資源簡介

第一節　導數的概念及其意義、導數的運算
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.
2.通過函數圖象,理解導數的幾何意義.
3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數,能求簡單的復合函數的導數.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以導數的運算和幾何意義為重點考查內容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.
預測 預計2025年高考將會涉及導數的運算及幾何意義.以客觀題的形式考查導數的定義,求曲線的切線方程.導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.導數的概念
(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數記作f'(x0)或y'.
f'(x0)==.
(2)函數y=f(x)的導函數
f'(x)=.
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
微點撥求曲線的切線時,要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別,前者點P是切點,只有一條切線,而后者點P可以不是切點包括了前者.
3.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=α
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
4.導數的運算法則
若f'(x),g'(x)存在,則有
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[]'=(g(x)≠0);
[cf(x)]'=cf'(x).
5.復合函數的定義及其導數
(1)一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)與u=g(x)的復合函數,記作y=f(g(x)).
(2)復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=y'u·u'x,即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.
微點撥在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導,不能混淆.
常用結論
1.f'(x0)代表函數f(x)在x=x0處的導數值;(f(x0))'是函數值f(x0)的導數,則(f(x0))'=0.
2. []'=-(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個,而直線與二次函數相切只有一個公共點.
4.函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)是函數y=f(x)在x=x0附近的瞬時變化率.(　 √　)
(2)函數f(x)=sin (-x)的導數f'(x)=cos x.(　 ×　)
(3)求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0).(　 ×　)
(4)曲線y=f(x)在某點處的切線與曲線y=f(x)過某點的切線意義是相同的.(　 ×　)
提示:
(2) f(x)=sin (-x)=-sin x,則f'(x)=-cos x. ×
(3) 求f'(x0)時,應先求f'(x),再代入求值. ×
(4) “在某點”的切線是指以該點為切點的切線,因此此點橫坐標處的導數值為切線的斜率;而對于“過某點”的切線,則該點不一定是切點,要利用解方程組的思想求切線的方程,在曲線上某點處的切線只有一條,但過某點的切線可以不止一條. ×
2.(2023·全國甲卷)曲線y=在點(1,)處的切線方程為(　　)
A.y=x B.y=x　
C.y=x+ D.y=x+
【解析】選C.設曲線y=在點(1,)處的切線方程為y-=k(x-1),
因為y=,
所以y'==,
所以k=,
所以y-=(x-1),
所以曲線y=在點(1,)處的切線方程為y=x+.
3.(選擇性必修二·P81T6·變形式)已知函數f(x)滿足f(x)=f'()cos x-sin x,則f'()=________.
【解析】f'(x)=-f'()sin x-cos x,
令x=,得f'()=-f'()-,
解得f'()=1-.
答案:1-
4.(混淆在點P處的切線和過P點的切線)已知曲線y=aex+xln x在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則a的值為________;b的值為________.
【解析】y'=aex+ln x+1,
所以
解得
答案:　-1
【核心考點·分類突破】
考點一平均變化率與瞬時變化率及導數的概念
1.如圖,函數y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]這幾個區間內,平均變化率最大的一個區間是(　　)
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x1,x3] D.[x3,x4]
【解析】選D.由平均變化率的定義可知,函數y=f(x)在區間[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]上的平均變化率分別為,,,,結合題圖可以發現函數y=f(x)的平均變化率最大的一個區間是[x3,x4].
2.(多選題)已知某物體的運動方程為s(t)=7t2+8(0≤t≤5),則(　　)
A.當1≤t≤3時,該物體的平均速度是28
B.該物體在t=4時的瞬時速度是56
C.該物體位移的最大值為43
D.該物體在t=5時的瞬時速度是70
【解析】選ABD.當1≤t≤3時,該物體的平均速度是==28,A正確;
==(56+7·Δt)=56,B正確;
當t=5時,s(5)=7×52+8=183,C錯誤;
==(70+7·Δt)=70,D正確.
