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第3課時　導數的不等式問題
【命題分析】導數中的不等式證明經常被考查,常與函數的性質、函數的零點與極值、數列等相結合,題目難度較大,解題方法多種多樣,如構造函數法、放縮法等,針對不同的題目,采用不同的解題方法,可以達到事半功倍的效果.
【核心考點·分類突破】
考點一作差法構造函數,證明不等式
[例1]設f(x)=2xln x+1.
(1)求f(x)的最小值;
【解析】(1)f'(x)=2(ln x+1),所以當x∈(0,)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以當x=時,f(x)取得最小值f()=1-.
(2)證明:f(x)≤x2-x++2ln x.
【解析】(2)x2-x++2ln x-f(x)=x(x-1)--2(x-1)ln x=(x-1) (x--2ln x),
令g(x)=x--2ln x,則g'(x)=1+-=≥0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,又g(1)=0,所以當01時,g(x)>0,所以(x-1) (x--2ln x)≥0,
即f(x)≤x2-x++2ln x.
解題技法
　作差法構造函數,證明不等式的策略
(1)待證不等式的兩邊含有同一個變量時,一般地,可以直接構造“左減右”的函數;
(2)有時對復雜的式子要進行變形,借助所構造函數的單調性和最值求解,利用導數研究其單調性和最值.
對點訓練
　已知函數f(x)=x+xln x,求證:f(x)>3(x-1).
【證明】令g(x)=f(x)-3(x-1),
即g(x)=xln x-2x+3(x>0).
g'(x)=ln x-1,由g'(x)=0,得x=e.
由g'(x)>0,得x>e;由g'(x)<0,得0所以g(x)在(0,e)上單調遞減,在(e,+∞)上單調遞增,
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(e)=3-e>0.
于是在(0,+∞)上,都有g(x)≥g(e)>0,
所以f(x)>3(x-1).
考點二分拆函數法證明不等式
[例2]已知函數f(x)=eln x-ax(x>0).
(1)討論函數f(x)的單調性;
【解析】(1)f'(x)=-a(x>0),
①若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
②若a>0,則當00;
當x>時,f'(x)<0,所以f(x)在(0,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減.
綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a>0時,f(x)在(0,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減.
(2)當a=e時,證明:xf(x)-ex+2ex≤0.
【解析】(2)方法一:因為x>0,所以只需證f(x)≤-2e,
當a=e時,由(1)知,f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
所以f(x)max=f(1)=-e.
記g(x)=-2e(x>0),
則g'(x)=,
所以當01時,g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上單調遞減,
在(1,+∞)上單調遞增,
所以g(x)min=g(1)=-e.
綜上,當x>0時,f(x)≤g(x),即f(x)≤-2e,即xf(x)-ex+2ex≤0.
方法二:由題意知,即證exln x-ex2-ex+2ex≤0,
從而等價于ln x-x+2≤.
設函數G(x)=ln x-x+2,
則G'(x)=-1.
所以當x∈(0,1)時,G'(x)>0,
當x∈(1,+∞)時,G'(x)<0,
故G(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
從而G(x)在(0,+∞)上的最大值為g(1)=1.
設函數h(x)=,則h'(x)=.
所以當x∈(0,1)時,h'(x)<0,
當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,
故h(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
從而h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(1)=1.
綜上,當x>0時,g(x)≤h(x),即xf(x)-ex+2ex≤0.
解題技法
1.當直接求導后導數式比較復雜或無從下手時,可將待證式進行變形,構造兩個函數,從而找到可以傳遞的中間量.在證明過程中,等價轉化是關鍵,此處g(x)min≥f(x)max恒成立,從而f(x)≤g(x)恒成立.
2.等價變形的目的是求導后簡單地找到極值點,一般地,ex與ln x要分離,常構造xn與ln x,xn與ex的積、商形式.
對點訓練
證明:對一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
【證明】問題等價于證明xln x>-(x∈(0,+∞)).設f(x)=xln x,f'(x)=1+ln x,易知x=為f(x)的唯一極小值點,
則f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,當且僅當x=時取到.
設m(x)=-(x∈(0,+∞)),則m'(x)=,由m'(x)<0,得x>1時,m(x)單調遞減;
由m'(x)>0得0-成立.
考點三放縮構造函數證明不等式
[例3]f(x)=ex.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
【解析】(1)由f(x)=ex,得f(0)=1,f'(x)=ex,
則f'(0)=1,即曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y-1=x-0,
所以所求切線方程為x-y+1=0.
