資源簡(jiǎn)介

第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述,體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.
2.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
3.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
4.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.
5.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以頻率分布直方圖為載體,考查用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)字特征;數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)是高考熱點(diǎn),常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)在總體集中趨勢(shì)、離散程度中出題.百分位數(shù)也會(huì)是考查的一個(gè)熱點(diǎn).
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.總體取值規(guī)律的估計(jì)
(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有　條形圖　、　扇形圖　、　折線圖　、　頻率分布直方圖　等.
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求　極差　;
②決定　組距　與　組數(shù)　;
③將　數(shù)據(jù)　分組;
④列頻率分布表;
⑤畫頻率分布直方圖.
2.第p百分位數(shù)
一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有　p%　的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)　大于或等于　這個(gè)值.
　微點(diǎn)撥第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).
3.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用
數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)多用　平均數(shù)　、　中位數(shù)　描述;分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)多用　眾數(shù)　描述.
(2)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法
數(shù)字 特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖
眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 劃分頻率分布直方圖為左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和
4.總體離散程度的估計(jì)
(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義:假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為,則方差:s2=(xi-)2或-;標(biāo)準(zhǔn)差:s=.
(2)總體(樣本)方差
①一般式:如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為,則總體方差S2=(Yi-)2.
②加權(quán)式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=fi(Yi-)2.
　微思考方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大小,說明樣本數(shù)據(jù)有怎樣的離散關(guān)系
提示:樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大,說明樣本數(shù)據(jù)越分散,否則說明越集中.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò)
題號(hào) 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(　　)
(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(　　)
(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(　　)
(4)在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(　　)
2.(必修第二冊(cè)P215練習(xí)T2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
3.(必修第二冊(cè)P203例2)某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為(　　)
A.88.5 B.89 C.91 D.89.5
4.(統(tǒng)計(jì)圖識(shí)別錯(cuò)誤)某中學(xué)初中部共有120名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為　　　　　.
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別
[例1](多選題)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2021年1月至2023年12月月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
解題技法
統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用
(1)扇形圖:直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例;
(2)折線圖:描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì);
(3)條形圖和直方圖:直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知某地區(qū)中小學(xué)生的人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示,為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,其中被抽取的小學(xué)生有80人,則樣本量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為(　　)
A.200,25 B.200,2 500
C.8 000,25 D.8 000,2 500
2.走路是“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”,它不僅可以幫助減肥,還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論中不正確的是(　　)
A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11 600
B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的均值大于乙
C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙
D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7 030
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
(2023·麗水模擬)某校高一年級(jí)1 000名學(xué)生的血型統(tǒng)計(jì)情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系,決定采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則從高一年級(jí)A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是(　　)
A.11 B.22 C.110 D.220
考點(diǎn)二離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
[例2](多選題)(2024·蘇州模擬)給定數(shù)6,4,3,6,3,8,8,3,1,8,則這組數(shù)據(jù)的(　　)
A.中位數(shù)為5 B.方差為
C.平均數(shù)為5 D.85%分位數(shù)為8
解題技法
樣本數(shù)字特征的求法
(1)眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).
(2)將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的均值)即為中位數(shù).
(3)平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).
(4)極差是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.從某中學(xué)抽取10名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦?82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位:分),則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為(　　)
A.92,85 B.92,88 C.95,88 D.96,85
2.(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測(cè)值:
396　275　268　225　168　166　176　173　188　168　141　157
若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是(　　)
A.極差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
　　 某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為(　　)
A.102 B.103 C.109.5 D.116
[例3](多選題)在某次單元測(cè)試中,4 000名考生的考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表,則下列說法中正確的有(　　)
A.成績(jī)?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多
B.考生考試成績(jī)的第80百分位數(shù)為83.3
C.考生考試成績(jī)的平均分約為70.5分
D.考生考試成績(jī)的中位數(shù)為75分
解題技法
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
(1)眾數(shù):最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(2)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.
(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.
(4)第p百分位數(shù): ①確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b],②確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+×(b-a).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(2024·長(zhǎng)沙模擬)某校1 000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽,隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)(單位:分),成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.頻率分布直方圖中a的值為0.004
B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為75
C.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的眾數(shù)為80
D.估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
　　 某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,進(jìn)行了一次摸底考試,從中選取60名學(xué)生的成績(jī),分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組后,得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示,觀察圖形,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則,排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng),請(qǐng)你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分.
考點(diǎn)四總體離散趨勢(shì)的估計(jì)
[例4](2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表:
舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和,樣本方差分別記為和.
