資源簡介

第三節　導數與函數的極值、最值
【課標解讀】
【課程標準】
1.借助函數圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.
2.會用導數求函數的極大值、極小值.
3.會求閉區間上函數的最大值、最小值.
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題以考查函數的極值、最值的概念,求函數的極值、最值為重點內容,對參數分類討論,是每年的必考內容,三種題型都可能出現,題目難度較大.
預測 2025年高考中利用導數求函數的極值和最值是必考的考點,極值問題會出現在選擇題或填空題中,難度屬于中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的極值與導數
條 件 f'(x0)=0
在點x=x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0 在點x=x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0
圖象
極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值
極值點 x0為極大值點 x0為極小值點
微點撥①函數的極大值和極小值都可能有多個,極大值和極小值的大小關系不確定.
②對于可導函數f(x),“f'(x0)=0”是“函數f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.
2.函數的最值與導數
(1)函數f(x)在[a,b]上有最值的條件
一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟
①求函數y=f(x)在區間(a,b)內的極值;
②將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
微點撥函數的最值是對定義域而言的整體概念,而極值是局部概念,在指定區間上極值可能不止一個,也可能一個也沒有,而最值最多有一個,并且有最值的未必有極值;有極值的未必有最值.
常用結論
1.對于可導函數f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的必要不充分條件.
2.如果函數f(x)在閉區間[a,b]上恰好是單調函數,那么函數的最值恰好在兩個端點處取到.當f(x)在閉區間[a,b]上單調遞增時,f(a)是最小值,f(b)是最大值;當f(x)在閉區間[a,b]上單調遞減時,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
3.如果函數f(x)在(a,b)上只有一個極值,那么這個極值就是相應的最值.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于可導函數f(x),若f'(x0)=0,則x0為極值點.(　　)
(2)函數的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.( )
(3)函數f(x)在區間(a,b)上不存在最值.(　　)
(4)函數f(x)在區間[a,b]上一定存在最值.(　　)
2.(2022·全國甲卷)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　)
A.-1 B.- C. D.1
3.(選擇性必修二·P98T6·變形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],則f(x)的最大值為________,最小值為________.
4.(忽視極值的存在條件)若函數f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1處取得極值10,則a=________,b=________.
【核心考點·分類突破】
考點一利用導數求函數的極值問題
考情提示
函數極值是導數在研究函數中的一個重要應用,在高考中也是重點考查的內容,主要考查導數與函數單調性、極值或方程、不等式的綜合應用,既有選擇題、填空題,也有解答題.
角度1　根據導函數圖象判斷極值
[例1](多選題)(2023·石家莊模擬)函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則(　　)
A.-3是函數y=f(x)的極值點
B.-1是函數y=f(x)的極小值點
C.y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增
D.-2是函數y=f(x)的極大值點
角度2　已知函數解析式求極值或極值點
[例2](1)(2023·西安模擬)已知f(x)=,則f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上單調遞增
B.在(-∞,1)上單調遞減
C.有極大值,無極小值
D.有極小值,無極大值
　(2)已知函數f(x)=ln x-ax(a∈R).
①當a=時,求f(x)的極值;
②討論函數f(x)在定義域內極值點的個數.
角度3　已知極值(點)求參數(規范答題)
[例3](1)已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值,則c的值為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.2或6
(2)(2023·南京模擬)已知函數f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有兩個極值,則實數a的取值范圍為____________.
(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)
①證明:當0②已知函數f(x)=cos ax-ln (1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.
審題導思破題點·柳暗花明
① 思路:通過構造函數并借助導數得到單調性,進而證明不等式
② 思路:通過第①問鋪設好的不等式,利用導數討論函數的單調性,進而得到極值
1.由圖象判斷函數y=f(x)的極值要抓住的兩點
(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數y=f(x)的可能極值點.
(2)由導函數y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.
2.運用導數求函數f(x)極值的一般步驟
(1)確定函數f(x)的定義域;(2)求導數f'(x);
(3)解方程f'(x)=0,求出函數定義域內的所有根;(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側導數值的符號;(5)求出極值.
