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專題 09 受力分析與共點力平衡
目錄
考點一 受力分析........................................................................................................................................................1
考向 整體法與隔離法 ........................................................................................................................................2
考點二 共點力靜態平衡 ............................................................................................................................................3
考向 1 合成法處理物體靜態平衡問題 .............................................................................................................3
考向 2 正交分解法處理物體靜態平衡問題 .....................................................................................................4
考向 3 力的三角形法處理物體靜態平衡問題 .................................................................................................5
考點三 動態平衡........................................................................................................................................................6
考向 1 解析法.....................................................................................................................................................7
考向 2 圖解法.....................................................................................................................................................8
考向 3 相似三角形法 .........................................................................................................................................8
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法） .............................................................................................9
考點四 平衡中的臨界與極值問題 ..........................................................................................................................10
考向 1 圖解法...................................................................................................................................................11
考向 2 數學解析法...........................................................................................................................................11
考點一 受力分析
知識點　受力分析的順序、方法及注意事項
1.受力分析的一般順序：先分析場力(重力、電場力、磁場力)，再分析接觸力(彈力、摩擦力)，最后分析
其他力．
2.研究對象選取方法：
(1)整體法和隔離法．
①當分析相互作用的兩個或兩個以上物體整體的受力情況及分析外力對系統的作用時，宜用整體法．
②在分析系統內各物體(或一個物體各部分)間的相互作用時常用隔離法．
③整體法和隔離法不是獨立的，對一些較復雜問題，通常需要多次選取研究對象，交替使用整體法和
隔離法．
(2)動力學分析法：
對加速運動的物體進行受力分析時,應用牛頓運動定律進行分析求解的方法.
3.受力分析的六個注意點
(1)不要把研究對象所受的力與研究對象對其他物體的作用力混淆。
(2)每一個力都應找出其施力物體,不能無中生有。
(3)合力和分力不能重復考慮。
(4)涉及彈簧彈力時,要注意拉伸或壓縮可能性分析。
(5)分析摩擦力時要特別注意摩擦力的方向。
(6)對整體進行受力分析時,組成整體的幾個物體間的作用力為內力,不能在受力分析圖中出現;當把某
一物體隔離分析時,原來的內力變成外力,要在受力分析圖中畫出。
考向 整體法與隔離法
1．如圖所示，截面為三角形的兩物塊 A、B 疊放后放置于豎直的彈簧及豎直墻面之間，系統處于平衡狀態，
以下受力分析正確的是（ ）
A．彈簧的彈力大于 A、B 兩物塊的總重力
B．A 物塊受墻面豎直向上的摩擦力
C．A 物塊共受 5 個力作用
D．B 物塊受到 A 物塊的摩擦力一定沿兩物塊的接觸面向下
2．如圖所示，某建筑工人正用鐵夾夾起五塊磚從車上卸下來。已知每塊磚的質量為 m，重力加速度為 g，
不計鐵夾重力，則（ ）
A．工人對鐵夾的作用力一定始終等于 5mg
B．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 A 受到的合力大小為 4mg
C．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 C 受到 5 個力的作用
D．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 C 不受摩擦力
考點二 共點力靜態平衡
知識點 1 共點力平衡的條件、狀態和推論
1.平衡狀態：(1)靜止；(2)勻速直線運動。
2.平衡條件：
(1)物體所受合外力為零,即 F 合=0。
(2)若采用正交分解法,平衡條件表達式為 Fx=0,Fy=0。
3.常用推論
(1)若物體受 n 個作用力而處于平衡狀態，則其中任意一個力與其余(n－1)個力的合力大小相等、方向相
反。
(2)若三個不共線的共點力合力為零，則表示這三個力的有向線段首尾相接組成一個封閉三角形。
知識點 2 分析物體靜態平衡的常用方法
方法 適用條件 注意事項 優點
(1)表示三個力大小的線段長度
物體受三個力 不可隨意畫 對于物體所受的三個力,有兩個力相互垂直
合成法
作用而平衡 (2)兩力的合力與第三個力等大 或兩個力大小相等的平衡問題求解較簡單
反向
物體受三個或
正交分 選坐標軸時應使盡量多的力與坐 對于物體受三個以上的力處于平衡狀態的
三個以上的力
解法 標軸重合 問題求解較方便
作用而平衡
力的三 物體受三個力 將三個力的矢量圖平移,構成一 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大
角形法 作用而平衡 個依次首尾相連接的矢量三角形 小和方向
考向 1 合成法處理物體靜態平衡問題
3．如圖甲所示為烤腸機，香腸可視為質量為 m 的均勻圓柱體，靜止在兩根水平的平行金屬桿中間，其截面
圖如圖乙所示。金屬桿 1 圓心與烤腸圓心的連線與豎直方向的夾角為 θ，不計一切摩擦，重力加速度為 g。
則金屬桿 1 對烤腸的作用力大小為（　　）
1 mg mg mg
A． mg B． C． D．
2 cosq 2cosq 2 tanq
4．圖甲是學?；@球存放架，支撐籃球的兩個水平光滑橫桿一高一低，兩桿的距離正好等于籃球半徑的 2
