資源簡介

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九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第五課時 解一元二次方程（3）
學習目標：
1.經歷求根公式的推導過程。
2.理解并會計算一元二次方程根的判別式。
3.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況。
敲黑板
用一元二次方程根的判別式判斷根的情況的思維過程：
化成一般形式ax2+bx+c=0 確定a≠0 計算b2-4ac 判斷b2-4ac的符號 說明根的情況
一、知識點撥
知識點1.一元二次方程根的判別式
用配方法解一元二次方程，可將方程化成 。由配方法解方程可知，根據與0的大小關系可以確定方程的根的情況。確定與0的大小關系只需要確定 與0的大小關系。我們把 叫做一元二次方程的根的判別式。用符號來表示。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程（4x+1）（2x-3）=5x2+1化成一般式后a,b,c的值為（　　）
A. 3，-10，-4 B. 3，-12，-2 C. 8，-10，-2 D. 8，-12，4
【對應導練】
1．關于x的一元二次方程x2+2（2a-1）x+5+a=0的二次項系數是1，一次項系數為4，則常數項為 _____．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式是_____，求根公式是_____．
知識點2 一元二次方程根的情況的判定
①若 方程有兩個不相等的實數根 。
②若 方程有兩個相等的實數根 。
③若 方程沒有實數根 。
【新知導學】
例2-1 .關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是（　　）
A. 沒有實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根
D. 實數根的個數與實數a的取值有關
例2-2．一元二次方程x2+3x-2=0根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 不能判定
【對應導練】
1．關于一元二次方程x2+2x+1=0根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 無法確定
2．下列關于x的一元二次方程中有兩個相等的實數根的是（　　）
A. （x-3）2=4 B. x2=x C. x2+2x+1=0 D. x2-16=0
3．請寫出一個常數c的值，使得關于x的方程x2+2x+c=0有兩個不相等的實數根，則c的值可以是 _____．
知識點3 一元二次方程根的判別式的應用
一元二次方程根的判別式在解決實際問題中有廣泛的應用。可以通過不解方程來判斷方程根的情況，或者根據方程根的情況來確定待定系數的取值范圍。此外，判別式還可以用于證明字母系數方程有實數根或無實數根。
【新知導學】
例3-1．若關于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有實數根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
例3-2．關于x的一元二次方程x2+（m-2）x-3=0的根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 無法確定根的情況
例3-3．若關于x的方程kx2-x+3=0有實數根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≤12 B. k≤
C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0
【對應導練】
1．關于x的一元二次方程有實數根，則整數a的最大值是______．
2．已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．
3．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數根；
（2）若方程兩個相等的實數根都是整數，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
二、點撥常考題型
題型1 根的判別式在判斷方程根的情況中的應用
1．不解方程，判斷下列方程的根的情況:
（1）；（2）；
（3）；（4）.
題型2 根的判別式在判斷字母關系中的應用
2．已知關于x的方程x2-2x+2k-3=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為符合條件的最大整數，求此時方程的根．
3．已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．
4．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數根；
（2）若方程兩個相等的實數根都是整數，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
5．已知關于的一元二次方程．
（1）求證：此方程總有兩個實數根；
（2）若此方程恰有一個根小于0，求的取值范圍．
題型3 根的判別式在求字母值中的應用
6．已知關于x的一元二次方程2x2+（2-m）x+=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若這個關于x的一元二次方程的一個根為-1，求m的值．
7．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
8．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．一元二次方程x2+x-2=0根的情況是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 無法確定
2．若關于x的一元二次方程nx2-2x-1=0無實數根，則一次函數y=（n+1）x-n的圖象不經過（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．一元二次方程x2-2x+m=0總有實數根，則m應滿足的條件是（　　）
A. m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
4．不解方程，判別方程5x2-7x+5=0的根的情況是（　　）
A. 有兩個相等的實數根
B. 有兩個不相等的實數根
C. 只有一個實數根
D. 沒有實數根
5．已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個實數根，則a的取值范圍是（　　）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＜2且a≠1 D. a≤2且a≠1
6．如果關于x的方程ax2+4x-2=0有兩個不相等的實數根，且關于x的分式方程-=2有正數解，則符合條件的整數a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7．對于任意實數m,關于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有兩個正的實數根
B. 有兩個負的實數根
C. 有一個正實數根、一個負實數根
D. 沒有實數根
8．規定：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現有下列結論：
①方程x2+2x-8=0是倍根方程；
②若關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；
③若關于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2-6ax+c與x軸的公共點的坐標是（2，0）和（4，0）；
④若點（m,n）在反比例函數y=的圖象上，則關于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述結論中正確的有（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．請寫出一個常數c的值，使得關于x的方程x2+2x+c=0有兩個不相等的實數根，則c的值可以是 _____．
10．關于的一元二次方程有兩個實數根，的最小整數值為___________．
11．若關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是 _____．
12．如果關于x的一元二次方程2x（ax-4）-x2+6=0沒有實數根，那么a的最小整數值是_____．
13．如果恰好只有一個實數a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，則k的值為 _____．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（8分）不解方程，判斷下列關于x的方程根的情況：
（1）；
（2）.