3.(2023·晉城模擬)若函數f(x)在x=1處的導數為2,則=(　　)
A.2 B.1 C. D.6
【解析】選B.由函數f(x)在x=1處的導數為2,得f'(1)=2,所以
==f'(1)=1.
4.已知函數y=f(x),若f'(x0)=-3,則=________.
【解析】依題意,得=f'(x0)=-3.
答案:-3
5.如圖,函數f(x)的圖象是折線段f(x),其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則=__________.
【解析】由題圖可得在x∈[0,2]上,函數圖象上每一點處的斜率都是=-2.
由導數的幾何意義知=-2.
答案:-2
解題技法
1.函數的平均變化率和瞬時變化率的關系
(1)平均變化率=,當Δx趨近于0時,所趨于的一個常數就是函數在x=x0處的瞬時變化率,即函數的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解.
(2)平均變化率和瞬時變化率都是用來刻畫函數變化快慢的,絕對值越大,函數變化越快.
2.求函數y=f(x)在點x0處導數的步驟
(1)求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)得導數f'(x0)=,簡記作:一差、二比、三極限.
考點二導數的運算
1.(多選題)下列導數的運算中錯誤的是(　　)
A.(3x)'=3xln 3
B.(x2ln x)'=2xln x+x
C. ()'=
D.(sin xcos x)'=cos 2x
【解析】選C.因為()'=,
所以C項錯誤,其余運算都正確.
2.已知f(x)=cos 2x+,則f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2 B.sin 2x+
C.2sin 2x+2 D.-sin 2x+
【解析】選A.f'(x)=-2sin 2x+2.
3.(2023·濟南模擬)已知f(x)=2xln x-f'(1)x,則f(e)=(　　)
A.e B.0 C.-e D.-1
【解析】選A.f'(x)=2ln x+2-f'(1),令x=1,得f'(1)=2ln 1+2-f'(1),解得f'(1)=1,
所以f(x)=2xln x-x,f(e)=2eln e-e=e.
4.求下列函數的導數.
(1)y=(3x3-4x)(2x+1);
【解析】(1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)
=6x4+3x3-8x2-4x,
所以y'=24x3+9x2-16x-4.
方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2
=24x3+9x2-16x-4.
(2)y=x2sin x;
【解析】(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
(3)y=ln ;
【解析】(3)y'=·()'=.
(4)y=.
【解析】(4)y'=()'==-.
解題技法
導數的運算技巧
(1)連乘積形式函數式求導:先展開化為多項式的形式,再求導.
(2)分式形式函數式求導:觀察函數的結構特征,先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導.
(3)對數形式函數式求導:先化為和、差的形式,再求導.
(4)根式形式函數式求導:先化為分數指數冪的形式,再求導.
(5)三角形式函數式求導:先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導.
考點三導數的幾何意義
角度1　求切線方程
[例1](1)金榜原創·易錯對對碰
已知曲線f(x)=x3-4x2+5x-4.
①曲線在點(2,f(2))處的切線方程為____________________;
②曲線過點(2,f(2))的切線方程為______________________.
【解析】①因為f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,
又f(2)=-2,所以曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
答案:x-y-4=0
②設切點坐標為(x0,-4+5x0-4),
因為f'(x0)=3-8x0+5,所以切線方程為y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2),
又切線過點(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
所以經過點(2,-2)的曲線f(x)的切線方程為x-y-4=0或y+2=0.
答案:x-y-4=0或y+2=0
(2)(2023·臨沂模擬)函數f(x)=xln(-x),則曲線y=f(x)在x=-e處的切線方程為________.
【解析】易得切點為(-e,-e),
f'(x)=ln(-x)+1,則f'(-e)=2,所以切線方程為y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.
答案:2x-y+e=0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln |x|過坐標原點的兩條切線的方程分別為______________,______________.
【解析】因為y=ln |x|,當x>0時y=ln x,設切點為(x0,ln x0),由y'=,所以y'=,所以切線方程為y-ln x0=(x-x0),又切線過坐標原點,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切線方程為y-1=(x-e),即y=x;
當x<0時y=ln(-x),設切點為(x1,ln(-x1)),由y'=,所以y'=,
所以切線方程為y-ln(-x1)=(x-x1),
又切線過坐標原點,所以-ln(-x1)=(-x1),解得x1=-e,所以切線方程為y-1=(x+e),即y=-x.