(1)求,,,;
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果-≥2,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).
解題技法
計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟
(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(2)計(jì)算每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-(i=1,2,…,n),并求對(duì)應(yīng)的平方值;
(3)求出上述n個(gè)平方值的平均數(shù),即為樣本方差;求出上述n個(gè)平方值平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·成都模擬)一次數(shù)學(xué)考試后,某班級(jí)平均分為110分,方差為.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績(jī)計(jì)算有誤,甲同學(xué)成績(jī)被誤判為113分,實(shí)際得分為118分;乙同學(xué)成績(jī)誤判為120分,實(shí)際得分為115分.更正后重新計(jì)算,得到方差為,則與的大小關(guān)系為(　　)
A.= B.> C.< D.不能確定
2.(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離散程度的有(　　)
A. x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差
B. x1,x2,…,xn的中位數(shù)
C. x1,x2,…,xn的極差
D. x1,x2,…,xn的平均數(shù)
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
1.(2023·天津模擬)已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn(x1A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差
2.某學(xué)校有男生400人,女生600人.為了調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間,采用分層抽樣的方法抽取樣本,計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為7.5小時(shí),方差為1,女生每天睡眠時(shí)間為7小時(shí),方差為0.5.若男、女樣本量按比例分配,則可估計(jì)總體方差為　　　　. 第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述,體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.
2.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
3.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
4.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.
5.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以頻率分布直方圖為載體,考查用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)字特征;數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)是高考熱點(diǎn),常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)在總體集中趨勢(shì)、離散程度中出題.百分位數(shù)也會(huì)是考查的一個(gè)熱點(diǎn).
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.總體取值規(guī)律的估計(jì)
(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有　條形圖　、　扇形圖　、　折線圖　、　頻率分布直方圖　等.
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求　極差　;
②決定　組距　與　組數(shù)　;
③將　數(shù)據(jù)　分組;
④列頻率分布表;
⑤畫頻率分布直方圖.
2.第p百分位數(shù)
一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有　p%　的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)　大于或等于　這個(gè)值.
　微點(diǎn)撥第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).
3.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用
數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)多用　平均數(shù)　、　中位數(shù)　描述;分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)多用　眾數(shù)　描述.
(2)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法
數(shù)字 特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖
眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 劃分頻率分布直方圖為左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和
4.總體離散程度的估計(jì)
(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義:假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為,則方差:s2=(xi-)2或-;標(biāo)準(zhǔn)差:s=.
(2)總體(樣本)方差
①一般式:如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為,則總體方差S2=(Yi-)2.
②加權(quán)式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=fi(Yi-)2.
　微思考方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大小,說明樣本數(shù)據(jù)有怎樣的離散關(guān)系
提示:樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大,說明樣本數(shù)據(jù)越分散,否則說明越集中.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò)
題號(hào) 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(　 ×　)
提示:(1)一組數(shù)據(jù)如果出現(xiàn)極端值,其平均數(shù)與中位數(shù)不會(huì)接近,例如:1 000,0,0,0,0,所以(1)錯(cuò)誤;
(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(　 ×　)
提示: (2)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)根,其單位不一樣,所以(2)錯(cuò)誤;
(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(　 √　)
提示: (3)因?yàn)橐唤M數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,每個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差值不變,所以方差不變,所以(3)正確;
(4)在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(　 √　)
提示: (4)因?yàn)樵陬l率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù),所以(4)正確.
2.(必修第二冊(cè)P215練習(xí)T2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】選D.根據(jù)方差的性質(zhì)可知,數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為22s2=8.
3.(必修第二冊(cè)P203例2)某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為(　　)
A.88.5 B.89 C.91 D.89.5
【解析】選B.7次的訓(xùn)練成績(jī)從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,7×80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù),即89.
4.(統(tǒng)計(jì)圖識(shí)別錯(cuò)誤)某中學(xué)初中部共有120名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為　　　　　.
【解析】因?yàn)槌踔胁颗處熣?0%,高中部女教師占40%,所以該校女教師的人數(shù)為120×0.7+150×0.4=84+60=144.
答案:144
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別
[例1](多選題)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2021年1月至2023年12月月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
【解析】選BCD.對(duì)于選項(xiàng)A,由題圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)B,觀察題中折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,觀察題中折線圖,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份,故C正確;對(duì)于D選項(xiàng),觀察題中折線圖,各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn),故D正確.
