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九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與訓(xùn)練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第四課時(shí) 解一元二次方程（2）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解配方法的基本過(guò)程，會(huì)用配方法解一元二次方程.
2.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
二、老師告訴你
二次三項(xiàng)式的配方過(guò)程與一元二次方程的配方過(guò)程有“兩大區(qū)別”
一元二次方程是二次項(xiàng)系數(shù)化為1兩邊除以二次項(xiàng)系數(shù)，二次三項(xiàng)式是提出二次項(xiàng)系數(shù)。
配方：一元二次方程是兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，二次三項(xiàng)式是加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
三、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 一元二次方程配方的方法
解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi)平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的一般步驟：
一移：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移在方程左邊，常數(shù)項(xiàng)移在方程右邊。
二除：方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.
配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使方程左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)。
開(kāi)方：如果右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用直接開(kāi)平方法求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則方程無(wú)解。
名師點(diǎn)撥
（1）配方法解一元二次方程的口訣一移二除三配四開(kāi)方；
（2）配方法的關(guān)鍵一步是“配方”，即方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方式。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．若是一個(gè)完全平方式，則m的值是( )
A.3 B. C. D.以上都不對(duì)
例1-2．用配方法解方程時(shí)，下列配方錯(cuò)誤的是( )
A.化為
B.化為
C.化為
D.化為
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．若方程的左邊是一個(gè)完全平方式,則m等于( )
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
2．小惠同學(xué)用配方法解方程的步驟如下:
解:二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，①
移項(xiàng)，得.②
配方，得.③
即.④
兩邊開(kāi)平方，得，⑤
所以.⑥
第 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的結(jié)果是 ， .
3．將一元二次方程化成的形式,則b的值為 .
知識(shí)點(diǎn)2 配方法解一元二次方程
把方程左邊配成完全平方式來(lái)接一元二次方程的方法叫配方法，配方的目的是方程能用直接開(kāi)平方法求解
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0時(shí)，將它化為（x+m）2=n的形式，則m-n的值為（　　）
A. -6 B. -3 C. 0 D. 2
例2-2．用配方法解方程x2-4x-3=0，則配方正確的是（　　）
A. （x-2）2=1 B. （x+2）2=1 C. （x-2）2=7 D. （x+2）2=7
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．將方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
2．把方程用配方法化為的形式，則的值是__________．
【答案】-12
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
4．小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可變形，得：[（x+2）-2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2-22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=-2+，x2=-2-．
我們稱(chēng)小明這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）=5時(shí)寫(xiě)的解題過(guò)程．
解：原方程可變形，得：[（x+a）-b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2-b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=c,x2=d.
上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為_(kāi)____，_____，_____，_____．
（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x-5）（x+3）=6．
四、題型訓(xùn)練
1.配方法在解方程中的應(yīng)用
1．觀(guān)察下列方程及其解的特征：
（1）的解為；
（2）的解為，；
（3）的解為，；
……
解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)猜想：方程的解為_(kāi)___________；
（2）請(qǐng)猜想：關(guān)于x的方程__________的解為，；
（3）以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性..
2．有n個(gè)方程:…；
小靜同學(xué)解第1個(gè)方程的步驟為:“①②;③;④;⑤;⑥.”
(1)小靜的解法是從步驟 開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的;
(2)用配方法解第n個(gè)方程.(用含n的式子表示方程的根)
3．一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a、b為整數(shù),求a+b之值為何( )
A.20 B.12 C.-12 D.-20
2.配方法在字母求值中的應(yīng)用
1．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，則M、N的大小關(guān)系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
2．已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且b+c=5-4a+3a2，c-b=1-2a+a2，則a,b,c之間的大小關(guān)系是（　　）
A. a＜b≤c B. b＜a≤c C. b≤c＜a D. c＜a≤b
3．x2+4x+y2-6y+13=0，則x=_____，y=_____．
4．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足2a2+b2-4a-6b+11=0，則△ABC的周長(zhǎng)是 _____．
5．若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m,n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（ _____）=0，
即（ _____）+（ _____）=0．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得m=n=_____．
（1）閱讀上述解答過(guò)程，并補(bǔ)充橫線(xiàn)處的內(nèi)容；
（2）設(shè)等腰三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿(mǎn)足a2+b2-4a-6b+13=0，求△ABC的周長(zhǎng)．
3.配方法在求多項(xiàng)式最值中的應(yīng)用
1．已知實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足m2+n2=2+3mn,則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值為（　　）