3.已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
(1)列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解.
(2)驗證:因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性.
對點訓練
1.設函數f(x)在R上可導,其導函數為f'(x),且函數y=(x-1)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)有極大值f(-3)和f(3)
B.函數f(x)有極小值f(-3)和f(3)
C.函數f(x)有極小值f(3)和極大值f(-3)
D.函數f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3)
2.(2023·長沙模擬)若1是函數f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極大值為__________.
【加練備選】 (2023·威海模擬)若函數f(x)=ex-ax2-2ax有兩個極值點,則實數a的取值范圍為(　　)
A. (-,0) B. (-∞,-)
C. (0,) D. (,+∞)
[例4](2022·全國乙卷)函數f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在區間的最小值、最大值分別為(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
解題技法
求函數f(x)在[a,b]上的最值的方法
(1)若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增或單調遞減,則f(a)與f(b)一個為最大值,一個為最小值.
(2)若函數f(x)在區間[a,b]上有極值,則先求出函數在[a,b]上的極值,再與f(a),f(b)比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
(3)函數f(x)在區間(a,b)上有唯一一個極值點,這個極值點就是最值點,此結論在導數的實際應用中經常用到.
對點訓練
1.(2023·蘇州模擬)若函數f(x)=x3+x2-在區間(a,a+5)內存在最小值,則實數a的取值范圍是(　　)
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
2.已知函數f(x)=ax+ln x,其中a為常數.
(1)若a=-1時,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在區間(0,e]上的最大值為-3,求a的值.
考點三生活中的優化問題
[例5](1)(2023·溫州模擬)某冷飲店的日銷售額y(單位:元)與當天的最高氣溫x(單位:℃,20≤x≤40)的關系式為y=x2-x3,則該冷飲店的日銷售額的最大值約為(　　)
A.907元 B.910元
C.915元 D.920元
(2)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度),設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為
12 000π元(π為圓周率).
①將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域;
②討論函數V(r)的單調性,并確定r和h為何值時,該蓄水池的體積最大.
解題技法
利用導數解決生活中的實際應用問題的一般步驟
對點訓練
一個圓柱形圓木的底面半徑為1 m,長為10 m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分.現要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,長度保持不變,底面為等腰梯形ABCD(如圖所示,其中O為圓心,C,D在半圓上),設∠BOC=θ,木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關于θ的函數解析式;
(2)求當體積V最大時θ的值;
(3)問:當木梁的體積V最大時,其表面積S是否也最大 請說明理由.第三節　導數與函數的極值、最值
【課標解讀】
【課程標準】
1.借助函數圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.
2.會用導數求函數的極大值、極小值.
3.會求閉區間上函數的最大值、最小值.
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題以考查函數的極值、最值的概念,求函數的極值、最值為重點內容,對參數分類討論,是每年的必考內容,三種題型都可能出現,題目難度較大.
預測 2025年高考中利用導數求函數的極值和最值是必考的考點,極值問題會出現在選擇題或填空題中,難度屬于中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的極值與導數
條 件 f'(x0)=0
在點x=x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0 在點x=x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0
圖象
極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值
極值點 x0為極大值點 x0為極小值點
微點撥①函數的極大值和極小值都可能有多個,極大值和極小值的大小關系不確定.
②對于可導函數f(x),“f'(x0)=0”是“函數f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.
2.函數的最值與導數
(1)函數f(x)在[a,b]上有最值的條件
一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟
①求函數y=f(x)在區間(a,b)內的極值;
②將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
微點撥函數的最值是對定義域而言的整體概念,而極值是局部概念,在指定區間上極值可能不止一個,也可能一個也沒有,而最值最多有一個,并且有最值的未必有極值;有極值的未必有最值.
常用結論
1.對于可導函數f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的必要不充分條件.