倍，其右視圖簡化為圖乙所示。較低的 a 桿對籃球的支持力大小為 F ，較高的 b 桿對籃球的支持力大小為 Fb。
已知籃球重力大小為 G，忽略桿的粗細。則 F 、Fb 、G 的關系為（　　）
A．Fa > G B F
2 2 2
． a Fb G C．Fb > G D．Fb G
考向 2 正交分解法處理物體靜態平衡問題
5．如圖，彈簧測力計下端掛有一質量為0.20kg 的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面
傾角為30°，擋板與斜面夾角為60°．若彈簧測力計位于豎直方向，讀數為1.0N, g 取10m/s2 ,擋板對球體支持
力的大小為（ ）
A 3． N B．1.0N C 2 3． N D． 2.0N
3 3
6．如圖所示，兩根相同的圓柱形木桿AB和CD相互平行，與水平方向的夾角為a 。將一摞總質量為m 的
瓦片放置在兩木桿之間，兩桿對瓦片彈力的夾角為q ，瓦片處于靜止狀態，已知重力加速度為 g，則瓦片受
到AB桿的摩擦力、支持力大小分別為（ ）
1 mgcosa mgcosa
A． mgcosa
1
， 2sin q B． mgcosa ，2 2 2cos
q
2 2
1 mgcosa 1 mgcosa
C． mgsina ， q D． mgsina ，
2 2sin 2 2cos
q
2 2
考向 3 力的三角形法處理物體靜態平衡問題
7．如圖所示，廂式汽車停放在水平地面上。一條長 2L的不可伸長的輕繩兩端分別拴在相距為 L 的 a、b 兩
點，讓輕繩穿過質量為 m 的光滑環，將光滑圓環懸掛起來，此時輕繩拉力為F1。此后將汽車停放在傾角為30°
的斜面上，此時輕繩的拉力為F2 。則F1 : F2的值為（　　）
A．1:1 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 13 : 2 3
8．擦玻璃機器人可以幫助人們解決高層和戶外擦玻璃難的問題。如圖甲所示，一棟大廈表面均為玻璃材料，
機器人牽引擦子（未畫出）清潔玻璃時，將大廈某一表面簡化為如圖乙所示的正三角形 ABC，與水平面夾
3
角為30°。已知機器人對擦子的牽引力平行于玻璃表面，擦子質量為 m，與玻璃間的動摩擦因數為 ，重
3
力加速度為 g。則機器人在該表面由 B 點勻速運動到 AC 中點 D 的過程中，擦子所受的牽引力為（ ）
1
A． mg
1
B 3 7． mg C D4 ． mg ．2 mg2 4
考點三 動態平衡
知識點 1 動態平衡及基本思路
1.所謂動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終
處于一系列的平衡狀態，常利用圖解法解決此類問題。
2.基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
知識點 2 處理動態平衡問題的四種方法
1.解析法：對研究對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據物體的平衡條件，得到因變量與自變量
的關系表達式(通常要用到三角函數)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化。
2.圖解法：
(1)特點：物體受三個共點力，有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。
(2)方法：
受力 化“動”為“靜”畫不同狀態“靜”中求“動”確定力
分析 ― ― → 下的平衡圖 ― ― → 的變化
　　
3.三角形相似法：
(1)特點：在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關系。
(2)方法：①對物體在某個位置作受力分析；②以兩個變力為鄰邊，利用平行四邊形定則，作平行四邊形；③找
出相似的力的矢量三角形和空間幾何三角形；④利用相似三角形對應邊的比例關系確定力的變化。
4.拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）：
(1)特點：物體受三個共點力，這三個力其中一個力為恒力，另外兩個力都變化，且變化兩個力的夾角不變。
F
(2)拉密定理： 1
F2 F 3
sin 1 sinq2 sina3
（3）輔助圓法：畫出三個力的矢量三角形的外接圓，不便力為一固定弦，因為固定弦所對的圓周角大小始
終不變，改變一力的方向，另一大小方向變化情況可得。
考向 1 解析法
9．如圖所示，質量為 m 的小球置于內壁光滑的半球形凹槽內，凹槽放置在蹺蹺板上，凹槽的質量為 M。開
始時蹺蹺板與水平面的夾角為37°，凹槽與小球均保持靜止。已知重力加速度為 g， sin 37° 0.6 ，
cos37° 0.8，則在緩慢壓低蹺蹺板的 Q 端至跟 P 端等高的過程中。下列說法正確的是（　?。?br/>A．蹺蹺板對凹槽的作用力逐漸增大
B．小球對凹槽的壓力大小始終為 mg
C．開始時蹺蹺板對凹槽的支持力大小為 0.8Mg
D．開始時蹺蹺板對凹槽的摩擦力大小為 0.6Mg
10．如圖甲所示，自動炒菜機的電動鏟子既可推動炒菜也可翻動炒菜。自動炒菜機的炒菜原理可簡化為如
圖乙所示的模型，內壁光滑的半球形容器開口向上固定在水平面上，一個小球放在容器的底部，豎直光滑
擋板與其接觸，擋板的上端剛好與圓心 O 重合，有兩種方式使小球到達容器口附近的 P 點；方式一是將擋
板緩慢水平向右推，在推動過程中擋板始終保持豎直，使小球到達 P 點；方式二是讓擋板繞 O 點緩慢轉動，
使小球到達 P 點。下列說法正確的是（ ）
A．方式一中，擋板對小球的彈力減小 B．方式一中，內壁對小球的彈力減小
C．方式二中，擋板對小球的彈力增大 D．方式二中，內壁對小球的彈力增大
考向 2 圖解法
11．如圖所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物
塊 N，另一端與斜面上的物塊 M 相連，系統處于靜止狀態。現用水平向左的拉力緩慢拉動 N，直至懸掛 N
的細繩與豎直方向成 45°．已知 M 始終保持靜止，則在此過程中（　　）
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M 所受細繩的拉力大小可能先減小后增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
1
12．如圖所示，粗糙水平地面上放有橫截面為 圓的柱狀物體 A，A 與墻面之間放有表面光滑的圓柱形物體
4
B，A、B 均保持靜止。若將 A 向左移動少許，下列說法正確的是（　?。?br/>A．地面對 A 的支持力不變 B．地面對 A 的摩擦力不變
C．墻對 B 的作用力不變 D．B 對 A 的支持力不變
考向 3 相似三角形法
13．如圖所示，一輕桿通過鉸鏈固定在豎直墻上的 O 點，輕桿的另一端 C 用彈性輕繩連接，輕繩的另一端
固定在豎直墻上的 A 點。某人用豎直向下、大小為 F 的拉力作用于 C 點，靜止時 AOC 構成等邊三角形。下
列說法正確的是（　?。?br/>A．此時彈性輕繩的拉力大小可以小于 F
B．此時彈性輕繩的拉力大小為 2F
C．若緩慢增大豎直向下的拉力，則在 OC 到達水平位置之前，輕繩 AC 的拉力增大
D．若緩慢增大豎直向下的拉力，則在 OC 到達水平位置之前，輕桿 OC 對 C 點的作用力減小
14．如圖所示，用一輕繩通過定滑輪將質量為 m 的小球靜置在光滑的半圓柱體上，小球的半徑遠小于半圓
柱體截面的半徑 R，繩 AB 長度為 L，長度為 H 的桿 BC 豎直且與半圓柱體邊緣相切，OA 與水平面夾角為
θ，不計一切摩擦，重力加速度為 g，下列表達式表示繩對小球的拉力 F 是（　?。?br/>mgL mgR 1 cosq
A． BH ． H R tanq cosq
mgL mgL tanq
C． D．
H R tanq H tanq R
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）
15．如圖，柔軟輕繩 ON 的一端 O 固定，其中間某點 M 拴一重物，用手拉住繩的另一端 N。初始時，OM
p
豎直且 MN 被拉直，OM 與 MN 之間的夾角為 α（α＞ ）?，F將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角 α 不
2
變。在 OM 由豎直被拉到水平的過程中（　?。?br/>A．MN 上的張力逐漸減小
B．MN 上的張力先增大后減小
C．OM 上的張力逐漸增大
D．OM 上的張力先增大后減小
16．如圖所示，斜面靜止于水平地面。將一個質量為 m 的小球用輕質細線懸掛于斜面頂端 O 點，在外力 F、
細線拉力FT 和重力 mg 的共同作用下處于平衡狀態。細線與豎直方向的夾角為 θ，與 F 的夾角為 α。開始時，F
