資源簡介

第四節　三角函數的圖象與性質
【課標解讀】
【課程標準】
1.能畫出三角函數的圖象.
2.了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上,正切函數在(-,)上的性質.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以函數、圖象為載體,考查三角函數定義域、值域以及圖象與性質;三角函數的圖象與性質是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 2025年高考對于三角函數圖象與性質的考查仍是一個重點,主要是以選擇題或填空題為主,難度不是很大,但要注意三角恒等變換與這部分的結合,因此需要掌握各種公式和圖象.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
在正弦函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,0), (,1),(π,0), (,-1),(2π,0).
在余弦函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,1), (,0),(π,-1), (,0),(2π,1).
微點撥 函數y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五個關鍵點的橫坐標是零點和極值點(最值點).
2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(表中k∈Z)
函數 y=sin x y=cos x y=tan x
圖象
定義域 R R {x|x≠kπ+ }
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增 區間 [-+2kπ, +2kπ] [-π+2kπ,2kπ] (-+kπ, +kπ)
遞減 區間 [+2kπ, +2kπ] [2kπ,π+2kπ] 無
對稱 中心 (kπ,0) (+kπ,0) (,0)
對稱軸 方程 x=+kπ x=kπ 無
微點撥
(1)寫單調區間時,不要忘記k∈Z;
(2)y=tan x無單調遞減區間;
(3)正切函數的圖象是由直線x=kπ+(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的.
　常用結論
1.三角數的對稱性與周期性的結論
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期.
2.三角函數的奇偶性結論
若f(x)=Asin (ωx+φ)(A,ω≠0),則
(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z).
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)余弦函數y=cos x的對稱軸是y軸.(　　)
(2)正切函數y=tan x在定義域內是增函數.(　　)
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(　　)
(4)y=sin|x|是偶函數.(　　)
2.(2023·天津高考)已知函數f(x)的一條對稱軸為直線x=2,一個周期為4,則f(x)的解析式可能為(　　)
A.sin(x) B.cos(x)
C.sin(x) D.cos(x)
3.(忽視系數的符號致誤)下列區間中,函數f(x)=7sin(-x)的單調遞減區間是(　　)
A. (0,) B. (,π) C. (π,) D. (,2π)
4.(必修第一冊P213習題T4改編)函數y=3-
2cos(x+)的最大值為　　　,此時x=　　　　　　　　　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一三角函數的定義域
1.函數y=的定義域為(　　)
A. [-,]
B. [kπ-,kπ+](k∈Z)
C. [2kπ-,2kπ+](k∈Z)
D.R
2.函數f(x)=-2tan(2x+)的定義域是(　　)
A. {x|x≠}
B. {x|x≠kπ+,k∈Z}
C. {x|x≠-}
D. {x|x≠+,k∈Z}
3.函數y=的定義域為　　　　.
4.函數y=lg sin x+的定義域為　　　　.
解題技法
三角函數有關定義域的求法
　根據函數解析式特征列出與三角函數有關的不等式,借助三角函數性質及圖象求解.
提醒:涉及與正切函數有關的定義域,要注意正切函數本身的定義域.
考點二三角函數的值域(最值)
[例1](1)函數f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值為(　　)
A. B. C. D.1
(2)當x∈[,]時,函數y=3-sin x-2cos2x的值域為　　　　　.
(3)函數y=sin x-cos x+sin xcos x的值域為　　　　.
解題技法
　求解三角函數的值域(最值)常見的類型
(1)形如y=asin ωx+bcos ωx+c:化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c:可先設sin x=t,化為關于t的二次函數求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c:可先設t=sin x±cos x,化為關于t的二次函數求值域(最值).
對點訓練
1.函數y=tan(x-),x∈(-,)的值域為(　　)
A.(-,1) B. (-1,)
C.(1,) D. (,1)
2.函數f(x)=sin x+cos(x+)的值域為(　　)
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D. [-,]
3.(2024·重慶模擬)函數g(x)=sin 2x-sin(x+)(x∈R)的值域為　　　　.
