)在(a,b)上單調遞增,則x∈(a,b)時,f'(x)≥0恒成立;若函數f(x)在(a,b)上單調遞減,則x∈(a,b)時,f'(x)≤0恒成立.
2.若函數f(x)在(a,b)上存在單調遞增區間,則x∈(a,b)時,f'(x)>0有解;若函數f(x)在(a,b)上存在單調遞減區間,則x∈(a,b)時,f'(x)<0有解.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若函數f(x)在(a,b)內單調遞增,那么一定有f'(x)>0.(　 ×　)
(2)若函數y=f(x)在(a,b)內恒有f'(x)≥0,則y=f(x)在(a,b)上一定單調遞增.(　 ×　)
(3)若函數f(x)在定義域上都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調遞增.(　 ×　)
(4)如果函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0,則f(x)在此區間內沒有單調性.(　 √　)
提示:
(1) 有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-∞,+∞)上單調遞增,但f'(x)=3x2≥0. ×
(2) 若y=f(x)為常數函數,則f'(x)=0,滿足條件,但不具備單調性. ×
(3) 反例,f(x)=-,雖然f'(x)=>0,但f(x)=-在其定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有單調性. ×
(4) 如果函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0,則此函數f(x)在這個區間內為常數函數,則函數f(x)在這個區間內沒有單調性. √
2.(選修二P97T2·變形式)函數f(x)=x3+2x2-4x的單調遞增區間是__________.
【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>,故f(x)的單調遞增區間為
(-∞,-2), (,+∞).
答案:(-∞,-2), (,+∞)
3.(2022·浙江高考節選)設函數f(x)=+ln x(x>0).則f(x)的單調遞減區間為________,單調遞增區間為__________.
【解析】f'(x)=-+=,
當0當x>時,f'(x)>0.
故f(x)的單調遞減區間為(0,),單調遞增區間為(,+∞).
答案: (0,)　 (,+∞)
4.(單調性與充要條件的關系把握不準)若函數f(x)=sin x+kx在(0,π)上單調遞增,則實數k的取值范圍為____________.
【解析】因為f'(x)=cos x+k≥0,所以k≥-cos x,x∈(0,π)恒成立.當x∈(0,π)時,-1<-cos x<1,所以k≥1.
答案:[1,+∞)
【核心考點·分類突破】
考點一不含參數的函數單調性
[例1](1)下列函數在(0,+∞)上單調遞增的是(　　)
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
【解析】選B.對于A,f'(x)=2cos 2x,f'()=-1<0,不符合題意;
對于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合題意;
對于C,f'(x)=3x2-1,f'()=-<0,不符合題意;
對于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合題意.
(2)求下列函數的單調區間.
①f(x)=4x2+;　②f(x)=;
③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2.
【解析】①定義域為{x|x≠0},f'(x)=8x-,
令f'(x)>0,得8x->0,即x3>,
所以x>.令f'(x)<0,得x<且x≠0.
所以f(x)的單調遞增區間為(,+∞),
單調遞減區間為(-∞,0), (0,).
②定義域為(0,1)∪(1,+∞).
f'(x)==.
由f'(x)>0,解得x>e.
由f'(x)<0,解得0所以f(x)的單調遞增區間為(e,+∞),
f(x)的單調遞減區間為(0,1),(1,e).
③f'(x)==.
令f'(x)>0,得cos x>-,即2kπ-令f'(x)<0,得cos x<-,
即2kπ+因此f(x)的單調遞增區間為(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),f(x)的單調遞減區間為(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).
④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.
當x變化時,f'(x),f(x)的變化如表:
x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 (ln2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
由表可知,函數f(x)的單調遞減區間為(0,ln 2),單調遞增區間為(-∞,0),(ln 2,+∞).
解題技法
單調區間的求法
(1)求函數的單調區間注意先求定義域.
(2)使f'(x)>0的區間為f(x)的單調遞增區間,使f'(x)<0的區間為f(x)的單調遞減區間.
