資源簡介

第三節　變量的相關性與一元線性回歸模型
【課標解讀】
【課程標準】
1.結合實例,了解樣本相關系數的統計含義,了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.
2.結合實例,會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.
3.結合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數的統計意義,了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法,會使用相關的統計軟件.
4.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.
【核心素養】
數學抽象、數據分析、數學運算.
【命題說明】
考向考法 高考命題常以現實生活為載體,考查樣本相關系數、一元線性回歸方程、非線性回歸方程;一元線性回歸方程是高考熱點,三種題型都會出現.
預測 預計2025年高考仍會在相關系數、經驗回歸方程方面出題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.變量的相關關系
(1)相關關系:兩個變量　有關系　,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
(2)相關關系的分類:　正相關　和　負相關　.
(3)線性相關:一般地,如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關,而且散點落在　一條直線　附近,我們就稱這兩個變量線性相關.
　微思考變量的相關關系是因果關系嗎
提示:變量的相關關系,體現的不一定是因果關系.
2.樣本相關系數
(1)樣本相關系數r==.
(2)樣本相關系數r的取值范圍為[-1,1],是一個描述成對樣本數據的數字特征,它的正負性可以反映成對樣本數據的變化特征,它的絕對值大小可以反映成對樣本數據之間線性相關的程度:
①當r>0時,成對樣本數據　正　相關;
②當r<0時,成對樣本數據　負　相關;
③當|r|越接近1時,成對樣本數據的線性相關程度越　強　;
④當|r|越接近0時,成對樣本數據的線性相關程度越　弱　.
3.經驗回歸模型
我們將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方程,
其中==,
=-.
　微思考如果兩變量是正相關,的取值如何
提示:兩變量正相關,>0.
4.對模型刻畫數據效果的分析
(1)殘差圖法
在殘差圖中,如果殘差比較均勻地集中在　以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內　,則說明經驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.
(2)殘差平方和法
殘差平方和 (yi-i)2　越小,模型的擬合效果越好.
(3)決定系數R2法
可以用決定系數R2=1-來比較兩個模型的擬合效果,R2越　大　,模型的擬合效果越好,R2越　小　,模型的擬合效果越差.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相關關系是一種非確定性關系.(　　)
(2)散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.(　　)
(3)經驗回歸直線=x+至少經過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點.(　)
(4)樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強.(　　)
2.(選修第三冊P101例1改編)對于x,y兩個變量,有四組成對樣本數據,分別算出它們的樣本相關系數r如下,則線性相關性最強的是(　　)
A.-0.82 B.0.78 C.-0.69 D.0.87
3.(選修第三冊P103習題1改編)根據所示的散點圖,下列說法正確的是(　　)
A.身高越高,體重越大 B.身高越高,體重越小
C.身高和體重呈正相關 D.身高和體重呈負相關
4.(誤認為經驗回歸直線過樣本點)某互聯網公司借助某平臺推廣自己的產品,對今年前5個月的月平臺推廣費用x(單位:百萬元)與月利潤額y(單位:百萬元)進行了初步統計,得到下列表格中的數據:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 p 70
經計算,月平臺推廣費用x與月利潤額y滿足經驗回歸方程=6.5x+17.5,則p的值為(　　)
A.50 B.56.5 C.60 D.70
【核心考點·分類突破】
考點一成對數據的相關性
[例1](1)(2023·天津高考)調查某種花萼長度和花瓣長度,所得數據如圖所示,其中相關系數r=0.824 5,下列說法正確的是(　　)
A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性
B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關
C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關
D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關系數一定是0.824 5
(2)(多選題)對于樣本相關系數,下列說法正確的有(　　)
A.樣本相關系數可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性
B.樣本相關系數可以是正的,也可以是負的
C.樣本相關系數r∈[-1,1]
D.樣本相關系數越大,成對樣本數據的線性相關程度也越強
解題技法
判斷相關關系的兩種方法
(1)散點圖法:如果所有的樣本點都落在某條曲線附近,變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系.
