資源簡介

第五節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)的應(yīng)用
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義;能借助圖象理解參數(shù)ω,φ,A的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.
2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題,體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查y=Asin(ωx+φ)的圖象、圖象變換以及與它有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題;三角函數(shù)圖象、圖象變換以及與其他知識(shí)交匯是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
預(yù)測 2025年高考對(duì)函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用的考查,仍然是命題的熱點(diǎn),可能會(huì)與三角函數(shù)式的求值、化簡相結(jié)合.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.用“五點(diǎn)法”畫y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)特征點(diǎn)
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
微點(diǎn)撥用“五點(diǎn)法”作圖時(shí),相鄰兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的距離都是周期的.
2.函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑
由y=sin ωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的變換為向左平移個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.
3.簡諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T= f== ωx +φ φ
　常用結(jié)論
1.函數(shù)y=Asin (ωx+φ)+k圖象平移的規(guī)律:“左加右減,上加下減”.
2.由y=sin ωx到y(tǒng)=sin (ωx+φ)(ω>0,φ>0)的變換:向左平移個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值為A,最小值為-A.(　　)
(2)函數(shù)y=sin 2x向右平移個(gè)單位長度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)=sin(2x-).(　　)
(3)把y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,所得函數(shù)解析式為y=sin x.(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為.(　　)
提示:因?yàn)橹挥挟?dāng)A>0時(shí),
y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值為A,最小值為-A,所以(1)錯(cuò)誤;
因?yàn)楹瘮?shù)y=sin 2x向右平移個(gè)單位長度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)=sin(2x-),所以(2)錯(cuò)誤;
因?yàn)榘褃=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,所得函數(shù)解析式為y=sin 2x,所以(3)錯(cuò)誤;
因?yàn)楹瘮?shù)y=Acos(ωx+φ)相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為半個(gè)周期,所以(4)正確.
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2021·全國乙卷)把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(x-)的圖象,則f(x)等于(　　)
A.sin(-) B.sin(+)
C.sin(2x-) D.sin(2x+)
【解析】選B.依題意,將y=sin(x-)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=sin(x+-)=sin(x+)的圖象,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,得到f(x)的圖象,即f(x)=sin(x+).
3.(必修第一冊P241T4改條件)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為　　　　　.
【解析】從題圖可知:T=-=,
所以T=π,ω=2,又因?yàn)?×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),
又因?yàn)?<|φ|<π,所以φ=-,
顯然A=2,因此y=2sin(2x-).
答案:y=2sin(2x-)
4.(混淆ω值的影響)函數(shù)y=cos x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到的圖象解析式為y=cos ωx,則ω的值為(　　)
A.3 B. C.9 D.
【解析】選B.函數(shù)y=cos x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到的圖象解析式為y=cosx,所以ω=.
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作y=Asin (ωx+φ)的圖象
[例1]用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=sin+cos 的圖象,并指出這個(gè)函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間.
【解析】y=sin +cos =2sin(+),
令M=+,則列表如下:
M 0 π 2π
x -
y=2sin M 0 2 0 -2 0
在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的五點(diǎn),用平滑的曲線連接起來,向兩端伸展一下,如圖所示.
從圖象觀察知該函數(shù)的周期為T=-(-)=4π.
[-+4kπ,+4kπ](k∈Z)為單調(diào)遞增區(qū)間,
[+4kπ,+4kπ](k∈Z)為單調(diào)遞減區(qū)間.
解題技法
　用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的簡圖的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x.
(2)通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象,其中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為,f(0)=1.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
【解析】(1)若f(x1)=2,f(x2)=0,即x1是f(x)的最大值點(diǎn),x2是f(x)的零點(diǎn),且|x1-x2|的最小值為,設(shè)f(x)的最小正周期為T,
則=,即T==π,解得ω=2.