15．（8分）關于的一元二次方程.
（1）若是方程的一個根，求的值及另一個根；
（2）當為何值時，方程有兩個不同的實數根？
16．（8分）已知關于的方程
（1）求證：不論取什么實數值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰三角形的一邊長為，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求的周長.
17．(8分）若關于的方程是一元二次方程.
（1）求常數的值.
（2）在（1）的條件下，若該一元二次方程有兩個不相等的實數根，求常數的取值范圍.
18．（8分）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根.
（1）求的取值范圍；
（2）當為正整數時，求此時方程的根.
19．（8分）已知為非負實數，關于的方程和.
（1）求證：方程必有兩個非負實數根.
（2）當取何值時，上述兩個方程有一個相同的實數根？
九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第五課時 解一元二次方程（3）
學習目標：
1.經歷求根公式的推導過程。
2.理解并會計算一元二次方程根的判別式。
3.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況。
敲黑板
用一元二次方程根的判別式判斷根的情況的思維過程：
化成一般形式ax2+bx+c=0 確定a≠0 計算b2-4ac 判斷b2-4ac的符號 說明根的情況
一、知識點撥
知識點1.一元二次方程根的判別式
用配方法解一元二次方程，可將方程化成 。由配方法解方程可知，根據與0的大小關系可以確定方程的根的情況。確定與0的大小關系只需要確定 與0的大小關系。我們把 叫做一元二次方程的根的判別式。用符號來表示。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程（4x+1）（2x-3）=5x2+1化成一般式后a,b,c的值為（　　）
A. 3，-10，-4 B. 3，-12，-2 C. 8，-10，-2 D. 8，-12，4
【答案】A
【解析】通過去括號、移項、合并同類項將方程化為一般形式即可得．
解：（4x+1）（2x-3）=5x2+1，
去括號得：
8x2-10x-3=5x2+1，
移項合并同類項得：
3x2-10x-4=0，
a=3，b=-10，c=-4，
故選：A．
【對應導練】
1．關于x的一元二次方程x2+2（2a-1）x+5+a=0的二次項系數是1，一次項系數為4，則常數項為 _____．
【答案】
【解析】根據一次項系數的定義得到2（2a-1）=4，求出a,再計算出5+a,從而得到常數項．
解：根據題意得2（2a-1）=4，
解得a=，
所以5+a=5+=，
所以常數項為．
故答案為：．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式是_____，求根公式是_____．
【答案】(1)b2-4ac;(2);
【解析】答題時首先要知道根的判別式的含義，Δ=b2-4ac,知道求根公式．
解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式是b2-4ac,求根公式為．
知識點2 一元二次方程根的情況的判定
①若 方程有兩個不相等的實數根 。
②若 方程有兩個相等的實數根 。
③若 方程沒有實數根 。
【新知導學】
例2-1 .關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是（　　）
A. 沒有實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根
D. 實數根的個數與實數a的取值有關
【答案】C
【解析】先計算一元二次方程根的判別式，根據根的判別式得結論．
解：∵Δ=（2a）2-4×1×（a2-1）
=4a2-4a2+4
=4＞0．
∴關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有兩個不相等的實數根．
故選：C．
例2-2．一元二次方程x2+3x-2=0根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 不能判定
【答案】A
【解析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
解：由題意得，Δ=32-4×1×（-2）=17＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【對應導練】
1．關于一元二次方程x2+2x+1=0根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 無法確定
【答案】B
【解析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
解：由題意得，Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有兩個相等的實數根．
故選：B．
2．下列關于x的一元二次方程中有兩個相等的實數根的是（　　）
A. （x-3）2=4 B. x2=x C. x2+2x+1=0 D. x2-16=0
【答案】C