(2)相關系數法:利用相關系數判定,|r|越趨近于1,相關性越強.
對點訓練
1.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位:千元)與利潤率統計表如下:
月份 1 2 3 4 5 6
人均銷售額 6 5 8 3 4 7
利潤率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根據表中數據,下列說法正確的是(　　)
A.利潤率與人均銷售額呈現正相關關系
B.利潤率與人均銷售額呈現負相關關系
C.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系
D.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系
2.若已知(yi-)2是(xi-)2的4倍,(xi-)(yi-)是(xi-)2的1.5倍,則相關系數r的值為　　　　.
【加練備選】
　　 為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系,統計某班學生的兩科成績得到如圖所示的散點圖(x軸、y軸的單位長度相同),用經驗回歸方程=x+近似地刻畫其相關關系,根據圖形,以下結論最有可能成立的是(　　)
A.線性相關關系較強,的值為1.25
B.線性相關關系較強,的值為0.83
C.線性相關關系較強,的值為-0.87
D.線性相關關系較弱,無研究價值
考點二回歸模型及其應用
角度1 一元線性回歸模型及其應用
[例2]為保證新能源汽車的推廣,某市逐漸加大充電基礎設施的建設,該市統計了近五年新能源汽車充電站的數量(單位:個),得到如下數據:
年份編號x 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
數量y/個 37 104 147 196 226
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請用相關系數加以說明;
(2)求y關于x的經驗回歸方程,并預測2026年該市新能源汽車充電站的數量.
參考數據:yi=710,xiyi=2 600,≈149.89,≈3.16.
參考公式:相關系數r=,
經驗回歸直線=x+中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,=-.
解題技法
求經驗回歸方程的步驟
對點訓練
1.(2024·寧德模擬)某學校利用實踐基地開展勞動教育活動,在其中一塊土地上栽種某種蔬菜,并指定一位同學觀測其中一棵幼苗的生長情況,該同學獲得前6天的數據如下:
第x天 1 2 3 4 5 6
高度y 1 4 7 9 11 13
經這位同學的研究,發現第x天幼苗的高度y的經驗回歸方程為=2.4x+,據此預測第10天這棵幼苗的高度為(　　)
A.19 cm B.21 cm C.23 cm D.25 cm
2.某智能機器人的廣告費用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統計數據如表所示:
廣告費用x(萬元) 2 3 5 6
銷售額y(萬元) 28 31 41 48
根據此表可得經驗回歸方程為=5x+,據此模型預測廣告費用為8萬元時,銷售額為　　　　萬元.
角度2 非線性回歸模型及其應用
[例3]某企業新研發了一種產品,產品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產品的非原料成本y(元)與生產該產品的數量x(千件)有關,經統計得到如下數據:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根據以上數據,繪制了散點圖.參考數據:(其中ui=)
參考公式:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經驗回歸方程=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.
uiyi yi
183.4 0.34 0.115 1.53 360 22 385.5
(1)觀察散點圖判斷,y=a+與y=c+dx哪一個適宜作為非原料成本y與生產該產品的數量x的回歸方程類型 (給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y與x的回歸方程.
(3)試預測生產該產品10 000件時每件產品的非原料成本.
解題技法
非線性回歸分析的步驟
對點訓練
1.(2023·鄭州模擬)用模型y=a(a>0)擬合一組數據時,令z=ln y,將其變換后得到經驗回歸方程=2x+,則=(　　)
A.e B. C. D.2
2.已知具有相關關系的兩個隨機變量的一組觀測數據的散點圖分布在函數y=2e2x+1的圖象附近,設z=ln y,將其變換后得到經驗回歸方程為=x+,則mn=　　　　　　　.
