資源簡介

第四節　導數的綜合應用
第1課時　利用導數研究恒(能)成立問題
【命題分析】恒(能)成立問題與有解問題是高考數學的重要知識,其中不等式恒成立問題經常與導數及其幾何意義、函數、方程等知識相交匯,綜合考查學生分析問題、解決問題的能力,一般作為壓軸題出現.
【核心考點·分類突破】
考點一 不等式恒成立問題
角度1　分離參數法求參數范圍
[例1](2020·全國Ⅰ卷節選)已知函數f(x)=ex+ax2-x.當x≥0時,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范圍.
【解析】由f(x)≥x3+1得ex+ax2-x≥x3+1,其中x≥0,
①當x=0時,不等式為1≥1,顯然成立,此時a∈R.
②當x>0時,分離參數a,
得a≥-,
記g(x)=-,
g'(x)=-.
令h(x)=ex-x2-x-1(x>0),
則h'(x)=ex-x-1,
令H(x)=ex-x-1,H'(x)=ex-1>0,
故h'(x)在(0,+∞)上單調遞增,
因此h'(x)>h'(0)=0,
故函數h(x)在(0,+∞)上單調遞增,
所以h(x)>h(0)=0,
即ex-x2-x-1>0恒成立,
故當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;
當x∈(2,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.
因此,g(x)max=g(2)=,
綜上,實數a的取值范圍是[,+∞).
解題技法
分離參數法解決不等式恒成立問題的策略
(1)觀察:已知含參數λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立.
(2)轉化:將不等式轉化為g(λ)≥h(x),即將參數λ與變量x分離,可以將λ單獨分離到不等式一邊,也可以將只含有λ的一個代數式分離到不等式的一邊.
(3)求最值:求函數h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依據函數h(x)的形式確定,可以用導數法、均值不等式法、換元法、單調性法等.
(4)得結論:若h(x)的最大值為M,則g(λ)≥M恒成立;若h(x)不存在最大值,其值域為(m,M)時,g(λ)≥M恒成立.
對點訓練
(2024·湛江模擬)已知f(x)=.
若f(x)≤x-1對x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.
【解析】f(x)≤x-1恒成立,即a≥x2-(x-1)ex在[1,+∞)上恒成立,
設g(x)=x2-(x-1)ex,g'(x)=x(2-ex),
x∈[1,+∞)時,x>0,2-ex<0,所以在[1,+∞)上,g'(x)<0,
所以函數g(x)=x2-(x-1)ex在[1,+∞)上單調遞減,
所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥1,故a的取值范圍為[1,+∞).
角度2　分類討論法求參數范圍
[例2](2023·煙臺模擬)已知函數f(x)=x2+aln x.
(1)討論f(x)的單調性;
【解析】(1)因為f'(x)=2x+,x>0,
①若a≥0,則f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
②若a<0,令f'(x)=0,得x=,
當x∈(0,)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;
當x∈(,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.
綜上所述,當a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當a<0時,f(x)在(0,)上單調遞減,在(,+∞)上單調遞增.
(2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
【解析】(2)由(1)知f'(x)=(x>0),
當a>0時,f'(x)>0,所以f(x)單調遞增,
又x→0+,f(x)→-∞,
故f(x)≥0不恒成立;
當a=0時,f(x)=x2>0,符合題意;
當a<0時,f(x)在(0,)上單調遞減,在(,+∞)上單調遞增.
所以f(x)min=f()=-+aln ,
由f(x)≥0恒成立,可得-+aln ≥0,解得a≥-2e,所以-2e≤a<0.
綜上,a的取值范圍為[-2e,0].
解題技法
根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題,此類問題關鍵是對參數分類討論,在參數的每一段上求函數的最值,并判斷是否滿足題意,若不滿足題意,只需找一個值或一段內的函數值不滿足題意即可.
對點訓練
已知函數f(x)=ln x-a(x-1),a∈R,x∈[1,+∞),且f(x)≤恒成立,求a的取值范圍.