答案:y=x　y=-x
解題技法
求曲線過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:
第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));
第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;
第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.
角度2　求切點坐標
[例2](1)已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】選A.設切點坐標為(x0,y0),且x0>0,由y'=x-,得切線斜率k=x0-=2,所以x0=3.
(2)(2023·貴陽模擬)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數,且曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線與直線x+y=0垂直,則切點P(x0,f(x0))的坐標為________.
【解析】因為f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)為奇函數,
所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切點P(x0,f(x0))的坐標為(0,0).
答案:(0,0)
解題技法
求切點坐標的思路
(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.
(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯立方程組求出切點坐標.
角度3　求參數的值(范圍)
[例3](1)(2023·重慶模擬)已知a為非零實數,直線y=x+1與曲線y=aln(x+1)相切,則a=________.
【解析】設切點坐標為(t,aln(t+1)),對函數y=aln(x+1)求導得y'=,
所以解得t=e-1,a=e.
答案:e
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是____________.
【解析】因為y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,
設切點為(x0,y0),則y0=(x0+a),切線斜率k=(x0+1+a),切線方程為:y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0),
因為切線過原點,
所以-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0),
整理得+ax0-a=0,
因為切線有兩條,所以Δ=a2+4a>0,
解得a<-4或a>0,
故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
解題技法
利用導數的幾何意義求參數的方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.
提醒:(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.
對點訓練
1.(2023·大同模擬)已知函數f(x)=2e2ln x+x2,則曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為(　　)
A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0
C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0
【解析】選B.因為f(x)=2e2ln x+x2,所以f'(x)=+2x,
所以f(e)=2e2ln e+e2=3e2,f'(e)=4e,
所以曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.
2.(2023·瀘州模擬)已知曲線y=在點(π,-)處的切線方程為y=x+b,則a的值是(　　)
A. B.-2 C.- D.2
【解析】選D.令y=f(x)=,則f'(x)=,曲線在點(π,-)處的切線的斜率為f'(π)==,解得a=2.
3.設a∈R,函數f(x)=ex+是偶函數,若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點的橫坐標為__________.
【解析】由f(x)為偶函數,易得a=1.
所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.
設切點為(x0,y0),則f'(x0)=-=,解得x0=ln 2.
答案:ln 2
重難突破 兩曲線的公切線問題的求法
解決兩曲線的公切線問題的兩種方法
(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切,列出關系式求解.
(2)設公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=.
類型一 求兩曲線的公切線
[例1](2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y=ex-1與y=ln x+1的公共切線,則l的方程為________________.
【解析】直線l與曲線y=ex-1相切,設切點為(a,ea-1),y'=ex,切線的斜率為ea,切線方程為y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直線l與y=ln x+1相切,
設切點為(b,ln b+1),y'=,切線的斜率為,切線方程為y-ln b-1=(x-b),即y=x+ln b.直線l是曲線y=ex-1與y=ln x+1的公共切線,可得
解得或
所以l的方程為y=ex-1或y=x.
答案:y=ex-1或y=x
類型二 切點相同的公切線問題
[例2](2023·金華模擬)已知函數f(x)=ax2與g(x)=ln x的圖象在公共點處有共同的切線,則實數a的值為________.
【解析】設公共點為P(x0,y0)(x0>0),則a=ln x0.
由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,
由g(x)=ln x,得g'(x)=.
因為函數f(x)與g(x)的圖象在公共點P(x0,y0)處有共同的切線,所以f'(x0)=g'(x0),
即2ax0=,得a=,
所以·=ln x0,即ln x0=,得x0=,
所以a===.
答案:
類型三 切點不同的公切線問題
[例3]若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=__________.
