資源簡介

第一節　任意角和弧度制及三角函數的概念
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能進行弧度與角度的互化;
3.借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查扇形的弧長、面積、三角函數的定義;三角函數求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考也不會直接考查,可能與三角恒等變換結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.角的概念的推廣
(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
(2)分類
按旋轉方向 正角、負角、零角
按終邊位置 象限角和軸線角
(3)相反角:我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為　-α　.
(4)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義:把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號rad表示.
(2)公式
角α的弧度數公式 |α|=(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°=rad;1 rad=()°
弧長公式 弧長l=|α|r
扇形面積公式 S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函數
(1)任意角的三角函數的定義(推廣):
設P(x,y)是角α終邊上異于原點的任意一點,其到原點O的距離為r,則sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(2)三角函數值在各象限內的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)三角函數的定義域
三角函數 sin α cos α tan α
定義域 R R {α|α≠kπ+,k∈Z}
常用結論
1.三角函數值在各象限的符號規律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°=π rad進行互化,在同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用.
3.象限角
4.軸線角
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)小于90°的角是銳角.(　　)
(2)銳角是第一象限角,第一象限角也都是銳角.(　　)
(3)角α的三角函數值與其終邊上點P的位置無關.(　　)
(4)若α為第一象限角,則sin α+cos α>1.(　　)
提示:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(必修第一冊P175練習T1改題型)-660°等于(　　)
A.-π B.-π C.-π D.-π
【解析】選C.-660°=-660×=-π.
3.(必修第一冊P176習題T2改條件)下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　)
A.2kπ+135°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°+135°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
【解析】選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,排除A,B,易知D錯誤,C正確.
4.(忽視隱含條件)設α是第二象限角,P(x,8)為其終邊上的一點,且sin α=,則x=(　　)
A.-3 B.-4
C.-6 D.-10
【解析】選C.因為P(x,8)為其終邊上的一點,且
sin α=,所以sin α==,解得x=±6,因為α是第二象限角,所以x=-6.
【核心考點·分類突破】
考點一任意角與終邊相同的角
1.下列與角的終邊相同的角的表達式是(　　)
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
【解析】選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,排除A,B,易知D錯誤,C正確.
2.已知α與120°角的終邊關于x軸對稱,則是(　　)
A.第二或第四象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】選A.由α與120°角的終邊關于x軸對稱,可得α=k·360°-120°,k∈Z,所以=k·180°-60°,k∈Z,取k=0,1可確定的終邊在第二或第四象限.
3.設集合M={x|x=·180°+45°,k∈Z},
N={x|x=·180°+45°,k∈Z},那么(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
【解析】選B.由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇數;
而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整數,因此必有M N.
4.與-2 024°角終邊相同的最小正角是　　　　,最大負角是　　　　.
【解析】因為-2 024°=-6×360°+136°,所以-2 024°角的終邊與136°角的終邊相同.
所以-2 024°角是第二象限角.與-2 024°角終邊相同的最小正角是136°.又136°-360°=-224°,故與-2 024°角終邊相同的最大負角是-224°.
答案:136°　-224°
5.終邊在直線y=x上,且在[-2π,2π)內的角α的集合為　　　　　　　　　　　　　.
【解析】如圖,在平面直角坐標系中畫出直線y=x.
易知直線y=x與x軸的夾角是,在[0,2π)內,終邊在直線y=x上的角有兩個,即,;在[-2π,0)內滿足條件的角有兩個,即-,-,故滿足條件的角α的集合為{-,-,,}.
答案: {-,-,,}
解題技法
1.象限角的判斷方法
(1)圖象法:在平面直角坐標系中,作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.
(2)轉化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.
2.確定kα,(k∈N*)的終邊位置的步驟
(1)用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍.
(2)寫出kα或的范圍.
(3)根據k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
考點二弧度制及其應用
[例1](1)如圖所示的時鐘顯示的時刻為4:30,此時時針與分針的夾角為α(0<α≤π).若一個半徑為1的扇形的圓心角為α,則該扇形的面積為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.由題圖可知,α=×2π=,所以該扇形的面積S=××12=.
(2)已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為l.
①若α=,R=10 cm,求扇形的弧長l.
②(一題多法)若扇形的周長是16 cm,當扇形的圓心角為多少弧度時,這個扇形的面積最大
③若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.
【解析】①因為α=,R=10 cm,
所以l=|α|R=×10=(cm).
②方法一:由題意知2R+l=16,
所以l=16-2R(0當R=4 cm時,Smax=16 cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,
所以S的最大值是16 cm2,此時扇形的半徑是4 cm,圓心角α=2 rad.
方法二:S=lR=l·2R≤·()2=16,
當且僅當l=2R,即R=4 cm時,S的最大值是16 cm2.
此時扇形的圓心角α=2 rad.
③設弓形面積為S弓形,由題意知l= cm,
所以S弓形=××2-×22×sin =(-)cm2.
解題技法
　弧度制的應用
(1)在弧度制下計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.