方向水平。現緩慢增大 θ 角同時保持 α 角 a > 90° 不變，直至細線水平。此過程中，斜面始終保持靜止，則
下列說法正確的是（ ）
A．外力 F 逐漸增大 B．外力 F 與細線拉力FT 的比值保持不變
C．地面對斜面的摩擦力逐漸增大 D．地面對斜面的作用力保持不變
考點四 平衡中的臨界與極值問題
知識點 平衡中的臨界、極值問題的處理方法
1．臨界問題：當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”
或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等語言敘述。
2．極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值或最小值。
3．解決極值問題和臨界問題的方法
(1)圖解法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進
行動態分析，確定最大值與最小值。
(2)數學解析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖
像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、三角函數極值等)。
考向 1 圖解法
17．如圖所示，用細線將重力為 100N 的物塊懸掛在 O 點，在物塊上施加力 F，在力 F 由水平方向逆時針緩
慢轉至豎直方向的過程中，物塊始終處于靜止狀態，且細線與豎直方向成30°角，則（ ）
A．細線拉力先增大后減小 B．力 F 先增大后減小
200
C．細線拉力的最大值為 N D3 ．力 F 的最小值為 50N
18．一豎直放置的輕質圓環靜止于水平面上，質量為 m 的物體用輕繩系于圓環邊緣上的 A、B 兩點，結點
恰位于圓環的圓心 О 點。已知物體靜止時，AO 繩水平，BO 繩與 AO 繩的夾角為 150°?，F使圓環沿順時針
方向緩慢滾動，在 AO 繩由水平轉動至豎直的過程中（　　）
A．AO 繩中的拉力一直增大 B．AO 繩中最大拉力為 2mg
C．BO 繩中的拉力先減小后增大 D．BO 繩中最小拉力為 mg
考向 2 數學解析法
19．小李發現小區的消防通道被一質量為 m 的石墩擋住了，為了移開石墩小李找來一根結實的繩子，將繩
的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。設繩子與水平方向的夾角為q ，小李對繩施
加的最大拉力為0.6mg 3，石墩與水平地面間的動摩擦因數為 ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列
3
說法正確的是（ ）
A．無論q 取何值，小李都不可能拖動石墩
q pB．小李能拖動石墩，且當 時最省力
3
p
C．小李能拖動石墩，且當q 時最省力
6
p
D．小李能拖動石墩，且當q 時最省力
4
20．質量為 M 的木楔傾角 θ 為 37°，在水平面上保持靜止。當將一質量為 m 的木塊放在木楔斜面上時，它
正好勻速下滑。如圖所示，當用與木楔斜面成 α 角的力 F 拉木塊，木塊勻速上升（已知木楔在整個過程中
始終靜止）?？扇?sin37°=0.6。下列說法正確的有（ ）
A．物塊與斜面間的動摩擦因數為 0.75
B．當 α=37°時 F 有最小值
C．當 α=30°時 F 有最小值
D．F 的最小值為 0.96mg專題 09 受力分析與共點力平衡
目錄
考點一 受力分析........................................................................................................................................................1
考向 整體法與隔離法 ........................................................................................................................................2
考點二 共點力靜態平衡 ............................................................................................................................................3
考向 1 合成法處理物體靜態平衡問題 .............................................................................................................4
考向 2 正交分解法處理物體靜態平衡問題 .....................................................................................................6
考向 3 力的三角形法處理物體靜態平衡問題 .................................................................................................7
考點三 動態平衡........................................................................................................................................................9
考向 1 解析法...................................................................................................................................................10
考向 2 圖解法...................................................................................................................................................12
考向 3 相似三角形法 .......................................................................................................................................13
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法） ...........................................................................................15
考點四 平衡中的臨界與極值問題 ..........................................................................................................................17
考向 1 圖解法...................................................................................................................................................17
考向 2 數學解析法...........................................................................................................................................19
考點一 受力分析
知識點　受力分析的順序、方法及注意事項
1.受力分析的一般順序：先分析場力(重力、電場力、磁場力)，再分析接觸力(彈力、摩擦力)，最后分析
其他力．
2.研究對象選取方法：
(1)整體法和隔離法．
①當分析相互作用的兩個或兩個以上物體整體的受力情況及分析外力對系統的作用時，宜用整體法．
②在分析系統內各物體(或一個物體各部分)間的相互作用時常用隔離法．
③整體法和隔離法不是獨立的，對一些較復雜問題，通常需要多次選取研究對象，交替使用整體法和
隔離法．
(2)動力學分析法：
對加速運動的物體進行受力分析時,應用牛頓運動定律進行分析求解的方法.
