資源簡介

第三節　三角恒等變換
第1課時　兩角和與差的三角函數
【課標解讀】
【課程標準】
1.經歷推導兩角差余弦公式的過程,知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查兩角和與差的三角函數;三角函數化簡求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 高考可能會與三角恒等變換結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
　常用結論
兩角和與差的公式的常用變形:
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β=1-=-1.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　)
(2)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　)
(3)兩角和與差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　)
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值無關.(　　)
提示:當α=β=0時,sin(α+β)=sin α+sin β,所以(1)正確;由兩角和與差的正弦、余弦、正切公式成立的條件可知,(2)正確,(3)錯誤;由輔助角公式可知,asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值有關,所以(4)錯誤.
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.(必修第一冊P219例4改條件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】選D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sinβ,則(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
【解析】選C.方法一:因為sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+β+)=2cos(α+)sin β,
即sin(α+β+)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+)cos β+sin βcos(α+)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+)cos β-sin βcos(α+) =0,
所以sin(α+-β) =0,所以α+-β=kπ,k∈Z,
所以α-β=kπ-,
所以tan(α-β)=-1.
方法二:由題意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,
即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,
所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,
故tan(α-β)=-1.
4.(記錯公式形式導致錯誤)若將sin x-cos x寫成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,則φ=　　　　.
【解析】因為sin x-cos x=2(sin x-cos x),
所以cos φ=,sin φ=,
因為0≤φ<π,所以φ=.
答案:
【核心考點·分類突破】
考點一兩角和與差的三角函數公式的基本應用
[例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,則sin(α+)=(　　)
A. B.- C.- D.
【解析】選B.因為α是第三象限角,所以sin α<0,
且sin α=-=-=-,
因此,sin(α+)=sin αcos+cos αsin =
(-)×+(-)×=-.
(2)(2024·湛江模擬)已知cos α+cos(α-)=1,則cos(α-)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.因為cos α+cos(α-)=1,
所以cos α+cos α+sin α=cos α+sin α
=(cos α+sin α)
=cos(α-)=1,
所以cos(α-)=.
(3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=,
則tan (α-β)的值為(　　)
A.- B. C. D.-
【解析】選A.因為α∈(,π),所以cos α=-,
tan α=-,又tan (π-β)=,所以tan β=-,
所以tan (α-β)=
==-.
解題技法
(1)兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣,可用α,β的三角函數表示α±β的三角函數.
(2)在使用兩角和與差的三角函數公式時,特別要注意角與角之間的關系,完成統一角和角與角轉換的目的.
對點訓練
1.已知sin α=sin(α+)+,則cos(α+)的值為(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】選B.由sin α=sin(α+)+,得sin α=sin αcos+cos αsin +=sin α+cos α+,則cos α-sin α=-,即cos(α+)=
-.
2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,則tan (α+β)=　　　　.
【解析】因為cos(α+)=cos α-sin α
=cos α,所以-sin α=cos α,故tan α=-,
所以tan (α+β)==
==-.
答案:-
【加練備選】
　　　(2020·全國Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,則sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.因為sin θ+sin(θ+)
=sin(θ+-)+sin(θ++)
=sin(θ+)cos-cos(θ+)sin +sin(θ+)cos +cos(θ+)sin
=2sin(θ+)cos =sin(θ+)=1,
所以sin(θ+)=.
考點二兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
角度1　公式的逆用
[例2](1)(2024·武漢模擬)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　)
A. B. C. D.1
【解析】選B.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°
=sin (180°-71°)cos (360°-64°)+cos 71°sin 64°
=sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin (71°+64°)=sin 135°=.
(2)(2024·梧州模擬)=(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】選A.==
tan(+)=tan=tan(π-)=-tan =-.
解題技法
　逆用公式化簡計算的技巧
(1)熟記和差倍角公式的結構特征及符號規律,分析所求值式子與公式的異同,必要時對其進行轉化、變形、常數替換等,創造條件逆用公式.
(2)注意誘導公式在調整角的大小與函數名稱中的合理應用.