2.如果函數f(x)在閉區間[a,b]上恰好是單調函數,那么函數的最值恰好在兩個端點處取到.當f(x)在閉區間[a,b]上單調遞增時,f(a)是最小值,f(b)是最大值;當f(x)在閉區間[a,b]上單調遞減時,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
3.如果函數f(x)在(a,b)上只有一個極值,那么這個極值就是相應的最值.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于可導函數f(x),若f'(x0)=0,則x0為極值點.(　 ×　)
(2)函數的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.(　 √　)
(3)函數f(x)在區間(a,b)上不存在最值.(　 ×　)
(4)函數f(x)在區間[a,b]上一定存在最值.(　 √　)
提示:
(1) 反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的極值點. ×
(3) 反例f(x)=x2在區間(-1,2)上的最小值為0. ×
2.(2022·全國甲卷)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　)
A.-1 B.- C. D.1
【解析】選B.因為函數f的定義域為(0,+∞),所以依題可知,f=-2,f'=0,而f'=-,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'=-+,因此函數f在上單調遞增,在上單調遞減,當x=1時取最大值,滿足題意,即有f'=-1+=-.
3.(選擇性必修二·P98T6·變形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],則f(x)的最大值為________,最小值為________.
【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
因為x∈[-,1],所以f'(x)<0,
故f(x)在[-,1]上單調遞減,
所以f(x)的最大值為f(-)=,最小值為f(1)=-10.
答案:　-10
4.(忽視極值的存在條件)若函數f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1處取得極值10,則a=________,b=________.
【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,
依題意得即
解得或
經驗證,當a=-3,b=3時,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上單調遞增,
所以不符合題意,舍去.
當a=4,b=-11時,符合題意.
答案:4　-11
【核心考點·分類突破】
考點一利用導數求函數的極值問題
考情提示
函數極值是導數在研究函數中的一個重要應用,在高考中也是重點考查的內容,主要考查導數與函數單調性、極值或方程、不等式的綜合應用,既有選擇題、填空題,也有解答題.
角度1　根據導函數圖象判斷極值
[例1](多選題)(2023·石家莊模擬)函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則(　　)
A.-3是函數y=f(x)的極值點
B.-1是函數y=f(x)的極小值點
C.y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增
D.-2是函數y=f(x)的極大值點
【解析】選AC.根據導函數的圖象可知,
當x∈(-∞,-3)時,f'(x)<0,當x∈(-3,1)時,f'(x)≥0,
所以函數y=f(x)在(-∞,-3)上單調遞減,在(-3,1)上單調遞增,
可知-3是函數y=f(x)的極值點,所以A正確.
因為函數y=f(x)在(-3,1)上單調遞增,
可知-1不是函數y=f(x)的極小值點,-2也不是函數y=f(x)的極大值點,所以B錯誤,C正確,D錯誤.
角度2　已知函數解析式求極值或極值點
[例2](1)(2023·西安模擬)已知f(x)=,則f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上單調遞增
B.在(-∞,1)上單調遞減
C.有極大值,無極小值
D.有極小值,無極大值
【解析】選C.因為f(x)=,
所以f'(x)==,
當x>1時,f'(x)<0,f(x)在區間(1,+∞)上單調遞減,故A錯誤;當x<1時,f'(x)>0,f(x)在區間(-∞,1)上單調遞增,故B錯誤;當x=1時,f(x)=取得極大值,無極小值,故C正確,D錯誤.
　(2)已知函數f(x)=ln x-ax(a∈R).
①當a=時,求f(x)的極值;
②討論函數f(x)在定義域內極值點的個數.
【解析】①當a=時,f(x)=ln x-x,函數的定義域為(0,+∞)且f'(x)=-,
令f'(x)=0,得x=2,
于是當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 單調遞增 ln2-1 單調遞減
故f(x)在定義域上的極大值為f(2)=ln2-1,無極小值.
②由①知,函數f(x)的定義域為(0,+∞),
f'(x)=-a=.
當a≤0時,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
則函數在(0,+∞)上單調遞增,此時函數在定義域上無極值點;
當a>0時,若x∈(0,),則f'(x)>0,
若x∈(,+∞),則f'(x)<0,
故函數在x=處有極大值.