3.受力分析的六個注意點
(1)不要把研究對象所受的力與研究對象對其他物體的作用力混淆。
(2)每一個力都應找出其施力物體,不能無中生有。
(3)合力和分力不能重復考慮。
(4)涉及彈簧彈力時,要注意拉伸或壓縮可能性分析。
(5)分析摩擦力時要特別注意摩擦力的方向。
(6)對整體進行受力分析時,組成整體的幾個物體間的作用力為內力,不能在受力分析圖中出現;當把某
一物體隔離分析時,原來的內力變成外力,要在受力分析圖中畫出。
考向 整體法與隔離法
1．如圖所示，截面為三角形的兩物塊 A、B 疊放后放置于豎直的彈簧及豎直墻面之間，系統處于平衡狀態，
以下受力分析正確的是（ ）
A．彈簧的彈力大于 A、B 兩物塊的總重力
B．A 物塊受墻面豎直向上的摩擦力
C．A 物塊共受 5 個力作用
D．B 物塊受到 A 物塊的摩擦力一定沿兩物塊的接觸面向下
【答案】D
【詳解】AB．以 A、B 兩物塊組成的整體為研究對象，根據平衡條件得知，整體只受重力和彈簧彈力作用，
故墻對 A 沒有彈力，因而也沒有摩擦力，彈簧的彈力大小等于 A、B 兩物塊的總重力，故 AB 錯誤；
C．A 受到重力、B 的支持力和 B 對 A 的摩擦力三個力作用，故 C 錯誤；
D．B 受到重力、彈簧彈力、A 的壓力和 A 對 B 的摩擦力共四個力作用，由于 A 物塊受的摩擦力沿兩物塊的
接觸面向上，則 B 物塊受的摩擦力沿兩物塊的接觸面向下，故 D 正確。
故選 D。
2．如圖所示，某建筑工人正用鐵夾夾起五塊磚從車上卸下來。已知每塊磚的質量為 m，重力加速度為 g，
不計鐵夾重力，則（ ）
A．工人對鐵夾的作用力一定始終等于 5mg
B．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 A 受到的合力大小為 4mg
C．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 C 受到 5 個力的作用
D．若 5 塊磚保持靜止，則磚塊 C 不受摩擦力
【答案】C
【詳解】A.工人卸磚過程中，鐵夾及磚塊有加速、減速過程，所以工人對鐵夾及磚塊整體的作用力可能大于、
等于或小于 5mg，故 A 錯誤；
B.工人用鐵夾夾住 5 塊磚保持靜止時，磚塊 A 受到的合力大小為零，故 B 錯誤；
CD.磚塊 C 受到重力、磚塊 B 對它的彈力、摩擦力及磚塊 D 對它的彈力、摩擦力，一共 5 個力的作用，故 C
正確，D 錯誤。
故選 C。
考點二 共點力靜態平衡
知識點 1 共點力平衡的條件、狀態和推論
1.平衡狀態：(1)靜止；(2)勻速直線運動。
2.平衡條件：
(1)物體所受合外力為零,即 F 合=0。
(2)若采用正交分解法,平衡條件表達式為 Fx=0,Fy=0。
3.常用推論
(1)若物體受 n 個作用力而處于平衡狀態，則其中任意一個力與其余(n－1)個力的合力大小相等、方向相
反。
(2)若三個不共線的共點力合力為零，則表示這三個力的有向線段首尾相接組成一個封閉三角形。
知識點 2 分析物體靜態平衡的常用方法
方法 適用條件 注意事項 優點
(1)表示三個力大小的線段長度
物體受三個力 不可隨意畫 對于物體所受的三個力,有兩個力相互垂直
合成法
作用而平衡 (2)兩力的合力與第三個力等大 或兩個力大小相等的平衡問題求解較簡單
反向
物體受三個或
正交分 選坐標軸時應使盡量多的力與坐 對于物體受三個以上的力處于平衡狀態的
三個以上的力
解法 標軸重合 問題求解較方便
作用而平衡
力的三 物體受三個力 將三個力的矢量圖平移,構成一 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大
角形法 作用而平衡 個依次首尾相連接的矢量三角形 小和方向
考向 1 合成法處理物體靜態平衡問題
3．如圖甲所示為烤腸機，香腸可視為質量為 m 的均勻圓柱體，靜止在兩根水平的平行金屬桿中間，其截面
圖如圖乙所示。金屬桿 1 圓心與烤腸圓心的連線與豎直方向的夾角為 θ，不計一切摩擦，重力加速度為 g。
則金屬桿 1 對烤腸的作用力大小為（　?。?br/>1
A． mg
mg mg mg
B． C． D．
2 cosq 2cosq 2 tanq
【答案】C
【詳解】對香腸受力分析如圖所示
根據平衡條件有 N1 N2 2N1 cosq mg
mg
解得香腸烤熟前，金屬桿 1 對烤腸的支持力大小為 N1 N2 2cosq
故選 C。
4．圖甲是學?；@球存放架，支撐籃球的兩個水平光滑橫桿一高一低，兩桿的距離正好等于籃球半徑的 2
倍，其右視圖簡化為圖乙所示。較低的 a 桿對籃球的支持力大小為 F ，較高的 b 桿對籃球的支持力大小為 Fb。
已知籃球重力大小為 G，忽略桿的粗細。則 F 、Fb 、G 的關系為（　?。?br/>A．F > G B F 2 F 2a ． a b G
2 C．Fb > G D．Fb G
【答案】B
【詳解】B．由于 a、b 兩桿的距離正好等于籃球半徑的 2 倍，可知 aOb 90°，對籃球受力分析如圖所示
可知Fa 與F
2 2 2 2 2 2 2
b 之間的夾角為90°，根據受力平衡可得Fa Fb F G F合 G得Fa F G合 b 故 B 正確；
ACD．設Fa 與豎直方向的夾角為a ，Fb 與豎直方向的夾角為b ， 0 < cosa <1，0 < cos b <1根據受力平衡
可得Fa G cosa < G ，Fb G cos b < G 故 ACD 錯誤。故選 B。