由f(0)=1,得f(0)=2sin φ=1,即有sin φ=,所以φ=+2kπ(k∈Z)或φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=.綜上所述,f(x)=2sin(2x+),令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)請(qǐng)完成表格并利用五點(diǎn)畫圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,并求f(x)在區(qū)間[0,]上的最值.
X=ωx+φ
x
f(x)
【解析】(2)根據(jù)“五點(diǎn)畫圖法”的要求先完成表格,令X=2x+,則
X 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
由圖可知,當(dāng)x=時(shí),f(x)取到最大值2;當(dāng)x=時(shí),f(x)取到最小值-.
考點(diǎn)二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換
[例2](1)(2023·鄭州模擬)將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度,然后橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin x的圖象,則f(x)在區(qū)間[0,]上的值域?yàn)?　　)
A. [-,1]　 B. [-,1]
C. [,1]　 D. [,1]
【解析】選C.將y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=sin 2x的圖象,再將y=sin 2x的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到f(x)=sin(2x+)的圖象.
當(dāng)x∈[0,]時(shí), (2x+)∈[,],
所以sin(2x+)∈[,1].
(2)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) (其中ω>0,0<φ<的圖象如圖所示,為了得到y(tǒng)=sin x的圖象,則需將y=f(x)的圖象(　　)
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的,再向右平移個(gè)單位長度
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的,再向右平移個(gè)單位長度
C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個(gè)單位長度
D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個(gè)單位長度
【解析】選C.由題圖可知,T=-=,
所以T=π,故ω==2,故函數(shù)f(x)=sin (2x+φ),
又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(,0),
故有sin(2×+φ)=0,即2×+φ=kπ,
所以φ=kπ-(k∈Z),
又0<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+),
故將函數(shù)f(x)=sin(2x+)圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象,然后再向右平移個(gè)單位長度即可得到y(tǒng)=sin x的圖象.
解題技法
三角函數(shù)圖象平移變換問題的關(guān)鍵及解題策略
(1)確定函數(shù)y=sin x經(jīng)過平移變換后圖象對(duì)應(yīng)的解析式,關(guān)鍵是明確左右平移的方向,即按“左加右減”的原則進(jìn)行;
(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時(shí),首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式,然后再確定平移方向和單位長度.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·長春模擬)要得到y(tǒng)=cos 的圖象,只要將y=sin 的圖象(　　)
A.向左平移個(gè)單位長度
B.向右平移個(gè)單位長度
C.向左平移π個(gè)單位長度
D.向右平移π個(gè)單位長度
【解析】選C.函數(shù)y=sin的圖象向左平移π個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sin(+)=cos 的圖象.
2.(2024·長沙模擬)將函數(shù)f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移φ(0<φ<)個(gè)單位長度.得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)是奇函數(shù),則φ=　　　　　.
【解析】函數(shù)f(x)向左平移φ個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)=sin[2(x+φ)-],
函數(shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(0)=sin(2φ-)=0,則2φ-=kπ,k∈Z,
則φ=+,k∈Z,因?yàn)棣铡?0,),所以φ=.
答案:
考點(diǎn)三由函數(shù)圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例3](1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖,則此函數(shù)的解析式為(　　)
A.y=2sin(2x+)　 B.y=2sin(x+)
C.y=2sin(-)　 D.y=2sin(2x-)
【解析】選A.由已知可得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-,2)和點(diǎn)(,-2),
則A=2,T=π,所以ω=2,則函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+φ),
將(-,2)代入得-+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
當(dāng)k=0時(shí),φ=,此時(shí)y=2sin(2x+).
(2)(2023·濰坊模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,現(xiàn)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)的表達(dá)式可以為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.g(x)=2sin 2x　 　 B.g(x)=2cos(2x-)
C.g(x)=2sin(x-)　 　 D.g(x)=2cos(x+)
【解析】選B.由題圖可知f(x)max=2,所以A=2;
又f(0)=2sin φ=-1,所以sin φ=-,
又|φ|<,所以φ=-,
所以f()=2sin(ω-)=0,由五點(diǎn)作圖法可知ω-=π,解得ω=2,
所以f(x)=2sin(2x-);
所以g(x)=f(x+)=2sin [2(x+)-]
=2sin(2x+)=2cos [-(2x+) ]
=2cos(-2x)=2cos(2x-).