角度2　公式的靈活應用
[例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,則tan Atan B的值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.因為C=120°,所以tan C=-.
因為A+B=π-C,
所以tan (A+B)=-tan C,
所以tan (A+B)=,
tan A+tan B=(1-tan Atan B),
又因為tan A+tan B=,
所以tan Atan B=.
(2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=　　　　.
【解析】因為sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
所以sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,②
①②兩式相加可得
sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,所以sin (α+β)=-.
答案:-
(3)若α+β=-,則(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.
【解析】tan(-)=tan(α+β)==1,所以1-tan αtan β=tan α+tan β,
所以1+tan α+tan β+tan αtan β=2,
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
答案:2
[變式]若將本例(1)的條件改為tan Atan B=tan A+tan B+1,則C等于　　　　.
【解析】在△ABC中,因為tan Atan B=tan A+tan B+1,所以tan (A+B)==-1=-tan C,所以tan C=1,所以C=45°.
答案:45°
解題技法
　公式變形應用的技巧
兩角和與差的正切公式及其變形將tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者聯系在一起,已知其中的兩個或兩個之間的關系,即可求出另外一個的值.
角度3　輔助角公式的運用
[例4]化簡:
(1)3cos x+3sin x;
【解析】(1)原式=3(cos x+sin x)
=3cos(x-).
(2)sin-cos ;
【解析】(2)方法一:原式=2(sin-cos)
=2(sinsin-coscos)
=-2cos(+)=-2cos =-.
方法二:原式=2(sin-cos)
=2(cossin-sincos)
=-2sin(-)
=-2sin =-.
(3)3sin x+3cos x.
【解析】(3)3sin x+3cos x
=6(sin x+cos x)
=6(sin xcos+cos xsin)
=6sin(x+).
解題技法
輔助角公式及其應用
1.輔助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),這里輔助角φ所在的象限由a,b的符號確定,角φ由tan φ=確定,其推導過程如下:
asin x+bcos x
=(sin x+cos x),
令cos φ=,sin φ=,
則原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ).
2.公式應用技巧:在輔助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,當|a|=|b|時,一般可引入輔助角φ=;當||=或||=時,一般可引入輔助角φ=或.
對點訓練
1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值為(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】選B.由兩角差的余弦公式,得cos (α-35°)·cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos (-60°)=.
2.若α+β=,則tan αtan β-tan α-tan β的值為　　　　.
【解析】因為α+β=,所以tan (α+β)==tan(π-)=-,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan αtan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)=
tan αtan β+-tan αtan β=.
答案:
3.(2022·北京高考)若函數f(x)=Asin x-cos x的一個零點為,則A=　　　　;f()=　　　　.
【解析】依題意得f(=A×-×=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-cos x=2sin(x-),所以f()=2sin(-)=-.
答案:1　-
考點三角的變換問題
[例5](1)(2024·株洲模擬)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,則tan θ=(　　)
A.2 B. C.3 D.
【解析】選C.因為θ∈(0,),所以-<θ-<,故cos(θ-)==,所以sin θ=sin[(θ-)+]=[sin(θ-)+cos(θ-) ]=,故cos θ==,
因此tan θ==3.
(2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,則sin (α-β)的值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.由題意可得α+∈(,π),
β-∈(-,0),
所以cos(α+)=-,sin(β-)=-,
所以sin (α-β)=-sin[ (α+)-(β-) ]
=-×+(-)×(-)
=.
解題技法
　常用的拆角、配角技巧
①2α=(α+β)+(α-β);
②α=(α+β)-β=(α-β)+β;
③β=-=(α+2β)-(α+β);
④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等.
對點訓練
1.(2024·煙臺模擬)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,則tan (π-2α)=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解析】選B.因為2α=(α+β)+(α-β),所以tan 2α===1.
又tan (π-2α)=-tan 2α,所以tan (π-2α)=-1.
2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,則sin α=　　　　,cos β=　　　　.