考向 2 正交分解法處理物體靜態平衡問題
5．如圖，彈簧測力計下端掛有一質量為0.20kg 的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面
傾角為30°，擋板與斜面夾角為60°．若彈簧測力計位于豎直方向，讀數為1.0N, g 取10m/s2 ,擋板對球體支持
力的大小為（ ）
A 3 N B 1.0N C 2 3． ． ． N D． 2.0N
3 3
【答案】A
【詳解】對小球受力分析如圖所示
由幾何關系易得力F 與力FN 與豎直方向的夾角均為30°，因此由正交分解方程可得FN sin 30° F sin 30°，
FN cos30° F cos30° T mg 解得F
3
FN 故選 A。3
6．如圖所示，兩根相同的圓柱形木桿AB和CD相互平行，與水平方向的夾角為a 。將一摞總質量為m 的
瓦片放置在兩木桿之間，兩桿對瓦片彈力的夾角為q ，瓦片處于靜止狀態，已知重力加速度為 g，則瓦片受
到AB桿的摩擦力、支持力大小分別為（ ）
1 mgcosa mgcosa
A． mgcosa
1
， 2sin q B． mgcosa ， 2cosq2 2 2 2
1 mgcosa mgcosa
C． mgsina
1
， 2sin q D． mgsina ，2 2 2cos
q
2 2
【答案】D
【詳解】根據題意，對瓦片進行受力分析，受力如圖 1 所示，由平衡條件可得 f 2 f1 mgsina ， N mgcosa
1
即 f1 mgsina 瓦片垂直桿方向，受力如圖 2 所示，由平衡條件可得 2N1cos
q
N mgcosa 解得
2 2
N mgcosa1
2cosq 故選 D。
2
考向 3 力的三角形法處理物體靜態平衡問題
7．如圖所示，廂式汽車停放在水平地面上。一條長 2L的不可伸長的輕繩兩端分別拴在相距為 L 的 a、b 兩
點，讓輕繩穿過質量為 m 的光滑環，將光滑圓環懸掛起來，此時輕繩拉力為F1。此后將汽車停放在傾角為30°
的斜面上，此時輕繩的拉力為F2 。則F1 : F2的值為（　?。?br/>A．1:1 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 13 : 2 3
【答案】D
【詳解】汽車在水平面時，對小球進行受力分析如圖
1 mg
可得F 2 3mg 在斜面上受力分析如圖1 cos30o 3
設 a 到球的距離為 x ，則 b 到球的距離為 2L - x ，設邊長為 x 的邊與豎直方向夾角為a ，根據幾何關系及正
L x 2L - x 13 mg
弦定理，有 sin 2a 2mgsin 60o -a sin 120o -a 解得 sina 根據受力分析，可得F 2 所以4 2 cosa 13
F1 13有 故選 D。
F2 2 3
8．擦玻璃機器人可以幫助人們解決高層和戶外擦玻璃難的問題。如圖甲所示，一棟大廈表面均為玻璃材料，
機器人牽引擦子（未畫出）清潔玻璃時，將大廈某一表面簡化為如圖乙所示的正三角形 ABC，與水平面夾
角為30° 3。已知機器人對擦子的牽引力平行于玻璃表面，擦子質量為 m，與玻璃間的動摩擦因數為 ，重
3
力加速度為 g。則機器人在該表面由 B 點勻速運動到 AC 中點 D 的過程中，擦子所受的牽引力為（ ）
1 1
A 3 7． mg B． mg C． D．
2 4 mg mg2 4
【答案】C
【詳解】機器人在垂直玻璃表面的方向，重力垂直于玻璃表面的分力大小等于機器人對玻璃表面的壓力大
小，則有FN mg cos30°
1
而滑動摩擦力Ff mFN 代入數據解得Ff mg 滑動摩擦力與物體相對玻璃表面的2
速度方向相反，機器人勻速運動，合力為零，在玻璃表面機器人受力分析如圖所示
滑動摩擦力與重力沿斜面向下的分力的合力與牽引力大小相等方向相反，由幾何關系可知滑動摩擦力與重
力沿斜面向下的分力的夾角為60°，則 OPN 120°，在VOPN 中，由余弦定理可得
mg sin 30° 2 F 2 - F 2
cos120 ° f 3代入數據可得F mg 故選 C。
2 mg sin 30° Ff 2
考點三 動態平衡
知識點 1 動態平衡及基本思路
1.所謂動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終
處于一系列的平衡狀態，常利用圖解法解決此類問題。
2.基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
知識點 2 處理動態平衡問題的四種方法
1.解析法：對研究對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據物體的平衡條件，得到因變量與自變量
的關系表達式(通常要用到三角函數)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化。
2.圖解法：
(1)特點：物體受三個共點力，有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。
(2)方法：
受力 化“動”為“靜”畫不同狀態“靜”中求“動”確定力
分析 ― ― → 下的平衡圖
― ― →
的變化
　　
3.三角形相似法：
(1)特點：在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關系。