考點三殘差分析
[例4](1)(2024·湖南師大附中模擬)某網店經銷某商品,為了解該商品的月銷量y(單位:千件)與售價x(單位:元/件)之間的關系,收集5組數據進行了初步處理,得到如表:
x 5 6 7 8 9
y 8 6 4.5 3.5 3
根據表中的數據可得經驗回歸方程=-1.25x+13.75,以下說法正確的是(　　)
A.x,y具有負相關關系,相關系數r=-1.25
B.x每增加一個單位,y平均減少13.75個單位
C.第二個樣本點對應的殘差2=0.25
D.第三個樣本點對應的殘差3=-0.5
(2)新能源汽車的核心部件是動力電池,電池占了新能源整車成本的很大一部分,而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開始,碳酸鋰的價格不斷升高,下表是2022年某企業的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統計數據:
月份代碼x 1 2 3 4 5
碳酸鋰價格y(萬元/kg) 0.5 0.6 1 m 1.5
根據表中數據,得出y關于x的經驗回歸方程為=0.28x+,根據數據計算出在樣本點(5,1.5)處的殘差為-0.06,則表中m=　　　　.
解題技法
檢驗回歸模型的擬合效果的兩種方法
(1)殘差分析:通過殘差分析發現原始數據中的可疑數據,判斷所建立模型的擬合效果.
(2)R2分析:通過公式計算R2,R2越大,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好;R2越小,殘差平方和越大,模型的擬合效果越差.
對點訓練
色差和色度是衡量毛絨玩具質量優劣的重要指標,現抽檢一批產品測得數據列于表中,已知該產品的色度y和色差x之間滿足線性相關關系,且=0.8x+,現有一對測量數據為(30,23.6),則該數據的殘差為(　　)
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A.-0.96 B.-0.8 C.0.8 D.0.96第三節　變量的相關性與一元線性回歸模型
【課標解讀】
【課程標準】
1.結合實例,了解樣本相關系數的統計含義,了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.
2.結合實例,會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.
3.結合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數的統計意義,了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法,會使用相關的統計軟件.
4.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.
【核心素養】
數學抽象、數據分析、數學運算.
【命題說明】
考向考法 高考命題常以現實生活為載體,考查樣本相關系數、一元線性回歸方程、非線性回歸方程;一元線性回歸方程是高考熱點,三種題型都會出現.
預測 預計2025年高考仍會在相關系數、經驗回歸方程方面出題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.變量的相關關系
(1)相關關系:兩個變量　有關系　,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
(2)相關關系的分類:　正相關　和　負相關　.
(3)線性相關:一般地,如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關,而且散點落在　一條直線　附近,我們就稱這兩個變量線性相關.
　微思考變量的相關關系是因果關系嗎
提示:變量的相關關系,體現的不一定是因果關系.
2.樣本相關系數
(1)樣本相關系數r==.
(2)樣本相關系數r的取值范圍為[-1,1],是一個描述成對樣本數據的數字特征,它的正負性可以反映成對樣本數據的變化特征,它的絕對值大小可以反映成對樣本數據之間線性相關的程度:
①當r>0時,成對樣本數據　正　相關;
②當r<0時,成對樣本數據　負　相關;
③當|r|越接近1時,成對樣本數據的線性相關程度越　強　;
④當|r|越接近0時,成對樣本數據的線性相關程度越　弱　.
3.經驗回歸模型
我們將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方程,
其中==,
=-.
　微思考如果兩變量是正相關,的取值如何
提示:兩變量正相關,>0.
4.對模型刻畫數據效果的分析
(1)殘差圖法
在殘差圖中,如果殘差比較均勻地集中在　以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內　,則說明經驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.
(2)殘差平方和法
殘差平方和 (yi-i)2　越小,模型的擬合效果越好.