解題技法
根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式的三個(gè)關(guān)鍵
(1)根據(jù)最大值或最小值求出A的值.
(2)根據(jù)周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)的位置)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入.②五點(diǎn)法:確定φ的值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f()=　　　　　.
【命題意圖】本題考查函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的圖象與其參數(shù)(ω,φ)之間的關(guān)系,考查考生分析問題解決問題的能力.
【解析】觀察圖象可知:f(x)的最小正周期T=×=π,所以ω=2,又因?yàn)閒=
2cos=2,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=2cos,
所以f=2cos=2cos=-.
答案:-
2.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+n的最大值為4,最小值是0,最小正周期是,直線x=是其圖象的一條對(duì)稱軸,若A>0,ω>0,0<φ<,則函數(shù)解析式為　　　　　.
【解析】依題意,得A==2,n==2,
ω==4,所以y=2sin (4x+φ)+2,
所以4×+φ=kπ+,k∈Z,
即φ=kπ-,k∈Z.因?yàn)?<φ<,
所以k=1,φ=.所以函數(shù)解析式為y=2sin(4x+)+2.
答案:y=2sin(4x+)+2
【加練備選】
　　 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (ω>0,<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=-2sin(2x-)　 B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(x+)　 D.y=2sin(+)
【解析】選B.由題圖知A=2,=-=,T=π,所以ω=2,
把最值點(diǎn)(,2)代入y=2sin(2x+φ),
得2sin(+φ)=2,
所以+φ=2kπ+(k∈Z),
所以φ=2kπ+(k∈Z),
又因?yàn)?,所以φ=,
因此函數(shù)的解析式是y=2sin(2x+).
考點(diǎn)四三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1　三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
[例4]已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sin 2x的圖象
C.f(x)在區(qū)間上的最小值為-
D.f為偶函數(shù)
【解析】選D.因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn),
所以sin φ=,因?yàn)?<φ<,所以φ=.
因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn),所以由五點(diǎn)作圖法可知ω·+=,得ω=1,
所以f(x)=sin.
因?yàn)閒(-)=sin(-+)=sin(-)=-1,
所以x=-為f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,所以A錯(cuò)誤;
f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,得
y=sin=sin,所以B錯(cuò)誤;
當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,
所以-≤sin≤1,所以f(x)在區(qū)間上的最小值為-,所以C錯(cuò)誤;
f=sin
=sin=cos 2x,
令g(x)=f=cos 2x,
因?yàn)間(-x)=cos(-2x)=cos 2x=g(x),
所以g(x)=f=cos 2x為偶函數(shù),所以D正確.
解題技法
　解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的步驟
(1)將f(x)化為asin x+bcos x的形式;
(2)構(gòu)造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ為輔助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì).
角度2　函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題
[例5](2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=cos ωx-1在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是　　　　　.
【解析】因?yàn)?≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.
令f(x)=cos ωx-1=0,則cos ωx=1有3個(gè)根,
令t=ωx,則cos t=1有3個(gè)根,其中t∈[0,2ωπ],
結(jié)合余弦函數(shù)y=cos t的圖象性質(zhì)可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.
答案:[2,3)
【誤區(qū)警示】本題在求解的過程中,易忽略端點(diǎn)的取值是否能取得,如本題在建立不等式4π≤2ωπ<6π時(shí),右邊也取到等號(hào),進(jìn)而得出錯(cuò)誤的結(jié)論2≤ω≤3.
