資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數(shù)學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第三課時 解一元二次方程（1）
學習目標：
1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程。
2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
二、老師告訴你
直接開平方法解一元二次方程的“三步法”
變形：將方程化為（mx+n）2=p（p≥0）的形式；
開方：利用平方根，將方程轉化為兩個一元一次方程；
求解：解一元一次方程，得出方程的根。
三、知識點撥
知識點1：形如x2=p（p≥0）的解法
①將方程化為
②直接開平方化為兩個一元一次方程；
③解兩個一元一次方程得到原方程的解。
【新知導學】
例1-1．方程x2=8的解是（　　）
A. x=4 B. x=
C. D.
例1-2．方程x2=0的實數(shù)根的個數(shù)是（　　）
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 無法確定
【對應導練】
1．若x1，x2是方程x2=16的兩根，則x1+x2的值是（　　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 0
2．如果x=4是方程ax2+c=0的一個根，這個方程的另一個根為 _____．
3．方程x2-49=0的根是 _____．
知識點2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
①將方程化為的形式；
②直接開平方化為兩個一元一次方程；
③解兩個一元一次方程得到原方程的解。
直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
達到降次轉化之目的．
【新知導學】
例2-1 .解方程：6（x-1）2-54=0．
例2-2 .若關于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，則a,b的值分別為（　　）
A. 1，2 B. 4，1 C. 1，-2 D. 4，-1
【對應導練】
1．一元二次方程（x+6）2=9可以轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程為x+6=3，則另一個一元一次方程為（　　）
A. x-6=-3 B. x+6=-9 C. x+6=9 D. x+6=-3
2．已知關于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
3．解方程：．
知識點3：.直接開平方法解一元二次方程的應用
判定方程解的情況
對于可化為方程 x2 =p的解的情況
(1)當p>0 時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不等的實數(shù)根
(2)當p=0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0.
(3)當p<0 時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0 ，所以方程無實數(shù)根.
2.其他應用
【新知導學】
例3-1．若關于x的方程（x+5）2=m-1有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A. m＞0 B. m≥1 C. m＞1 D. m≠1
例3-2．若方程（x-1）2=m+1有解，則m的取值范圍是（　　）
A. m≤-1 B. m≥-1
C. m為任意實數(shù) D. m＞0
【對應導練】
1．若方程（x-2）2=a-4有實數(shù)根，則a的取值范圍是 _____．
2．將4個數(shù)a,b,c,d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，規(guī)定=ad-bc,上述記號就叫做2階行列式．若=6，求x的值．
3．在實數(shù)范圍內定義運算“ ”，其法則為：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
題型訓練
題型1直接開平方法在解方程中的應用
1．直接開平方法解方程：60（1+x）2=72.6
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
3．在實數(shù)范圍內定義運算“ ”，其法則為：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
題型2 直接開平方法在求三角形周長的應用
1．已知三角形的兩邊長是4和6，第三邊的長是方程（x-3）2=4的根，則此三角形的周長為（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
2．若制作的一個長方體底面積為24，長、寬、高的比為4：2：1，則此長方體的體積為（　　）
A. 216 B.
C. D.
3．一元二次方程是我們初中階段學習的最難的一種方程，它的解法有很多種，其中有一種方法是可以利用完全平方公式來求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步驟，試解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公園內一塊長方形草地的面積為600平方米，且它的長比寬多10米，求這個長方形的周長．
．
牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.3
2．用直接降次的方法解方程，做法正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．一元二次方程的根是( )
A. B. C. D.
4．若a為方程的一根，b為方程的一根，且都是正數(shù).則的值為( )
A.5 B.6 C. D.
5．對形如的方程，下列說法正確的是( )
A.直接開平方得
B.直接開平方得
C.當時，直接開平方得
D.當時，直接開平方得
6．方程的解為( )
A. B.
C. D.
7．如果多項式的值為9,則x的值為( )
A.2 B.2或-2 C.-1 D.2或-1
8．如果是一元二次方程的一個根,那么該方程的另一個根是( )
A.3 B.-3 C.0 D.1
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一元二次方程的解是 .
10．一元二次方程可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是，則另一個一元一次方程是 .
11．方程的解為 .
12．若一元二次方程的兩個根分別是與，則 .
13．用直接開平方法解一元二次方程:.
小明的解答如下:
解:移項，得.①
直接開平方.得.②
所以.③
小明的解答有無錯誤 若有，錯在第 步，原因是 ，寫出正確的解答過程.
三、解答題（共6小題，48分）
14.（12分）用直接開平方法解下列方程:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
15.（8分）以下是圓圓解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程：
解：移項得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
開平方得：x﹣1＝±2
移項：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
16．（6分）若，求的值.
17．（6分）在實數(shù)范圍內定義運算，其法則為:，求方程的解.
