資源簡介

第二節(jié)　三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導公式
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1,=tan α;
2.掌握誘導公式,并會簡單應用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學抽象、數(shù)學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系,誘導公式;三角函數(shù)求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
預測 預計2025年高考可能單獨考查,也可能與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識綜合考查,應增強轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用意識,選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn).
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系:　sin2α+cos2α=1　.
(2)商數(shù)關(guān)系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函數(shù)的誘導公式(k∈Z)
公式 角 正弦 余弦 正切
一 2kπ+α sin α cos α tan α
二 π+α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π-α sin α -cos α -tan α
五 -α cos α sin α
六 +α cos α -sin α
微點撥誘導公式的記憶口訣:
“奇變偶不變,符號看象限.”其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化.
　常用結(jié)論
1.平方關(guān)系的常用變形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±.
2.商數(shù)關(guān)系的常用變形:cos αtan α=sin α,cos α=.
3.和積互化變形:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
4.弦切互化變形:sin2α==,
cos2α==,
sin αcos α==.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)使sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.(　　)
(2)若α∈R,則sin(-α)=sin α.(　　)
(3)若α∈R,則sin2α+cos2α=1.(　　)
(4)若α∈R,則tan α=恒成立.(　　)
提示:因為α∈R,sin(π+α)=-sin α成立,所以(1)錯誤;因為α∈R,sin (-α)=cos α,所以(2)錯誤;由同角三角函數(shù)間的關(guān)系可知,(3)正確;因為tan α=在α≠+kπ(k∈Z)時成立,所以(4)錯誤.
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.(必修第一冊P183例6變題型)已知α是第四象限角,且sin α=-,則cos α=　　　　　.
【解析】已知α是第四象限角,且sin α=-,
所以cos α==.
答案:
3.(必修第一冊P186T15變結(jié)論)已知tan α=-2,則=(　　)
A.-4 B.-
C.-1 D.-
【解析】選C.===-1.
4.(記錯公式)下列等式恒成立的是(　　)
A.cos(-α)=-cosα
B.sin(360°-α)=sin α
C.tan(2π-α)=tan(π+α)
D.cos(π+α)=cos(π-α)
【解析】選D.因為cos(-α)=cos α;sin(360°-α)=-sin α;tan(2π-α)=-tan α,tan(π+α)=tan α;cos(π+α)=-cos α,cos(π-α)=-cos α.
【核心考點·分類突破】
考點一同角三角函數(shù)間的關(guān)系
考情提示
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系常與三角函數(shù)相關(guān)知識融合在一起進行命題,以公式變形為主解決相關(guān)運算問題,題型多為選擇題、填空題.
角度1　公式的直接應用
[例1](1)(2023·惠州模擬)已知tan α=2,π<α<,則cos α-sin α=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】選A.因為tan α==2,且sin2α+cos2α=1,π<α<,所以sin α=-,cos α=-,所以cos α-sin α=-- (-)=.
(2)已知cos α=-,則13sin α+5tan α=　　　　.
【解析】因為cos α=-<0且cos α≠-1,
所以α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角,
則sin α===,
所以tan α===-,
此時13sin α+5tan α=13×+5×(-)=0.
②若α是第三象限角,
則sin α=-=-
=-,
所以tan α===,
此時,13sin α+5tan α=13×(-)+5×=0.
綜上,13sin α+5tan α=0.
答案:0
解題技法
　利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.注意公式的逆用及變形應用.
角度2　“弦切互化”問題
[例2](1)已知=5,則cos 2α+sin 2α=(　　)
A. B.- C.-3 D.3
【解析】選A.因為=5,所以=5,解得tan α=2,故cos2α+sin 2α===.
(2)(2023·黃岡模擬)已知α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,則tan α=　　　　.
【解析】因為sin2α+4sin αcos α+4cos2α
===,
所以3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或-.
答案:3或-
解題技法
　利用“弦切互化”求齊次式值的方法
(1)若齊次式為分式,可將分子與分母同除以cos α的n次冪,將分式的分子與分母化為關(guān)于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
(2)若齊次式為二次整式,可將其視為分母為1的分式,然后將分母1用sin2α+cos2α替換,再將分子與分母同除以cos2α,化為只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
角度3　sin α±cos α,sin αcos α之間關(guān)系的應用
[例3](1)已知sin α+cos α=-,α∈(,π),則sin α-cos α=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】選C.因為sin α+cos α=-,
所以(sin α+cos α)2= (-)2,即sin2α+cos2α+2sin αcos α= (-)2,2sin αcos α=-,
所以sin2α+cos2α-2sin αcos α=,
即(sin α-cos α)2=,
因為α∈(,π),
所以sin α-cos α>0,sin α-cos α=.
(2)已知tan θ+=4,則sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.由題意得tan θ+=+===4,則sin θcos θ=,
故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=.
解題技法
　“sin α±cos α,sin αcos α”關(guān)系的應用
sin α±cos α與sin αcos α通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=.因此在解題時已知一個用方程思想可求另外兩個.