解題技法
統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用
(1)扇形圖:直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例;
(2)折線圖:描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì);
(3)條形圖和直方圖:直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知某地區(qū)中小學(xué)生的人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示,為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,其中被抽取的小學(xué)生有80人,則樣本量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為(　　)
A.200,25 B.200,2 500
C.8 000,25 D.8 000,2 500
【解析】選B.由扇形分布圖并結(jié)合比例分配的分層隨機(jī)抽樣知識(shí)易知樣本量為=200,則樣本中高中生的人數(shù)為200×25%=50,易知該地區(qū)高中生人數(shù)為=
5 000,結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視的人數(shù)為5 000×50%=2 500.
2.走路是“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”,它不僅可以幫助減肥,還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論中不正確的是(　　)
A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11 600
B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的均值大于乙
C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙
D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7 030
【解析】選D.對(duì)于A,這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)從小到大為2 435,7 965,9 500,
11 600,12 700,16 000,16 800,所以中位數(shù)為11 600,選項(xiàng)A正確;
對(duì)于B,計(jì)算甲的平均數(shù)為=×(2 435+7 965+9 500+11 600+12 700+16 000+
16 800)=11 000,
乙的平均數(shù)為=×(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)=10 500,所以甲的日步數(shù)的均值大于乙,選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C,甲有極端值,對(duì)方差的影響大,所以甲的日步數(shù)的方差大于乙,選項(xiàng)C正確;
對(duì)于D,因?yàn)?×30%=2.1,所以乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是從小到大的第3個(gè)數(shù),為10 060,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
(2023·麗水模擬)某校高一年級(jí)1 000名學(xué)生的血型統(tǒng)計(jì)情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系,決定采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則從高一年級(jí)A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是(　　)
A.11 B.22 C.110 D.220
【解析】選B.由題圖中數(shù)據(jù)可知高一年級(jí)A型血的學(xué)生人數(shù)占高一年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)的22%,所以抽取一個(gè)容量為100的樣本,從A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是100×22%=22.
考點(diǎn)二離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
[例2](多選題)(2024·蘇州模擬)給定數(shù)6,4,3,6,3,8,8,3,1,8,則這組數(shù)據(jù)的(　　)
A.中位數(shù)為5 B.方差為
C.平均數(shù)為5 D.85%分位數(shù)為8
【解析】選ACD.將數(shù)6,4,3,6,3,8,8,3,1,8按從小到大的順序排列為1,3,3,3,4,6,6,8,8,8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為=5,故A正確;
平均數(shù)為=5,故C正確;
則方差為[++×3+×3+×2]=5.8,故B錯(cuò)誤;
因?yàn)?0×85%=8.5,所以85%分位數(shù)是從小到大第9個(gè)數(shù)字為8,故D正確.
解題技法
樣本數(shù)字特征的求法
(1)眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).
(2)將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的均值)即為中位數(shù).
(3)平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).
(4)極差是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.從某中學(xué)抽取10名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦?82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位:分),則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為(　　)
A.92,85 B.92,88 C.95,88 D.96,85
【解析】選B.數(shù)據(jù)92出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是92;這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,10×25%=2.5,取第三個(gè)數(shù),所以第25百分位數(shù)是88.
2.(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測(cè)值:
396　275　268　225　168　166　176　173　188　168　141　157
若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是(　　)
A.極差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)
【解析】選ABD.根據(jù)題意,若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),即最大值變?yōu)?96+25=421,極差為最大值與最小值的差,發(fā)生改變;加入數(shù)據(jù)前,中位數(shù)為×(173+176)=174.5,加入數(shù)據(jù)后,中位數(shù)為176,發(fā)生改變;
眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),不會(huì)改變;
若加入數(shù)據(jù)前,平均數(shù)為,加入數(shù)據(jù)后,平均數(shù)為>,發(fā)生改變.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
　　 某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為(　　)
A.102 B.103 C.109.5 D.116
【解析】選C.這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,8×75%=6,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù),即為=109.5.
考點(diǎn)三頻率分布直方圖的數(shù)字特征
[例3](多選題)在某次單元測(cè)試中,4 000名考生的考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表,則下列說法中正確的有(　　)
A.成績(jī)?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多
B.考生考試成績(jī)的第80百分位數(shù)為83.3
C.考生考試成績(jī)的平均分約為70.5分
D.考生考試成績(jī)的中位數(shù)為75分
【解析】選ABC.根據(jù)題圖得,成績(jī)出現(xiàn)在[70,80)的頻率最大,故A正確;
考生考試成績(jī)的第80百分位數(shù)為80+×10≈83.3,故B正確;
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)考試的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正確;
0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5,所以考生考試成績(jī)的中位數(shù)為70+×10≈71.67,故D錯(cuò)誤.