18.（8分）在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可變形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接開平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我們稱這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+2）（x+8）＝40時寫的解題過程：
解：原方程可變形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接開平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解題過程中的a，b，c，d所表示的數(shù)分別是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
19．（8分）一元二次方程是我們初中階段學習的最難的一種方程，它的解法有很多種，其中有一種方法是可以利用完全平方公式來求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步驟，試解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公園內一塊長方形草地的面積為600平方米，且它的長比寬多10米，求這個長方形的周長．
九年級數(shù)學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第三課時 解一元二次方程（1）
學習目標：
1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程。
2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
二、老師告訴你
直接開平方法解一元二次方程的“三步法”
變形：將方程化為（mx+n）2=p（p≥0）的形式；
開方：利用平方根，將方程轉化為兩個一元一次方程；
求解：解一元一次方程，得出方程的根。
三、知識點撥
知識點1：形如x2=p（p≥0）的解法
①將方程化為
②直接開平方化為兩個一元一次方程；
③解兩個一元一次方程得到原方程的解。
【新知導學】
例1-1．方程x2=8的解是（　　）
A. x=4 B. x=
C. D.
【答案】D
【解析】將已知方程兩邊開平方即可．
解：∵x2=8，
∴x=±2，
故選：D．
例1-2．方程x2=0的實數(shù)根的個數(shù)是（　　）
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 無法確定
【答案】C
【解析】把方程兩邊直接開方得到x=±=0，則x1=x2=0，即可得到答案．
解：∵x2=0，
∴x=±=0，
∴x1=x2=0．
故選：C．
【對應導練】
1．若x1，x2是方程x2=16的兩根，則x1+x2的值是（　　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 0
【答案】D
【解析】先利用直接開平方法求解得出x1，x2的值，再計算加法即可．
解：∵x2=16，
∴x1=4，x2=-4，
則x1+x2=0，
故選：D．
2．如果x=4是方程ax2+c=0的一個根，這個方程的另一個根為 _____．
【答案】x=-4
【解析】將x=4代入方程得出c=-16a,從而還原方程，再利用直接開平方法求解即可得出答案．
解：將x=4代入方程，得：16a+c=0，
解得c=-16a,
∴方程為ax2-16a=0，
則x2=16，
∴x=4或x=-4，
即這個方程的另一個根為x=-4，
故答案為：x=-4．
3．方程x2-49=0的根是 _____．
【答案】x1=7，x2=-7
【解析】首先移項可得x2=49，再兩邊直接開平方即可．
解：x2-49=0，
移項得：x2=49，
兩邊直接開平方得：x=±7，
∴x1=7，x2=-7
故答案為：x1=7，x2=-7．
知識點2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
①將方程化為的形式；
②直接開平方化為兩個一元一次方程；
③解兩個一元一次方程得到原方程的解。
直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
達到降次轉化之目的．
【新知導學】
例2-1 .解方程：6（x-1）2-54=0．
【解析】利用直接開平方法求解即可．
解：∵6（x-1）2-54=0，
∴6（x-1）2=54，
∴（x-1）2=9，
則x-1=3或x-1=-3，
解得x1=4，x2=-2．
例2-2 .若關于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，則a,b的值分別為（　　）
A. 1，2 B. 4，1 C. 1，-2 D. 4，-1
【答案】A
【解析】由關于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，把方程的解的值分別代入方程，即可求得a與b的值．
解：方程（x-b）2=a
∵關于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，
（1-b）2 =a (3-b)2=a∴b=2，a=1．
故選：A．
【對應導練】
1．一元二次方程（x+6）2=9可以轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程為x+6=3，則另一個一元一次方程為（　　）
A. x-6=-3 B. x+6=-9 C. x+6=9 D. x+6=-3
【答案】D
【解析】利用直接開平方法求解可得答案．
解：∵（x+6）2=9，
∴x+6=3或x+6=-3，
故選：D．
2．已知關于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
【答案】x3=0，x4=-3
【解析】把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．
解：∵關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均為常數(shù)，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0變形為a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1，
解得x=0或x=-3．
故答案為：x3=0，x4=-3．
3．解方程：．
【答案】
【解析】利用直接開平方法解方程．
解：
∴．
【點睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的解法并熟練應用是解題的關鍵．
知識點3：.直接開平方法解一元二次方程的應用
判定方程解的情況
對于可化為方程 x2 =p的解的情況
(1)當p>0 時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不等的實數(shù)根
(2)當p=0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0.
(3)當p<0 時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0 ，所以方程無實數(shù)根.