綜上可知,當a≤0時,函數f(x)無極值點,
當a>0時,函數y=f(x)有一個極大值點,且為.
角度3　已知極值(點)求參數(規范答題)
[例3](1)已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值,則c的值為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.2或6
【解析】選A.由題意,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),則f'(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,則f'(x)=(x-2)(3x-2),當x∈(-∞,)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(,2)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,函數f(x)在x=2處有極小值,滿足題意;若c=6,則f'(x)=(x-6)(3x-6),當x∈(-∞,2)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(2,6)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(6,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,函數f(x)在x=2處有極大值,不符合題意.
綜上,c=2.
(2)(2023·南京模擬)已知函數f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有兩個極值,則實數a的取值范圍為____________.
【解析】f'(x)=ln x+1-2ax,
由題意知ln x+1-2ax=0在(0,+∞)上有兩個不相等的實根,
則2a=,
設g(x)=,則g'(x)=-.
當00,g(x)單調遞增;
當x>1時,g'(x)<0,g(x)單調遞減,
所以g(x)的極大值為g(1)=1,
又當x>1時,g(x)>0,
當x→+∞時,g(x)→0,
當x→0時,g(x)→-∞,
所以0<2a<1,即0答案: (0,)
(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)
①證明:當0②已知函數f(x)=cos ax-ln (1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.
審題導思破題點·柳暗花明
① 思路:通過構造函數并借助導數得到單調性,進而證明不等式
② 思路:通過第①問鋪設好的不等式,利用導數討論函數的單調性,進而得到極值
規范答題微敲點·水到渠成
【解析】①設h(x)=sin x-x,
則h'(x)=cos x-1, ………………………………………………………………1分
當0所以當0即sin x源于教材　sin x設g(x)=sin x-x+x2,
則g'(x)=cos x-1+2x,g″(x)=-sin x+2>0, ………………………………………3分
因而當0g'(0)=0,g(x)>g(0)=0,則有sin x>x-x2(0綜上,當0②f(x)=cos ax-ln(1-x2),
由1-x2>0得函數的定義域是(-1,1).
由f(x)=f(-x),得函數f(x)為偶函數,
則f'(x)=-asin ax+為奇函數,f'(0)=0.
f″(x)=-a2cos ax+為偶函數,
f″(0)=2-a2.
若2-a2=0,此時x=0是f(x)的極小值點,不符合題意,則2-a2≠0,即a≠±.
若f(x)在x=0處取得極大值,那么該函數在x=0處是上凸的,因而f″(0)=2-a2<0,
敲黑板　實際上,這里蘊含著“高觀點”函數f(x)在x0處具有二階導數,且f'(x0)=0,f″(x0) ≠0,則f(x)在x0處取得極大值的充分條件為f″(x0) <0.
則a<-或a>. ……………………………………………………………6分
當a>時,取0從而f'(x)=-asin ax+<-a(ax-a2x2)+=x,
指點迷津　利用①的結論進行放縮,轉化成不含三角函數的形式,有助于判斷零點.
易知s(x)=-a2+a3x+在上單調遞增,而s(0)=2-a2<0,s=>0,
因而關于x的方程f'(x)=0在上有唯一解x0,
當x∈(0,x0)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,
當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,
由f(x)是偶函數且連續,得當x∈(-x0,0)時f(x)單調遞增,所以f(x)在x=0處取極大值.
…………………………………………………………………………9分
拓展思維　也可利用f'(x)為奇函數且連續,得x∈(-x0,0)時f'(x)>0,進而判斷極值點.
當a<-時,取從而f'(x)=-asin ax+<-a(ax)+=x,
易知u(x)=-a2+在上單調遞減,
而u(0)=-a2+2<0,由-a2+=0,得x=<0,x=->0(舍).
易錯警示　注意此時的前提條件a<0,所以x=->0要舍去,這里要細心觀察,避免出現錯誤.
因而f(x)在(,0)(若<,
則取區間)上單調遞增,
由f(x)為偶函數,得f(x)在(0,-)上單調遞減,結合函數f(x)連續得f(x)在x=0處取極大值. …………………………………………………………………11分
綜上所述,a<-或a>滿足題意.