解題技法
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵
　求解與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)(或三角函數(shù)有關(guān)的方程)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)的和的問題,常結(jié)合三角函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合思想直觀求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. (多選題)已知函數(shù)f(x)=2sin的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,則(　　)
A.f(x)是奇函數(shù)
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是
D.f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是
【解析】選BD .由函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期是T==π,則B正確;
由f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,且最小正周期是π,因此f(x)的圖象也關(guān)于直線x=0對(duì)稱,故f(x)是偶函數(shù)(或由f(0)=2sin φ=0結(jié)合0<φ<π知不可能),因此A錯(cuò)誤;
由函數(shù)f(x)=2sin是偶函數(shù)可知φ=,則f(x)=2cos 2x,故f(x)的對(duì)稱中心為(k∈Z),C錯(cuò)誤;
由于 ,f(x)在上單調(diào)遞增,D正確.
2.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<)的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為,且f(1)=-,則函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象在(-5,9)上所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為(　　)
A.16 B.4 C.8 D.12
【解析】選D. 由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期為3,即=3,所以ω=,
則f(x)=tan(x+φ).又f(1)=-,
即tan(+φ)=-,所以+φ=+kπ,k∈Z,
因?yàn)?<φ<,所以φ=,
所以f(x)=tan(x+).
又因?yàn)閒(2)=tan(+)=0,
所以y=f(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱,點(diǎn)(2,0)也是y=的對(duì)稱中心,兩個(gè)函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn),且都關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱,則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為12.
考點(diǎn)五三角函數(shù)模型及其應(yīng)用
[例6]如圖,一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m,12 min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)P0離地面2 m,風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面的距離h(單位:m)與時(shí)間t(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(　　)
A.h=-8sin t+10
B.h=-cos t+10
C.h=-8sin t+8
D.h=-8cos t+10
【解析】選D.由題意設(shè)h=A cos ωt+B,
因?yàn)?2 min旋轉(zhuǎn)一周,
所以=12,所以ω=,
由于最大值與最小值分別為18,2.
所以
解得A=-8,B=10.所以h=-8cos t+10.
解題技法
三角函數(shù)模型的兩種類型及其解題策略
(1)已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;
(2)把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題,其關(guān)鍵是建模.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+A cos[(x-6) ](x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高為28 ℃,12月份的月平均氣溫最低為18 ℃,則10月份的平均氣溫為　　　　　℃.
【解析】由題意得解得所以y=23+5cos[(x-6) ],令x=10,得y=20.5.
答案:20.5
2.如圖所示,某窯洞窗口形狀上部是圓弧,下部是一個(gè)矩形ABCD,所在圓的圓心為O.經(jīng)測量AB=4米,BC=米,∠COD=,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH,其中E,F在邊AB上,G,H在上.設(shè)∠OGF=θ,矩形EFGH的面積為S.
(1)求矩形EFGH的面積S關(guān)于變量θ的函數(shù)關(guān)系式;
【解析】(1)如圖,作OP⊥CD分別交AB,CD,GH于M,P,N,
由四邊形ABCD,EFGH是矩形,O為圓心,
∠COD=,
可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分別為CD,AB,GH的中點(diǎn),∠CON=,
在Rt△COP中,CP=2,∠COP=,
所以O(shè)C=米,OP=米,
所以O(shè)M=OP-PM=OP-BC=米,
在Rt△ONG中,
∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=米,
所以GN=sin θ米,ON=cos θ米,
所以GH=2GN=sin θ米,
GF=MN=ON-OM=(cos θ-)米,
所以S=GF·GH=(cos θ-)·sin θ
=(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,),
所以S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為
S=(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,).
(2)當(dāng)cos θ為何值時(shí),矩形EFGH的面積S最大
【解析】(2)由(1)得S'=(4cos 2θ-4sin2θ-cos θ)=(8cos 2θ-cos θ-4),因?yàn)棣取?0,),
所以cos θ∈(,1),
令S'=0,得cos θ=∈(,1),
設(shè)θ0∈(0,),且cos θ0=,
所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S在(0,θ0)上單調(diào)遞增,
由S'<0,得θ0<θ<,即S在(θ0,)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)θ=θ0時(shí),S取得最大值,
所以當(dāng)cos θ=時(shí),矩形EFGH的面積S最大.