(2)從扇形面積出發,在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值.
(3)熟記下列公式:①l=|α|R;②S=lR;
③S=|α|R2.其中R是扇形的半徑,l是弧長,α為圓心角,S是扇形面積.
對點訓練
1.(2024·浙江名校聯考)如圖1是杭州第19屆亞運會會徽,名為“潮涌”,形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖2是會徽的幾何圖形,設的長度是l1,的長度是l2,幾何圖形ABCD的面積為S1,扇形BOC的面積為S2,若=2,則=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選C.設∠AOD=θ,OA=r1,OB=r2,則l1=θr1,l2=θr2,又=2,所以=2,即B是OA的中點,所以S1=θ(-)=θ,S2=θ,所以=3.
2.(2024·莆田模擬)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動,刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,擲鐵餅者的一只手臂長約為米,整個肩寬約為米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數據:≈1.414,≈1.732)(　　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
【解析】選B.由題意得,“弓”所在的弧長l=++=,R=1.25=,
所以其所對的圓心角α===,
所以雙手之間的距離d==×1.25≈1.768.
【加練備選】
　　　已知弧長為60 cm的扇形面積是240 cm2,求:
(1)扇形的半徑;
(2)扇形圓心角的弧度數.
【解析】設扇形的弧長為l,半徑為r,面積為S,圓心角為α.
(1)由題意得S=lr=×60r=240,
解得r=8(cm),即扇形的半徑為8 cm.
(2)α===,
所以扇形圓心角的弧度數為rad.
考點三三角函數的定義
考情提示
三角函數的定義主要考查利用定義求三角函數值及三角函數值符號的應用,常與三角函數求值相結合命題,題目多以選擇題、填空題形式出現.
角度1　利用三角函數的定義求值
[例2](1)已知角α的終邊經過點(3,-4),則sin α+=(　　)
A.- B.
C. D.
【解析】選D.因為角α的終邊經過點(3,-4),所以sin α=-,cos α=,所以sin α+=-+=.
(2)(2023·貴陽模擬)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(-2,m),若sin α=,則m=(　　)
A.-4 B.4 C.±4 D.5
【解析】選B.由題可知,sin α==>0,
所以m>0,解得m=4.
(3)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在直線y=-2x上,則2sin θcos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】選D.在角θ的終邊所在的直線y=-2x上任取一點P(a,-2a)(a≠0),則|OP|=|a|.由三角函數的定義知sin θ=,cos θ=,故2sin θcos θ=2··=-.
解題技法
　利用三角函數定義解決問題的策略
(1)已知角α終邊上一點P的坐標,可求角α的三角函數值.先求點P到原點的距離,再用三角函數的定義求解;
(2)已知角α的某個三角函數值,可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值,可根據定義中的兩個量列方程求參數值;
(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.
角度2　判斷三角函數值的符號
[例3](1)若sin αtan α<0,且>0,則角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】選B.由sin αtan α<0,知α是第二象限或第三象限角,由>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.
(2)若α為第四象限角,則(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
【解析】選D.因為α是第四象限角,所以-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,所以-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,所以角2α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上,所以sin 2α<0,cos 2α可正、可負、可為零.
(3)已知坐標平面內點P的坐標為(sin 5,cos 5),則點P位于第　　　　　象限.
【解析】因為<5<2π,所以sin 5<0,cos 5>0,則點P位于第二象限.
答案:二
解題技法
　三角函數值符號的判斷方法
(1)要判定三角函數值的符號,關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角,再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定函數值的符號.
(2)如果不能確定角所在象限,那就要進行分類討論求解.
對點訓練
1.(2023·石家莊模擬)若角α滿足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,則α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】選B.因為sin αcos α<0,所以α是第二或第四象限角,當α是第二象限角時,cos α<0,sin α>0,滿足cos α-sin α<0;當α是第四象限角時,cos α>0,sin α<0,則cos α-sin α>0,不符合題意,所以α是第二象限角.
2.若A(1,a)是角θ終邊上的一點,且sin θ=,則實數a的值為　　　　.
【解析】根據三角函數的終邊上點的定義可得,r=,
所以sin θ==>0,即a>0且a2=11,所以a=.
答案:
【加練備選】
　　　已知角θ=π,且角θ的終邊經過點P(x,2),則x的值為(　　)
A.±2 B.2 C.-2 D.-4
【解析】選B.依題意,tan θ=tan π=,其中tan π=tan(674π+)=tan =,所以x=2.第一節　任意角和弧度制及三角函數的概念
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能進行弧度與角度的互化;
3.借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查扇形的弧長、面積、三角函數的定義;三角函數求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考也不會直接考查,可能與三角恒等變換結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.角的概念的推廣
(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
(2)分類
按旋轉方向 正角、負角、零角
按終邊位置 象限角和軸線角
(3)相反角:我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為　-α　.
(4)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義:把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號rad表示.