(3)函數的單調區間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.
對點訓練
1.函數f(x)=x2-2ln x的單調遞減區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
【解析】選A.因為f'(x)=2x-=(x>0),令f'(x)=0,得x=1,
所以當x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,
所以單調遞減區間為(0,1).
2.已知函數f(x)=x-ln x-.判斷函數f(x)的單調性.
【解析】因為f(x)=x-ln x-,
所以f'(x)=1--
=(x>0).
令g(x)=x-ex,則g'(x)=1-ex,
可得g(x)在(0,+∞)上單調遞減,
所以g(x)所以當x∈(0,1)時,f'(x)>0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
考點二含有參數的函數的單調性
[例2]已知函數g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,試討論函數g(x)的單調性.
【解析】因為g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,
所以g'(x)==.
由題意知函數g(x)的定義域為(0,+∞),
若<1,即a>,
由g'(x)>0得x>1或0由g'(x)<0得所以函數g(x)在(0,),(1,+∞)上單調遞增,在(,1)上單調遞減;
若>1,即0由g'(x)>0得x>或0由g'(x)<0得1所以函數g(x)在(0,1), (,+∞)上單調遞增,在(1,)上單調遞減;
若=1,即a=,則在(0,+∞)上恒有g'(x)≥0,
所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增.
綜上可得,當0當a=時,函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當a>時,函數g(x)在(0,)上單調遞增,在(,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.
解題技法
利用分類討論思想解決含參數函數單調性問題
利用導數求含參數函數的單調區間時,基本策略是分類討論,注意以下幾點:
(1)注意確定函數的定義域,在定義域的限制條件下研究單調區間.
(2)注意觀察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某個因式等)的取值是否恒為正(或恒為負),這往往是分類討論的出發點.
(3)注意結合解含參數不等式中分類討論的一些常用方法,例如:對二次項系數正負的討論,對判別式Δ的討論,對根的大小比較的討論等.
(4)分類討論要做到不重不漏,同時還要注意對結果進行綜述.
對點訓練
已知函數f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,討論f(x)的單調性.
【解析】由題知,f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=1+-=.設g(x)=x2-ax+2,則二次方程g(x)=0的判別式Δ=a2-8.
①當Δ<0,即00都有f'(x)>0.此時f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
②當Δ=0,即a=2時,僅對x=有f'(x)=0,對其余的x>0都有f'(x)>0.此時f(x)也在(0,+∞)上單調遞增.
③當Δ>0,即a>2時,方程g(x)=0有兩個不同的實根x1=,x2=,且0x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
此時f(x)在(0,)上單調遞增,在(,)上單調遞減,在(,+∞)上單調遞增.
考點三函數單調性的應用
角度1　比較大小
[例3](1)(多選題)(2024·淄博模擬)已知e是自然對數的底數,則下列不等關系中不正確的是(　　)
A.ln 2> B.ln 3<
C.ln π> D.<
【解析】選ACD.令g(x)=,則g'(x)=,當00,當x>e時,g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+∞)上單調遞減.因為2所以ln 2<,故A錯誤.
因為e<3<π,所以g(e)>g(3)>g(π),
即=>>,
所以ln 3<,ln π<,>,故B正確,C,D錯誤.
(2)(2023·衡陽模擬)已知函數f(x)=x2-cos x,則f (),f(0),f (-)的大小關系為________(用“<”連接).
【解析】因為f(x)的定義域為R,
且函數f(-x)=(-x)2-cos (-x)=x2-cos x=f(x),
所以f(x)為偶函數,
所以f()=f(-),f'(x)=2x+sin x,
當00,
所以函數在(0,)上單調遞增,
所以f(0)即f(0)答案:f(0)角度2　解不等式
[例4](1)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(2)=20,且f(x)的導函數f'(x)滿足f'(x)>6x2+2,則不等式f(x)>2x3+2x的解集為(　　)
A.{x|x>-2} B.{x|x>2}
C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}
【解析】選B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,
則g'(x)=f' (x)-6x2-2>0,
所以g(x)在R上單調遞增.