重難突破 三角函數(shù)解析式中ω的求法
　　三角函數(shù)中“ω”的范圍問題是近幾年的考查熱點(diǎn),涉及三角函數(shù)的圖象,單調(diào)性,對(duì)稱性,極值等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,解題思路通常有兩種:
一是利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),借助于整體思想得到“ω”滿足的關(guān)系式;
二是利用圖象或圖象變換,借助于數(shù)形結(jié)合思想得到“ω”滿足的關(guān)系式.
類型一 ω的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合
[例1]已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(　　)
A. [,] B. [,]
C. (0,] D.(0,2]
【解析】選A.由+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
得+0).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(,π)上單調(diào)遞減,
所以(,π) (+,+),
即
解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.
因?yàn)樗?<ω≤2,
當(dāng)k=0時(shí),≤ω≤.
解題技法
　已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),求ω的取值范圍的方法
第一步:根據(jù)題意可知區(qū)間[x1,x2]的長度不大于該函數(shù)最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步:以單調(diào)遞增為例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ],解得ω的范圍;
第三步:結(jié)合第一步求出的ω的范圍對(duì)k進(jìn)行賦值,從而求出ω(不含參數(shù))的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知ω>0,函數(shù)f(x)=cos(ωx-)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(　　)
A. [,] B. [,]
C. (0,] D. [,]
【解析】選B.令2kπ≤ωx-≤2kπ+π(k∈Z),
得≤x≤(k∈Z).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(,π)上單調(diào)遞減,
所以其中k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+(k∈Z).
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(,π)上單調(diào)遞減,
所以T≥π ω≤2.
又ω>0,所以當(dāng)k=0時(shí),有≤ω≤.
類型二 ω的取值范圍與對(duì)稱性相結(jié)合
[例2]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤),x=-是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),x=是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸,若f(x)在區(qū)間(,)上單調(diào),則ω的最大值是(　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】選A.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,
因?yàn)閤=-是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),x=是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸,則T=-(-)=,其中n∈N,
所以T==,所以ω=4n+2.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(,)上單調(diào),則-≤=,所以ω≤20,
所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.
(ⅰ)當(dāng)ω=18時(shí),f(x)=sin(18x+φ),f(-)=sin(-+φ)=0,
所以φ-=kπ(k∈Z),則φ=kπ+(k∈Z),
因?yàn)?≤φ≤,
所以φ=,所以f(x)=sin(18x+),
當(dāng)所以函數(shù)f(x)在(,)上不單調(diào),不符合題意;
(ⅱ)當(dāng)ω=14時(shí),f(x)=sin(14x+φ),f(-)=sin(-+φ)=0,
所以φ-=kπ(k∈Z),則φ=kπ+(k∈Z),
因?yàn)?≤φ≤,所以φ=-,
所以f(x)=sin(14x-),
當(dāng)所以函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞減,符合題意.
因此,ω的最大值為14.
解題技法
　三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為,相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為,也就是說,我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性,進(jìn)而可以研究ω的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　(多選題)(2023·衡水模擬)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若F(x)=f(x)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,則ω可取的值為(　　)
A. B. C.1 D.4
【解析】選CD.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)=sin[ω(x-)+]
=sin(ωx+-)=cos(ωx+),
又因?yàn)镕(x)=f(x)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,
所以F(x)=sin(ωx+)cos(ωx+)
=sin(2ωx+)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,則2ω·+=kπ,k∈Z,
所以ω=,k∈Z,
又因?yàn)棣?0,所以ω的最小值為1,
故ω可取的值為1,4.
類型三 ω的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合
[例3](2023·成都模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在區(qū)間(-,)上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(　　)
A. [,7) B. (,4)
C. [4,) D. (,7)
【解析】選B.因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-,)上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),
所以-(-)>=,所以ω>.