【解析】因為0<α<,且tan α=,
所以sin α=,cos α=,
由0<α<<β<π,
則0<β-α<π,
又因為cos (β-α)=,
則sin (β-α)=,
所以cos β=cos [(β-α)+α]
=cos (β-α)cos α-sin (β-α)sin α
=×-×=-.
答案:　-第三節　三角恒等變換
第1課時　兩角和與差的三角函數
【課標解讀】
【課程標準】
1.經歷推導兩角差余弦公式的過程,知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查兩角和與差的三角函數;三角函數化簡求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 高考可能會與三角恒等變換結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
　常用結論
兩角和與差的公式的常用變形:
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β=1-=-1.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　)
(2)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　)
(3)兩角和與差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　)
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值無關.(　　)
2.(必修第一冊P219例4改條件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)
A.- B. C.- D.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sinβ,則(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
4.(記錯公式形式導致錯誤)若將sin x-cos x寫成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,則φ=　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一兩角和與差的三角函數公式的基本應用
[例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,則sin(α+)=(　　)
A. B.- C.- D.
(2)(2024·湛江模擬)已知cos α+cos(α-)=1,則cos(α-)等于(　　)
A. B. C. D.
(3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=,
則tan (α-β)的值為(　　)
A.- B. C. D.-
解題技法
(1)兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣,可用α,β的三角函數表示α±β的三角函數.
(2)在使用兩角和與差的三角函數公式時,特別要注意角與角之間的關系,完成統一角和角與角轉換的目的.
對點訓練
1.已知sin α=sin(α+)+,則cos(α+)的值為(　　)
A. B.- C. D.-
2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,則tan (α+β)=　　　　.
【加練備選】
　　　(2020·全國Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,則sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
考點二兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
角度1　公式的逆用
[例2](1)(2024·武漢模擬)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　)
A. B. C. D.1
(2)(2024·梧州模擬)=(　　)
A.- B. C.- D.
解題技法
　逆用公式化簡計算的技巧
(1)熟記和差倍角公式的結構特征及符號規律,分析所求值式子與公式的異同,必要時對其進行轉化、變形、常數替換等,創造條件逆用公式.
(2)注意誘導公式在調整角的大小與函數名稱中的合理應用.
角度2　公式的靈活應用
[例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,則tan Atan B的值為(　　)
A. B. C. D.
(2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=　　　　.
(3)若α+β=-,則(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.
[變式]若將本例(1)的條件改為tan Atan B=tan A+tan B+1,則C等于　　　　.
解題技法
　公式變形應用的技巧
兩角和與差的正切公式及其變形將tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者聯系在一起,已知其中的兩個或兩個之間的關系,即可求出另外一個的值.
角度3　輔助角公式的運用
[例4]化簡:
(1)3cos x+3sin x;
(2)sin-cos ;
(3)3sin x+3cos x.
輔助角公式及其應用
1.輔助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),這里輔助角φ所在的象限由a,b的符號確定,角φ由tan φ=確定,其推導過程如下:
asin x+bcos x
=(sin x+cos x),
令cos φ=,sin φ=,
則原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ).
2.公式應用技巧:在輔助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,當|a|=|b|時,一般可引入輔助角φ=;當||=或||=時,一般可引入輔助角φ=或.
對點訓練
1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值為(　　)
A.- B. C.- D.
2.若α+β=,則tan αtan β-tan α-tan β的值為　　　　.
3.(2022·北京高考)若函數f(x)=Asin x-cos x的一個零點為,則A=　　　　;f()=　　　　.
考點三角的變換問題
[例5](1)(2024·株洲模擬)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,則tan θ=(　　)
A.2 B. C.3 D.
(2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,則sin (α-β)的值為(　　)
A. B. C. D.
解題技法
　常用的拆角、配角技巧
①2α=(α+β)+(α-β);
②α=(α+β)-β=(α-β)+β;
③β=-=(α+2β)-(α+β);
④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等.
對點訓練
1.(2024·煙臺模擬)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,則tan (π-2α)=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,則sin α=　　　　,cos β=　　　　.

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