資源簡介

第2課時　簡單的三角恒等變換
【課標解讀】
【課程標準】
　能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式,并進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查二倍角公式、升冪降冪公式、半角公式;三角函數求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 高考可能單獨考查,也可能與三角函數的圖象與性質、向量等知識綜合考查,選擇題、填空題、解答題中均有可能出現.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=.
2.半角公式
sin =±,
cos =±,
tan =±==.
　常用結論
1.降冪公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=.
2.升冪公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式實質就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.(　　)
(2)存在實數α,使tan 2α=2tan α.(　　)
(3)cos2=.(　　)
(4)tan ==.(　　)
提示:由半角公式、二倍角公式可知,(1)正確;
因為當α=0時,tan 2α=2tan α=0,所以(2)正確;
因為由二倍角公式可知:cos θ=2cos2-1,所以cos2=,因此(3)錯誤;
因為tan ===,tan ===,所以(4)正確.
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.(必修第一冊P223練習5改條件)cos2-cos2 =(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.因為cos =sin (-)=sin,
所以cos2-cos2=cos2-sin2
=cos (2×)=cos=.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cos α=,則sin =(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.cos α=,則cos α=1-2sin2,
故2sin2=1-cos α=,即sin2===,
因為α為銳角,所以sin >0,
所以sin =.
4.(忽視隱含條件)已知2sin α=1+cos α,則tan =(　　)
A.2 B.
C.2或不存在 D.或不存在
【解析】選D.當α=kπ+π(k∈Z)時,滿足2sin α=1+cos α,此時tan 不存在;當α≠kπ+π(k∈Z)時,tan ==.
【核心考點·分類突破】
考點一三角函數式的化簡
[例1](1)函數f(x)=sin2x+sin xcos x-可以化簡為(　　)
A.f(x)=sin (2x-) B.f(x)=sin (2x-)
C.f(x)=sin (2x+) D.f(x)=sin (2x+)
【解析】選B.f(x)=sin2x+sin xcos x-
=+sin 2x-
=sin 2x-cos 2x=sin (2x-).
(2)若α∈(0,),tan 2α=,則tan α等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.解法一:因為tan 2α==,且tan 2α=,
所以=,解得sin α=.
因為α∈(0,),
所以cos α=,tan α==.
解法二:因為tan 2α====,且tan 2α=,
所以=,解得sin α=.
因為α∈(0,),
所以cos α=,tan α==.
(3)已知sin α+cos α=,則sin2 (α-)=　　　　.
【解析】因為sin α+cos α=,
兩邊同時平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
即sin 2α=,
由降冪公式可知sin2 (α-)===-sin 2α=.
答案:
解題技法
三角函數式化簡的解題策略
(1)從三角函數名、角以及冪的差異三方面入手進行適當變形,結合所給的“形”的特征求解;
(2)注意弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪升冪.
對點訓練
1.化簡:=　　　　　.
【解析】原式=
==
==cos 2x.
答案:cos 2x
2.化簡:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=　　　　.
【解析】原式=·+·-cos 2αcos 2β
=+
-cos 2α·cos 2β
=+cos 2αcos 2β-cos 2αcos 2β=.
答案:
【加練備選】
　　　化簡:=　　　　.
【解析】
==
=4sin α.
答案:4sin α
考點二三角函數式的求值
角度1　給角求值
[例2](1)sin 18°cos 36°=　　　　.
【解析】(1)原式=
===.
(2)cos4-sin4=　　　　.
【解析】(2)原式= (cos2-sin2) (cos2+sin2)=cos2-sin2=cos=.
(3)-=　　　　.
【解析】(3)原式=
===2.
答案:(1)　(2)　(3)2
解題技法
　給角求值問題的解題思路
給角求值問題往往給出的角是非特殊角,求值時要注意:
(1)觀察角:分析角之間的差異,巧用誘導公式或拆分;
(2)觀察函數名:盡可能使函數名統一;
(3)觀察結構:利用公式,整體化簡.
角度2　給值求值
[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,則cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】選B.因為sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.
(2)(一題多法)已知sin (α-)=,π<α<,則cos (2α-)=　　　　.
【解析】因為sin (α-)=,<α-<π,
所以cos (α-)=-.
解法一:因為cos α=cos[(α-)+]
=cos (α-)cos-sin (α-)sin
=-×-×=-,
sin α=sin[(α-)+]
=sin (α-)cos +cos (α-)sin
=×-×=-,
所以cos (2α-)=cos[(α-)+α]
=cos (α-)cos α-sin (α-)sin α
=-×(-)-×(-)=.
解法二:cos (2α-)
=cos 2αcos +sin 2αsin
=(cos 2α+sin 2α),
cos 2α=-sin (2α-)=-sin 2 (α-)
=-2sin (α-)cos (α-)
=-2××(-)=,
sin 2α=cos (2α-)=1-2sin2 (α-)
=1-2×=,
所以原式=×(+)=.