所以a的取值范圍為∪. ………………………………12分
解題技法
1.由圖象判斷函數y=f(x)的極值要抓住的兩點
(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數y=f(x)的可能極值點.
(2)由導函數y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.
2.運用導數求函數f(x)極值的一般步驟
(1)確定函數f(x)的定義域;(2)求導數f'(x);
(3)解方程f'(x)=0,求出函數定義域內的所有根;(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側導數值的符號;(5)求出極值.
3.已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
(1)列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解.
(2)驗證:因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性.
對點訓練
1.設函數f(x)在R上可導,其導函數為f'(x),且函數y=(x-1)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)有極大值f(-3)和f(3)
B.函數f(x)有極小值f(-3)和f(3)
C.函數f(x)有極小值f(3)和極大值f(-3)
D.函數f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3)
【解析】選D.由題圖知,當x∈(-∞,-3)時,y>0,x-1<0 f'(x)<0,f(x)單調遞減;
當x∈(-3,1)時,y<0,x-1<0 f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(1,3)時,y>0,x-1>0 f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(3,+∞)時,y<0,x-1>0 f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以函數有極小值f(-3)和極大值f(3).
2.(2023·長沙模擬)若1是函數f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極大值為__________.
【解析】因為f(x)=(x2+ax-1),
可得f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1],
因為1是函數f(x)的極值點,
故可得f'(1)=0,
即2a+2=0,解得a=-1.
此時f'(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x+2)(x-1).
由f'(x)>0可得x<-2或x>1;
由f'(x)<0可得-2故f(x)的極大值點為-2.
則f(x)的極大值為f(-2)=(4+2-1)e-3=5e-3.
答案:5e-3
【加練備選】 (2023·威海模擬)若函數f(x)=ex-ax2-2ax有兩個極值點,則實數a的取值范圍為(　　)
A. (-,0) B. (-∞,-)
C. (0,) D. (,+∞)
【解析】選D.由f(x)=ex-ax2-2ax,
得f'(x)=ex-2ax-2a.
因為函數f(x)=ex-ax2-2ax有兩個極值點,
所以f'(x)=ex-2ax-2a有兩個變號零點,
令f'(x)=0,得=,
設g(x)=,y=;
則g'(x)=-,令g'(x)=0,即-=0,解得x=0,
當x>0時,g'(x)<0;
當x<0時,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減.
分別作出函數g(x)=與y=的圖象,如圖所示,
由圖可知,0<<1,解得a>,
所以實數a的取值范圍為(,+∞).
考點二利用導數求函數最值問題
[例4](2022·全國乙卷)函數f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在區間的最小值、最大值分別為(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
【解析】選D.f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,
所以在區間(0,)和(,2π)上f'(x)>0,
即f(x)單調遞增;
在區間(,)上f'(x)<0,即f(x)單調遞減,
又f(0)=f(2π)=2,f()=+2,f()=- (+1)+1=-,
所以f(x)在區間上的最小值為-,最大值為+2.
解題技法
求函數f(x)在[a,b]上的最值的方法
(1)若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增或單調遞減,則f(a)與f(b)一個為最大值,一個為最小值.
(2)若函數f(x)在區間[a,b]上有極值,則先求出函數在[a,b]上的極值,再與f(a),f(b)比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
(3)函數f(x)在區間(a,b)上有唯一一個極值點,這個極值點就是最值點,此結論在導數的實際應用中經常用到.
對點訓練
1.(2023·蘇州模擬)若函數f(x)=x3+x2-在區間(a,a+5)內存在最小值,則實數a的取值范圍是(　　)
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
【解析】選C.由題意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),
當x<-2或x>0時,f'(x)>0;
當-2故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上單調遞增,在(-2,0)上單調遞減,
所以函數f(x)的極小值為f(0)=-.
令x3+x2-=-得x3+3x2=0,解得x=0或x=-3,
作其圖象如圖,結合圖象可知
解得a∈[-3,0).