解題技法
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
(1)眾數(shù):最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(2)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.
(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.
(4)第p百分位數(shù): ①確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b],②確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+×(b-a).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(2024·長(zhǎng)沙模擬)某校1 000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽,隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)(單位:分),成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.頻率分布直方圖中a的值為0.004
B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為75
C.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的眾數(shù)為80
D.估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150
【解析】選D.由10×=1可得a=0.005,故A錯(cuò)誤;
前三個(gè)矩形的面積和為10×=0.6,所以這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80,故B錯(cuò)誤;
這20名學(xué)生考試成績(jī)的眾數(shù)為75,故C錯(cuò)誤;
總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3a×10×1 000=150,故D正確.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
　　 某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,進(jìn)行了一次摸底考試,從中選取60名學(xué)生的成績(jī),分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組后,得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示,觀察圖形,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
【解析】(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,
根據(jù)頻率分布直方圖,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.25,所以分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為0.25,
補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖,如圖所示.
(2)根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則,排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng),請(qǐng)你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分.
【解析】(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為0.25,在區(qū)間[90,100]內(nèi)的頻率為0.05,而0.05<10%<0.25+0.05,所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90-a,則0.025a+0.005×10=10%,
解得a=2,所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分,即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分.
考點(diǎn)四總體離散趨勢(shì)的估計(jì)
[例4](2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表:
舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和,樣本方差分別記為和.
(1)求,,,;
【解析】(1)由題表中的數(shù)據(jù)可得,
=×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,
=×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
=×[(9.7-10.0)2+2×(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2×(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2×(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036,
=×[(10.0-10.3)2+3×(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2×(10.4-10.3)2+2×(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果-≥2,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).
【解析】(2)由(1)中數(shù)據(jù)得-=0.3,2=2,
顯然->2 ,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
解題技法
計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟
(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(2)計(jì)算每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-(i=1,2,…,n),并求對(duì)應(yīng)的平方值;
(3)求出上述n個(gè)平方值的平均數(shù),即為樣本方差;求出上述n個(gè)平方值平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·成都模擬)一次數(shù)學(xué)考試后,某班級(jí)平均分為110分,方差為.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績(jī)計(jì)算有誤,甲同學(xué)成績(jī)被誤判為113分,實(shí)際得分為118分;乙同學(xué)成績(jī)誤判為120分,實(shí)際得分為115分.更正后重新計(jì)算,得到方差為,則與的大小關(guān)系為(　　)
A.= B.> C.< D.不能確定
【解析】選B.設(shè)班級(jí)人數(shù)為n,因?yàn)?13+120=118+115,所以更正前后平均分不變,且(113-110)2+(120-110)2>(118-110)2+(115-110)2,所以>.
2.(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離散程度的有(　　)
A. x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差
B. x1,x2,…,xn的中位數(shù)
C. x1,x2,…,xn的極差
D. x1,x2,…,xn的平均數(shù)
【解析】選AC.由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知,標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)無法度量數(shù)據(jù)的離散程度;由極差的定義可知,極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由平均數(shù)的定義可知,平均數(shù)無法度量數(shù)據(jù)的離散程度.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
1.(2023·天津模擬)已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn(x1A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差
【解析】選A.對(duì)于A項(xiàng),新數(shù)據(jù)的總數(shù)為++…+=x1+x2+…+xn,
與原數(shù)據(jù)總數(shù)一樣,且數(shù)據(jù)數(shù)量不變,都是n,故平均數(shù)不變,故A正確;
對(duì)于B項(xiàng),不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為1,2.5,3,中位數(shù)為2.5,則新數(shù)據(jù)為1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,顯然中位數(shù)變了,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C項(xiàng),原數(shù)據(jù)極差為xn-x1,新數(shù)據(jù)極差為-,因?yàn)?-(xn-x1)=<0,極差變小了,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D項(xiàng),由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變,而極差變小,說明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù),故方差變小,即D錯(cuò)誤.
2.某學(xué)校有男生400人,女生600人.為了調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間,采用分層抽樣的方法抽取樣本,計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為7.5小時(shí),方差為1,女生每天睡眠時(shí)間為7小時(shí),方差為0.5.若男、女樣本量按比例分配,則可估計(jì)總體方差為　　　　.
【解析】由題意,總體的均值為×7.5+×7=7.2,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì),則總體的方差為×[1+(7.5-7.2)2]+×[0.5+(7-7.2)2]=0.436+0.324=0.76.
答案:0.76

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