【加練備選】
　　　已知函數f(x)=4sin(2x-)+1的定義域是[0,m],值域為[-1,5],則m的最大值是(　　)
A. B. C. D.
考點三三角函數的周期性
1.(多選題)下列函數中,最小正周期為π的是(　　)
A.y=cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
2.已知函數f(x)=cos (π-x)-cos(+x)+1,則函數f(x)的最小正周期為(　　)
A. B. C.π D.2π
3.函數f(x)=的最小正周期為(　　)
A. B. C.π D.2π
4.已知函數f(x)的最小正周期為π,且在(,)上單調遞減,則f(x)=　　　　.(寫出符合條件的一個答案即可)
解題技法
　求三角函數周期的一般方法
(1)公式法:函數y=Asin (ωx+φ)與y=Acos (ωx+φ)的最小正周期為T=,y=Atan (ωx+φ)的最小正周期為T=.
(2)圖象法:求含有絕對值符號的三角函數的周期時可畫出函數的圖象,通過觀察圖象得出周期.
(3)定義法:對于較特殊的函數,可用周期的定義檢驗函數的最小正周期.
考點四三角函數的奇偶性與對稱性
考情提示
三角函數的周期性、奇偶性、對稱性是高考考查的重要內容,且這三種性質的考查往往融合為一體,多以“小而活”的客觀題形式出現.
角度1　奇偶性及應用
[例2](1)下列函數中,定義域為R且最小正周期為π的偶函數是(　　)
A.f(x)=sin xcos x 　　B.f(x)=tan x
C.f(x)=cos2x-sin2x 　　D.f(x)=|sin 2x|
(2)(2024·茂名模擬)已知f(x)=sin(x-α)+cos x是奇函數,則tan α=　　　　　.
解題技法
　三角函數奇偶性應用技巧
(1)可結合常用結論判斷奇偶性;
(2)若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))為奇函數,則當x=0時,y=0;若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))為偶函數,則當x=0時,y取最大值或最小值.
角度2　三角函數的對稱性
[例3](1)(2024·濟南模擬)已知函數f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期為π,則f(x)的圖象關于(　　)
A.直線x=對稱 B.直線x=對稱
C.點(,0)對稱 D.點(,0)對稱
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)記函數f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期為T.若A.1 B. C. D.3
.
解題技法
　三角函數對稱性應用技巧
(1)思路:函數y=Asin (ωx+φ)圖象的對稱軸和對稱中心可結合y=sin x圖象的對稱軸和對稱中心求解.
(2)方法:利用整體代換的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即對稱軸方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即對稱中心的橫坐標(縱坐標為0).對于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用類似的方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的圖象無對稱軸).
對點訓練
1.函數f(x)=2sin 2(+x)-1是(　　)
A.最小正周期為2π的奇函數
B.最小正周期為π的偶函數
C.最小正周期為2π的偶函數
D.最小正周期為π的奇函數
2.已知函數f(x)=2sin(x+θ+)(θ∈[-,])是偶函數,則θ的值為　　　　.
考點五三角函數的單調性
角度1　求三角函數的單調區間
[例4](1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列區間中,函數f(x)=7sin(x-)單調遞增的區間是(　　)
A. B.
C. D.
(2)函數y=3tan(-)的單調遞減區間為　　　　　　　　　　.
角度2　根據單調性求參數
[例5](1)(2023·荊州模擬)已知函數f(x)=sin 2x+cos 2x在[π-m,m]上單調遞減,則m的最大值為(　　)
A. B. C. D.
(2)已知ω>0,函數f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調遞減,則ω的取值范圍是　　　　　.
解題技法
1.形如y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的單調區間求法
將ωx+φ看作一個整體,結合y=sin x的性質求解,若ω<0時,先利用誘導公式將x的系數化為正數.
2.已知單調區間求參數范圍的兩種方法
(1)求出原函數的相應單調區間,由已知區間是所求某區間的子集,列不等式(組)求解.
(2)由所給區間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集,列不等式(組)求解.
對點訓練
1.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數,則a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
【加練備選】
　　已知函數f(x)=cos(ωx-)(ω>0)的圖象在區間[0,π]上有且僅有3條對稱軸,則ω的取值范圍是(　　)
A. (,] B. (,]
C. [,) D. [,)
2.若函數f(x)=tan(ωx+)在[-,]上單調遞減,且在[-,]上的最大值為,則ω=　　　　. 第四節　三角函數的圖象與性質
【課標解讀】
【課程標準】
1.能畫出三角函數的圖象.