(2)方法：①對物體在某個位置作受力分析；②以兩個變力為鄰邊，利用平行四邊形定則，作平行四邊形；③找
出相似的力的矢量三角形和空間幾何三角形；④利用相似三角形對應邊的比例關系確定力的變化。
4.拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）：
(1)特點：物體受三個共點力，這三個力其中一個力為恒力，另外兩個力都變化，且變化兩個力的夾角不變。
F F F
(2)拉密定理： 1 2 3
sin b1 sinq2 sina3
（3）輔助圓法：畫出三個力的矢量三角形的外接圓，不便力為一固定弦，因為固定弦所對的圓周角大小始
終不變，改變一力的方向，另一大小方向變化情況可得。
考向 1 解析法
9．如圖所示，質量為 m 的小球置于內壁光滑的半球形凹槽內，凹槽放置在蹺蹺板上，凹槽的質量為 M。開
始時蹺蹺板與水平面的夾角為37°，凹槽與小球均保持靜止。已知重力加速度為 g， sin 37° 0.6 ，
cos37° 0.8，則在緩慢壓低蹺蹺板的 Q 端至跟 P 端等高的過程中。下列說法正確的是（　?。?br/>A．蹺蹺板對凹槽的作用力逐漸增大
B．小球對凹槽的壓力大小始終為 mg
C．開始時蹺蹺板對凹槽的支持力大小為 0.8Mg
D．開始時蹺蹺板對凹槽的摩擦力大小為 0.6Mg
【答案】B
【詳解】A．由于小球、凹槽整體的重力不變化，與蹺蹺板的作用力等大反向，那么蹺蹺板對凹槽的作用力
不變，故 A 錯誤；
B．小球所在處的凹槽切線總是水平的，那么小球對凹槽的壓力大小始終等于小球的重力mg ，故 B 正確；
CD．將小球跟凹槽視為整體，開始時恰好靜止，那么根據受力平衡知，蹺蹺板對凹槽的支持力大小為
FN m M g cos37° 0.8 m M g 蹺蹺板對凹槽的摩擦力大小為 f m M g sin 37° 0.6 m M g 故
CD 錯誤。故選 B。
10．如圖甲所示，自動炒菜機的電動鏟子既可推動炒菜也可翻動炒菜。自動炒菜機的炒菜原理可簡化為如
圖乙所示的模型，內壁光滑的半球形容器開口向上固定在水平面上，一個小球放在容器的底部，豎直光滑
擋板與其接觸，擋板的上端剛好與圓心 O 重合，有兩種方式使小球到達容器口附近的 P 點；方式一是將擋
板緩慢水平向右推，在推動過程中擋板始終保持豎直，使小球到達 P 點；方式二是讓擋板繞 O 點緩慢轉動，
使小球到達 P 點。下列說法正確的是（ ）
A．方式一中，擋板對小球的彈力減小 B．方式一中，內壁對小球的彈力減小
C．方式二中，擋板對小球的彈力增大 D．方式二中，內壁對小球的彈力增大
【答案】C
【詳解】AB．方式一，對小球受力分析，如圖所示
若將擋板緩慢水平向右推的過程中，角q 由 0 度增大到 90°，由平衡可得F1 mgtanq N
mg
、 1 cosq
則（擋板對小球的彈力）F1不斷增大，（內壁對小球的彈力）N1不斷增大，故 AB 錯誤；
CD．方式二，對小球受力分析，如圖所示
由題意可知，N2與 F2始終垂直，且轉動過程中a 增大，由平衡可得F2 mgsinα 、 N2 mgcosa 則（擋板對
小球的彈力）F2不斷增大，（內壁對小球的彈力）N2不斷減小，故 C 正確，D 錯誤。故選 C。
考向 2 圖解法
11．如圖所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物
塊 N，另一端與斜面上的物塊 M 相連，系統處于靜止狀態?，F用水平向左的拉力緩慢拉動 N，直至懸掛 N
的細繩與豎直方向成 45°．已知 M 始終保持靜止，則在此過程中（　　）
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M 所受細繩的拉力大小可能先減小后增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
【答案】C
【詳解】AB．因為物體 N 重力是不變量，根據共點力平衡關系知，水平方向的拉力和細繩的拉力合力不變，
再根據矢量平行四邊形法則作圖，
由圖可得，當懸掛 N 的細繩與豎直方向的角度增大時，水平拉力在不斷增大，懸掛細繩的拉力也不斷增大。
故 AB 錯誤；
CD．對物體 M 做受力分析，因為細繩的拉力在不斷增大，物體在斜面方向受到重力的沿斜面的分力保持不
變，因為物體平衡，故當拉力小于重力分力時，摩擦力沿斜面向上，當細繩的拉力在不斷增大時，摩擦力
經歷先減小后增大的過程。當拉力大于重力分力時，摩擦力沿斜面向下。當細繩的拉力在不斷增大時，摩
擦力大小隨之增大。故 C 正確；D 錯誤。
故選 C。
1
12．如圖所示，粗糙水平地面上放有橫截面為 圓的柱狀物體 A，A 與墻面之間放有表面光滑的圓柱形物體
4
B，A、B 均保持靜止。若將 A 向左移動少許，下列說法正確的是（　?。?br/>A．地面對 A 的支持力不變 B．地面對 A 的摩擦力不變
C．墻對 B 的作用力不變 D．B 對 A 的支持力不變
【答案】A
【詳解】CD．對物體 B 受力分析，受到重力 mg、A 對 B 的支持力 N 和墻壁對 B 的支持力 N，如圖所示
當 A 向左移動后，A 對 B 的支持力的方向不斷變化，根據平衡條件結合合成法可知，A 對 B 的支持力 N 和
墻壁對 B 的支持力 N 都在不斷減小，根據牛頓第三定律可得，B 對 A 的支持力減小，故 CD 錯誤；