【解析】y=ln x+2的切線為y=·x+ln x1+1(設切點橫坐標為x1),
y=ln(x+1)的切線為y=x+ln(x2+1)-(設切點橫坐標為x2),
所以
解得x1=,x2=-,
所以b=ln x1+1=1-ln 2.
答案:1-ln 2
對點訓練
1.若曲線f(x)=acos x與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(0,m)處有公切線,則a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】選C.依題意得,f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,解得b=0.
又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1.
2.(一題多法)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=______.
【解析】方法一:因為y=x+ln x,
所以y'=1+,y'|x=1=2,
所以曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.
因為y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,
所以a≠0(當a=0時曲線變為y=2x+1與已知直線平行).
由
消去y,得ax2+ax+2=0.
由Δ=a2-8a=0,解得a=8.
方法二:同方法一得切線方程為y=2x-1.
設y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切于點(x0,a+(a+2)x0+1).
因為y'=2ax+a+2,所以y'=2ax0+a+2.
由解得
答案:8
3.若曲線C1:y=ax2(a>0)與曲線C2:y=ex存在公共切線,則a的取值范圍為____________.
【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax,
由y=ex得y'=ex.
設公切線與曲線C1切于點(x1,a),與曲線C2切于點(x2,),
則2ax1==,可得2x2=x1+2,
所以a=.
因為a>0,所以x1>0,記f(x)=(x>0),
則f'(x)=,
當x∈(0,2)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;
當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.
所以當x=2時,f(x)min=>0,
所以a的取值范圍為[,+∞).
答案: [,+∞)第一節　導數的概念及其意義、導數的運算
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.
2.通過函數圖象,理解導數的幾何意義.
3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數,能求簡單的復合函數的導數.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以導數的運算和幾何意義為重點考查內容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.
預測 預計2025年高考將會涉及導數的運算及幾何意義.以客觀題的形式考查導數的定義,求曲線的切線方程.導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.導數的概念
(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數記作f'(x0)或y'.
f'(x0)==.
(2)函數y=f(x)的導函數
f'(x)=.
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
微點撥求曲線的切線時,要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別,前者點P是切點,只有一條切線,而后者點P可以不是切點包括了前者.
3.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=α
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
4.導數的運算法則
若f'(x),g'(x)存在,則有
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[]'=(g(x)≠0);
[cf(x)]'=cf'(x).
5.復合函數的定義及其導數
(1)一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)與u=g(x)的復合函數,記作y=f(g(x)).
(2)復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=y'u·u'x,即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.
微點撥在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導,不能混淆.
常用結論
1.f'(x0)代表函數f(x)在x=x0處的導數值;(f(x0))'是函數值f(x0)的導數,則(f(x0))'=0.
2. []'=-(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個,而直線與二次函數相切只有一個公共點.
4.函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)是函數y=f(x)在x=x0附近的瞬時變化率.(　　)
(2)函數f(x)=sin (-x)的導數f'(x)=cos x.(　　)
(3)求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0).(　　)
(4)曲線y=f(x)在某點處的切線與曲線y=f(x)過某點的切線意義是相同的.(　　)
2.(2023·全國甲卷)曲線y=在點(1,)處的切線方程為(　　)
A.y=x B.y=x　
C.y=x+ D.y=x+
3.(選擇性必修二·P81T6·變形式)已知函數f(x)滿足f(x)=f'()cos x-sin x,則f'()=________.
4.(混淆在點P處的切線和過P點的切線)已知曲線y=aex+xln x在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則a的值為________;b的值為________.
【核心考點·分類突破】
考點一平均變化率與瞬時變化率及導數的概念
1.如圖,函數y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]這幾個區間內,平均變化率最大的一個區間是(　　)
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x1,x3] D.[x3,x4]
2.(多選題)已知某物體的運動方程為s(t)=7t2+8(0≤t≤5),則(　　)
A.當1≤t≤3時,該物體的平均速度是28
B.該物體在t=4時的瞬時速度是56
C.該物體位移的最大值為43
D.該物體在t=5時的瞬時速度是70
3.(2023·晉城模擬)若函數f(x)在x=1處的導數為2,則=(　　)
A.2 B.1 C. D.6
4.已知函數y=f(x),若f'(x0)=-3,則=________.