答案:
解題技法
　給值求值問題的解題關鍵
(1)解題關鍵:給值求值問題的解題關鍵在于“變角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解時一定要注意角的范圍的討論.
(2)注意下列變換:
sin 2x=cos (-2x)=-cos (+2x),
cos 2x=sin (-2x)=sin (+2x).
提醒:以上變換,結合二倍角公式可將2x的三角函數與±x的三角函數聯系在一起.
角度3　 給值求角
[例4](1)已知α為銳角,且sin α·(-tan 10°)=1,則α=　　　　.
【解析】由已知得sin α===
====sin 40°.
由于α為銳角,所以α=40°.
答案:40°
(2)已知sin α=,cos β=,且α,β為銳角,則α+2β=　　　　.
【解析】因為sin α=,且α為銳角,
所以cos α===,
因為cos β=,且β為銳角,
所以sin β===,
那么sin 2β=2sin βcos β=2××=,
cos 2β=1-2sin2β=1-2×()2=,
所以cos (α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=,
因為α∈(0,),β∈(0,),所以2β∈(0,π).
所以α+2β∈(0,),故α+2β=.
答案:
解題技法
　給值求角的原則
(1)已知正切函數值:選正切函數求解.
(2)已知正、余弦函數值:選正弦或余弦函數.若角的范圍是(0,),選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為(-,),選正弦較好.
對點訓練
1.(2023·濰坊模擬)已知α∈(0,),且3cos 2α+sin α=1,則(　　)
A.sin (π-α)=
B.cos (π-α)=-
C.sin (+α)=-
D.cos (+α)=-
【解析】選A.因為3cos 2α+sin α=1,α∈(0,),
所以3(1-2sin2α)+sin α=1,
即6sin2α-sin α-2=0,
所以sin α=或sin α=-(舍去),
所以cos α=,sin(π-α)=sin α=,
cos(π-α)=-cos α=-,
sin (+α)=cos α=,
cos (+α)=-sin α=-,
只有A項正確.
2.在三角形中,底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形,它是兩底角為72°的等腰三角形.達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中,在整個畫面里形成了一個黃金三角形.如圖,在黃金△ABC中,=,根據這些信息,可得sin 54°等于(　　)
A. B. C.　D.
【解析】選B.由題設,可得cos 72°=1-2sin236°=,又因為cos236°+sin236°=1,
所以cos236°=,又cos 36°∈(,),
所以cos 36°=cos(90°-54°)=sin 54°=.
3.已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,則2α-β的值為　　　　.
【解析】因為tan α=tan [(α-β)+β]
===>0,
所以0<α<.
又因為tan 2α===>0,
所以0<2α<.
所以tan (2α-β)===1.
因為tan β=-<0,
所以<β<π,-π<2α-β<0.
所以2α-β=-.
答案:-
考點三 三角恒等變換的應用
教考銜接 教材情境·研習·典題類
[例5](必修第一冊P227·例10)
如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大 并求出這個最大面積.
【解析】在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α.
在Rt△OAD中,=tan =.
OA=DA=BC=sin α,
AB=OB-OA=cos α-sin α.
設矩形ABCD的面積為S,則
S=AB·BC=(cos α-sin α)sin α
=sin αcos α-sin2α=sin2α-(1-cos2α)
=sin2α+cos2α-
=(sin2α+cos2α)-
=sin(2α+)-.
由0<α<,得<2α+<,
所以當2α+=,即α=時,
S最大=-=.因此,當α=時,矩形ABCD的面積最大,最大面積為.
解題導思
看問題 三角恒等變換中的最值問題
提信息 半徑OP=1,圓心角∠POQ=,矩形ABCD內接于扇形,∠POC=α
定思路 借助角α并利用三角函數,把矩形ABCD的長和寬表示出來,確定矩形 ABCD 面積的表達式,最后利用三角恒等變換和三角函數的性質確定最大面積
高考鏈接
　(2024·保定模擬)已知扇形POQ的半徑為2,∠POQ=,如圖所示,在此扇形中截出一個內接矩形ABCD(點B,C在弧上),則矩形ABCD面積的最大值為 　　　　　.
【解析】作∠POQ的平分線OE,交AD于F,BC于E,連接OC,
根據題意可知△AOD為等邊三角形,則E為BC的中點,F為AD的中點,
設∠COE=α,α∈(0,),
CE=OCsin α=2sin α,則AD=BC=2CE=4sin α,
則OF=AD=2sin α,OE=OCcos α=2cos α,則AB=2cos α-2sin α,
所以矩形ABCD的面積S=BC·AB
=4sin α(2cos α-2sin α)=4sin2α+4cos2α-4=8sin(2α+)-4,
當2α+=,即α=時,S取得最大值8-4,
所以矩形ABCD面積的最大值為8-4.