AB．對 A 和 B 整體受力分析，受到總重力 G、地面支持力 FN，地面的摩擦力 f 和墻壁的彈力 N，如圖所示
根據平衡條件，有 f N ，FN G 故地面的支持力不變，地面的摩擦力 f 隨著墻壁對 B 的支持力 N 的不斷
減小而不斷減小，故 A 正確，B 錯誤。故選 A。
考向 3 相似三角形法
13．如圖所示，一輕桿通過鉸鏈固定在豎直墻上的 O 點，輕桿的另一端 C 用彈性輕繩連接，輕繩的另一端
固定在豎直墻上的 A 點。某人用豎直向下、大小為 F 的拉力作用于 C 點，靜止時 AOC 構成等邊三角形。下
列說法正確的是（　　）
A．此時彈性輕繩的拉力大小可以小于 F
B．此時彈性輕繩的拉力大小為 2F
C．若緩慢增大豎直向下的拉力，則在 OC 到達水平位置之前，輕繩 AC 的拉力增大
D．若緩慢增大豎直向下的拉力，則在 OC 到達水平位置之前，輕桿 OC 對 C 點的作用力減小
【答案】C
【詳解】AB．輕桿通過鉸鏈固定在豎直墻上的 O 點，可知輕桿對 C 端的支持力方向沿桿的方向，由于輕繩
拉力、輕桿的彈力與豎直向下拉力 F 互成 120°角，根據共點力平衡條件可知，此時彈性輕繩的拉力大小為
T F 故 AB 錯誤；
CD．對 C 端受力分析如圖所示
F T N
由相似三角形可知 若緩慢增大豎直向下的拉力 F，則在 OC 到達水平位置之前，由于 AO、
AO AC OC
OC 長度不變，可知輕桿 OC 對 C 點的作用力 N 變大；由于 AC 長度變大，則彈性輕繩的伸長量變大，輕繩
AC 的拉力 T 增大，故 C 正確，D 錯誤。故選 C。
14．如圖所示，用一輕繩通過定滑輪將質量為 m 的小球靜置在光滑的半圓柱體上，小球的半徑遠小于半圓
柱體截面的半徑 R，繩 AB 長度為 L，長度為 H 的桿 BC 豎直且與半圓柱體邊緣相切，OA 與水平面夾角為
θ，不計一切摩擦，重力加速度為 g，下列表達式表示繩對小球的拉力 F 是（　?。?br/>mgL mgR 1 cosq
A． BH ． H R tanq cosq
mgL mgL tanq
C． D．
H R tanq H tanq R
【答案】C
【詳解】根據題意，對小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，組成矢量三角形，
延長 AO 和BC 交于D點，如圖所示
F mg
由幾何關系和相似三角形有 解得F
mgL
故選 C。
L H R tanq H R tanq
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）
15．如圖，柔軟輕繩 ON 的一端 O 固定，其中間某點 M 拴一重物，用手拉住繩的另一端 N。初始時，OM
p
豎直且 MN 被拉直，OM 與 MN 之間的夾角為 α（α＞ ）?，F將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角 α 不
2
變。在 OM 由豎直被拉到水平的過程中（　　）
A．MN 上的張力逐漸減小
B．MN 上的張力先增大后減小
C．OM 上的張力逐漸增大
D．OM 上的張力先增大后減小
【答案】D
【詳解】方法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力 mg、OM 繩上拉力 F2、MN 上拉力 F1，由題意
知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示
F1、F2的夾角不變，在 F2轉至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，
MN 上的張力 F1逐漸增大，OM 上的張力 F2先增大后減小，故 ABC 錯誤，D 正確。
方法二：正弦定理
把三力 F1、F2、G 放在一個矢量三角形中，如圖所示
G F F
根據正弦定理有 1 2 易證明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°故有
sin 3 sin 1 sin 2
G F F
1 2
sina sin b sin g 在 OM 由豎直被拉到水平的過程中，α 角保持不變，β 由鈍角減小至 90°，γ 由銳角增大
至鈍角，故可判斷 F1逐漸增大，F2先增大后減小，故 D 正確。故選 D。
16．如圖所示，斜面靜止于水平地面。將一個質量為 m 的小球用輕質細線懸掛于斜面頂端 O 點，在外力 F、
細線拉力FT 和重力 mg 的共同作用下處于平衡狀態。細線與豎直方向的夾角為 θ，與 F 的夾角為 α。開始時，F
方向水平?，F緩慢增大 θ 角同時保持 α 角 a > 90° 不變，直至細線水平。此過程中，斜面始終保持靜止，則
下列說法正確的是（ ）
A．外力 F 逐漸增大 B．外力 F 與細線拉力FT 的比值保持不變
C．地面對斜面的摩擦力逐漸增大 D．地面對斜面的作用力保持不變
【答案】A
【詳解】AB．如圖所示，作出外力 F、細線拉力 FT 的合力如圖所示：
二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持 α 角不變，逐漸緩慢增大 θ 角，直至懸線水平，因此外力 F
逐漸增大，細線拉力 FT 逐漸減小，外力 F 與細線拉力 FT 的比值增加，故 A 正確，B 錯誤；
C．在此過程中，拉力 F 變為 F 時，水平分力最大，即水平分力先增大后減小，應用整體法可分析出地面對
