資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 直角三角形的邊角關系
5 三角函數的應用
第1課時 仰角、俯角問題
列清單·劃重點
知識點① 仰角與俯角
示意圖 仰角與俯角
仰角: (如圖所示)當從_______觀測高處的目標時,視線與水平線所成的銳角
俯角:(如圖所示)當從________觀測低處的目標時,視線與水平線所成的銳角
注意
　 仰角、俯角是視線與水平線所成的銳角，不要誤認為視線與鉛垂線所成的銳角.
知識點② 運用解直角三角形的知識解決生產、生活中實際問題的步驟
一審：弄清題意，找出已知量和未知量；
二構：根據題意，畫出示意圖，并構造要求解的三角形，對非直角三角形通過作輔助線構造直角三角形“化斜為直”；
三選：將題中的已知角、線段轉變為直角三角形的元素，選擇恰當的元素間的關系式，解直角三角形；
四答：按照題中已知量的精確度或題中要求的精確度給出答案并注明單位；如題中未明確精確度，結果可保留最簡根式的形式.
明考點·識方法
考點 與仰角、俯角有關的實際問題
典例 根據以下材料，完成項目任務.
項目 測量古塔的高度及古塔底面圓的半徑
測量工具 測角儀、皮尺等
測量 圖示:
說明:點 Q 為古塔底面圓圓心,測角儀高度AB=CD=1.5m,在B,D 處分別測得古塔頂端的仰角為32°,45°,BD=9 m,測角儀CD 所在位置與古塔底部邊緣距離 DG=12.9 m.點 B,D,G,Q在同一條直線上
參考數據 sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈ 0.625
項目任務：
(1)求出古塔的高度；
(2)求出古塔底面圓的半徑.
思路導析 本題考查解直角三角形的應用——仰角、俯角問題、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.首先延長AC交PQ 于點H,則四邊形CDQH、四邊形ABQH 都為矩形，得出對邊相等，設古塔底面圓的半徑為x m，找等量關系，列方程，求x，則在Rt△PAH中可以求出兩條直角邊的值，最后再由PQ=PH+QH,即可得出答案.
變式 “科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手了一臺無人機用于航拍.在一次航拍時，數據顯示，從無人機 A 看建筑物頂部B 的仰角為 看底部 C的俯角為 無人機 A到該建筑物BC 的水平距離AD 為 10 米，求該建筑物BC 的高度.(結果精確到 0.1 米；參考數據:
當堂測·夯基礎
1.日照燈塔是海濱港口城市日照的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務.數學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD=60°,BC=
15.3m,則燈塔的高度AD大約是(結果精確到1m，參考數據: ( )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
2.綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐.如圖，無人機從地面 CD 的中點 A 處豎直上升 30米到達 B 處，測得博雅樓頂部 E 的俯角為 尚美樓頂部 F的俯角為 已知博雅樓高度 CE 為 15 米，則尚美樓高度DF 為_________米.(結果保留根號)
3.2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛星發射中心點火發射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站.如圖，在發射的過程中，飛船從地面O處發射，當飛船到達 A點時，從位于地面C處的雷達站測得 AC 的距離是8 km,仰角為 10s后飛船到達 B處, 此時測得仰角為
(1)求點 A離地面的高度AO;
(2)求飛船從 A 處到 B 處的平均速度.(結果精確到0.1 km/s,參考數據: 1.73)
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 低處 高處
【明考點·識方法】
典例 解:如圖,延長 AC 交 PQ 于點 H,則四邊形CDQH、四邊形 ABQH 都為矩形,
∴CH=DQ,BQ=AH, ∠PHA =90°, AB = QH =1.5m,
由題意,得∠PAH=32°,∠PCH=45°,古塔的高度為 PQ，古塔底面圓的半徑為GQ,
∴△PHC 是等腰直角三角形，∴PH=CH,
設GQ=xm,則PH=CH=DQ=DG+GQ=(12.9+x)m,
∴AH=BQ=BD+DQ=9+12.9+x=(21.9+x)m,
在 Rt△PHA 中,PH=AH·tan∠PAH=AH·tan32°≈0.625(21.9+x)=(13.687 5+0.625x)m,
∴12.9+x=13.687 5+0.625x,解得x=2.1,
∴PQ=PH+QH=12.9+2.1+1.5=16.5m,
所以，古塔的高度為16.5m ，古塔底面圓的半徑為2.1m .
變式 解:由題意,得∠BAD=45°,∠CAD=60°,AD⊥BC.
∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∴BD=AD=10(米).
在 Rt△ACD 中,CD= AD·tan∠CAD= AD·tan60°=(米).
(米).
所以，該建筑物 BC的高度約為 27.3米.
【當堂測·夯基礎】
1. B
3.解:(1)在 中,
(2)在 中,
在 中,
∴飛船從 A 處到 B 處的平均速度 =
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