(3)決定系數R2法
可以用決定系數R2=1-來比較兩個模型的擬合效果,R2越　大　,模型的擬合效果越好,R2越　小　,模型的擬合效果越差.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相關關系是一種非確定性關系.(　 √　)
提示:(1)由相關關系的定義可知,相關關系是一種非確定性關系,所以(1)正確;
(2)散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.(　 √　)
提示: (2)因為散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法,觀察散點圖可以大致看出兩個變量的相關關系,所以(2)正確;
(3)經驗回歸直線=x+至少經過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點.(　 ×　)
提示: (3)經驗回歸方程=x+過點(,),不一定過樣本數據,所以(3)錯誤;
(4)樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強.(　 √　)
提示: (4)由相關系數的大小與樣本相關關系可知(4)正確.
2.(選修第三冊P101例1改編)對于x,y兩個變量,有四組成對樣本數據,分別算出它們的樣本相關系數r如下,則線性相關性最強的是(　　)
A.-0.82 B.0.78 C.-0.69 D.0.87
【解析】選D.由樣本相關系數的絕對值|r|越接近1,變量間的線性相關性越強知,各選項中r=0.87的絕對值最接近1.
3.(選修第三冊P103習題1改編)根據所示的散點圖,下列說法正確的是(　　)
A.身高越高,體重越大 B.身高越高,體重越小
C.身高和體重呈正相關 D.身高和體重呈負相關
【解析】選C.根據散點圖的分布可得:身高和體重呈正相關.
4.(誤認為經驗回歸直線過樣本點)某互聯網公司借助某平臺推廣自己的產品,對今年前5個月的月平臺推廣費用x(單位:百萬元)與月利潤額y(單位:百萬元)進行了初步統計,得到下列表格中的數據:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 p 70
經計算,月平臺推廣費用x與月利潤額y滿足經驗回歸方程=6.5x+17.5,則p的值為(　　)
A.50 B.56.5 C.60 D.70
【解析】選A.由于經驗回歸直線過樣本點的中心,=5,=,代入經驗回歸方程得=6.5×5+17.5,解得p=50.
【核心考點·分類突破】
考點一成對數據的相關性
[例1](1)(2023·天津高考)調查某種花萼長度和花瓣長度,所得數據如圖所示,其中相關系數r=0.824 5,下列說法正確的是(　　)
A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性
B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關
C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關
D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關系數一定是0.824 5
【解析】選C.因為相關系數r=0.824 5>0.75,且題中散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布,所以花瓣長度和花萼長度呈現正相關.
若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關系數不一定是0.824 5.
(2)(多選題)對于樣本相關系數,下列說法正確的有(　　)
A.樣本相關系數可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性
B.樣本相關系數可以是正的,也可以是負的
C.樣本相關系數r∈[-1,1]
D.樣本相關系數越大,成對樣本數據的線性相關程度也越強
【解析】選ABC.因為樣本相關系數大于0,說明成對樣本數據正相關,樣本相關系數小于0,說明成對樣本數據負相關,所以選項A正確;
由樣本相關系數公式可知:樣本相關系數r∈[-1,1],所以選項B,C正確;
樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強,故D錯誤.
解題技法
判斷相關關系的兩種方法
(1)散點圖法:如果所有的樣本點都落在某條曲線附近,變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系.
(2)相關系數法:利用相關系數判定,|r|越趨近于1,相關性越強.
對點訓練
1.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位:千元)與利潤率統計表如下:
月份 1 2 3 4 5 6
人均銷售額 6 5 8 3 4 7
利潤率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根據表中數據,下列說法正確的是(　　)
A.利潤率與人均銷售額呈現正相關關系
B.利潤率與人均銷售額呈現負相關關系
C.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系
D.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系
【解析】選A.由題中統計表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關系,也不是反比例關系,排除C,D;其屬于正相關關系,A正確,B錯誤.
2.若已知(yi-)2是(xi-)2的4倍,(xi-)(yi-)是(xi-)2的1.5倍,則相關系數r的值為　　　　.
【解析】由r=,得r=.