2.了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上,正切函數在(-,)上的性質.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以函數、圖象為載體,考查三角函數定義域、值域以及圖象與性質;三角函數的圖象與性質是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 2025年高考對于三角函數圖象與性質的考查仍是一個重點,主要是以選擇題或填空題為主,難度不是很大,但要注意三角恒等變換與這部分的結合,因此需要掌握各種公式和圖象.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
在正弦函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,0), (,1),(π,0), (,-1),(2π,0).
在余弦函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,1), (,0),(π,-1), (,0),(2π,1).
微點撥 函數y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五個關鍵點的橫坐標是零點和極值點(最值點).
2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(表中k∈Z)
函數 y=sin x y=cos x y=tan x
圖象
定義域 R R {x|x≠kπ+ }
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增 區間 [-+2kπ, +2kπ] [-π+2kπ,2kπ] (-+kπ, +kπ)
遞減 區間 [+2kπ, +2kπ] [2kπ,π+2kπ] 無
對稱 中心 (kπ,0) (+kπ,0) (,0)
對稱軸 方程 x=+kπ x=kπ 無
微點撥
(1)寫單調區間時,不要忘記k∈Z;
(2)y=tan x無單調遞減區間;
(3)正切函數的圖象是由直線x=kπ+(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的.
　常用結論
1.三角數的對稱性與周期性的結論
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期.
2.三角函數的奇偶性結論
若f(x)=Asin (ωx+φ)(A,ω≠0),則
(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z).
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)余弦函數y=cos x的對稱軸是y軸.(　　)
提示:(1)余弦函數y=cos x的對稱軸有無窮多條,y軸只是其中的一條.
(2)正切函數y=tan x在定義域內是增函數.(　　)
提示: (2)正切函數y=tan x在每一個區間(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函數,但在定義域內不是單調函數,故不是增函數.
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(　　)
提示: (3)當k>0時,ymax=k+1;當k<0時,ymax=-k+1.
(4)y=sin|x|是偶函數.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2023·天津高考)已知函數f(x)的一條對稱軸為直線x=2,一個周期為4,則f(x)的解析式可能為(　　)
A.sin(x) B.cos(x)
C.sin(x) D.cos(x)
【分析】由已知結合正弦函數及余弦函數的對稱性及周期公式分別檢驗各選項即可判斷.
【解析】選B.若f(x)=sin(x),則T==4,
令x=+kπ,k∈Z,則x=1+2k,k∈Z,顯然x=2不是對稱軸,故A不符合題意;
若f(x)=cos(x),則T==4,
令x=kπ,k∈Z,則x=2k,k∈Z,
故x=2是一條對稱軸,B符合題意;
f(x)=sin(x),則T==8,故C不符合題意;
f(x)=cos(x),則T==8,故D不符合題意.
【點評】本題主要考查了正弦及余弦函數的對稱性及周期性,屬于基礎題.
3.(忽視系數的符號致誤)下列區間中,函數f(x)=7sin(-x)的單調遞減區間是(　　)
A. (0,) B. (,π) C. (π,) D. (,2π)
【解析】選A.f(x)=7sin(-x)=-7sin(x-),
因此函數f(x)=7sin(-x)的單調遞減區間即為函數y=7sin(x-)的單調遞增區間.
令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得
-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
取k=0,則-≤x≤.
因為(0,) [-,,
所以(0,)是函數f(x)的單調遞減區間.
4.(必修第一冊P213習題T4改編)函數y=3-
2cos(x+)的最大值為　　　,此時x=　　　　　　　　　　　　.
【解析】函數y=3-2cos(x+)的最大值為3+2=5,此時x+=π+2kπ(k∈Z),
即x=+2kπ(k∈Z).