對點訓練
1.(2023·安康模擬)已知tan θ=,則=(　　)
A. B.2 C. D.6
【解析】選A.因為tan θ=,所以
======.
2.(2023·梅州模擬)已知cos α=,且α為第四象限角,則tan α=　　　　.
【解析】因為α為第四象限角,所以sin α<0,所以sin α=-=-,
所以tan α==-2.
答案:-2
3.(2023·聊城模擬)已知α∈(-,),且sin α+cos α=,則tan α的值為　　　　.
【解析】因為sin α+cos α=,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,所以sin2α+cos2α-2sin αcos α==(sin α-cos α)2.又sin αcos α<0,α∈(-,),所以α∈(-,0),所以sin α<0,cos α>0,所以cos α-sin α=,所以sin α=-,cos α=,所以tan α=-.
答案:-
【補償訓練】
　　　設sin 23°=m,則tan 67°=(　　)
A.- B.
C. D.
【解析】選D.因為sin 23°=m,
所以cos 67°=m,所以sin 67°=,
所以tan 67°=,
因為sin 23°=m>0,
所以tan 67°==.
考點二誘導公式及其應用
[例4](1)(2023·黑龍江模擬)sin 495°=(　　)
A.1 B.- C. D.
【解析】選D.sin 495°=sin(360°+135°)=sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=.
(2)已知x∈R,則下列等式恒成立的是(　　)
A.sin (3π-x)=-sin x
B.sin =-cos
C.cos (+3x)=sin 3x
D.cos (-2x)=-sin 2x
【解析】選D.sin (3π-x)=sin (π-x)=sin x,
sin=sin(-)=cos ,
cos(+3x)=cos (+3x)=-sin 3x,
cos(-2x)=-sin 2x.
(3)已知sin (α+)=,則cos (α+π)的值為　　　　;sin(π-α)的值為　　　　　.
【解析】cos (α+)=cos(+α+)=-sin (α+)=-.
sin(π-α)=sin[π- (α+) ]=sin (α+)=.
答案:-　
解題技法
1.誘導公式的兩個應用
(1)求值:負化正,大化小,化到銳角為終了;
(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.
2.常見的互余和互補的角
(1)常見的互余的角:-α與+α;+α與-α;+α與-α;
(2)常見的互補的角:+θ與-θ;+θ與-θ.
提醒:計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式時,可直接將2π的整數(shù)倍去掉,然后再進行運算.
對點訓練
1.的值為(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】選B.原式===-·=-1.
2.(2023·茂名模擬)已知sin (θ-)=,則cos (θ+)=(　　)
A.- B.- C. D.
【解析】選B.cos (θ+)=cos (θ-+)=-sin (θ-)=-.
【加練備選】
　　　1.(2023·福建三明模擬)已知cos (α+)=-,則sin(-α)-2cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】選A.因為sin(-α)=sin[π+(-α) ]=-sin (-α)=-cos(+α)=,
cos(-α)=-cos[π-(-α) ]=-cos(+α)=,所以sin(-α)-2cos(-α)=-2×=-.
2.已知f(α)=,
則f (-)=　　　　.
【解析】因為f(α)
=
==cos α,
所以f (-)=cos (-)=cos=.
答案:
考點三誘導公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的
綜合應用
[例5](1)已知sin(π-α)+sin (α-)=,則的值為(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】選A.由已知得sin α-cos α=,兩邊平方得1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,則原式====-.
(2)(2023·陽泉模擬)已知sin (α+)=,且α∈(-,),則sin(-α)=　　　　.
【解析】因為α∈(-,),所以α+∈(-,),故cos (α+)>0,
所以cos (α+)==.
sin(-α)=sin[- (α+) ]=cos (α+)=.
答案:
解題技法
同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式應用的技巧
　(1)求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.
(2)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
對點訓練
1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=,則sin α-cos α的值為(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】選C.由誘導公式得,
sin(π-α)+cos α=sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
則2sin αcos α=-<0,
因為α∈(0,π),所以sin α>0,
所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,
因為(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
所以sin α-cos α=.
2.(2023·成都模擬)已知sin α=2cos α,則=(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】選B.由sin α=2cos α,顯然cos α≠0,可得tan α=2.
因為=
====.
【補償訓練】
　　　(2023·衡水模擬)已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,則2sin2α-sin αcos α等于
A. B. C. D.2
【解析】選D.由誘導公式可得,sin α=sin(-α)+cos(π-α)=-2cos α,所以tan α=-2.
因此,2sin2α-sin αcos α=
===2.第二節(jié)　三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導公式
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1,=tan α;
2.掌握誘導公式,并會簡單應用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學抽象、數(shù)學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以角為載體,考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系,誘導公式;三角函數(shù)求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
預測 預計2025年高考可能單獨考查,也可能與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識綜合考查,應增強轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用意識,選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn).
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系:　sin2α+cos2α=1　.