(2)當x>-2時,求證:f(x)>ln(x+2).
【解析】(2)設g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1(x>-2),
則g'(x)=ex-1,當-2當x>0時,g'(x)>0,
即g(x)在(-2,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,
于是當x=0時,g(x)min=g(0)=0,
因此f(x)≥x+1(當x=0時取等號).
令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),
則h'(x)=1-=,
則當-2-1時,h'(x)>0,
即h(x)在(-2,-1)上單調遞減,在(-1,+∞)上單調遞增,于是當x=-1時,h(x)min=h(-1)=0,
因此x+1≥ln(x+2)(當x=-1時取等號),所以當x>-2時,f(x)>ln(x+2).
解題技法
　放縮法證明不等式的策略
導數方法證明不等式的問題中,最常見的是ex和ln x與其他代數式結合的問題,對于這類問題,可以考慮先對ex和ln x進行放縮,使問題簡化,簡化后再構造函數進行證明.常見的放縮公式如下:
(1)ex≥1+x,當且僅當x=0時取等號;
(2)ln x≤x-1,當且僅當x=1時取等號.
對點訓練
　已知f(x)=a-ln x-1.
(1)若a=1,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
【解析】(1)當a=1時,f(x)=-ln x-1(x>0),
f'(x)=-,k=f'(1)=0,
又f(1)=0,所以切點為(1,0).
所以切線方程為y-0=0(x-1),即y=0.
(2)證明:當a≥1時,f(x)≥0.
【解析】(2)因為a≥1,所以a≥,
所以f(x)≥-ln x-1.
方法一:令φ(x)=-ln x-1(x>0),
所以φ'(x)=-,
令h(x)=-,所以h'(x)=+>0,
所以φ'(x)在(0,+∞)上單調遞增,又φ'(1)=0,
所以當x∈(0,1)時,φ'(x)<0;
當x∈(1,+∞)時,φ'(x)>0,
所以φ(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
所以φ(x)min=φ(1)=0,所以φ(x)≥0,
所以f(x)≥φ(x)≥0,即f(x)≥0.
方法二:令g(x)=ex-x-1,所以g'(x)=ex-1.
當x∈(-∞,0)時,g'(x)<0;
當x∈(0,+∞)時,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,所以g(x)min=g(0)=0,
故ex≥x+1,當且僅當x=0時取“=”.
同理可證ln x≤x-1,當且僅當x=1時取“=”.
由ex≥x+1 ≥x(當且僅當x=1時取“=”),
由x-1≥ln x x≥ln x+1(當且僅當x=1時取“=”),
所以≥x≥ln x+1,即≥ln x+1,
即-ln x-1≥0(當且僅當x=1時取“=”),
即f(x)≥0.
【加練備選】
　　 (2023·南充模擬)已知函數f(x)=ax-sin x.
(1)若函數f(x)為增函數,求實數a的取值范圍;
【解析】(1)f(x)=ax-sin x,所以f'(x)=a-cos x,
由函數f(x)為增函數,則f'(x)=a-cos x≥0恒成立,即a≥cos x在R上恒成立,
因為y=cos x∈[-1,1],所以a≥1,
即實數a的取值范圍是[1,+∞).
(2)求證:當x>0時,ex>2sin x.
【解析】(2)由(1)知,當a=1時,f(x)=x-sin x為增函數,當x>0時,f(x)>f(0)=0 x>sin x,
要證當x>0時,ex>2sin x,只需證當x>0時,
ex>2x,
即證ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立.
設g(x)=ex-2x(x>0),則g'(x)=ex-2,
令g'(x)=0解得x=ln 2,
所以g(x)在(0,ln 2)上單調遞減,在(ln 2,+∞)上單調遞增,
所以g(x)min=g(ln 2)=eln 2-2ln 2
=2(1-ln 2)>0,
所以g(x)≥g(ln 2)>0,所以ex>2x成立,故當x>0時,ex>2sin x.
重難突破 泰勒公式在比較大小的應用
　　比較大小的選擇題是近年高考的常見題型,一般情況下我們會構造函數模型代入數值進行比較和運算,但是對學生來說函數模型的選擇是非常有難度的,因此在選擇題中我們可以選擇利用泰勒公式計算近似值的辦法進行比較大小.
【教材探源】在人教A必修一教材中三角函數一章第256頁“拓廣探索”中第26題.