【解析】f(x)-=,
構造函數g(x)=xln x-a(x2-1)(x≥1),g'(x)=ln x+1-2ax,
令F(x)=g'(x)=ln x+1-2ax,F'(x)=.
①若a≤0,則F'(x)>0,g'(x)在[1,+∞)上單調遞增,g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,
所以g(x)在[1,+∞)上單調遞增,g(x)≥g(1)=0,從而f(x)-≥0,不符合題意.
②若00,
所以g'(x)在[1,)上單調遞增,
從而g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,
所以g(x)在[1,)上單調遞增,g(x)≥g(1)=0,
從而f(x)-≥0,不符合題意.
③若a≥,則F'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
所以g'(x)在[1,+∞)上單調遞減,
g'(x)≤g'(1)=1-2a≤0.
所以g(x)在[1,+∞)上單調遞減,
從而g(x)≤g(1)=0,f(x)-≤0,
綜上,a的取值范圍是[,+∞).
角度3　“最值法”解決不等式恒成立問題
[例3]已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)=(x-1)ex-,若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】函數f(x)的導數f'(x)=xex-ax=x(ex-a),
①若a≤1,則在(0,2]上,f'(x)>0恒成立,f(x)單調遞增,因此f(x)max=f(2)=e2-2a>3,不符合題意;
②若10,因此f(x)在(0,ln a)上單調遞減,在(ln a,2]上單調遞增,又因為f(0)=-1<3,
所以只需f(2)≤3即可,即e2-2a≤3,
解得≤a③若a≥e2,則在(0,2)上,f'(x)<0恒成立,f(x)單調遞減,因此f(x)綜上所述,實數a的取值范圍是[,+∞).
解題技法
在不等式恒成立問題中,如果不能分離參數或分離參數后的函數的最值比較難求,可以把含參不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后從研究函數的性質入手,通過討論函數的單調性和極值,直接用參數表達函數的最值,然后根據題意,建立關于參數的不等式,解不等式即得參數的取值范圍.
(1)如果f(x,a)有最小值g(a),則f(x,a)>0恒成立 g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立 g(a)≥0;
(2)如果f(x,a)有最大值g(a),則f(x,a)<0恒成立 g(a)<0,f(x,a)≤0恒成立 g(a)≤0.
對點訓練
已知函數f(x)=aln (x+1),a∈R.若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-x2恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-x2恒成立,即aln (x+1)-x+x2≥0恒成立.
令h(x)=aln (x+1)-x+x2(x≥0),
則h'(x)=-1+x=(x≥0).
①當a≥1時,h'(x)≥0恒成立,所以函數h(x)在[0,+∞)上單調遞增,
因此h(x)min=h(0)=0,所以a≥1符合條件.
②當a<1時,由h'(x)=0,x≥0,
解得x=,
當x∈(0,)時,h'(x)<0;當x∈(,+∞)時,h'(x)>0,h(x)min=h()綜上可知,實數a的取值范圍為[1,+∞).
考點二不等式能成立問題
[例4]已知函數f(x)=x2-4ln (x+1).
(1)求函數f(x)的極值;
【解析】(1)因為f(x)=x2-4ln (x+1),定義域為(-1,+∞),
所以f'(x)=2x-=.
令f'(x)=0,可得x=1或x=-2(舍去),
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得-1所以f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(-1,1).
當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表:
x (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 1-4ln 2 ↗
故當x=1時,f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=1-4ln 2,無極大值.
(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,求實數a的取值范圍.
【解析】(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,
等價于f(x)min≤a,由(1)知f(x)min=f(1)=1-4ln 2,
所以a≥1-4ln 2,即實數a的取值范圍為[1-4ln 2,+∞).
解題技法
已知不等式能成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法
(1)函數法:討論參數范圍,借助函數單調性求解.
(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數的值域或最值問題加以解決.
(3)數形結合法:先對解析式變形,進而構造兩個函數,然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,利用數形結合的方法求解.一般地,
① x∈D,使得a>f(x)有解,則只需a>f(x)min;
② x∈D,使得a對點訓練
已知函數f(x)=x2-(a+2)x+2aln x(a∈R).設函數g(x)=-(a+2)x,若至少存在一個x0∈[e,4],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數a的取值范圍.