答案:5　+2kπ(k∈Z)
【核心考點·分類突破】
考點一三角函數的定義域
1.函數y=的定義域為(　　)
A. [-,]
B. [kπ-,kπ+](k∈Z)
C. [2kπ-,2kπ+](k∈Z)
D.R
【解析】選C.由cos x-≥0,得cos x≥,
所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
2.函數f(x)=-2tan(2x+)的定義域是(　　)
A. {x|x≠}
B. {x|x≠kπ+,k∈Z}
C. {x|x≠-}
D. {x|x≠+,k∈Z}
【解析】選D.由2x+≠kπ+(k∈Z),得x≠+(k∈Z).
3.函數y=的定義域為　　　　.
【解析】要使函數有意義,必須使sin x-cos x≥0.利用圖象,在同一坐標系中畫出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的圖象,如圖所示.在[0,2π]內,滿足sin x=cos x的x為,,再結合正弦、余弦函數的周期是2π,所以原函數的定義域為{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
答案: [2kπ+,2kπ+](k∈Z)
4.函數y=lg sin x+的定義域為　　　　.
【解析】使函數有意義,則有
即
解得(k∈Z),
所以2kπ所以函數的定義域為{x|2kπ答案: {x|2kπ解題技法
三角函數有關定義域的求法
　根據函數解析式特征列出與三角函數有關的不等式,借助三角函數性質及圖象求解.
提醒:涉及與正切函數有關的定義域,要注意正切函數本身的定義域.
考點二三角函數的值域(最值)
[例1](1)函數f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值為(　　)
A. B. C. D.1
【解析】選B.因為f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x=sin xcos x(sin2x-cos2x)=-sin 2xcos 2x=
-sin 4x,
所以f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值為.
(2)當x∈[,]時,函數y=3-sin x-2cos2x的值域為　　　　　.
【解析】因為x∈[,],
所以sin x∈[-,1].
又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2(sin x-)2+,
所以當sin x=時,ymin=,
當sin x=-或sin x=1時,ymax=2.
即函數的值域為[,2].
答案: [,2]
(3)函數y=sin x-cos x+sin xcos x的值域為　　　　.
【解析】設t=sin x-cos x,
則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
sin xcos x=,且-≤t≤.
所以y=-+t+=-(t-1)2+1.
當t=1時,ymax=1;
當t=-時,ymin=--.
所以函數的值域為[--,1].
答案: [--,1]
解題技法
　求解三角函數的值域(最值)常見的類型
(1)形如y=asin ωx+bcos ωx+c:化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c:可先設sin x=t,化為關于t的二次函數求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c:可先設t=sin x±cos x,化為關于t的二次函數求值域(最值).
對點訓練
1.函數y=tan(x-),x∈(-,)的值域為(　　)
A.(-,1) B. (-1,)
C.(1,) D. (,1)
【解析】選A.設z=x-,因為x∈(-,),
所以z∈(-,),因為正切函數y=tan z在
(-,)上單調遞增,且tan(-)=-,
tan =1,所以tan z∈(-,1).
2.函數f(x)=sin x+cos(x+)的值域為(　　)
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D. [-,]
【解析】選C.f(x)=sin x+cos(x+)=sin x+cos x-sin x=cos x+sin x=cos(x-).
因為x∈R,所以cos(x-)∈[-1,1],
所以函數f(x)的值域為[-1,1].
3.(2024·重慶模擬)函數g(x)=sin 2x-sin(x+)(x∈R)的值域為　　　　.
【解析】g(x)=sin xcos x-(sin xcos +cos xsin )=sin xcos x-(sin x+cos x).
令t=sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],
則g(x)=-t=(t-1)2-1∈[-1,+].
答案: [-1,+]
【加練備選】
　　　已知函數f(x)=4sin(2x-)+1的定義域是[0,m],值域為[-1,5],則m的最大值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.因為x∈[0,m],所以2x-∈[-,2m-].因為f(x)的值域為[-1,5],所以≤2m-≤,解得≤m≤,所以m的最大值為.
考點三三角函數的周期性
1.(多選題)下列函數中,最小正周期為π的是(　　)
A.y=cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
【解析】選ABC.A中,y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期為π;B中,由圖象知y=|cos x|的最小正周期為π;C中,y=cos(2x+)的最小正周期
T==π;D中,y=tan(2x-)的最小正周期
T=.