【解析】通過解方程求得方程的解或根據根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號判斷即可．
解：A、∵（x-3）2=4，
∴x-3=±2，
∴x1=1，x2=5，
故本選項不符合題意；
B、∵x2=x,
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
故本選項不符合題意；
C、Δ=22-4×1×1=0，該方程有兩個相等實數根．故本選項符合題意；
D、Δ=02-4×1×（-16）=64＞0，該方程有兩個不相等的實數根．故本選項不符合題意；
故選：C．
3．請寫出一個常數c的值，使得關于x的方程x2+2x+c=0有兩個不相等的實數根，則c的值可以是 _____．
【答案】0（答案不唯一）．
【解析】根據方程的系數結合根的判別式Δ=b2-4ac＞0，即可得出關于c的不等式，解之即可求出c的值．
解：a=1，b=-2．
∵Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案為：0（答案不唯一）．
知識點3 一元二次方程根的判別式的應用
一元二次方程根的判別式在解決實際問題中有廣泛的應用。可以通過不解方程來判斷方程根的情況，或者根據方程根的情況來確定待定系數的取值范圍。此外，判別式還可以用于證明字母系數方程有實數根或無實數根。
【新知導學】
例3-1．若關于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有實數根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
【答案】A
【解析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
解：根據題意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，
解得k≥-1且k≠0．
故選：A．
例3-2．關于x的一元二次方程x2+（m-2）x-3=0的根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 無法確定根的情況
【答案】A
【解析】根據一元二次方程根的判別式b2-4ac與0的大小，即可得出方程根的情況．
解：∵b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
例3-3．若關于x的方程kx2-x+3=0有實數根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≤12 B. k≤
C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0
【答案】B
【解析】由于k的取值不確定，故應分k=0（此時方程化簡為一元一次方程）和k≠0（此時方程為二元一次方程）兩種情況進行解答．
解：當k=0時，-x+3=0，解得x=3，
當k≠0時，方程kx2-x+3=0是一元二次方程，
根據題意可得：Δ=1-4k×3≥0，
解得k≤，k≠0，
綜上k≤，
故選：B．
【對應導練】
1．關于x的一元二次方程有實數根，則整數a的最大值是______．
【答案】
【解析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，再求出兩不等式的公共部分得到且，然后找出此范圍內的最大整數即可．
解：根據題意得且，
解得：且，
所以整數a最大值為．
故答案：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．
2．已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．
【解析】（1）先計算根的判別式的值得到Δ≥0，然后利用根的判別式的意義得到結論；
（2）設方程的另一個根為t,根據根與系數的關系得1+t=m+2，1×t=2m,然后解方程組求出m和t即可．
（1）證明：∵Δ=（m+2）2-4×2m
=（m-2）2≥0，
∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）解：設方程的另一個根為t,
根據根與系數的關系得1+t=m+2①，1×t=2m②，
②-①得-1=m-2，
解得m=1，
把m=1代入②得t=2，
所以m的值為1，方程的另一個根為2．
3．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數根；
（2）若方程兩個相等的實數根都是整數，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
【解析】（1）根據根的判別式符號進行判斷；
（2）根據判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）證明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程總有兩個不相等實數根；
（2）由題意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
當n=4，m=-2時，方程為：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
點撥常考題型
題型1 根的判別式在判斷方程根的情況中的應用
1．不解方程，判斷下列方程的根的情況:
（1）；（2）；
（3）；（4）.