【解析】至少存在一個x0∈[e,4],使得f(x0)>g(x0)成立,即當x∈[e,4]時,x2+2aln x>0有解.
因為當x∈[e,4]時,ln x≥1,所以2a>-有解,令h(x)=-,x∈[e,4],則2a>h(x)min.
因為h'(x)=-=-<0,所以h(x)在[e,4]上單調遞減,
所以h(x)min=h(4)=-,
所以2a>-,即a>-,
所以實數a的取值范圍為(-,+∞).第四節　導數的綜合應用
第1課時　利用導數研究恒(能)成立問題
【命題分析】恒(能)成立問題與有解問題是高考數學的重要知識,其中不等式恒成立問題經常與導數及其幾何意義、函數、方程等知識相交匯,綜合考查學生分析問題、解決問題的能力,一般作為壓軸題出現.
【核心考點·分類突破】
考點一 不等式恒成立問題
角度1　分離參數法求參數范圍
[例1](2020·全國Ⅰ卷節選)已知函數f(x)=ex+ax2-x.當x≥0時,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范圍.
解題技法
分離參數法解決不等式恒成立問題的策略
(1)觀察:已知含參數λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立.
(2)轉化:將不等式轉化為g(λ)≥h(x),即將參數λ與變量x分離,可以將λ單獨分離到不等式一邊,也可以將只含有λ的一個代數式分離到不等式的一邊.
(3)求最值:求函數h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依據函數h(x)的形式確定,可以用導數法、均值不等式法、換元法、單調性法等.
(4)得結論:若h(x)的最大值為M,則g(λ)≥M恒成立;若h(x)不存在最大值,其值域為(m,M)時,g(λ)≥M恒成立.
對點訓練
(2024·湛江模擬)已知f(x)=.
若f(x)≤x-1對x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.
角度2　分類討論法求參數范圍
[例2](2023·煙臺模擬)已知函數f(x)=x2+aln x.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
解題技法
根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題,此類問題關鍵是對參數分類討論,在參數的每一段上求函數的最值,并判斷是否滿足題意,若不滿足題意,只需找一個值或一段內的函數值不滿足題意即可.
對點訓練
已知函數f(x)=ln x-a(x-1),a∈R,x∈[1,+∞),且f(x)≤恒成立,求a的取值范圍.
角度3　“最值法”解決不等式恒成立問題
[例3]已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)=(x-1)ex-,若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求實數a的取值范圍.
解題技法
在不等式恒成立問題中,如果不能分離參數或分離參數后的函數的最值比較難求,可以把含參不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后從研究函數的性質入手,通過討論函數的單調性和極值,直接用參數表達函數的最值,然后根據題意,建立關于參數的不等式,解不等式即得參數的取值范圍.
(1)如果f(x,a)有最小值g(a),則f(x,a)>0恒成立 g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立 g(a)≥0;
(2)如果f(x,a)有最大值g(a),則f(x,a)<0恒成立 g(a)<0,f(x,a)≤0恒成立 g(a)≤0.
對點訓練
已知函數f(x)=aln (x+1),a∈R.若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-x2恒成立,求實數a的取值范圍.
考點二不等式能成立問題
[例4]已知函數f(x)=x2-4ln (x+1).
(1)求函數f(x)的極值;
(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,求實數a的取值范圍.
解題技法
已知不等式能成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法
(1)函數法:討論參數范圍,借助函數單調性求解.
(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數的值域或最值問題加以解決.
(3)數形結合法:先對解析式變形,進而構造兩個函數,然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,利用數形結合的方法求解.一般地,
① x∈D,使得a>f(x)有解,則只需a>f(x)min;
② x∈D,使得a對點訓練
已知函數f(x)=x2-(a+2)x+2aln x(a∈R).設函數g(x)=-(a+2)x,若至少存在一個x0∈[e,4],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數a的取值范圍.

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