2.其他應用
【新知導學】
例3-1．若關于x的方程（x+5）2=m-1有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A. m＞0 B. m≥1 C. m＞1 D. m≠1
【答案】B
【解析】由于方程（x+5）2=m-1有兩個實數(shù)根，則m-1≥0，然后解不等式即可．
解：根據(jù)題意得m-1≥0，
所以m≥1．
故選：B．
例3-2．若方程（x-1）2=m+1有解，則m的取值范圍是（　　）
A. m≤-1 B. m≥-1
C. m為任意實數(shù) D. m＞0
【答案】B
【解析】根據(jù)非負數(shù)的性質可知（x-1）2≥0，所以當m+1≥0時，關于x的方程（x-1）2=m+1有解，由此求出m的取值范圍．
解：∵關于x的方程（x-1）2=m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥-1．
故選：B．
【對應導練】
1．若方程（x-2）2=a-4有實數(shù)根，則a的取值范圍是 _____．
【答案】a≥4
【解析】根據(jù)已知得出關于a的不等式，求出不等式的解即可．
解：∵方程（x-2）2=a-4有實數(shù)根，
∴a-4≥0，
∴a≥4，
故答案為：a≥4．
2．將4個數(shù)a,b,c,d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，規(guī)定=ad-bc,上述記號就叫做2階行列式．若=6，求x的值．
【解析】根據(jù)題意得出方程（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=6，整理后用直接開平方法求出即可．
解：根據(jù)題意得：（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=6，
整理得：2x2+2=6，
x2=2，
x=±，
即x1=，x2=-．
3．在實數(shù)范圍內定義運算“ ”，其法則為：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
【解析】此題是新定義題型，應該嚴格按照題中給出的計算法則進行運算，其中有小括號的要先算小括號．
解：∵a b=a2-b2，
∴（4 3） x=（42-32） x=7 x=72-x2
∴72-x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．
題型訓練
題型1直接開平方法在解方程中的應用
1．直接開平方法解方程：60（1+x）2=72.6
【解析】方程兩邊都除以60，再直接開方計算．
解：60（1+x）2=72.6，
兩邊除以60得（1+x）2=1.21
開方得1+x=±1.1
即1+x=1.1或1+x=-1.1．
解得x1=0.1，x2=-2.1．
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
【解析】利用直接開平方法求解即可．
解：∵6（x-1）2-54=0，
∴6（x-1）2=54，
∴（x-1）2=9，
則x-1=3或x-1=-3，
解得x1=4，x2=-2．
3．在實數(shù)范圍內定義運算“ ”，其法則為：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
【解析】此題是新定義題型，應該嚴格按照題中給出的計算法則進行運算，其中有小括號的要先算小括號．
解：∵a b=a2-b2，
∴（4 3） x=（42-32） x=7 x=72-x2
∴72-x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．
題型2 直接開平方法在求三角形周長的應用
1．已知三角形的兩邊長是4和6，第三邊的長是方程（x-3）2=4的根，則此三角形的周長為（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
【答案】C
【解析】求出方程的解得到原方程的解，即可能為三角形的第三邊，然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊判斷能否構成三角形，選擇滿足題意的第三邊，即可求出三角形的周長．
解：（x-3）2=4，
x-3=±2，
解得x1=5，x2=1．
若x=5，則三角形的三邊分別為4，5，6，其周長為4+5+6=15；
若x=1時，6-4=2，不能構成三角形，
則此三角形的周長是15．
故選：C．
2．若制作的一個長方體底面積為24，長、寬、高的比為4：2：1，則此長方體的體積為（　　）
A. 216 B.
C. D.
【答案】C
【解析】設這個長方體的長、寬、高分別為4x、2x、x,然后依據(jù)底面積為24cm2，列出關于x的方程，然后可求得x的值，最后再求得這個長方體的長、寬、高即可．
解：設這個長方體的長、寬、高分別為4x、2x、x.
根據(jù)題意得：4x 2x=24，
解得：x=或x=-（舍去）．
則4x=4，2x=2．
所以這個長方體的長、寬、高分別為4、2、，
∴長方體的體積為4××=24，
故選：C．
3．一元二次方程是我們初中階段學習的最難的一種方程，它的解法有很多種，其中有一種方法是可以利用完全平方公式來求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步驟，試解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公園內一塊長方形草地的面積為600平方米，且它的長比寬多10米，求這個長方形的周長．
【解析】（1）依據(jù)題目中的方法進行解答即可；
（2）設寬為x米，則長為（x+10）米．根據(jù)題意得：x（x+10）=100，然后求得x的值，最后，再求得長方形的周長即可．
解：（1）x2-12x-64=0，
∴x2-12x+36-36-64=0，
∴（x-6）2-100=0，
∴（x-6）2=100，
∴x-6=±10，
∴x1=16，x2=-4．
（2）設寬為x米，則長為（x+10）米．
根據(jù)題意得：x（x+10）=100，整理得：x2+10x=100，
∴x2+10x+25=100+25，
∴（x+5）2=125，
∴x+5=±5．
∴x=5-5或x=-5-5（舍去）．
∴長方形的周長=（5-5+5-5+10）×2=20．
牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.3
答案：C
解析：，
故選C
2．用直接降次的方法解方程，做法正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：一元二次方程，表示兩個式子的平方相等，因而這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可把方程轉化為兩個一元一次方程，即開方得，
故選C
3．一元二次方程的根是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法。
4．若a為方程的一根，b為方程的一根，且都是正數(shù).則的值為( )
A.5 B.6 C. D.