答案：（1），
方程有兩個不相等的實數根.
（2），
方程有兩個相等的實數根.
（3），
方程沒有實數根.
（4）將方程整理，得.
，
方程沒有實數根.
題型2 根的判別式在判斷字母關系中的應用
2．已知關于x的方程x2-2x+2k-3=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為符合條件的最大整數，求此時方程的根．
【解析】（1）根據關于x的方程x2-2x+2k-3=0有兩個不相等的實數根，則Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范圍．
（2）由（1）中k的取值范圍得出符合條件的k的最大整數值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．
解：（1）Δ=（-2）2-4（2k-3）=8（2-k）．
∵該方程有兩個不相等的實數根，
∴8（2-k）＞0，解得k＜2．
（2）當k為符合條件的最大整數時，k=1．
此時方程化為x2-2x-1=0，方程的根為x==1±．
即此時方程的根為x1=1+，x2=1-．
3．已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．
【解析】（1）先計算根的判別式的值得到Δ≥0，然后利用根的判別式的意義得到結論；
（2）設方程的另一個根為t,根據根與系數的關系得1+t=m+2，1×t=2m,然后解方程組求出m和t即可．
（1）證明：∵Δ=（m+2）2-4×2m
=（m-2）2≥0，
∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）解：設方程的另一個根為t,
根據根與系數的關系得1+t=m+2①，1×t=2m②，
②-①得-1=m-2，
解得m=1，
把m=1代入②得t=2，
所以m的值為1，方程的另一個根為2．
4．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數根；
（2）若方程兩個相等的實數根都是整數，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
【解析】（1）根據根的判別式符號進行判斷；
（2）根據判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）證明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程總有兩個不相等實數根；
（2）由題意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
當n=4，m=-2時，方程為：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
5．已知關于的一元二次方程．
（1）求證：此方程總有兩個實數根；
（2）若此方程恰有一個根小于0，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】【小問1詳解】
證明：關于的一元二次方程，
，
，
此方程總有兩個實數根；
【小問2詳解】
解：，
，
解得或，
此方程恰有一個根小于0，
，解得．
【點睛】本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式的關系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情況求參數范圍等，熟練掌握一元二次方程的解法及判別式與方程根的情況是解決問題的關鍵．
題型3 根的判別式在求字母值中的應用
6．已知關于x的一元二次方程2x2+（2-m）x+=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若這個關于x的一元二次方程的一個根為-1，求m的值．
【解析】（1）由方程根的情況可得到關于m的不等式，可求得m的取值范圍；
（2）把x=-1代入方程可求得m的值．
解：（1）∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴Δ＞0，即，
∴m＜1；
（2）x=-1時，，
整理得m2+8m=0，
解得：m1=0，m2=-8．
7．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
【解析】（1）對于一元二次方程根的情況需判斷Δ的值，可得結論；
（2）設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,利用根與系數的關系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化簡帶入求k的值．
（1）證明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴無論k取何值，方程總有實數根；
（2）解：設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,
則a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4應舍去，
∴k=4．
8．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,從而可判斷三角形的形狀；
（2）根據判別式的意義得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根據勾股定理可判斷三角形的形狀；
（3）利用等邊三角形的性質得a=b=c,方程化為x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，則a=b,所以△ABC為等腰三角形；
（2）△ABC為直角三角形；
理由：根據題意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC為直角三角形；
（3）∵△ABC為等邊三角形，
∴a=b=c,
∴方程化為x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．一元二次方程x2+x-2=0根的情況是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 無法確定