A. B.
C. D.
2．閱讀下列材料：
“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，所以，我們常需要將代數(shù)式配成完全平方式．
例如“試說(shuō)明多項(xiàng)式x2+4x+5的最小值為1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多項(xiàng)式-x2+4x+5的最大值．
3．利用我們學(xué)過(guò)的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決代數(shù)式一些問(wèn)題，觀(guān)察下列式子：
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2．
因此，代數(shù)式x2+4x+2有最小值-2；
②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，
∵-（x-1）2≤0，
∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4．
因此，代數(shù)式-x2+2x+3有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問(wèn)題：
（1）代數(shù)式x2-4x+1的最小值為 _____；
（2）求代數(shù)式-a2-b2-6a+4b-10的最大值；
（3）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，設(shè)長(zhǎng)方形垂直于圍墻的一邊長(zhǎng)度為x米，則花圃的最大面積是多少？
4．閱讀材料：我們知道x2≥0，（a±b）2≥0這一性質(zhì)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式3x2+6x-2的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：
3x2+6x-2
=3（x2+2x）-2
=3（x2+2x+12-12）-2
=3[（x+1）2-12]-2
=3（x+1）2-5．
因?yàn)椋▁+1）2≥0，所以3（x+1）2-5≥0-5，當(dāng)x=-1時(shí)，3（x+1）2-5取得最小值-5．
（1）求多項(xiàng)式2x2-8x+3的最小值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值．
（2）求多項(xiàng)式x2-2x+y2-4y+7的最小值．
5．閱讀材料1：a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，因?yàn)椋?）2≥0，所以a-2+b≥0，從而a+b≥2，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀材料2：若y=x+（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結(jié)論可知x+≥2，所以當(dāng)x=，x=，y=x+的最小值為2．
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：
（1）已知x＞0，則當(dāng)x=_____時(shí)，x++1取得最小值，且最小值為 _____；
（2）已知y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），求的最小值；
（3）某大學(xué)學(xué)生會(huì)在5月4日舉辦了一個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)支出總費(fèi)用包含以下三個(gè)部分：一是前期投入640元；二是參加活動(dòng)的同學(xué)午餐費(fèi)每人15元；三是其他費(fèi)用，其中，其他費(fèi)用等于參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)的平方的0.1倍，求當(dāng)參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)為多少時(shí)，該次活動(dòng)人均投入費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？（人均投入=支出總費(fèi)用/參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)）
五、牛刀小試
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．用配方法解方程x2-4x-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　　）
A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9
2．將方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
3．等腰三角形的腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)是方程的根，則三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 7或9
4．把方程x2+6x-5=0化成（x+m）2=n的形式，則m+n=（　　）
A. 17 B. 14 C. 11 D. 7
5．用配方法解一元二次方程x2-2x=35時(shí)，步驟如下：①x2-2x+1=36；②（x-1）2=36；③x-1=±6；④x=±7，即x1=7，x2=-7．其中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6．已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+2n2+3，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①若A=x2+6x+n2是完全平方式，則n=±3；
②B-A的最小值是2；
③若n是A+B=0的一個(gè)根，則；
④若（2022-A）（A-2019）=0，則（2022-A）2+（A-2019）2=4．
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
7．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，則M、N的大小關(guān)系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
8．無(wú)論a,b為何值代數(shù)式a2+b2+6b+11-2a的值總是（　　）
A. 非負(fù)數(shù) B. 0 C. 正數(shù) D. 負(fù)數(shù)
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．一元二次方程配方為，則k的值是______．
10．用配方法解方程x2-6x+1=0，則方程可配方為_(kāi)____．
11．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2=_______.
12．4x2+9y2+12x-6y+10=0，則8x-9y=_____．
13．已知a,b是等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)，且a、b滿(mǎn)足a2+b2+29=10a+4b,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（9分）用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
（7分）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過(guò)程：
解：移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
開(kāi)平方得：x﹣1＝±2
移項(xiàng)：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
16．（6分）已知a，b，c是的三條邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足，試確定的形狀.
17．（7分）觀(guān)察下列方程及其解的特征：
（1）的解為；
（2）的解為，；
（3）的解為，；
……
解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)猜想：方程的解為_(kāi)___________；
（2）請(qǐng)猜想：關(guān)于x的方程__________的解為，；
（3）以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性.