答案：B
解析：解方程，
得，
，
解方程，
得，
.
都是正數(shù)，
，
.
故選B.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法。
5．對形如的方程，下列說法正確的是( )
A.直接開平方得
B.直接開平方得
C.當時，直接開平方得
D.當時，直接開平方得
答案：C
解析：當時，，.當時，方程無解.
故選C.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是能運用直接開平方法解一元二次方程的條件。
6．方程的解為( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：,
移項,得，
兩邊直接開方,得,
,,
解兩個方程,得.
故選B.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法。
7．如果多項式的值為9,則x的值為( )
A.2 B.2或-2 C.-1 D.2或-1
答案：D
解析：依題意,得.
開平方,得.
則,解得或.
故選D.
點評：本題考查根據(jù)題意列方程，利用直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法
8．如果是一元二次方程的一個根,那么該方程的另一個根是( )
A.3 B.-3 C.0 D.1
答案：A
解析：由得,所以,即該方程兩個根互為相反數(shù).因為-3是一元二次方程的一個根,所以另一個根為3.
故選A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一元二次方程的解是 .
答案：
解析：，
解得.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法。
10．一元二次方程可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是，則另一個一元一次方程是 .
答案：
解析：，或，
另一個一元一次方程是
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的步驟.
11．方程的解為 .
答案：
解析：直接開平方得，即或，解得.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法
12．若一元二次方程的兩個根分別是與，則 .
答案：9
解析：，
即方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，
則，
解得，
方程的兩根為或，
，
故答案為9.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的方法，根據(jù)平方根定義兩根互為相反數(shù)。
13．用直接開平方法解一元二次方程:.
小明的解答如下:
解:移項，得.①
直接開平方.得.②
所以.③
小明的解答有無錯誤 若有，錯在第 步，原因是 ，寫出正確的解答過程.
答案：②，平方根的定義理解出錯。
解析：正確的解答過程為:移項，得.
直接開平方，得.
所以.
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
三、解答題（共6小題，48分）
14.（12分）用直接開平方法解下列方程:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)，
，
或
.
(2)
或
.
(3)
，或，
.
(4)
，或，
.
點評：本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的步驟.
15.（8分）以下是圓圓解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程：
解：移項得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
開平方得：x﹣1＝±2
移項：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
【解答】解：圓圓的解答過程有錯誤，
正確的解答過程如下：
移項得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
開平方得：x﹣1＝±，
移項：x＝±+1，
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
16．（6分）若，求的值.
答案：解：
或.
或
，.
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
17．（6分）在實數(shù)范圍內定義運算，其法則為:，求方程的解.
答案：解：
18.（8分）在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可變形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接開平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我們稱這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+2）（x+8）＝40時寫的解題過程：
解：原方程可變形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接開平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解題過程中的a，b，c，d所表示的數(shù)分別是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【答案】（1）5、3、2、﹣12；（2）x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
【解析】根據(jù)閱讀材料中的信息確定出上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)即可；利用“平均數(shù)法”解方程即可．
（1）原方程可變形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，
（x+5）2＝40+32．
直接開平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．
上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為5、3、2、﹣12，
故答案為：5、3、2、﹣12；
（2）原方程可變形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．
（x+2）2﹣42＝4，
（x+2）2＝4+42．
∴x＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
19．（8分）一元二次方程是我們初中階段學習的最難的一種方程，它的解法有很多種，其中有一種方法是可以利用完全平方公式來求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步驟，試解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公園內一塊長方形草地的面積為600平方米，且它的長比寬多10米，求這個長方形的周長．
【解析】（1）依據(jù)題目中的方法進行解答即可；
（2）設寬為x米，則長為（x+10）米．根據(jù)題意得：x（x+10）=100，然后求得x的值，最后，再求得長方形的周長即可．
解：（1）x2-12x-64=0，
∴x2-12x+36-36-64=0，
∴（x-6）2-100=0，
∴（x-6）2=100，
∴x-6=±10，
∴x1=16，x2=-4．
（2）設寬為x米，則長為（x+10）米．
根據(jù)題意得：x（x+10）=100，整理得：x2+10x=100，
∴x2+10x+25=100+25，
∴（x+5）2=125，
∴x+5=±5．
∴x=5-5或x=-5-5（舍去）．
∴長方形的周長=（5-5+5-5+10）×2=20．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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