(2)商數(shù)關(guān)系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函數(shù)的誘導公式(k∈Z)
公式 角 正弦 余弦 正切
一 2kπ+α sin α cos α tan α
二 π+α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π-α sin α -cos α -tan α
五 -α cos α sin α
六 +α cos α -sin α
微點撥誘導公式的記憶口訣:
“奇變偶不變,符號看象限.”其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化.
　常用結(jié)論
1.平方關(guān)系的常用變形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±.
2.商數(shù)關(guān)系的常用變形:cos αtan α=sin α,cos α=.
3.和積互化變形:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
4.弦切互化變形:sin2α==,
cos2α==,
sin αcos α==.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)使sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.(　　)
(2)若α∈R,則sin(-α)=sin α.(　　)
(3)若α∈R,則sin2α+cos2α=1.(　　)
(4)若α∈R,則tan α=恒成立.(　　)
2.(必修第一冊P183例6變題型)已知α是第四象限角,且sin α=-,則cos α=　　　　　.
3.(必修第一冊P186T15變結(jié)論)已知tan α=-2,則=(　　)
A.-4 B.-
C.-1 D.-
4.(記錯公式)下列等式恒成立的是(　　)
A.cos(-α)=-cosα
B.sin(360°-α)=sin α
C.tan(2π-α)=tan(π+α)
D.cos(π+α)=cos(π-α)
【核心考點·分類突破】
考點一同角三角函數(shù)間的關(guān)系
考情提示
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系常與三角函數(shù)相關(guān)知識融合在一起進行命題,以公式變形為主解決相關(guān)運算問題,題型多為選擇題、填空題.
角度1　公式的直接應用
[例1](1)(2023·惠州模擬)已知tan α=2,π<α<,則cos α-sin α=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知cos α=-,則13sin α+5tan α=　　　　.
解題技法
　利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.注意公式的逆用及變形應用.
角度2　“弦切互化”問題
[例2](1)已知=5,則cos 2α+sin 2α=(　　)
A. B.- C.-3 D.3
(2)(2023·黃岡模擬)已知α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,則tan α=　　　　.
解題技法
　利用“弦切互化”求齊次式值的方法
(1)若齊次式為分式,可將分子與分母同除以cos α的n次冪,將分式的分子與分母化為關(guān)于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
(2)若齊次式為二次整式,可將其視為分母為1的分式,然后將分母1用sin2α+cos2α替換,再將分子與分母同除以cos2α,化為只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
角度3　sin α±cos α,sin αcos α之間關(guān)系的應用
[例3](1)已知sin α+cos α=-,α∈(,π),則sin α-cos α=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知tan θ+=4,則sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.
解題技法
　“sin α±cos α,sin αcos α”關(guān)系的應用
sin α±cos α與sin αcos α通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=.因此在解題時已知一個用方程思想可求另外兩個.
對點訓練
1.(2023·安康模擬)已知tan θ=,則=(　　)
A. B.2 C. D.6
2.(2023·梅州模擬)已知cos α=,且α為第四象限角,則tan α=　　　　.
3.(2023·聊城模擬)已知α∈(-,),且sin α+cos α=,則tan α的值為　　　　.
【補償訓練】
　　　設sin 23°=m,則tan 67°=(　　)
A.- B.
C. D.
考點二誘導公式及其應用
[例4](1)(2023·黑龍江模擬)sin 495°=(　　)
A.1 B.- C. D.
(2)已知x∈R,則下列等式恒成立的是(　　)
A.sin (3π-x)=-sin x
B.sin =-cos
C.cos (+3x)=sin 3x
D.cos (-2x)=-sin 2x
(3)已知sin (α+)=,則cos (α+π)的值為　　　　;sin(π-α)的值為　　　　　.
解題技法
1.誘導公式的兩個應用
(1)求值:負化正,大化小,化到銳角為終了;
(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.
2.常見的互余和互補的角
(1)常見的互余的角:-α與+α;+α與-α;+α與-α;
(2)常見的互補的角:+θ與-θ;+θ與-θ.
提醒:計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式時,可直接將2π的整數(shù)倍去掉,然后再進行運算.
對點訓練
1.的值為(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023·茂名模擬)已知sin (θ-)=,則cos (θ+)=(　　)
A.- B.- C. D.
【加練備選】
　　　1.(2023·福建三明模擬)已知cos (α+)=-,則sin(-α)-2cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知f(α)=,
則f (-)=　　　　.
考點三誘導公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的
綜合應用
[例5](1)已知sin(π-α)+sin (α-)=,則的值為(　　)
A.- B. C.- D.
(2)(2023·陽泉模擬)已知sin (α+)=,且α∈(-,),則sin(-α)=　　　　.
解題技法
同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式應用的技巧
　(1)求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.
(2)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
對點訓練
1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=,則sin α-cos α的值為(　　)
A. B.- C. D.-
2.(2023·成都模擬)已知sin α=2cos α,則=(　　)
A. B. C.- D.-
【補償訓練】
　　　(2023·衡水模擬)已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,則2sin2α-sin αcos α等于
A. B. C. D.2

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