令t=ωx+,當(dāng)x∈(-,)時(shí),t∈(-ω+,ω+),
于是f(x)=2sin(ωx+)在區(qū)間(-,)上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于g(t)=2sin t在(-ω+,ω+)上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù).
由ω>知,-ω+<0,ω+>0,
因?yàn)間(t)在(-ω+,ω+)上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),
所以
解得<ω<4.
解題技法
　三角函數(shù)的對(duì)稱軸必經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),三角函數(shù)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn),也就是說我們可以利用函數(shù)的最值點(diǎn)、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期,進(jìn)而可以確定ω的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象在y軸上的截距為,且在區(qū)間(π,2π)上沒有最值,則ω的取值范圍為　　　　.
【解析】由題意可知,f(0)=,且0<φ<π,則φ=.
又f(x)在區(qū)間(π,2π)上沒有最值,所以=≥π,即0<ω≤1;
f(x)=cos (ωx+),
令ωx+=kπ,k∈Z,
即x=-,k∈Z,
所以當(dāng)x=-,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)=cos (ωx+)取到最值,
因?yàn)閒(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有最值,
所以k∈Z,
解得k-≤ω≤+,k∈Z.
當(dāng)k=0時(shí),-≤ω≤,
又0<ω≤1,所以0<ω≤,
當(dāng)k=1時(shí),≤ω≤,
可得ω∈(0,]∪[,].
答案: (0,]∪[,]
類型四 ω的取值范圍與三角函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)相結(jié)合
[例4](2022·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選C.當(dāng)ω<0時(shí),不能滿足在區(qū)間(0,π)內(nèi)極值點(diǎn)比零點(diǎn)多,所以ω>0;
函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間(0,π)內(nèi)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),
則有ωx+∈,
所以<ωπ+≤3π,
求得<ω≤.
解題技法
　三角函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)之間最小的“水平間隔”為,根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),可以研究“ω”的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　(2022·全國乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點(diǎn),則ω的最小值為　　　　.
【解析】因?yàn)閒(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),
所以最小正周期T=,
因?yàn)閒(T)=cos(ω·+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=,
又因?yàn)?<φ<π,
所以φ=,即f(x)=cos(ωx+),
又因?yàn)閤=為f(x)的零點(diǎn),
所以ω+=+kπ,k∈Z,
解得ω=3+9k,k∈Z,
因?yàn)棣?0,所以當(dāng)k=0時(shí),ωmin=3.
答案:3第五節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)的應(yīng)用
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義;能借助圖象理解參數(shù)ω,φ,A的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.
2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題,體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查y=Asin(ωx+φ)的圖象、圖象變換以及與它有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題;三角函數(shù)圖象、圖象變換以及與其他知識(shí)交匯是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
預(yù)測 2025年高考對(duì)函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用的考查,仍然是命題的熱點(diǎn),可能會(huì)與三角函數(shù)式的求值、化簡相結(jié)合.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.用“五點(diǎn)法”畫y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)特征點(diǎn)
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
微點(diǎn)撥用“五點(diǎn)法”作圖時(shí),相鄰兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的距離都是周期的.
2.函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑
由y=sin ωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的變換為向左平移個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.
3.簡諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T= f== ωx +φ φ
　常用結(jié)論
1.函數(shù)y=Asin (ωx+φ)+k圖象平移的規(guī)律:“左加右減,上加下減”.
2.由y=sin ωx到y(tǒng)=sin (ωx+φ)(ω>0,φ>0)的變換:向左平移個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值為A,最小值為-A.(　　)
(2)函數(shù)y=sin 2x向右平移個(gè)單位長度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)=sin(2x-).(　　)
(3)把y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,所得函數(shù)解析式為y=sin x.(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為.(　　)
2.(2021·全國乙卷)把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(x-)的圖象,則f(x)等于(　　)
A.sin(-) B.sin(+)
C.sin(2x-) D.sin(2x+)
3.(必修第一冊P241T4改條件)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為　　　　　.