答案:8-4
[溯源點評]兩題的區別在于扇形內接矩形 ABCD的方式不同,考慮該問題是否能轉化為更簡單的、熟悉的問題來解決.根據圖形的對稱性,作∠POQ的平分線,分別交 AD,BC 于點 F,E,從而使整個問題又回到教材中的問題.第2課時　簡單的三角恒等變換
【課標解讀】
【課程標準】
　能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式,并進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查二倍角公式、升冪降冪公式、半角公式;三角函數求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 高考可能單獨考查,也可能與三角函數的圖象與性質、向量等知識綜合考查,選擇題、填空題、解答題中均有可能出現.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=.
2.半角公式
sin =±,
cos =±,
tan =±==.
　常用結論
1.降冪公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=.
2.升冪公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式實質就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.(　　)
(2)存在實數α,使tan 2α=2tan α.(　　)
(3)cos2=.(　　)
(4)tan ==.(　　)
2.(必修第一冊P223練習5改條件)cos2-cos2 =(　　)
A. B. C. D.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cos α=,則sin =(　　)
A. B. C. D.
4.(忽視隱含條件)已知2sin α=1+cos α,則tan =(　　)
A.2 B.
C.2或不存在 D.或不存在
【核心考點·分類突破】
考點一三角函數式的化簡
[例1](1)函數f(x)=sin2x+sin xcos x-可以化簡為(　　)
A.f(x)=sin (2x-) B.f(x)=sin (2x-)
C.f(x)=sin (2x+) D.f(x)=sin (2x+)
(2)若α∈(0,),tan 2α=,則tan α等于(　　)
A. B. C. D.
(3)已知sin α+cos α=,則sin2 (α-)=　　　　.
解題技法
三角函數式化簡的解題策略
(1)從三角函數名、角以及冪的差異三方面入手進行適當變形,結合所給的“形”的特征求解;
(2)注意弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪升冪.
對點訓練
1.化簡:=　　　　　.
2.化簡:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=　　　　.
【加練備選】
　　　化簡:=　　　　.
考點二三角函數式的求值
角度1　給角求值
[例2](1)sin 18°cos 36°=　　　　.
(2)cos4-sin4=　　　　.
(3)-=　　　　.
解題技法
　給角求值問題的解題思路
給角求值問題往往給出的角是非特殊角,求值時要注意:
(1)觀察角:分析角之間的差異,巧用誘導公式或拆分;
(2)觀察函數名:盡可能使函數名統一;
(3)觀察結構:利用公式,整體化簡.
角度2　給值求值
[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,則cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
(2)(一題多法)已知sin (α-)=,π<α<,則cos (2α-)=　　　　.
解題技法
　給值求值問題的解題關鍵
(1)解題關鍵:給值求值問題的解題關鍵在于“變角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解時一定要注意角的范圍的討論.
(2)注意下列變換:
sin 2x=cos (-2x)=-cos (+2x),
cos 2x=sin (-2x)=sin (+2x).
提醒:以上變換,結合二倍角公式可將2x的三角函數與±x的三角函數聯系在一起.
角度3　 給值求角
[例4](1)已知α為銳角,且sin α·(-tan 10°)=1,則α=　　　　.
(2)已知sin α=,cos β=,且α,β為銳角,則α+2β=　　　　.
解題技法
　給值求角的原則
(1)已知正切函數值:選正切函數求解.
(2)已知正、余弦函數值:選正弦或余弦函數.若角的范圍是(0,),選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為(-,),選正弦較好.
對點訓練
1.(2023·濰坊模擬)已知α∈(0,),且3cos 2α+sin α=1,則(　　)
A.sin (π-α)=
B.cos (π-α)=-
C.sin (+α)=-
D.cos (+α)=-
2.在三角形中,底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形,它是兩底角為72°的等腰三角形.達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中,在整個畫面里形成了一個黃金三角形.如圖,在黃金△ABC中,=,根據這些信息,可得sin 54°等于(　　)
A. B. C.　D.
3.已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,則2α-β的值為　　　　.
考點三 三角恒等變換的應用
教考銜接 教材情境·研習·典題類
[例5](必修第一冊P227·例10)
如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大 并求出這個最大面積.
解題導思
看問題 三角恒等變換中的最值問題
提信息 半徑OP=1,圓心角∠POQ=,矩形ABCD內接于扇形,∠POC=α
定思路 借助角α并利用三角函數,把矩形ABCD的長和寬表示出來,確定矩形 ABCD 面積的表達式,最后利用三角恒等變換和三角函數的性質確定最大面積
高考鏈接
　(2024·保定模擬)已知扇形POQ的半徑為2,∠POQ=,如圖所示,在此扇形中截出一個內接矩形ABCD(點B,C在弧上),則矩形ABCD面積的最大值為 　　　　　.
[溯源點評]兩題的區別在于扇形內接矩形 ABCD的方式不同,考慮該問題是否能轉化為更簡單的、熟悉的問題來解決.根據圖形的對稱性,作∠POQ的平分線,分別交 AD,BC 于點 F,E,從而使整個問題又回到教材中的問題.

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