【答案】A
【解析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號就可以了．
解：∵a=1，b=1，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=1+8=9＞0
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
2．若關于x的一元二次方程nx2-2x-1=0無實數根，則一次函數y=（n+1）x-n的圖象不經過（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】一次函數y=kx+b的圖象，根據k、b的取值確定直角坐標系的位置．
在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：
（1）二次項系數不為零；
（2）在無實數根下必須滿足Δ=b2-4ac＜0．
解：一元二次方程nx2-2x-1=0無實數根，說明Δ=b2-4ac＜0，即（-2）2-4×n×（-1）＜0，
解得n＜-1，所以n+1＜0，-n＞0，故一次函數y=（n+1）x-n的圖象不經過第三象限．
故選：C．
3．一元二次方程x2-2x+m=0總有實數根，則m應滿足的條件是（　　）
A. m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
【答案】D
【解析】根據根的判別式，令△≥0，建立關于m的不等式，解答即可．
解：∵方程x2-2x+m=0總有實數根，
∴△≥0，
即4-4m≥0，
∴-4m≥-4，
∴m≤1．
故選：D．
4．不解方程，判別方程5x2-7x+5=0的根的情況是（　　）
A. 有兩個相等的實數根
B. 有兩個不相等的實數根
C. 只有一個實數根
D. 沒有實數根
【答案】D
【解析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號就可以了．
解：∵a=5，b=-7，c=5
∴Δ=b2-4ac=（-7）2-4×5×5=-51＜0
∴方程沒有實數根
故選：D．
5．已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個實數根，則a的取值范圍是（　　）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＜2且a≠1 D. a≤2且a≠1
【答案】D
【解析】根據方程有兩個實數根列出關于a的不等式組，求出a的取值范圍即可．
解：∵關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個實數根，
∴，解得a≤2且a≠1．
故選：D．
6．如果關于x的方程ax2+4x-2=0有兩個不相等的實數根，且關于x的分式方程-=2有正數解，則符合條件的整數a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】先利用判別式的意義得到a≠0且Δ=42-4 a （-2）＞0，再解把分式方程化為整式方程得到x=-，利用分式方程有正數解得到-＞0且-≠2，然后求出幾個不等式的公共部分，在此公共部分內確定整數a即可．
解：∵方程ax2+4x-2=0有兩個不相等的實數根，
∴a≠0且Δ=42-4 a （-2）＞0，解得a＞-2且a≠0，
去分母得-1-（1-ax）=2（x-2），解得x=-，
∵分式方程-=2有正數解，
∴-＞0且-≠2，解得a＜2且a≠1，
∴a的范圍為-2＜a＜2且a≠0，a≠1，
∴符合條件的整數a的值是-1．
故選：A．
7．對于任意實數m,關于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有兩個正的實數根
B. 有兩個負的實數根
C. 有一個正實數根、一個負實數根
D. 沒有實數根
【答案】D
【解析】先求出△的值，再判斷出其符號即可．
解：∵Δ=（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）=-4m4-16m2-16＜0，
∴此方程沒有實數根．
故選：D．
8．規定：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現有下列結論：
①方程x2+2x-8=0是倍根方程；
②若關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；
③若關于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2-6ax+c與x軸的公共點的坐標是（2，0）和（4，0）；
④若點（m,n）在反比例函數y=的圖象上，則關于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述結論中正確的有（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】①通過解方程得到該方程的根，結合“倍根方程”的定義進行判斷；
②設x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到當x1=1時，x2=2，當x1=-1時，x2=-2，于是得到結論；
③根據“倍根方程”的定義即可得到結論；
④若點（m,n）在反比例函數y=的圖象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正確的結論；
解：①由x2+2x-8=0，得
（x+4）（x-2）=0，
解得x1=-4，x2=2，
∵x1≠2x2或x2≠2x1，
∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程．
故①錯誤；
②關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴設x2=2x1，
∴x1 x2=2x12=2，
∴x1=±1，
當x1=1時，x2=2，
當x1=-1時，x2=-2，
∴x1+x2=-a=±3，
∴a=±3，故②正確；
③關于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵拋物線y=ax2-6ax+c的對稱軸是直線x=3，