2.已知函數f(x)=cos (π-x)-cos(+x)+1,則函數f(x)的最小正周期為(　　)
A. B. C.π D.2π
【解析】選D.由題意得f(x)=cos (π-x)+cos(+x)+1=-cos x-sin x+1=-sin(x+)+1,則T==2π.
3.函數f(x)=的最小正周期為(　　)
A. B. C.π D.2π
【解析】選C.由已知,得f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以函數f(x)的最小正周期為T==π.
4.已知函數f(x)的最小正周期為π,且在(,)上單調遞減,則f(x)=　　　　.(寫出符合條件的一個答案即可)
【解析】因為函數f(x)=cos 2x的最小正周期為π,且在(,)上單調遞減,所以f(x)=cos 2x.
答案:cos 2x(答案不唯一)
解題技法
　求三角函數周期的一般方法
(1)公式法:函數y=Asin (ωx+φ)與y=Acos (ωx+φ)的最小正周期為T=,y=Atan (ωx+φ)的最小正周期為T=.
(2)圖象法:求含有絕對值符號的三角函數的周期時可畫出函數的圖象,通過觀察圖象得出周期.
(3)定義法:對于較特殊的函數,可用周期的定義檢驗函數的最小正周期.
考點四三角函數的奇偶性與對稱性
考情提示
三角函數的周期性、奇偶性、對稱性是高考考查的重要內容,且這三種性質的考查往往融合為一體,多以“小而活”的客觀題形式出現.
角度1　奇偶性及應用
[例2](1)下列函數中,定義域為R且最小正周期為π的偶函數是(　　)
A.f(x)=sin xcos x 　　B.f(x)=tan x
C.f(x)=cos2x-sin2x 　　D.f(x)=|sin 2x|
【解析】選C.對于A,C,D,觀察得函數定義域都為R,即定義域關于原點對稱.對于B,定義域為{x|x≠+kπ,k∈Z},所以排除B;對于A,因為f(x)=sin 2x,
所以f(x)的最小正周期為π,又f(-x)=sin (-x)cos (-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)是奇函數,所以排除A;對于C,因為f(x)=cos 2x,所以f(x)的最小正周期為π,又f(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2x=f(x),所以f(x)是偶函數,所以C正確;對于D,f(x)的最小正周期為,所以排除D.
(2)(2024·茂名模擬)已知f(x)=sin(x-α)+cos x是奇函數,則tan α=　　　　　.
【解析】因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0,即sin (-α)+cos 0=0,解得sin α=,所以cos α=±,此時f(x)=sin xcos α-cos xsin α+cos x=sin xcos α=±sin x,是奇函數,所以tan α=±1.
答案:±1
解題技法
　三角函數奇偶性應用技巧
(1)可結合常用結論判斷奇偶性;
(2)若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))為奇函數,則當x=0時,y=0;若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))為偶函數,則當x=0時,y取最大值或最小值.
角度2　三角函數的對稱性
[例3](1)(2024·濟南模擬)已知函數f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期為π,則f(x)的圖象關于(　　)
A.直線x=對稱 B.直線x=對稱
C.點(,0)對稱 D.點(,0)對稱
【解析】選B.因為函數f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期為π,由T=,得ω=1,
即f(x)=2sin(2x-),f()=1≠2,故直線x=不是對稱軸, (,0)也不是對稱中心.
因為f()=2,所以直線x=是對稱軸, (,0)不是對稱中心.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)記函數f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期為T.若A.1 B. C. D.3
【解析】選A.由函數的最小正周期T滿足又因為函數圖象關于點對稱,
所以ω+=kπ,k∈Z,且b=2,
所以ω=-+k,k∈Z,
所以ω=,f(x)=sin+2,
所以f=sin+2=1.
解題技法
　三角函數對稱性應用技巧
(1)思路:函數y=Asin (ωx+φ)圖象的對稱軸和對稱中心可結合y=sin x圖象的對稱軸和對稱中心求解.
(2)方法:利用整體代換的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即對稱軸方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即對稱中心的橫坐標(縱坐標為0).對于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用類似的方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的圖象無對稱軸).