(2)公式
角α的弧度數公式 |α|=(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°=rad;1 rad=()°
弧長公式 弧長l=|α|r
扇形面積公式 S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函數
(1)任意角的三角函數的定義(推廣):
設P(x,y)是角α終邊上異于原點的任意一點,其到原點O的距離為r,則sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(2)三角函數值在各象限內的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)三角函數的定義域
三角函數 sin α cos α tan α
定義域 R R {α|α≠kπ+,k∈Z}
常用結論
1.三角函數值在各象限的符號規律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°=π rad進行互化,在同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用.
3.象限角
4.軸線角
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)小于90°的角是銳角.(　　)
(2)銳角是第一象限角,第一象限角也都是銳角.(　　)
(3)角α的三角函數值與其終邊上點P的位置無關.(　　)
(4)若α為第一象限角,則sin α+cos α>1.(　　)
2.(必修第一冊P175練習T1改題型)-660°等于(　　)
A.-π B.-π C.-π D.-π
3.(必修第一冊P176習題T2改條件)下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　)
A.2kπ+135°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°+135°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
4.(忽視隱含條件)設α是第二象限角,P(x,8)為其終邊上的一點,且sin α=,則x=(　　)
A.-3 B.-4
C.-6 D.-10
【核心考點·分類突破】
考點一任意角與終邊相同的角
1.下列與角的終邊相同的角的表達式是(　　)
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
2.已知α與120°角的終邊關于x軸對稱,則是(　　)
A.第二或第四象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
3.設集合M={x|x=·180°+45°,k∈Z},
N={x|x=·180°+45°,k∈Z},那么(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
4.與-2 024°角終邊相同的最小正角是　　　　,最大負角是　　　　.
5.終邊在直線y=x上,且在[-2π,2π)內的角α的集合為　　　　　　　　　　　　　.
解題技法
1.象限角的判斷方法
(1)圖象法:在平面直角坐標系中,作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.
(2)轉化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.
2.確定kα,(k∈N*)的終邊位置的步驟
(1)用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍.
(2)寫出kα或的范圍.
(3)根據k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
考點二弧度制及其應用
[例1](1)如圖所示的時鐘顯示的時刻為4:30,此時時針與分針的夾角為α(0<α≤π).若一個半徑為1的扇形的圓心角為α,則該扇形的面積為(　　)
A. B. C. D.
(2)已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為l.
①若α=,R=10 cm,求扇形的弧長l.
②(一題多法)若扇形的周長是16 cm,當扇形的圓心角為多少弧度時,這個扇形的面積最大
③若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.
解題技法
　弧度制的應用
(1)在弧度制下計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.
(2)從扇形面積出發,在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值.
(3)熟記下列公式:①l=|α|R;②S=lR;
③S=|α|R2.其中R是扇形的半徑,l是弧長,α為圓心角,S是扇形面積.
對點訓練
1.(2024·浙江名校聯考)如圖1是杭州第19屆亞運會會徽,名為“潮涌”,形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖2是會徽的幾何圖形,設的長度是l1,的長度是l2,幾何圖形ABCD的面積為S1,扇形BOC的面積為S2,若=2,則=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·莆田模擬)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動,刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,擲鐵餅者的一只手臂長約為米,整個肩寬約為米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數據:≈1.414,≈1.732)(　　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
【加練備選】
　　　已知弧長為60 cm的扇形面積是240 cm2,求:
(1)扇形的半徑;
(2)扇形圓心角的弧度數.
考點三三角函數的定義
考情提示
三角函數的定義主要考查利用定義求三角函數值及三角函數值符號的應用,常與三角函數求值相結合命題,題目多以選擇題、填空題形式出現.
角度1　利用三角函數的定義求值
[例2](1)已知角α的終邊經過點(3,-4),則sin α+=(　　)
A.- B.
C. D.
(2)(2023·貴陽模擬)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(-2,m),若sin α=,則m=(　　)
A.-4 B.4 C.±4 D.5
(3)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在直線y=-2x上,則2sin θcos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
解題技法
　利用三角函數定義解決問題的策略
(1)已知角α終邊上一點P的坐標,可求角α的三角函數值.先求點P到原點的距離,再用三角函數的定義求解;
(2)已知角α的某個三角函數值,可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值,可根據定義中的兩個量列方程求參數值;
(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.
角度2　判斷三角函數值的符號
[例3](1)若sin αtan α<0,且>0,則角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α為第四象限角,則(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
(3)已知坐標平面內點P的坐標為(sin 5,cos 5),則點P位于第　　　　　象限.
解題技法
　三角函數值符號的判斷方法
(1)要判定三角函數值的符號,關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角,再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定函數值的符號.
(2)如果不能確定角所在象限,那就要進行分類討論求解.
對點訓練
1.(2023·石家莊模擬)若角α滿足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,則α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若A(1,a)是角θ終邊上的一點,且sin θ=,則實數a的值為　　　　.
【加練備選】
　　　已知角θ=π,且角θ的終邊經過點P(x,2),則x的值為(　　)
A.±2 B.2 C.-2 D.-4

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