18．（9分）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題．
【例題】已知：m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∴m-n=0，n-4=0，
∴m=4，n=4．
∴m的值為4，n的值為4．
【問(wèn)題】仿照以上方法解答下面問(wèn)題：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9=0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2-12a-16b+100=0，求斜邊長(zhǎng)c的值．
19．（10分）閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們，你們已經(jīng)知道（a-b）2≥0，即a2-2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀1：若a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀2：若函數(shù)y=x+（m＞0，x＞0，m為常數(shù)）．由閱讀1結(jié)論可知：x+即x+∴當(dāng)x=即x2=m,∴x=（m＞0）時(shí)，函數(shù)y=x+的最小值為2
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：
問(wèn)題1：若函數(shù)y=a+（a＞1），則a=_____時(shí)，函數(shù)y=a+（a＞1）的最小值為_(kāi)____．
問(wèn)題2：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為2（x+），求當(dāng)x=_____時(shí)，矩形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____．
問(wèn)題3：求代數(shù)式（m＞-1）的最小值．
問(wèn)題4：建造一個(gè)容積為8立方米，深2米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，設(shè)池長(zhǎng)為x米，水池總造價(jià)為y（元），求當(dāng)x為多少時(shí)，水池總造價(jià)y最低？最低是多少？
九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與訓(xùn)練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第四課時(shí) 解一元二次方程（2）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解配方法的基本過(guò)程，會(huì)用配方法解一元二次方程.
2.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
二、老師告訴你
二次三項(xiàng)式的配方過(guò)程與一元二次方程的配方過(guò)程有“兩大區(qū)別”
一元二次方程是二次項(xiàng)系數(shù)化為1兩邊除以二次項(xiàng)系數(shù)，二次三項(xiàng)式是提出二次項(xiàng)系數(shù)。
配方：一元二次方程是兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，二次三項(xiàng)式是加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
三、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 一元二次方程配方的方法
解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi)平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的一般步驟：
一移：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移在方程左邊，常數(shù)項(xiàng)移在方程右邊。
二除：方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.
配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使方程左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)。
開(kāi)方：如果右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用直接開(kāi)平方法求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則方程無(wú)解。
名師點(diǎn)撥
（1）配方法解一元二次方程的口訣一移二除三配四開(kāi)方；
（2）配方法的關(guān)鍵一步是“配方”，即方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方式。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．若是一個(gè)完全平方式，則m的值是( )
A.3 B. C. D.以上都不對(duì)
答案：C
解析：
例1-2．用配方法解方程時(shí)，下列配方錯(cuò)誤的是( )
A.化為
B.化為
C.化為
D.化為
答案：C
解析：
，
.故選C.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．若方程的左邊是一個(gè)完全平方式,則m等于( )
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
答案：B
解析：根據(jù)完全平方式對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu),且,則有,,即或,得或.
故選B.
2．小惠同學(xué)用配方法解方程的步驟如下:
解:二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，①
移項(xiàng)，得.②
配方，得.③
即.④
兩邊開(kāi)平方，得，⑤
所以.⑥
第 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的結(jié)果是 ， .
答案：第③步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤.正確的步驟如下:
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，
移項(xiàng)，得，
配方，得
即
兩邊開(kāi)平方，得
故答案為: ③；；-1
3．將一元二次方程化成的形式,則b的值為 .
答案：8
解析：,,,所以b的值為8.
知識(shí)點(diǎn)2 配方法解一元二次方程
把方程左邊配成完全平方式來(lái)接一元二次方程的方法叫配方法，配方的目的是方程能用直接開(kāi)平方法求解
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0時(shí)，將它化為（x+m）2=n的形式，則m-n的值為（　　）
A. -6 B. -3 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上9，接著把方程左邊寫(xiě)成完全平方的形式，從而得到m、n的值，然后計(jì)算m-n的值．
解：x2+6x+3=0，
x2+6x=-3，
x2+6x+9=6，
（x+3）2=6，
所以m=3，n=6，
所以m-n=3-6=-3．
故選：B．
例2-2．用配方法解方程x2-4x-3=0，則配方正確的是（　　）
A. （x-2）2=1 B. （x+2）2=1 C. （x-2）2=7 D. （x+2）2=7
【答案】C
【解析】先把-3移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫(xiě)成完全平方的形式即可．
解：∵x2-4x-3=0，
∴x2-4x=3，
∴x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7．
故選：C．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．將方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
【答案】D
【解析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊除以2，接著把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方的形式即可．
解：2x2-12x+1=0，
x2-6x=-，
x2-6x+9=-+9，
（x-3）2=．
故選：D．
2．把方程用配方法化為的形式，則的值是__________．
【答案】-12
【解析】根據(jù)配方法即可求出答案．
∵x2-2=4x，
∴x2-4x=2，
∴x2-4x+4=2+4，
∴（x-2）2=6，
∴m=-2，n=6，
∴mn=-12，
故答案為-12
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法.