因為g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,
故原不等式等價于g(x)>g(2),
所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集為{x|x>2}.
(2)已知函數f(x)=ex-e-x-2x+1,則不等式f(2x-3)>1的解集為__________.
【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定義域為R,
f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,
當且僅當x=0時取“=”,
所以f(x)在R上單調遞增,
又f(0)=1,
所以原不等式可化為f(2x-3)>f(0),
即2x-3>0,解得x>,
所以原不等式的解集為(,+∞).
答案: (,+∞)
角度3　根據函數的單調性求參數的范圍
[例5](1)金榜原創·易錯對對碰
已知g(x)=2x+ln x-.
①若函數g(x)在區間[1,2]內單調遞增,則實數a的取值范圍為____________.
②若函數g(x)在區間[1,2]上存在單調遞增區間,則實數a的取值范圍為__________.
【解析】①g'(x)=2++(x>0).
所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,
即2++≥0在[1,2]上恒成立,
所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,
所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.
所以實數a的取值范圍是[-3,+∞).
答案:[-3,+∞)
②g(x)在[1,2]上存在單調遞增區間,
則g'(x)>0在[1,2]上有解,
即a>-2x2-x在[1,2]上有解,
所以a>(-2x2-x)min,
又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10,
所以實數a的取值范圍是(-10,+∞).
答案:(-10,+∞)
(2)(2023·全國乙卷)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是________.
【解析】由函數的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln (1+a)≥0在區間(0,+∞)上恒成立,
則(1+a)xln (1+a)≥-axln a,即≥-在區間(0,+∞)上恒成立,
故=1≥-,而a+1∈(1,2),故ln (1+a)>0,
故,即,故≤a<1,結合題意可得實數a的取值范圍是[,1).
答案: [,1)
解題技法
1.利用導數比較大小,其關鍵是判斷已知(或構造后的)函數的單調性,利用其單調性比較大小.
2.與函數有關的不等式,要充分挖掘條件關系,恰當構造函數,再利用導數研究新函數的單調性,從而解不等式.
3.根據函數單調性求參數的方法:
(1)利用集合間的包含關系處理:y=f(x)在(a,b)上單調,則區間(a,b)是相應單調區間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)內的任一非空子區間上,f'(x)不恒為零,應注意此時式子中的等號不能省略,否則會漏解.
(3)若函數y=f(x)在區間(a,b)上不單調,則轉化為f'(x)=0在(a,b)上有解(需驗證解的兩側導數是否異號).
對點訓練
1.(2023·長沙模擬)已知函數f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),則a,b,c的大小關系是(　　)
A.aC.b【解析】選D.由題意,得f'(x)=3-2sin x.
因為-1≤sin x≤1,所以f'(x)>0恒成立,
所以函數f(x)是增函數.
因為>1,所以3>3.
又log24所以2所以f(2)2.已知定義域為R的函數f(x)的導數為f'(x),且滿足f'(x)<2x,f(2)=3,則不等式f(x)>x2-1的解集是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
【解析】選D.令g(x)=f(x)-x2,則g'(x)=f'(x)-2x<0,
即函數g(x)在R上單調遞減.
又不等式f(x)>x2-1可化為f(x)-x2>-1,
而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,
所以該不等式可化為g(x)>g(2),
故該不等式的解集為(-∞,2).
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)=aex-ln x在區間(1,2)上單調遞增,則a的最小值為(　　)
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
【解析】選C.因為函數f(x)=aex-ln x,
所以f'(x)=aex-,因為函數f(x)=aex-ln x在(1,2)上單調遞增,所以f'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即aex-≥0在(1,2)上恒成立,易知a>0,則0<≤xex在(1,2)上恒成立,設g(x)=xex,則g'(x)=(x+1)ex,當x∈(1,2)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,所以在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,所以≤e,即a≥=e-1.

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