答案:
【加練備選】
　　 為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系,統計某班學生的兩科成績得到如圖所示的散點圖(x軸、y軸的單位長度相同),用經驗回歸方程=x+近似地刻畫其相關關系,根據圖形,以下結論最有可能成立的是(　　)
A.線性相關關系較強,的值為1.25
B.線性相關關系較強,的值為0.83
C.線性相關關系較強,的值為-0.87
D.線性相關關系較弱,無研究價值
【解析】選B.由題中散點圖可以看出兩個變量所構成的點在一條直線附近,所以線性相關關系較強,且應為正相關,所以經驗回歸方程的斜率應為正數,且從散點圖觀察,經驗回歸方程的斜率應該比直線y=x的斜率要小一些,綜上可知應選B.
考點二回歸模型及其應用
角度1 一元線性回歸模型及其應用
[例2]為保證新能源汽車的推廣,某市逐漸加大充電基礎設施的建設,該市統計了近五年新能源汽車充電站的數量(單位:個),得到如下數據:
年份編號x 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
數量y/個 37 104 147 196 226
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請用相關系數加以說明;
【解析】(1)由已知數據得=×(1+2+3+4+5)=3,=×710=142,
(xi-)2=(-2)2+(-1)2+0+1+22=10,
(xi-)(yi-)=xiyi-5 =2 600-5×3×142=470,
所以r≈≈0.99.
因為y與x的相關系數近似為0.99,接近1,說明y與x的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.
(2)求y關于x的經驗回歸方程,并預測2026年該市新能源汽車充電站的數量.
參考數據:yi=710,xiyi=2 600,≈149.89,≈3.16.
參考公式:相關系數r=,
經驗回歸直線=x+中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,=-.
【解析】(2)由(1)得===47,
=-=142-47×3=1,
故所求經驗回歸方程為=47x+1,
將2026年對應的年份編號x=9代入經驗回歸方程得=47×9+1=424,
故預測2026年該市新能源汽車充電站的數量為424個.
解題技法
求經驗回歸方程的步驟
對點訓練
1.(2024·寧德模擬)某學校利用實踐基地開展勞動教育活動,在其中一塊土地上栽種某種蔬菜,并指定一位同學觀測其中一棵幼苗的生長情況,該同學獲得前6天的數據如下:
第x天 1 2 3 4 5 6
高度y 1 4 7 9 11 13
經這位同學的研究,發現第x天幼苗的高度y的經驗回歸方程為=2.4x+,據此預測第10天這棵幼苗的高度為(　　)
A.19 cm B.21 cm C.23 cm D.25 cm
【解析】選C.由已知得:==3.5,==7.5,
因為經驗回歸方程為=2.4x+,
所以7.5=2.4×3.5+,解得=-0.9,
當x=10時,=2.4×10-0.9=23.1,
所以預測第10天這棵幼苗的高度為23 cm.
2.某智能機器人的廣告費用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統計數據如表所示:
廣告費用x(萬元) 2 3 5 6
銷售額y(萬元) 28 31 41 48
根據此表可得經驗回歸方程為=5x+,據此模型預測廣告費用為8萬元時,銷售額為　　　　萬元.
【解析】由題中表格,得==4,
==37,
所以37=5×4+,即=17,
所以預測當廣告費用為8萬元時,銷售額為5×8+17=57(萬元).
答案:57
角度2 非線性回歸模型及其應用
[例3]某企業新研發了一種產品,產品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產品的非原料成本y(元)與生產該產品的數量x(千件)有關,經統計得到如下數據:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根據以上數據,繪制了散點圖.參考數據:(其中ui=)
參考公式:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經驗回歸方程=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.
uiyi yi
183.4 0.34 0.115 1.53 360 22 385.5
(1)觀察散點圖判斷,y=a+與y=c+dx哪一個適宜作為非原料成本y與生產該產品的數量x的回歸方程類型 (給出判斷即可,不必說明理由)
【解析】(1)由散點圖可知,y=a+適宜作為非原料成本y與生產該產品的數量x的回歸方程類型;
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y與x的回歸方程.