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
【解析】利用配方法進(jìn)行求解即可．
解：x（x+4）=8x+12，
x2+4x=8x+12，
x2-4x=12，
x2-4x+4=12+4，
（x-2）2=16，
x-2=±4，
x=2±4，
∴x1=6，x2=-2．
4．小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可變形，得：[（x+2）-2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2-22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=-2+，x2=-2-．
我們稱(chēng)小明這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）=5時(shí)寫(xiě)的解題過(guò)程．
解：原方程可變形，得：[（x+a）-b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2-b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=c,x2=d.
上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為_(kāi)____，_____，_____，_____．
（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x-5）（x+3）=6．
【答案】(1)5;(2)±2;(3)-2;(4)-8;
【解析】（1）根據(jù)閱讀材料中的信息確定出上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)即可；
（2）利用“平均數(shù)法”解方程即可．
解：（1）原方程可變形，得：[（x+5）-2][（x+5）+2]=5．
（x+5）2-22=5，
（x+5）2=5+22．
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=-2，x2=-8．
上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為5、±2、-2、-8，
故答案為：5、±2、-2、-8；
（2）原方程可變形，得：[（x-1）-4][（x-1）+4]=6．
（x-1）2-42=6，
（x-1）2=6+42．
x-1=±，
∴x=1±，
直接開(kāi)平方并整理，得．x1=1+，x2=1-．
四、題型訓(xùn)練
1.配方法在解方程中的應(yīng)用
1．觀(guān)察下列方程及其解的特征：
（1）的解為；
（2）的解為，；
（3）的解為，；
……
解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)猜想：方程的解為_(kāi)___________；
（2）請(qǐng)猜想：關(guān)于x的方程__________的解為，；
（3）以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性.
解：原方程可化為.（下面請(qǐng)大家用配方法寫(xiě)出解此方程的詳細(xì)過(guò)程）
答案：（1），
（2）（或）
（3）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得.
配方，得，
即，
開(kāi)方，得.
解得，.
經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的解.
2．有n個(gè)方程:…；
小靜同學(xué)解第1個(gè)方程的步驟為:“①②;③;④;⑤;⑥.”
(1)小靜的解法是從步驟 開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的;
(2)用配方法解第n個(gè)方程.(用含n的式子表示方程的根)
答案：解：(1)⑤
(2),，，
3．一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a、b為整數(shù),求a+b之值為何( )
A.20 B.12 C.-12 D.-20
答案：A：
2.配方法在字母求值中的應(yīng)用
1．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，則M、N的大小關(guān)系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
【答案】A
【解析】用M與N作差，然后進(jìn)行判斷即可．
解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M(jìn)-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）=3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故選：A．
2．已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且b+c=5-4a+3a2，c-b=1-2a+a2，則a,b,c之間的大小關(guān)系是（　　）
A. a＜b≤c B. b＜a≤c C. b≤c＜a D. c＜a≤b
【答案】A
【解析】由題意b+c=5-4a+3a2①，c-b=1-2a+a2②可知，①+②得2c=4a2-6a+6，即c=2a2-3a+3，①-②得2b=2a2-2a+4，即b=a2-a+2．再用作差法進(jìn)行比較a、b、c的大小．b-a=a2-a+2-a=（a-1）2+1＞0，c-b=2a2-3a+3-（a2-a+2）=a2-2a+1=（a-1）2≥0，因此a＜b≤c.
解：∵b+c=5-4a+3a2①，c-b=1-2a+a2②，
∴①+②得2c=4a2-6a+6，即c=2a2-3a+3，
∴①-②得2b=2a2-2a+4，即b=a2-a+2．
∵b-a=a2-a+2-a=（a-1）2+1＞0，
∴b＞a.
又∵c-b=2a2-3a+3-（a2-a+2）=a2-2a+1=（a-1）2≥0，
∴c≥b,
∴a＜b≤c.
