資源簡介

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九年級數(shù)學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第六課時 解一元二次方程（4）公式法
學習目標：
1.經歷求根公式的推導過程。
2.會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程。
3.綜合運用求根公式與根的判別式解決有關問題。
老師告訴你
用公式法解一元二次方程的“三步驟”
把一元二次方程化為一般形式，確定a、b、c的值；
計算b2-4ac的值；
當b2-4ac≥0時，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個實數(shù)根，當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。
一、知識點撥
知識點1、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我們把它叫做一元二次方程的求根公式。
①時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根。即 ； 。
②時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。即 。
③時，一元二次方程沒有實數(shù)根。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程根的判別式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
例1-2．一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根
C.有兩個相等的實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根
【對應導練】
1．關于方程的根的說法正確的是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根
C.兩實數(shù)根的和為-2 D.兩實數(shù)根的積為3
2．下列方程中，沒有實數(shù)根的是( )
A. B. C. D.
3．請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程______有兩個不相等的實數(shù)根.
知識點2 .公式法解一元二次方程的步驟：
①將一元二次方程化成 一般形式 ，并確定 的值。
②計算 的值，確定一元二次方程的根的情況。
③根據根的情況把的值帶入相應的求根公式求解。
【新知導學】
例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
【對應導練】
1．解方程：x2-6x+11=0（公式法）
2．請閱讀下列材料：
我們規(guī)定一種運算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照這種運算的規(guī)定，請解答下列問題：（1）直接寫出的計算結果；
（2）當x取何值時，=0；
（3）若==-7，直接寫出x和y的值．
二、題型訓練
1.求根公式與根的判別式的綜合應用
1．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數(shù)根；
（2）若方程兩個相等的實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
2．已知關于x的一元二次方程x2+2x=m（m為常數(shù)）．
（Ⅰ）當m=5時，求這個方程的解；
（Ⅱ）當m為何值時，此方程有兩個相等的實數(shù)根？當m為何值時，此方程沒有實數(shù)根？
3．已知關于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為滿足條件的最大的整數(shù)，求此時方程的解．
4．已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為（1）中的最小整數(shù)，請求出此時方程的根．
2.求根公式在幾何中的應用
1．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當一矩形ABCD的對角線長為AC=，且矩形兩條邊AB和BC恰好是這個方程的兩個根時，求矩形ABCD的周長．
2．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
3．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
4．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2）若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積．
5．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=c,這時我們把關于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
（1）求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有實數(shù)根．
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．
6．已知關于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長．
7．已知關于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
三、牛刀小試
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正確的是（　　）
A. B.
C. D.
2．關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=，x2=，下列判斷一定正確的是（　　）
A. a=-1 B. c=1
C. ac=1 D. =-1
3．x=是下列哪個一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
4．方程x2+3x=14的解是（　　）
A. x= B. x=
C. x= D. x=
5．方程x（x-1）=2的兩根為（　　）
A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2
6．關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是（　　）
A. 沒有實數(shù)根
B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根
D. 實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)a的取值有關
7．若關于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
8．對于實數(shù)a,b定義運算“※”為a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若關于x的方程3※x=-m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．若關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．
10．關于x2-3x+1=0的方程_____實數(shù)根．（注：填“有”或“沒有”）．
11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，則a=_____，x1=x2=_____．
12．若關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是 _____．
13．已知關于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列結論：
①當a＞-1時，方程有兩個不相等的實根；
②當a＞0時，方程不可能有兩個異號的實根；
③當a＞-1時，方程的兩個實根不可能都小于1；
④當a＞3時，方程的兩個實根一個大于3，另一個小于3．
以上4個結論中，正確的個數(shù)為_____．
三、解答題(共6題，)
14．（8分）解方程：
（1）；
（2）
15．（8分）關于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）請選擇（1）中k的一個負整數(shù)值，并求出方程的根．
16．（8分）已知關于x的方程2x2-kx+2=0的一個解與方程=4的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2-kx+2=0的另一個解．
17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0時，我們可以將x+1看成一個整體，設x+1=y,則原方程可化為y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．當y1=1時，x+1=1，解得x=0，當y2=2時，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解為x1=0，x2=1．
請利用這種方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
18．（8分）已知關于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．
19．（9分）已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
九年級數(shù)學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第六課時 解一元二次方程（4）公式法
學習目標：
1.經歷求根公式的推導過程。
2.會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程。
3.綜合運用求根公式與根的判別式解決有關問題。
老師告訴你
用公式法解一元二次方程的“三步驟”
把一元二次方程化為一般形式，確定a、b、c的值；
計算b2-4ac的值；
當b2-4ac≥0時，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個實數(shù)根，當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。
一、知識點撥
知識點1、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我們把它叫做一元二次方程的求根公式。
①時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根。即 ； 。
②時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。即 。
③時，一元二次方程沒有實數(shù)根。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程根的判別式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
答案：C
解析：.