4.(混淆ω值的影響)函數(shù)y=cos x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到的圖象解析式為y=cos ωx,則ω的值為(　　)
A.3 B. C.9 D.
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作y=Asin (ωx+φ)的圖象
[例1]用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=sin+cos 的圖象,并指出這個(gè)函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間.
解題技法
　用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的簡圖的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x.
(2)通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象,其中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為,f(0)=1.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)請(qǐng)完成表格并利用五點(diǎn)畫圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,并求f(x)在區(qū)間[0,]上的最值.
X=ωx+φ
x
f(x)
考點(diǎn)二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換
[例2](1)(2023·鄭州模擬)將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度,然后橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin x的圖象,則f(x)在區(qū)間[0,]上的值域?yàn)?　　)
A. [-,1]　 B. [-,1]
C. [,1]　 D. [,1]
(2)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) (其中ω>0,0<φ<的圖象如圖所示,為了得到y(tǒng)=sin x的圖象,則需將y=f(x)的圖象(　　)
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的,再向右平移個(gè)單位長度
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的,再向右平移個(gè)單位長度
C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個(gè)單位長度
D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個(gè)單位長度
解題技法
三角函數(shù)圖象平移變換問題的關(guān)鍵及解題策略
(1)確定函數(shù)y=sin x經(jīng)過平移變換后圖象對(duì)應(yīng)的解析式,關(guān)鍵是明確左右平移的方向,即按“左加右減”的原則進(jìn)行;
(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時(shí),首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式,然后再確定平移方向和單位長度.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·長春模擬)要得到y(tǒng)=cos 的圖象,只要將y=sin 的圖象(　　)
A.向左平移個(gè)單位長度
B.向右平移個(gè)單位長度
C.向左平移π個(gè)單位長度
D.向右平移π個(gè)單位長度
2.(2024·長沙模擬)將函數(shù)f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移φ(0<φ<)個(gè)單位長度.得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)是奇函數(shù),則φ=　　　　　.
考點(diǎn)三由函數(shù)圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例3](1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖,則此函數(shù)的解析式為(　　)
A.y=2sin(2x+)　 B.y=2sin(x+)
C.y=2sin(-)　 D.y=2sin(2x-)
(2)(2023·濰坊模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,現(xiàn)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)的表達(dá)式可以為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.g(x)=2sin 2x　 　 B.g(x)=2cos(2x-)
C.g(x)=2sin(x-)　 　 D.g(x)=2cos(x+)
解題技法
根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式的三個(gè)關(guān)鍵
(1)根據(jù)最大值或最小值求出A的值.
(2)根據(jù)周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)的位置)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入.②五點(diǎn)法:確定φ的值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f()=　　　　　.
【命題意圖】本題考查函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的圖象與其參數(shù)(ω,φ)之間的關(guān)系,考查考生分析問題解決問題的能力.
2.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+n的最大值為4,最小值是0,最小正周期是,直線x=是其圖象的一條對(duì)稱軸,若A>0,ω>0,0<φ<,則函數(shù)解析式為　　　　　.
【加練備選】
　　 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (ω>0,<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=-2sin(2x-)　 B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(x+)　 D.y=2sin(+)
考點(diǎn)四三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1　三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
[例4]已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sin 2x的圖象
C.f(x)在區(qū)間上的最小值為-
D.f為偶函數(shù)
解題技法
　解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的步驟
(1)將f(x)化為asin x+bcos x的形式;
(2)構(gòu)造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ為輔助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì).
角度2　函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題
[例5](2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=cos ωx-1在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是　　　　　.
【誤區(qū)警示】本題在求解的過程中,易忽略端點(diǎn)的取值是否能取得,如本題在建立不等式4π≤2ωπ<6π時(shí),右邊也取到等號(hào),進(jìn)而得出錯(cuò)誤的結(jié)論2≤ω≤3.