故選：A．
3．x2+4x+y2-6y+13=0，則x=_____，y=_____．
【答案】(1)-2;(2)3;
【解析】先利用完全平方公式將已知等式變形為（x+2）2+（y-3）2=0，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可得．
解：∵x2+4x+y2-6y+13=0，
∴x2+4x+4+y2-6y+9=0，即（x+2）2+（y-3）2=0，
∴x+2=0，y-3=0，
解得x=-2，y=3．
故答案為：-2，3．
4．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足2a2+b2-4a-6b+11=0，則△ABC的周長(zhǎng)是 _____．
【答案】7
【解析】利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出a、b,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出c,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
解：∵2a2+b2-4a-6b+11=0，
∴2a2-4a+2+b2-6b+9=0，
∴2（a-1）2+（b-3）2=0，
∴a-1=0，b-3=0，
解得：a=1，b=3，
則3-1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c的正整數(shù)，
∴c=3，
∴△ABC的周長(zhǎng)=1+3+3=7，
故答案為：7．
5．若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m,n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（ _____）=0，
即（ _____）+（ _____）=0．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得m=n=_____．
（1）閱讀上述解答過(guò)程，并補(bǔ)充橫線(xiàn)處的內(nèi)容；
（2）設(shè)等腰三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿(mǎn)足a2+b2-4a-6b+13=0，求△ABC的周長(zhǎng)．
【答案】(1)n2-8n+16;(2)（m-n）2;(3)（n-4）2;(4)4;
【解析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征及加法運(yùn)算律將已知等式左邊變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m與n的值；
（2）已知等式配方后求出a與b的值，即可確定出三角形周長(zhǎng)．
解：（1）∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
即（m-n）2+（n-4）2=0．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，
∴m=n=4，
故答案為：n2-8n+16；（m-n）2；（n-4）2；4；
（2）已知等式變形得：（a-2）2+（b-3）2=0，
所以a=2，b=3，
當(dāng)a為腰時(shí)，三邊為2，2，3，周長(zhǎng)=7；
當(dāng)b為腰時(shí)，三邊為3，3，2，周長(zhǎng)=8．
故△ABC的周長(zhǎng)為7或8．
3.配方法在求多項(xiàng)式最值中的應(yīng)用
1．已知實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足m2+n2=2+3mn,則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值為（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先化簡(jiǎn)（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=10+3mn,再判斷出mn≥-，即可求出答案．
解：∵m2+n2=2+3mn,
∴（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）
=4m2+9n2-12mn+m2-4n2
=5m2+5n2-12mn
=5（2+3mn）-12mn
=10+3mn,
∵m2+n2=2+3mn,
∴（m+n）2=2+5mn≥0（當(dāng)m+n=0時(shí)，取等號(hào)），
∴mn≥-，
∴（m-n）2=2+mn≥0（當(dāng)m-n=0時(shí)，取等號(hào)），
∴mn≥-2，
∴mn≥-，
∴3mn≥-，
∴10+3mn≥，
即（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值為．
故選：A．
2．閱讀下列材料：
“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，所以，我們常需要將代數(shù)式配成完全平方式．
例如“試說(shuō)明多項(xiàng)式x2+4x+5的最小值為1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多項(xiàng)式-x2+4x+5的最大值．
【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
解：（1）x2+4x-5
=x2+4x+4-9
=（x+2）2-9
=[（x+2）+3][（x+2）-3]
=（x+5）（x-1）；
（2）-x2+4x+5
=5-（x2-4x）
=5-（x2-4x+4-4）
=5-（x-2）2+4
=9-（x-2）2，
∵（x-2）2≥0，
∴當(dāng)（x-2）2=0時(shí)，9-（x-2）2取得最大值9．
3．利用我們學(xué)過(guò)的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決代數(shù)式一些問(wèn)題，觀(guān)察下列式子：
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2．
因此，代數(shù)式x2+4x+2有最小值-2；
②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，
∵-（x-1）2≤0，
∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4．
因此，代數(shù)式-x2+2x+3有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問(wèn)題：
（1）代數(shù)式x2-4x+1的最小值為 _____；
（2）求代數(shù)式-a2-b2-6a+4b-10的最大值；
（3）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，設(shè)長(zhǎng)方形垂直于圍墻的一邊長(zhǎng)度為x米，則花圃的最大面積是多少？
【答案】-3
【解析】（1）將代數(shù)式x2-4x+1配方可得最值；
（2）將代數(shù)式-a2-b2-6a+4b-10配方可得最值；
（3）利用長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，表示出花圃的面積再利用配方法即可解決問(wèn)題．
解：（1）x2-4x+1=（x2-4x+4）-3=（x-2）2-3，
∵（x-2）2≥0，
∴（x-2）2-3≥-3，原式有最小值是-3；
故答案為：-3；
（2）-a2-b2-6a+4b-10=-（a2+6a+9）-（b2-4b+4）+3=-（a+3）2-（b-2）2+3，
∵（a+3）2≥0，（b-2）2≥0，
∴-（a+3）2≤0，-（b-2）2≤0，
∴-（a+3）2-（b-2）2+3的最大值為3；
（3）花圃的面積：x（100-2x）=（-2x2+100x）平方米；
-2x2+100x=-2（x-25）2+1250，
∵當(dāng)x=25時(shí)，100-2x=50＜100，
∴當(dāng)x=25時(shí)，花圃的最大面積為1250平方米．
4．閱讀材料：我們知道x2≥0，（a±b）2≥0這一性質(zhì)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式3x2+6x-2的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：
3x2+6x-2
=3（x2+2x）-2