故選C
例1-2．一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根
C.有兩個相等的實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根
答案：A
解析：由題意，可知，
該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A.
【對應導練】
1．關于方程的根的說法正確的是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根
C.兩實數(shù)根的和為-2 D.兩實數(shù)根的積為3
答案：B
解析：，
方程沒有實數(shù)根.
故選項A，C，D不正確，
故選：B.
2．下列方程中，沒有實數(shù)根的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；
B、，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；
C、，方程有兩個相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；
D、，方程沒有實數(shù)根，此選項符合題意.
故選：D.
3．請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程______有兩個不相等的實數(shù)根.
答案：0（答案不唯一）
解析：設這個常數(shù)為a，
要使原方程有兩個不同的實數(shù)根，
，
，
滿足題意的常數(shù)可以為0，
故答案為：0（答案不唯一）.
知識點2 .公式法解一元二次方程的步驟：
①將一元二次方程化成 一般形式 ，并確定 的值。
②計算 的值，確定一元二次方程的根的情況。
③根據根的情況把的值帶入相應的求根公式求解。
【新知導學】
例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
【解析】直接利用求根公式計算可得．
解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0，
則x==，
即x1=1，x2=．
例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
【解析】（1）求出b2-4ac的值，代入公式 x=求出即可；
（2）求出x2=x+1，求出x4=3x+2，x5=5x+3，2x2=2x+2，分別代入即可．
解：（1）x2-x-1=0，
b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
∴x=，
∴x1=，x2=．
（2）x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
∴===1．
【對應導練】
1．解方程：x2-6x+11=0（公式法）
【解析】根據原方程知，求根公式中的a、b、c的值分別是方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，然后將其代入求根公式求解即可．
解：由原方程，知
a=，b=-6，c=11
將其代入求根公式x=，得
x=，
∴原方程的根是：x1=4，x2=．
2．請閱讀下列材料：
我們規(guī)定一種運算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照這種運算的規(guī)定，請解答下列問題：（1）直接寫出的計算結果；
（2）當x取何值時，=0；
（3）若==-7，直接寫出x和y的值．
【解析】（1）根據運算的規(guī)定，可知=-1×0.5-（-2）×2，然后根據有理數(shù)的混合運算法則，得出結果；
（2）根據運算的規(guī)定，可知=2x2-1×（0.5-x），從而可列出關于x的方程2x2-1×（0.5-x）=0，解這個方程，即可求出結果；
（3）根據運算的規(guī)定，可知=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,從而可列出方程組，解這個方程組，即可求出x和y的值．
解：（1）∵=ad-bc,
∴=-1×0.5-（-2）×2=-0.5+4=3.5；（2分）
（2）由題意，得2x2-1×（0.5-x）=0，（4分）
整理，得4x2+2x-1=0，
解之，得．（5分）
∴當或時，=0；
（3）∵=ad-bc,
∴=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,
由題意，得組，
解得．
故x=8，y=2．（8分）
二、題型訓練
1.求根公式與根的判別式的綜合應用
1．已知關于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求證：當n=m+3時，方程總有兩個不相等實數(shù)根；
（2）若方程兩個相等的實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的m,n的值，并求此時方程的根．
【解析】（1）根據根的判別式符號進行判斷；
（2）根據判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）證明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程總有兩個不相等實數(shù)根；
（2）由題意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
當n=4，m=-2時，方程為：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
2．已知關于x的一元二次方程x2+2x=m（m為常數(shù)）．
（Ⅰ）當m=5時，求這個方程的解；
（Ⅱ）當m為何值時，此方程有兩個相等的實數(shù)根？當m為何值時，此方程沒有實數(shù)根？
【解析】（Ⅰ）把m的值代入方程，利用配方法求解即可．
（Ⅱ）若一元二次方程有兩等根，則根的判別式Δ=b2-4ac=0，建立關于m的方程，求出m的取值；若方程無實數(shù)根知4m+4＜0，解之可得答案．
解：（Ⅰ）當m=5時，方程為x2+2x=5，
x2+2x+1-1=5，
（x+1）2=6，
解得，x1=，x2=-；
（Ⅱ）∵b2-4ac=4+4m,
∴4+4m=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
解得：m=-1，
即m=-1時，方程有兩個相等的實數(shù)根．
∴4m+4＜0
解得：m＜-1，
即m＜-1時，方程沒有實數(shù)根．
3．已知關于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為滿足條件的最大的整數(shù)，求此時方程的解．
【解析】（1）根據判別式大于0即可求出答案．
（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
解：（1）Δ=4-4（k-2）=12-4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k=2，
∴此時方程為：x2+2x=0，
∴x（x+2）=0，
∴x=0或x=-2．
4．已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為（1）中的最小整數(shù)，請求出此時方程的根．
【解析】（1）根據根的判別式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；
（2）根據k＞-1，且k是最小整數(shù)，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解關于x的一元二次方程即可．
解：（1）∵方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0，
∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0，
解得k＞-1；
（2）∵k＞-1，且k是最小整數(shù)，
∴k=0，
把k=0代入原方程，可得x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-2．
2.求根公式在幾何中的應用
1．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當一矩形ABCD的對角線長為AC=，且矩形兩條邊AB和BC恰好是這個方程的兩個根時，求矩形ABCD的周長．
【解析】（1）計算判別式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非負數(shù)的性質得到Δ＞0，從而根據判別式的意義得到結論；
（2）利用根與系數(shù)的關系得到AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，利用矩形的性質和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，則（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC為正數(shù)得到k的值為3，然后計算AB+BC得到矩形ABCD的周長．
（1）證明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3）
=4k2+4k+1-16k+12
=4k2-12k+13
=（2k-3）2+4，
∵（2k-3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據題意得AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，
而AB2+BC2=AC2=（）2，
∴（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2，
而AB+BC=2k+1＞0，AB BC=4k-3＞0，
∴k的值為3，
∴AB+BC=7，
∴矩形ABCD的周長為14．
2．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
【解析】（1）對于一元二次方程根的情況需判斷Δ的值，可得結論；
（2）設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,利用根與系數(shù)的關系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化簡帶入求k的值．
（1）證明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴無論k取何值，方程總有實數(shù)根；
（2）解：設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,
則a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4應舍去，
∴k=4．
3．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,從而可判斷三角形的形狀；
（2）根據判別式的意義得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根據勾股定理可判斷三角形的形狀；
（3）利用等邊三角形的性質得a=b=c,方程化為x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，則a=b,所以△ABC為等腰三角形；
（2）△ABC為直角三角形；
理由：根據題意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC為直角三角形；
（3）∵△ABC為等邊三角形，
∴a=b=c,
∴方程化為x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
4．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2）若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積．
【解析】（1）根據方程的系數(shù)結合根的判別式，可得出Δ=（2k-3）2≥0，由此即可得出該方程有兩個實數(shù)根；
（2）分3為底邊長及腰長兩種情況考慮：①當3為底邊長是，由Δ=0可求出k值，將其代入原方程可求出三角形的腰長，再根據周長及面積公式可求出等腰三角形的周長及面積；②當3為腰長時，將x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底邊長度，再根據周長及面積公式可求出等腰三角形的周長及面積．綜上即可得出結論．
解：（1）∵Δ=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，
∴該方程有兩個實數(shù)根；
（2）①當3為底邊長時，Δ=（2k-3）2=0，
∴k=，
此時原方程為x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2．
∵2、2、3能組成三角形，
∴三角形的周長為2+2+3=7，三角形的面積為×3×=；
②當3為腰長時，將x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0，
解得：k=2，
此時原方程為x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3．
∵2、3、3能組成三角形，
∴三角形的周長為2+3+3=8，三角形的面積為×2×=2．
綜上所述：等腰三角形的周長為7或8，面積為或2．
5．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=c,這時我們把關于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
（1）求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有實數(shù)根．
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．
【解析】（1）只要證明△≥0即可解決問題．
（2）當x=-1時，有a-c+b=0，即a+b=c,由2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，推出c=2，推出a2+b2=c2=4，a+b=2，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可得ab=2，由此即可解決問題．
（1）證明：由題意，得
Δ=（c）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2，
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，
∴關于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有實數(shù)根
（2）解：當x=-1時，有a-c+b=0，即a+b=c,
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，
∴3c=6，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=2，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴ab=2，
∴S△ABC=ab=1．
6．已知關于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長．
【解析】（1）求出根的判別式，利用偶次方的非負性證明；