【解析】(2)令u=,則y=a+bu,
====100,
=-=-100×0.34=11,
所以=11+100u=11+;
(3)試預測生產該產品10 000件時每件產品的非原料成本.
【解析】(3)當x=10(千件)時,=11+=21(元).
故預測生產該產品10 000件時每件產品的非原料成本為21元.
解題技法
非線性回歸分析的步驟
對點訓練
1.(2023·鄭州模擬)用模型y=a(a>0)擬合一組數據時,令z=ln y,將其變換后得到經驗回歸方程=2x+,則=(　　)
A.e B. C. D.2
【解析】選D.對y=a(a>0)兩邊同時取對數,則ln y=ln (a)=ln a+bx+1,令z=ln y,則z=bx+ln a+1,所以 所以=2.
2.已知具有相關關系的兩個隨機變量的一組觀測數據的散點圖分布在函數y=2e2x+1的圖象附近,設z=ln y,將其變換后得到經驗回歸方程為=x+,則mn=　　　　　　　.
【解析】由z=ln y,則ln y=ln 2,即z=ln 2+ln =ln 2+2x+1,則z=2x+ln 2+1,故m=2,n=ln 2+1,所以mn=2ln 2+2.
答案:2ln 2+2
考點三殘差分析
[例4](1)(2024·湖南師大附中模擬)某網店經銷某商品,為了解該商品的月銷量y(單位:千件)與售價x(單位:元/件)之間的關系,收集5組數據進行了初步處理,得到如表:
x 5 6 7 8 9
y 8 6 4.5 3.5 3
根據表中的數據可得經驗回歸方程=-1.25x+13.75,以下說法正確的是(　　)
A.x,y具有負相關關系,相關系數r=-1.25
B.x每增加一個單位,y平均減少13.75個單位
C.第二個樣本點對應的殘差2=0.25
D.第三個樣本點對應的殘差3=-0.5
【解析】選D.對于A選項:相關系數絕對值不超過1,A不正確;
對于B選項:由經驗回歸方程知,x每增加一個單位,y平均減少1.25個單位,B不正確;
對于C選項:第二個樣本點對應的殘差2=6-(-1.25×6+13.75)=-0.25,C不正確;
對于D選項:第三個樣本點對應的殘差3=4.5-(-1.25×7+13.75)=-0.5,D正確.
(2)新能源汽車的核心部件是動力電池,電池占了新能源整車成本的很大一部分,而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開始,碳酸鋰的價格不斷升高,下表是2022年某企業的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統計數據:
月份代碼x 1 2 3 4 5
碳酸鋰價格y(萬元/kg) 0.5 0.6 1 m 1.5
根據表中數據,得出y關于x的經驗回歸方程為=0.28x+,根據數據計算出在樣本點(5,1.5)處的殘差為-0.06,則表中m=　　　　.
【解析】由題設,1.5-=1.5-(0.28×5+)
=-0.06,可得=0.16.
又==3,
==,
所以0.28×3+0.16=,可得m=1.4.
答案:1.4
解題技法
檢驗回歸模型的擬合效果的兩種方法
(1)殘差分析:通過殘差分析發現原始數據中的可疑數據,判斷所建立模型的擬合效果.
(2)R2分析:通過公式計算R2,R2越大,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好;R2越小,殘差平方和越大,模型的擬合效果越差.
對點訓練
色差和色度是衡量毛絨玩具質量優劣的重要指標,現抽檢一批產品測得數據列于表中,已知該產品的色度y和色差x之間滿足線性相關關系,且=0.8x+,現有一對測量數據為(30,23.6),則該數據的殘差為(　　)
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A.-0.96 B.-0.8 C.0.8 D.0.96
【解析】選C.由題意可知,==24,==18,
將(24,18)代入=0.8x+,
即18=0.8×24+,解得=-1.2,
所以=0.8x-1.2,
當x=30時,=0.8×30-1.2=22.8,
所以該數據的殘差為23.6-22.8=0.8.

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