=3（x2+2x+12-12）-2
=3[（x+1）2-12]-2
=3（x+1）2-5．
因?yàn)椋▁+1）2≥0，所以3（x+1）2-5≥0-5，當(dāng)x=-1時(shí)，3（x+1）2-5取得最小值-5．
（1）求多項(xiàng)式2x2-8x+3的最小值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值．
（2）求多項(xiàng)式x2-2x+y2-4y+7的最小值．
【解析】（1）模仿例題計(jì)算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形，根據(jù)平方的非負(fù)性解答．
解：（1）2x2-8x+3
=2（x2-4x）+3
=2（x2-4x+4-4）+3
=2[（x-2）2-4]+3
=2（x-2）2-5，
∵（x-2）2≥0，
∴2（x-2）2-5≥0-5，
∴當(dāng)x=2時(shí)，2（x-2）2-5取得最小值-5；
（2）x2-2x+y2-4y+7
=（x2-2x+1）+（y2-4y+4）+2
=（x-1）2+（y-2）2+2，
∵（x-1）2≥0，（y-2）2≥0，
∴（x-1）2+（y-2）2+2≥2，
∴當(dāng)x=1，y=2時(shí)，x2-2x+y2-4y+7有最小值2．
5．閱讀材料1：a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，因?yàn)椋?）2≥0，所以a-2+b≥0，從而a+b≥2，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀材料2：若y=x+（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結(jié)論可知x+≥2，所以當(dāng)x=，x=，y=x+的最小值為2．
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：
（1）已知x＞0，則當(dāng)x=_____時(shí)，x++1取得最小值，且最小值為 _____；
（2）已知y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），求的最小值；
（3）某大學(xué)學(xué)生會(huì)在5月4日舉辦了一個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)支出總費(fèi)用包含以下三個(gè)部分：一是前期投入640元；二是參加活動(dòng)的同學(xué)午餐費(fèi)每人15元；三是其他費(fèi)用，其中，其他費(fèi)用等于參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)的平方的0.1倍，求當(dāng)參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)為多少時(shí)，該次活動(dòng)人均投入費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？（人均投入=支出總費(fèi)用/參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)）
【答案】(1)2;(2)5;
【解析】（1）由題意求出最小值，即可求出+1的最小值；
（2）把y1、y2代入化成（x+1）+的形式，即可求出最小值；
（3）設(shè)參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)為x,人均投入為，化成15+0.1（x+）的形式，即可求出答案．
（1）解：由題意得，當(dāng)x=即x=2時(shí)，有最小值為2=4，
∴+1的最小值為5，
故答案為2，5；
（2）解：∵y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），
∴==，
∴當(dāng)x+1=即x=2時(shí)，有最小值為2=6，
∴有最小值為6；
（3）解：設(shè)參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)為x,
∴人均投入為：=15+0.1（x+），
∴當(dāng)x=即x=80時(shí)，有最小值為2=160，
∴最低費(fèi)用是15+0.1×160=31（元），
∴當(dāng)參加活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)為80時(shí)，該次活動(dòng)人均投入費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是31元．
五、牛刀小試
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．用配方法解方程x2-4x-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　　）
A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9
【答案】D
【解析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
則x2-4x+4=5+4，即（x-2）2=9，
故選：D．
2．將方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
【答案】D
【解析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊除以2，接著把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方的形式即可．
解：2x2-12x+1=0，
x2-6x=-，
x2-6x+9=-+9，
（x-3）2=．
故選：D．
3．等腰三角形的腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)是方程的根，則三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 7或9
【答案】A
【解析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可得答案．
解：∵，
∴，
則或，
解得，，
當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為3，此時(shí)三邊長(zhǎng)度為2、2、3，能夠成三角形，周長(zhǎng)為7；
若底邊長(zhǎng)為5，此時(shí)三邊長(zhǎng)度為2、2、5，不能構(gòu)成三角形；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
4．把方程x2+6x-5=0化成（x+m）2=n的形式，則m+n=（　　）
A. 17 B. 14 C. 11 D. 7
【答案】A
【解析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．
解：x2+6x-5=0，
x2+6x=5，
x2+6x+9=5+9，
（x+3）2=14，
∴m=3，n=14，
∴m+n=3+14=17，
故選：A．
5．用配方法解一元二次方程x2-2x=35時(shí)，步驟如下：①x2-2x+1=36；②（x-1）2=36；③x-1=±6；④x=±7，即x1=7，x2=-7．其中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】將方程左邊配成一個(gè)完全平方式，將求解過(guò)程與相關(guān)步驟對(duì)比即可解答．
解：x2-2x=35，
x2-2x+1=36，
（x-1）2=36，
x-1=±6，
x=±6+1，
x1=7，x2=-5．
故選：D．
6．已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+2n2+3，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①若A=x2+6x+n2是完全平方式，則n=±3；
②B-A的最小值是2；
③若n是A+B=0的一個(gè)根，則；
④若（2022-A）（A-2019）=0，則（2022-A）2+（A-2019）2=4．
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】①利用完全平方公式即可求出n的值；
②先利用整式的加減求出B-A，再利用配方法即可求出B-A的最小值；
③先利用整式的加減求出A+B，根據(jù)n是A+B=0的一個(gè)根，求出n的值，再利用4n2+=（2n+）2-4即可求出答案；