解題技法
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵
　求解與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)(或三角函數(shù)有關(guān)的方程)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)的和的問題,常結(jié)合三角函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合思想直觀求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. (多選題)已知函數(shù)f(x)=2sin的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,則(　　)
A.f(x)是奇函數(shù)
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是
D.f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是
2.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<)的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為,且f(1)=-,則函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象在(-5,9)上所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為(　　)
A.16 B.4 C.8 D.12
考點(diǎn)五三角函數(shù)模型及其應(yīng)用
[例6]如圖,一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m,12 min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)P0離地面2 m,風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面的距離h(單位:m)與時(shí)間t(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(　　)
A.h=-8sin t+10
B.h=-cos t+10
C.h=-8sin t+8
D.h=-8cos t+10
解題技法
三角函數(shù)模型的兩種類型及其解題策略
(1)已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;
(2)把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題,其關(guān)鍵是建模.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+A cos[(x-6) ](x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高為28 ℃,12月份的月平均氣溫最低為18 ℃,則10月份的平均氣溫為　　　　　℃.
2.如圖所示,某窯洞窗口形狀上部是圓弧,下部是一個(gè)矩形ABCD,所在圓的圓心為O.經(jīng)測量AB=4米,BC=米,∠COD=,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH,其中E,F在邊AB上,G,H在上.設(shè)∠OGF=θ,矩形EFGH的面積為S.
(1)求矩形EFGH的面積S關(guān)于變量θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)cos θ為何值時(shí),矩形EFGH的面積S最大
重難突破 三角函數(shù)解析式中ω的求法
　　三角函數(shù)中“ω”的范圍問題是近幾年的考查熱點(diǎn),涉及三角函數(shù)的圖象,單調(diào)性,對(duì)稱性,極值等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,解題思路通常有兩種:
一是利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),借助于整體思想得到“ω”滿足的關(guān)系式;
二是利用圖象或圖象變換,借助于數(shù)形結(jié)合思想得到“ω”滿足的關(guān)系式.
類型一 ω的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合
[例1]已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(　　)
A. [,] B. [,]
C. (0,] D.(0,2]
解題技法
　已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),求ω的取值范圍的方法
第一步:根據(jù)題意可知區(qū)間[x1,x2]的長度不大于該函數(shù)最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步:以單調(diào)遞增為例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ],解得ω的范圍;
第三步:結(jié)合第一步求出的ω的范圍對(duì)k進(jìn)行賦值,從而求出ω(不含參數(shù))的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知ω>0,函數(shù)f(x)=cos(ωx-)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(　　)
A. [,] B. [,]
C. (0,] D. [,]
類型二 ω的取值范圍與對(duì)稱性相結(jié)合
[例2]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤),x=-是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),x=是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸,若f(x)在區(qū)間(,)上單調(diào),則ω的最大值是(　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
解題技法
　三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為,相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為,也就是說,我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性,進(jìn)而可以研究ω的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　(多選題)(2023·衡水模擬)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若F(x)=f(x)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,則ω可取的值為(　　)
A. B. C.1 D.4
類型三 ω的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合
[例3](2023·成都模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在區(qū)間(-,)上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(　　)
A. [,7) B. (,4)
C. [4,) D. (,7)
解題技法
　三角函數(shù)的對(duì)稱軸必經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),三角函數(shù)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn),也就是說我們可以利用函數(shù)的最值點(diǎn)、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期,進(jìn)而可以確定ω的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象在y軸上的截距為,且在區(qū)間(π,2π)上沒有最值,則ω的取值范圍為　　　　.
類型四 ω的取值范圍與三角函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)相結(jié)合
[例4](2022·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解題技法
　三角函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)之間最小的“水平間隔”為,根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),可以研究“ω”的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
　(2022·全國乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點(diǎn),則ω的最小值為　　　　.

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