5.如圖,函數f(x)的圖象是折線段f(x),其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則=__________.
解題技法
1.函數的平均變化率和瞬時變化率的關系
(1)平均變化率=,當Δx趨近于0時,所趨于的一個常數就是函數在x=x0處的瞬時變化率,即函數的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解.
(2)平均變化率和瞬時變化率都是用來刻畫函數變化快慢的,絕對值越大,函數變化越快.
2.求函數y=f(x)在點x0處導數的步驟
(1)求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)得導數f'(x0)=,簡記作:一差、二比、三極限.
考點二導數的運算
1.(多選題)下列導數的運算中錯誤的是(　　)
A.(3x)'=3xln 3
B.(x2ln x)'=2xln x+x
C. ()'=
D.(sin xcos x)'=cos 2x
2.已知f(x)=cos 2x+,則f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2 B.sin 2x+
C.2sin 2x+2 D.-sin 2x+
3.(2023·濟南模擬)已知f(x)=2xln x-f'(1)x,則f(e)=(　　)
A.e B.0 C.-e D.-1
4.求下列函數的導數.
(1)y=(3x3-4x)(2x+1);
(2)y=x2sin x;
(3)y=ln ;
(4)y=.
解題技法
導數的運算技巧
(1)連乘積形式函數式求導:先展開化為多項式的形式,再求導.
(2)分式形式函數式求導:觀察函數的結構特征,先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導.
(3)對數形式函數式求導:先化為和、差的形式,再求導.
(4)根式形式函數式求導:先化為分數指數冪的形式,再求導.
(5)三角形式函數式求導:先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導.
考點三導數的幾何意義
角度1　求切線方程
[例1](1) 易錯對對碰
已知曲線f(x)=x3-4x2+5x-4.
①曲線在點(2,f(2))處的切線方程為____________________;
②曲線過點(2,f(2))的切線方程為______________________.
(2)(2023·臨沂模擬)函數f(x)=xln(-x),則曲線y=f(x)在x=-e處的切線方程為________.
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln |x|過坐標原點的兩條切線的方程分別為______________,______________.
解題技法
求曲線過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:
第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));
第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;
第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.
角度2　求切點坐標
[例2](1)已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
(2)(2023·貴陽模擬)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數,且曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線與直線x+y=0垂直,則切點P(x0,f(x0))的坐標為________.
解題技法
求切點坐標的思路
(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.
(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯立方程組求出切點坐標.
角度3　求參數的值(范圍)
[例3](1)(2023·重慶模擬)已知a為非零實數,直線y=x+1與曲線y=aln(x+1)相切,則a=________.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是____________.
解題技法
利用導數的幾何意義求參數的方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.
提醒:(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.
對點訓練
1.(2023·大同模擬)已知函數f(x)=2e2ln x+x2,則曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為(　　)
A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0
C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0
2.(2023·瀘州模擬)已知曲線y=在點(π,-)處的切線方程為y=x+b,則a的值是(　　)
A. B.-2 C.- D.2
3.設a∈R,函數f(x)=ex+是偶函數,若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點的橫坐標為__________.
重難突破 兩曲線的公切線問題的求法
解決兩曲線的公切線問題的兩種方法
(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切,列出關系式求解.
(2)設公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=.
類型一 求兩曲線的公切線
[例1](2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y=ex-1與y=ln x+1的公共切線,則l的方程為________________.
類型二 切點相同的公切線問題
[例2](2023·金華模擬)已知函數f(x)=ax2與g(x)=ln x的圖象在公共點處有共同的切線,則實數a的值為________.
類型三 切點不同的公切線問題
[例3]若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=__________.
對點訓練
1.若曲線f(x)=acos x與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(0,m)處有公切線,則a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(一題多法)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=______.
3.若曲線C1:y=ax2(a>0)與曲線C2:y=ex存在公共切線,則a的取值范圍為____________.

展開更多......

收起↑