斜面的摩擦力先增大后減小，故 C 錯誤；
D．在此過程中，拉力 F 的豎直分力逐漸增大，根據整體法可分析出地面對斜面的支持力一直在減小，由 C
項知地面對斜面的摩擦力先增大后減小，地面對斜面的作用力為支持力與摩擦力的合力，由勾股定理知，
地面對斜面的作用力發生變化，故 D 錯誤。故選 A。
考點四 平衡中的臨界與極值問題
知識點 平衡中的臨界、極值問題的處理方法
1．臨界問題：當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”
或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等語言敘述。
2．極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值或最小值。
3．解決極值問題和臨界問題的方法
(1)圖解法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進
行動態分析，確定最大值與最小值。
(2)數學解析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖
像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、三角函數極值等)。
考向 1 圖解法
17．如圖所示，用細線將重力為 100N 的物塊懸掛在 O 點，在物塊上施加力 F，在力 F 由水平方向逆時針緩
慢轉至豎直方向的過程中，物塊始終處于靜止狀態，且細線與豎直方向成30°角，則（ ）
A．細線拉力先增大后減小 B．力 F 先增大后減小
200
C．細線拉力的最大值為 N D．力 F 的最小值為 50N3
【答案】D
【詳解】對物塊受力分析，作出如圖所示的矢量三角形
可知在 F 由水平方向逆時針緩慢轉至豎直方向的過程中，細線拉力 T 一直減小，根據共點力平衡可知 T 的
T G 2 3 G 200 3最大值為 max N 力 F 先減小后增大，F 的最小值為Fmin G sin 30° 50N故選 D。cos30° 3 3
18．一豎直放置的輕質圓環靜止于水平面上，質量為 m 的物體用輕繩系于圓環邊緣上的 A、B 兩點，結點
恰位于圓環的圓心 О 點。已知物體靜止時，AO 繩水平，BO 繩與 AO 繩的夾角為 150°?，F使圓環沿順時針
方向緩慢滾動，在 AO 繩由水平轉動至豎直的過程中（　?。?br/>A．AO 繩中的拉力一直增大 B．AO 繩中最大拉力為 2mg
C．BO 繩中的拉力先減小后增大 D．BO 繩中最小拉力為 mg
【答案】B
【詳解】AC．物體始終保持靜止，合力為零，由于重力不變，以及F1和F o2 夾角a 150 不變，則 b 30o
則 mg、F1、F2 構成封閉的矢量三角形如圖所示
可知在 AO 繩由水平轉動至豎直的過程中，AO 繩中的拉力先增大后減小，BO 繩中的拉力一直減小，故 AC
錯誤；
mg
B．當F1為直徑時，F1最大，AO 繩中最大拉力為F1 o 2mg 故 B 正確；D．在 AO 繩豎直時，BO 繩sin 30
中拉力最小，為零，故 D 錯誤。故選 B。
考向 2 數學解析法
19．小李發現小區的消防通道被一質量為 m 的石墩擋住了，為了移開石墩小李找來一根結實的繩子，將繩
的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。設繩子與水平方向的夾角為q ，小李對繩施
加的最大拉力為0.6mg 3，石墩與水平地面間的動摩擦因數為 ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列
3
說法正確的是（ ）
A．無論q 取何值，小李都不可能拖動石墩
p
B．小李能拖動石墩，且當q 時最省力
3
p
C．小李能拖動石墩，且當q 時最省力
6
p
D．小李能拖動石墩，且當q 時最省力
4
【答案】C
【詳解】對石墩進行受力分析如圖所示
F cosq mFN 3 1 F
mg
p q p
F F sin mg 解得 2F ( cosq sinq ) mg 即 2sin( q ) 可解得，當
時，F 最小為 0.5mg，
N q 2 2 3 6
p
故小李能拖動石墩，且當q 時最省力。故選 C。
6
20．質量為 M 的木楔傾角 θ 為 37°，在水平面上保持靜止。當將一質量為 m 的木塊放在木楔斜面上時，它
正好勻速下滑。如圖所示，當用與木楔斜面成 α 角的力 F 拉木塊，木塊勻速上升（已知木楔在整個過程中
始終靜止）?？扇?sin37°=0.6。下列說法正確的有（ ）
A．物塊與斜面間的動摩擦因數為 0.75
B．當 α=37°時 F 有最小值
C．當 α=30°時 F 有最小值
D．F 的最小值為 0.96mg
【答案】ABD
【詳解】A．物塊勻速下滑時，有mg sin 37° mmg cos37° 解得m 0.75，A 正確；
F mg sin 2qBCD．物塊勻速上升時，有F cosa mg sinq m mg cosq - F sina 整理得 cos q -a 可知，當a q 37°
時 F 有最小值，最小值為F 0.96mg ，BD 正確，C 錯誤。故選 ABD。

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