∴拋物線y=ax2-6ax+c與x軸的交點的坐標是（2，0）和（4，0），
故③正確；
④∵點（m,n）在反比例函數y=的圖象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=-，x2=-，
∴x2=4x1，
∴關于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故選：C．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．請寫出一個常數c的值，使得關于x的方程x2+2x+c=0有兩個不相等的實數根，則c的值可以是 _____．
【答案】0（答案不唯一）．
【解析】根據方程的系數結合根的判別式Δ=b2-4ac＞0，即可得出關于c的不等式，解之即可求出c的值．
解：a=1，b=-2．
∵Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案為：0（答案不唯一）．
10．關于的一元二次方程有兩個實數根，的最小整數值為___________．
【答案】
【解析】利用一元二次方程根的判別式求出m的取值范圍即可得到答案．
解：∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，
∴，
∴，
∴，
∴的最小整數值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
11．若關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是 _____．
【答案】k≥-且k≠0
【解析】若一元二次方程有兩個等實數根，則根的判別式Δ=b2-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項系數不為0．
解：∵關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數根，
∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0．
解得：k≥-且k≠0，
∴故本題答案為：k≥-，且k≠0．
12．如果關于x的一元二次方程2x（ax-4）-x2+6=0沒有實數根，那么a的最小整數值是_____．
【答案】2
【解析】先把方程化為一般式，再根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到2a-1≠0且Δ=（-8）2-4×（2a-1）×6＜0，解得a＞，然后找出此范圍內的最大整數即可．
解：（2a-1）x2-8x+6=0，
根據題意得2a-1≠0且Δ=（-8）2-4×（2a-1）×6＜0，
解得a＞，
所以a的最小整數值2
故答案為2．
13．如果恰好只有一個實數a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，則k的值為 _____．
【答案】±3或-5
【解析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論即可得到答案．
解：①當原方程是一個一元一次方程時，方程只有一個實數根，
則k2-9=0，
解得k=±3，
②如果方程是一元二次方程時，則方程有兩個相等的實數根，
即Δ=b2-4ac=0，
即：4（k+1）2-4（k2-9）=0
解得：k=-5．
故答案為±3或-5．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（8分）不解方程，判斷下列關于x的方程根的情況：
（1）；
（2）.
答案：（1）由題得：
∴原方程沒有實數根；
（2）由題得：
∴原方程有兩個不相等的實數根.
15．（8分）關于的一元二次方程.
（1）若是方程的一個根，求的值及另一個根；
（2）當為何值時，方程有兩個不同的實數根？
答案：（1）將代入原方程得，
解得.
當時，原方程為，
即，
方程的另一個根為2.
（2）方程有兩個不同的實數根，
解得且，
當且時，方程有兩個不同的實數根.
16．（8分）已知關于的方程
（1）求證：不論取什么實數值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰三角形的一邊長為，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求的周長.
答案：（1）證明：方程化為一般形式為：，
∵，
而，
∴，
所以無論取任何實數，方程總有兩個實數根；
（2）解：，
整理得，
∴，
當為等腰的底邊，則有，
因為恰是這個方程的兩根，則，
解得，則三角形的三邊長分別為：2，2，4，
∵，這不滿足三角形三邊的關系，舍去；
當為等腰△ABC的腰，
因為恰是這個方程的兩根，所以只能，
則三角形三邊長分別為：2，4，4，
此時三角形的周長為.
所以的周長為10.
17．(8分）若關于的方程是一元二次方程.
（1）求常數的值.
（2）在（1）的條件下，若該一元二次方程有兩個不相等的實數根，求常數的取值范圍.
答案：(1)∵原方程是一元二次方程
∴
∴
(2)當時，原方程變為：
∵該一元二次方程有兩個不相等的實數根
∴
∴
∴
18．（8分）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根.
（1）求的取值范圍；
（2）當為正整數時，求此時方程的根.
答案：（1）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
，
；
（2）為正整數，
，
此時方程為
解得
19．（8分）已知為非負實數，關于的方程和.
（1）求證：方程必有兩個非負實數根.
（2）當取何值時，上述兩個方程有一個相同的實數根？
答案：（1）該方程根的判別式，
方程一定有兩個實數根.
設方程的兩根為，則.
為非負實數，，
方程有兩個正實數根或有一個根為0，另一個根為正實數根，
方程必有兩個非負實數根.
（2）解方程，得.
當兩個方程相同的實數根是時，
把代人方程，得，
或，
或或.
為非負實數，或.
當兩個方程相同的實數根是時，把代人方程，得，
解得，
綜上，當或0或時，這兩個方程有一個相同的實數根.
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