英國數學家泰勒給出如下公式:
sin x=x-+-+…,
cos x=1-+-+…,
其中n!=1×2×3×4×…×n.
這些公式被編入計算工具,計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.比如,用前三項計算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-+=0.955 337 5.
【教材拓展】
　下面給出高中階段常用的泰勒公式:
(1)ex=1+x+x2+…+xn+…,x∈R;
(2)sin x=x-+…+(-1)k-1+…,
x∈R;
(3)cos x=1-+…+(-1)kx2k+…,
x∈R;
(4)ln(1+x)=x-x2+…+(-1)n-1xn+…,-1(5)(1+x)a=1+ax+x2+…+xn+…,|x|<1.
類型一 利用ex、ln(1+x)的泰勒展開式比較
[例1](2022·新高考Ⅰ卷)設a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,則(　　)
A.aC.c【解析】選C.b=≈0.111,
由公式ex=1+x++…
可得e0.1≈1+0.1+=1.105,
則a=0.1e0.1≈0.110 5,
c=-ln 0.9=ln =ln(1+),
由公式ln(1+x)=x-+-…
得c=ln(1+)≈-≈0.104 9,
所以c類型二 利用sin x,cos x的泰勒展開式比較
[例2](2022·全國甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,則(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
【解析】選A.由公式sin x=x-+…
得c=4sin≈4(-)=>a,
由公式cos x=1-+-…
得b=cos≈1-+>=a,
排除BCD.
【一題多法】構造函數h(x)=1-x2-cos x,x∈[0,],則g(x)=h'(x)=-x+sin x,g'(x)
=-1+cos x≤0,
所以g(x)≤g(0)=0,因此
h(x)在[0,]上單調遞減,
所以h()=a-b==,x∈[0,]時,tan x>x,
所以>1,即bb>a.
類型三 利用ln(1+x),(1+x)a的泰勒展開式比較
[例3](2021·全國乙卷)設a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,則(　　)
A. aC. b【解析】選B.因為a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02,
所以a>b.排除A,D.根據選項B,C可知,只需比較a,c的大小即可.
由公式ln (1+x)=x-+…
得a=2ln (1+0.01)≈2×(0.01-)
≈0.02-0.000 1=0.019 9,
由公式(1+x)a=1+ax+x2+…
得c=-1≈×0.04+×0.042
≈0.02-0.000 2=0.019 8,
所以a>c.排除C.
解題技法
通過以上示例可以看出,利用泰勒公式近似計算求解難度比較大的試題確實可以提高解題速度,運用該法的難點是要利用數字特征構造對應的函數.
對點訓練
1.已知a=e0.02,b=1.02,c=ln 2.02,則(　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
【解析】選B.方法一(泰勒公式):設x=0.02,則a=e0.02=1+0.02++…,
顯然a>b>1>c.
方法二(構造函數):令f(x)=ex-(1+x),
令f'(x)=ex-1=0,得x=0,
當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0,函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,
當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
所以f(0.02)>f(0)=0,
從而e0.02>1+0.02=1.02>1>ln 2.02.
2.(2023·長春模擬)已知a=e0.1-1,b=sin 0.1,c=ln 1.1,則(　　)
A.aC.c【解析】選D.方法一(泰勒公式):設x=0.1,則a=e0.1-1=0.1++…,
b=sin 0.1=0.1-+…,
c=ln 1.1=0.1-+…,故c方法二(構造法):令f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1,當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是增函數,故f(0.1)>f(0),
即e0.1-0.1-1>0,故a=e0.1-1>0.1.
令g(x)=sin x-x,則g'(x)=cos x-1<0在(0,1)上恒成立,故g(x)=sin x-x在(0,1)上單調遞減,故g(0.1)即b=sin 0.1<0.1.
令h(x)=ln(x+1)-sin x,
則h'(x)=-cos x=,
令m(x)=1-(x+1)cos x,則m'(x)=-cos x+(x+1)sin x,
易知m'(x)在(0,)上是增函數,
且m'()=-+(1+)×=<0,
故m'(x)<0在(0,)上恒成立,
故m(x)在(0,)上是減函數,
又m(0)=1-1=0,
故m(x)<0在(0,)上恒成立,
故h'(x)<0在(0,)上恒成立,
故h(x)在(0,)上是減函數,
故h(0.1)【命題分析】導數中的不等式證明經常被考查,常與函數的性質、函數的零點與極值、數列等相結合,題目難度較大,解題方法多種多樣,如構造函數法、放縮法等,針對不同的題目,采用不同的解題方法,可以達到事半功倍的效果.