④先設(shè)M=2022-A，N=A-2019，，求出M+N=3，再利用完全平方式求出M2+N2=9即可判斷．
解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n2=9，即n=±3，故①正確；
②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
∵（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故②正確；
③根據(jù)題意知，A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
∵n是A+B=0的一個(gè)根
∴把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0可得：3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得：n=，
當(dāng)n=時(shí)，則2n+==，
∴4n2+=（2n+）2-4=，
當(dāng)n=時(shí)，2n+==，
∴4n2+=（2n+）2-4=，故③錯(cuò)誤，
④令M=2022-A，N=A-2019，
則M N=0，M+N=3，
∴（M+N）2=9，即M2+2MN+N2=9，
∴M2+N2=9，即（2022-A）（A-2019）=9，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)；
故答案選：B．
7．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，則M、N的大小關(guān)系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
【答案】A
【解析】用M與N作差，然后進(jìn)行判斷即可．
解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M(jìn)-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）=3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故選：A．
8．無(wú)論a,b為何值代數(shù)式a2+b2+6b+11-2a的值總是（　　）
A. 非負(fù)數(shù) B. 0 C. 正數(shù) D. 負(fù)數(shù)
【答案】C
【解析】把含a的放一塊，配成完全平方公式，把含b的放一塊，配成完全平方公式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．
解：原式=（a2-2a+1）+（b2+6b+9）+1
=（a-1）2+（b+3）2+1，
∵（a-1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a-1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值總是正數(shù)．
故選：C．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．一元二次方程配方為，則k的值是______．
【答案】１
【解析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．
解：
∴
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關(guān)鍵．
10．用配方法解方程x2-6x+1=0，則方程可配方為_(kāi)____．
【答案】（x-3）2=8
【解析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2-6x+1=0，
∴x2-6x=-1，
則x2-6x+9=-1+9，即（x-3）2=8，
故答案為：（x-3）2=8．
11．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2=_______.
【答案】-5
【解析】根據(jù)配方法和拆數(shù)法，可知可化為，配方為（m+2）2+（n-3）2=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義可求得m=-2，n=3，代入4-9=-5.
故答案為-5.
12．4x2+9y2+12x-6y+10=0，則8x-9y=_____．
【答案】-15
【解析】已知等式左邊配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出代數(shù)式的值．
解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0，
可得2x+3=0，3y-1=0，
解得：x=-，y=，
則8x-9y=8×（-）-9×=-15，
故答案為：-15．
13．已知a,b是等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)，且a、b滿(mǎn)足a2+b2+29=10a+4b,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】12
【解析】利用配方法分別求出a、b,根據(jù)三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的概念計(jì)算．
解：a2+b2+29=10a+4b,
a2-10a+25+b2-4b+4=0，
（a-5）2+（b-2）2=0，
a-5=0，b-2=0，
解得，a=5，b=2，
∵2、2、5不能組成三角形，
∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為：5+5+2=12，
故答案為：12．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（9分）用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
【解析】（1）根據(jù)配方法的步驟將方程常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)右邊，兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
（2）根據(jù)配方法的一般步驟，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，一次項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，再在等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的平方，化為完全平方式，再開(kāi)方即可得出答案；
（3）根據(jù)配方法的一般步驟：把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，在等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后開(kāi)方即可得出答案．
解：（1）x2-2x-2=0，
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，
（x-1）2=3，
x-1=，
x1=1，x2=1-；
（2）2x2+1=3x,
2x2-3x=-1，
x2-x=-，
x2-x+=-+，
（x-）2=，
x-=，
x1=1，x2=；
（3）6x2-x-12=0，
（2x-3）（3x+4）=0
x1=，x2=-．
（7分）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過(guò)程：
解：移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
開(kāi)平方得：x﹣1＝±2
移項(xiàng)：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．
【解答】解：圓圓的解答過(guò)程有錯(cuò)誤，
正確的解答過(guò)程如下：
移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
開(kāi)平方得：x﹣1＝±，
移項(xiàng)：x＝±+1，
所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．
16．（6分）已知a，b，c是的三條邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足，試確定的形狀.