對點訓練
1.函數f(x)=2sin 2(+x)-1是(　　)
A.最小正周期為2π的奇函數
B.最小正周期為π的偶函數
C.最小正周期為2π的偶函數
D.最小正周期為π的奇函數
【解析】選D.f(x)=2sin 2(+x)-1=-[1-2sin 2(+x) ]=-cos(+2x)=sin 2x,可得f(x)的最小正周期為=π.
因為f(-x)=sin (-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函數,所以f(x)是最小正周期為π的奇函數.
2.已知函數f(x)=2sin(x+θ+)(θ∈[-,])是偶函數,則θ的值為　　　　.
【解析】因為函數f(x)為偶函數,
所以θ+=kπ+(k∈Z).
又θ∈[-,],
所以θ+=,解得θ=,經檢驗符合題意.
答案:
考點五三角函數的單調性
角度1　求三角函數的單調區間
[例4](1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列區間中,函數f(x)=7sin(x-)單調遞增的區間是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選A.當x-∈時,函數單調遞增,即x∈,k∈Z,令k=0,x∈(-,),因為(0,) (-,),故A正確.
(2)函數y=3tan(-)的單調遞減區間為　　　　　　　　　　.
【解析】y=3tan(-)=-3tan(-),
由kπ-<-解得4kπ-π故函數的單調遞減區間為(4kπ-π,4kπ+π)(k∈Z).
答案: (4kπ-π,4kπ+π)(k∈Z)
角度2　根據單調性求參數
[例5](1)(2023·荊州模擬)已知函數f(x)=sin 2x+cos 2x在[π-m,m]上單調遞減,則m的最大值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),令+2kπ≤2x+≤+2kπ,
解得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
因為π-m,則π-m<,
故,
解得所以m的最大值為.
(2)已知ω>0,函數f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調遞減,則ω的取值范圍是　　　　　.
【解析】由0,
得+<ωx+<ωπ+,
因為y=sin x的單調遞減區間為[2kπ+,2kπ+],k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z,且2k+>0,k∈Z,
解得k=0,所以ω∈[,].
答案: [,]
解題技法
1.形如y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的單調區間求法
將ωx+φ看作一個整體,結合y=sin x的性質求解,若ω<0時,先利用誘導公式將x的系數化為正數.
2.已知單調區間求參數范圍的兩種方法
(1)求出原函數的相應單調區間,由已知區間是所求某區間的子集,列不等式(組)求解.
(2)由所給區間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集,列不等式(組)求解.
對點訓練
1.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數,則a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
【解析】選A.解法一:f(x)=cos x-sin x=
cos(x+),且函數y=cos x在區間[0,π]上單調遞減,則由0≤x+≤π,得-≤x≤.
因為f(x)在[-a,a]上是減函數,所以解得0解法二:因為f(x)=cos x-sin x,
所以f'(x)=-sin x-cos x,則由題意,知f'(x)=-sin x-cos x≤0在[-a,a]上恒成立,即sin x+cos x≥0,即sin(x+)≥0在[-a,a]上恒成立,結合函數
y=sin(x+)的圖象有
解得0【加練備選】
　　已知函數f(x)=cos(ωx-)(ω>0)的圖象在區間[0,π]上有且僅有3條對稱軸,則ω的取值范圍是(　　)
A. (,] B. (,]
C. [,) D. [,)
【解析】選C.f(x)=cos(ωx-)(ω>0),令ωx-=kπ,k∈Z,則x=,k∈Z,函數f(x)的圖象在區間[0,π]上有且僅有3條對稱軸,即0≤≤π有三個整數k符合,由0≤≤π,可得0≤≤1,可得0≤1+4k≤4ω,則k=0,1,2,即1+4×2≤4ω<1+4×3,所以≤ω<.
2.若函數f(x)=tan(ωx+)在[-,]上單調遞減,且在[-,]上的最大值為,則ω=　　　　.
【解析】因為函數f(x)=tan(ωx+)在[-,]上單調遞減,所以ω<0,≥,則-≤ω<0,又因為函數f(x)在[-,]上的最大值為,所以-ω+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z,所以ω=-.
答案:-

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