【核心考點·分類突破】
考點一作差法構造函數,證明不等式
[例1]設f(x)=2xln x+1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)證明:f(x)≤x2-x++2ln x.
解題技法
　作差法構造函數,證明不等式的策略
(1)待證不等式的兩邊含有同一個變量時,一般地,可以直接構造“左減右”的函數;
(2)有時對復雜的式子要進行變形,借助所構造函數的單調性和最值求解,利用導數研究其單調性和最值.
對點訓練
　已知函數f(x)=x+xln x,求證:f(x)>3(x-1).
考點二分拆函數法證明不等式
[例2]已知函數f(x)=eln x-ax(x>0).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)當a=e時,證明:xf(x)-ex+2ex≤0.
解題技法
1.當直接求導后導數式比較復雜或無從下手時,可將待證式進行變形,構造兩個函數,從而找到可以傳遞的中間量.在證明過程中,等價轉化是關鍵,此處g(x)min≥f(x)max恒成立,從而f(x)≤g(x)恒成立.
2.等價變形的目的是求導后簡單地找到極值點,一般地,ex與ln x要分離,常構造xn與ln x,xn與ex的積、商形式.
對點訓練
證明:對一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
考點三放縮構造函數證明不等式
[例3]f(x)=ex.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)當x>-2時,求證:f(x)>ln(x+2).
解題技法
　放縮法證明不等式的策略
導數方法證明不等式的問題中,最常見的是ex和ln x與其他代數式結合的問題,對于這類問題,可以考慮先對ex和ln x進行放縮,使問題簡化,簡化后再構造函數進行證明.常見的放縮公式如下:
(1)ex≥1+x,當且僅當x=0時取等號;
(2)ln x≤x-1,當且僅當x=1時取等號.
對點訓練
　已知f(x)=a-ln x-1.
(1)若a=1,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)證明:當a≥1時,f(x)≥0.
【加練備選】
　　 (2023·南充模擬)已知函數f(x)=ax-sin x.
(1)若函數f(x)為增函數,求實數a的取值范圍;
(2)求證:當x>0時,ex>2sin x.
重難突破 泰勒公式在比較大小的應用
　　比較大小的選擇題是近年高考的常見題型,一般情況下我們會構造函數模型代入數值進行比較和運算,但是對學生來說函數模型的選擇是非常有難度的,因此在選擇題中我們可以選擇利用泰勒公式計算近似值的辦法進行比較大小.
【教材探源】在人教A必修一教材中三角函數一章第256頁“拓廣探索”中第26題.
英國數學家泰勒給出如下公式:
sin x=x-+-+…,
cos x=1-+-+…,
其中n!=1×2×3×4×…×n.
這些公式被編入計算工具,計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.比如,用前三項計算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-+=0.955 337 5.
【教材拓展】
　下面給出高中階段常用的泰勒公式:
(1)ex=1+x+x2+…+xn+…,x∈R;
(2)sin x=x-+…+(-1)k-1+…,
x∈R;
(3)cos x=1-+…+(-1)kx2k+…,
x∈R;
(4)ln(1+x)=x-x2+…+(-1)n-1xn+…,-1(5)(1+x)a=1+ax+x2+…+xn+…,|x|<1.
類型一 利用ex、ln(1+x)的泰勒展開式比較
[例1](2022·新高考Ⅰ卷)設a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,則(　　)
A.aC.c類型二 利用sin x,cos x的泰勒展開式比較
[例2](2022·全國甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,則(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
【一題多法】構造函數h(x)=1-x2-cos x,x∈[0,],則g(x)=h'(x)=-x+sin x,g'(x)
=-1+cos x≤0,
所以g(x)≤g(0)=0,因此
h(x)在[0,]上單調遞減,
所以h()=a-b==,x∈[0,]時,tan x>x,
所以>1,即bb>a.
類型三 利用ln(1+x),(1+x)a的泰勒展開式比較
[例3](2021·全國乙卷)設a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,則(　　)
A. aC. b解題技法
通過以上示例可以看出,利用泰勒公式近似計算求解難度比較大的試題確實可以提高解題速度,運用該法的難點是要利用數字特征構造對應的函數.
對點訓練
1.已知a=e0.02,b=1.02,c=ln 2.02,則(　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
2.(2023·長春模擬)已知a=e0.1-1,b=sin 0.1,c=ln 1.1,則(　　)
A.aC.c

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