答案：，
，
即，，
，是等邊三角形
：
17．（7分）觀(guān)察下列方程及其解的特征：
（1）的解為；
（2）的解為，；
（3）的解為，；
……
解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)猜想：方程的解為_(kāi)___________；
（2）請(qǐng)猜想：關(guān)于x的方程__________的解為，；
（3）以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性.
解：原方程可化為.（下面請(qǐng)大家用配方法寫(xiě)出解此方程的詳細(xì)過(guò)程）
答案：（1），
（2）（或）
（3）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得.
配方，得，
即，
開(kāi)方，得.
解得，.
經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的解.
18．（9分）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題．
【例題】已知：m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∴m-n=0，n-4=0，
∴m=4，n=4．
∴m的值為4，n的值為4．
【問(wèn)題】仿照以上方法解答下面問(wèn)題：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9=0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2-12a-16b+100=0，求斜邊長(zhǎng)c的值．
【解析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y；
（2）根據(jù)完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b,根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
解：（1）∵x2+2xy+2y2-6y+9=0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2-6y+9）=0，
∴（x+y）2+（y-3）2=0，
∴x+y=0，y-3=0，
∴x=-3，y=3；
（2）∵a2+b2-12a-16b+100=0，
∴a2-12a+36+b2-16b+64=0，
∴（a-6）2+（b-8）2=0，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴c===10，
19．（10分）閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們，你們已經(jīng)知道（a-b）2≥0，即a2-2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀1：若a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀2：若函數(shù)y=x+（m＞0，x＞0，m為常數(shù)）．由閱讀1結(jié)論可知：x+即x+∴當(dāng)x=即x2=m,∴x=（m＞0）時(shí)，函數(shù)y=x+的最小值為2
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：
問(wèn)題1：若函數(shù)y=a+（a＞1），則a=_____時(shí)，函數(shù)y=a+（a＞1）的最小值為_(kāi)____．
問(wèn)題2：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為2（x+），求當(dāng)x=_____時(shí)，矩形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____．
問(wèn)題3：求代數(shù)式（m＞-1）的最小值．
問(wèn)題4：建造一個(gè)容積為8立方米，深2米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，設(shè)池長(zhǎng)為x米，水池總造價(jià)為y（元），求當(dāng)x為多少時(shí)，水池總造價(jià)y最低？最低是多少？
【答案】(1)4;(2)7;(3)2;(4)8;
【解析】（1）、根據(jù)閱讀材料內(nèi)容解決問(wèn)題即可；
（2）、根據(jù)矩形的性質(zhì)和閱讀材料內(nèi)容進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）、先將代數(shù)式變形，再根據(jù)閱讀內(nèi)容即可求解；
（4）、根據(jù)立方體的體積公式和已知條件表示出長(zhǎng)方體的寬，運(yùn)用閱讀內(nèi)容即可求解．
解：（1）、由閱讀1結(jié)論可知：把a(bǔ)-1看成一個(gè)整體，
當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=a-1++1（a＞1）的最小值為7．
故答案為4、7．
（2）、設(shè)矩形周長(zhǎng)為y,由題意，得y=2（x+），
∵x+≥2∴x≥4，當(dāng)x=即x==2時(shí)，函數(shù)y=2（x）的最小值為2×2=8．
故答案為2、8．
（3）、設(shè)y=（m＞-1），=（m+1）+，
當(dāng)m+1=即m=1時(shí)，y=4．
答：代數(shù)式（m＞-1）的最小值為4．
（4）、根據(jù)題意，得
長(zhǎng)方體的寬為米，∴y=x ×120+×2×2×80+80×2×2x=480+320（x+）
當(dāng)x=即x=2時(shí)，函數(shù)y=480+320（x+）的最小值為1760，
答：當(dāng)x為2時(shí)，水池總造價(jià)y最低，最低是1760元．
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