2.已知函數f(x)=ax+ln x,其中a為常數.
(1)若a=-1時,求f(x)的最大值;
【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),
當a=-1時,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+=,令f'(x)=0,得x=1.當00;當x>1時,f'(x)<0,所以函數f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以f(x)max=f(1)=-1.所以當a=-1時,函數f(x)在(0,+∞)上的最大值為-1.
(2)若f(x)在區間(0,e]上的最大值為-3,求a的值.
【解析】(2)f'(x)=a+,x∈(0,e]時,∈[,+∞).
①若a≥-,則f'(x)≥0,從而f(x)在(0,e]上單調遞增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合題意.②若a<-,令f'(x)>0得a+>0,結合x∈(0,e],解得0令-1+ln(-)=-3,得ln(-)=-2,
即a=-e2.因為-e2<-,所以a=-e2即為所求.故實數a的值為-e2.
考點三生活中的優化問題
[例5](1)(2023·溫州模擬)某冷飲店的日銷售額y(單位:元)與當天的最高氣溫x(單位:℃,20≤x≤40)的關系式為y=x2-x3,則該冷飲店的日銷售額的最大值約為(　　)
A.907元 B.910元
C.915元 D.920元
【解析】選C.因為y=x2-x3,20≤x≤40,
所以y'=x-x2=-x(x-38).
所以當20≤x≤38時,y'≥0,即函數在[20,38]上單調遞增,當38≤x≤40時,y'≤0,即函數在[38,40]上單調遞減,所以當x=38時,函數取值最大,所以ymax=×382-×383≈915.
(2)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度),設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為
12 000π元(π為圓周率).
①將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域;
②討論函數V(r)的單調性,并確定r和h為何值時,該蓄水池的體積最大.
【解析】①因為蓄水池的側面的總成本為100×2πrh=200πrh(元),底面的總成本為160πr2元,
所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.
由題意得200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2).
從而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,且r>0,可得0故函數V(r)的定義域為(0,5).
②由①知V(r)=(300r-4r3),
故V'(r)=(300-12r2),
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍).
當r∈(0,5)時,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上單調遞增;
當r∈(5,5)時,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上單調遞減.
由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,
即當r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.
解題技法
利用導數解決生活中的實際應用問題的一般步驟
對點訓練
一個圓柱形圓木的底面半徑為1 m,長為10 m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分.現要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,長度保持不變,底面為等腰梯形ABCD(如圖所示,其中O為圓心,C,D在半圓上),設∠BOC=θ,木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關于θ的函數解析式;
【解析】(1)梯形ABCD的面積S梯形ABCD=·sin θ=sin θcos θ+sin θ,θ∈(0,).
V=10(sin θcos θ+sin θ),θ∈(0,).
(2)求當體積V最大時θ的值;
【解析】(2)V'=10(2cos 2θ+cos θ-1)
=10(2cos θ-1)(cos θ+1).
由θ∈(0,),得cos θ∈(0,1).
令V'=0,得cos θ=或cos θ=-1(舍).
所以θ=.
當θ∈(0,)時,0,
V=10(sin θcos θ+sin θ)單調遞增;
當θ∈(,)時,0V=10(sin θcos θ+sin θ)單調遞減.
所以當θ=時,體積V最大.
(3)問:當木梁的體積V最大時,其表面積S是否也最大 請說明理由.
【解析】(3)木梁的側面積:S側=(AB+2BC+CD)·10=20(cos θ+2sin +1),θ∈(0,).
S=2S梯形ABCD+S側=2(sin θcos θ+sin θ)+20·(cos θ+2sin +1),θ∈(0,).
設g(θ)=cos θ+2sin +1,θ∈(0,).
因為g(θ)=-2sin 2+2sin +2,所以當sin =,即θ=時,g(θ)最大.
又由(2)知當θ=時,sin θcos θ+sin θ也取得最大值,所以當θ=時,木梁的表面積S最大.
綜上,當木梁的體積V最大時,其表面積S也最大.

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