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參數(shù)在數(shù)學(xué)解題中之應(yīng)用
參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類(lèi)問(wèn)題中，也是近幾年來(lái)高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問(wèn)題可分為兩種類(lèi)型，。一種類(lèi)型的問(wèn)題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類(lèi)型的問(wèn)題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類(lèi)問(wèn)題的解題思想方法――分類(lèi)與討論作一些探討，不妥之處，敬請(qǐng)斧正。
解決第一類(lèi)型的參數(shù)問(wèn)題，通常要用“分類(lèi)討論”的方法，即根據(jù)問(wèn)題的條件和所涉及到的概念；運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類(lèi)，然后逐類(lèi)分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。它實(shí)際上是一種化難為易，化繁為簡(jiǎn)的解題策略和方法。
一、科學(xué)合理的分類(lèi)
科學(xué)的分類(lèi)應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①保證分類(lèi)不遺漏；②保證分類(lèi)不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類(lèi)。
二、確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)
在確定討論的對(duì)象后，最困難是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，一般來(lái)講，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：
（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)
例如：絕對(duì)值的定義是：
所以在解含有絕對(duì)值的不等式|logx|+|log (3－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)確定logx ，
log（3－x）正負(fù)的x值1和2將定義域（0，3）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即0＜x＜1，
1≤x＜2，2≤x＜3三種情形分類(lèi)討論。
已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4
求點(diǎn)M的軌跡方程。
過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡曲線交于P,Q兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)｜PQ｜的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α。
解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），依題意可得：+= 4
根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x＞2還是x≤2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論可
得軌跡方程為：y = y
解（2）如圖1，由于P，Q的位置變化， Q
弦長(zhǎng)｜PQ｜的表達(dá)式不同，故必須分 -1 O 2 3 x
點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn) P
在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在
曲線y2=－12（x－3）上可求得：
從而知當(dāng)或時(shí),　　　
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。
數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類(lèi)討論，分類(lèi)的依據(jù)是公式中的條件。
例如，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如logx>－1就應(yīng)以底數(shù)x＞1和0＜x＜1進(jìn)行分類(lèi)討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，, 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，.
又如，等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分別給出的：
所以在解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論。
例2，設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn＝，n＝1，2，···
求Tn
解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝ ,
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝
于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，
當(dāng)q＞1時(shí)，
綜上所述，
（3）根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。
例如：解不等式組
顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1＜a≤3，3＜a≤4，a＞4三種情況進(jìn)行討論。
例3，解關(guān)于x的不等式組
其中a＞0且a≠1。
解，由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為: ;
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得:, 此時(shí)不等式組是否有解關(guān)鍵取決于 與2的大小關(guān)系，所以以 即a＝3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類(lèi)。
當(dāng)1＜a≤3時(shí)解集為Φ
當(dāng)a＞3時(shí)解集為
綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為 (2, ;當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為Φ；
當(dāng)a＞3時(shí)，解集為 (2, .
三、分類(lèi)討論的方法和步驟
確定是否需要分類(lèi)討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍；
確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類(lèi)；
逐類(lèi)進(jìn)行討論得出各類(lèi)結(jié)果；
歸納各類(lèi)結(jié)論。
例4，若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）和（,1）兩點(diǎn)，且x∈[0,]時(shí)，｜f（x）｜≤2恒成立，試求a的取值范圍。
解：由f（0）＝a+b＝1，f（）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a
f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+（1－a）sin（x+）
∵
①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋（1－a）∵｜f（x）｜≤2∴只要a+（1－a）≤2解得a≥∴－≤a≤1；②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋（1－a）≥－2，解得a≤4+3 , ∴1＜a≤4+3，綜合①，②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－，4+3]。
例5，已知函數(shù)f（x）＝sim2x-asim2
試求以a表示f（x）的最大值b。
解：原函數(shù)化為f（x）＝
令t＝cosx，則－1≤t≤1
記g（t）＝－（。t∈[－1，1]
因?yàn)槎魏瘮?shù)g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g(t)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域[－1，1]的位置密切相關(guān)，所以以相對(duì)于區(qū)間[－1，1]的位置分三種情況討論：
當(dāng)－1≤≤1，即－4≤a≤4時(shí)，b=g(t)max＝, 此時(shí)t= ;
當(dāng)＜－1, 即a＜－4時(shí)，b＝－a , 此時(shí) t=
當(dāng)＞1, 即a＞4時(shí)，b＝0, 此時(shí), t=1
綜上所述：b＝
例6、等差數(shù)列｛an｝的公差d＜0，Sn為前n項(xiàng)之和，若Sp＝Sq，（p,q∈N，p≠q）試用d，p，q表示Sn的最大值。
略解：由Sp＝Sq　　p≠q可求得
∵d＜0，∴a1＞0，當(dāng)且僅當(dāng)　時(shí)Sn最大。
由an≥0 得n≤，由an+1≤0得，n≥
∴≤n≤，∵n∈N，∴要以是否為正整數(shù)即p+q是奇數(shù)還是偶數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分兩類(lèi)討論。
當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)n＝，Sn最大且為(Sn)max=
當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，n＝或n＝,　Sn最大，且 為（Sn）max＝
分類(lèi)討論的思想是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有較大的幫助。然而并不是問(wèn)題中一出現(xiàn)含參數(shù)問(wèn)題就一定得分類(lèi)討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡(jiǎn)化分類(lèi)討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。
例7、解關(guān)于x的不等式：≥a－x y
略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝和
y＝a－x的圖象，
以L1 , L2, L3在y軸上的截距作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)， -1 0 3 x
知: 當(dāng)a≤－1時(shí); －1≤x≤3 L1 L2 L3
當(dāng)－1＜a≤3時(shí); ≤x≤3
當(dāng)3＜a1+2時(shí);
當(dāng)a＞1+2時(shí)，不等式無(wú)解。
例8、實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程kx2+2|x|+k=0有實(shí)數(shù)解？
略解：運(yùn)用函數(shù)的思想解題：
由方程可得k＝
因此方程有解時(shí)k的了值范圍就是函數(shù)f（x）＝的值域，顯然－1≤f(x)≤0
故－1≤k≤0即為所求。

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