（2）分△ABC的底邊長為2、△ABC的一腰長為2兩種情況解答．
（1）證明：Δ=（k+3）2-4×3k=（k-3）2≥0，
故不論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；
（2）解：當△ABC的底邊長為2時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
則（k-3）2=0，
解得k=3，
方程為x2-6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周長為：2+3+3=8；
當△ABC的一腰長為2時，方程有一根為2，
方程為x2-5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周長為：2+2+3=7．
7．已知關于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【解析】（1）先計算判別式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=（2k-3）2，根據非負數(shù)的性質易得△≥0，則根據判別式的意義即可得到結論；
（2）分類討論：當b=c時，則Δ=（2k-3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根據三角形三邊關系可判斷這種情況不符號條件；當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程可解得k=，則方程化為x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后計算△ABC的周長．
（1）證明：Δ=（2k+1）2-4×4（k-）
=4k2+4k+1-16k+8，
=4k2-12k+9
=（2k-3）2，
∵（2k-3）2≥0，即△≥0，
∴無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）解：當b=c時，Δ=（2k-3）2=0，解得k=，方程化為x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程得16-4（2k+1）+4（k-）=0，解得k=，方程化為x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周長=4+4+2=10．
三、牛刀小試
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法求解即可．
解：∵a=1，b=-6，c=1，
∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0，
則x===3±2，
故選：D．
2．關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=，x2=，下列判斷一定正確的是（　　）
A. a=-1 B. c=1
C. ac=1 D. =-1
【答案】D
【解析】根據一元二次方程的求根公式與根與系數(shù)的關系可得答案．
解：根據一元二次方程的求根公式可得：x1=，x2=，
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=，x2=，
∴x1+x2=-b=-，x1 x2==-1，
∴當b≠0時，a=1，c=-1，則ac=-1，
故選：D．
3．x=是下列哪個一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
【答案】A
【解析】根據題意知；，a=2, b=4, c=1 所以一元二次方程為2x2+4x+1=0
故選A
4．方程x2+3x=14的解是（　　）
A. x= B. x=
C. x= D. x=
【答案】B
【解析】把方程化為一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．
解：方程整理得：
x2+3x-14=0
a=1，b=3，c=-14，
△=9+56=65
x=．
故選：B．
5．方程x（x-1）=2的兩根為（　　）
A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2
【答案】D
【解析】解此題時應該先化簡、整理，然后根據方程形式用公式法進行解答．
解：方程移項并化簡得x2-x-2=0，
a=1，b=-1，c=-2
△=1+8=9＞0
∴x=
解得x1=-1，x2=2．故選：D．
6．關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是（　　）
A. 沒有實數(shù)根
B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根
D. 實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)a的取值有關
【答案】C
【解析】先計算一元二次方程根的判別式，根據根的判別式得結論．
解：∵Δ=（2a）2-4×1×（a2-1）
=4a2-4a2+4
=4＞0．
∴關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：C．
7．若關于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
【答案】A
【解析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
解：根據題意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，
解得k≥-1且k≠0．
故選：A．
8．對于實數(shù)a,b定義運算“※”為a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若關于x的方程3※x=-m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】直接利用已知運算公式得出一元二次方程，再利用根的判別式得出m的取值范圍，進而得出答案．
解：3※x=-m,
則x2-3x=-m,
故x2-3x+m=0，
∵關于x的方程3※x=-m沒有實數(shù)根，
∴Δ=b2-4ac=9-4m＜0，
解得：m＞，
∴m的值可以是3．
故選：A．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．若關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．
【答案】k≤1且k≠0
【解析】根據方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關于k的不等式，解得即可，同時還應注意二次項系數(shù)不能為0．
解：∵關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根，
∴Δ=b2-4ac≥0，
即：4-4k≥0，
解得：k≤1，
∵關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，
故答案為：k≤1且k≠0．
10．關于x2-3x+1=0的方程_____實數(shù)根．（注：填“有”或“沒有”）．
【答案】有
【解析】由根的判別式，先求出△，再根據Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根，進行判斷即可．
解：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程x2-3x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
故答案為有．
11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，則a=_____，x1=x2=_____．
【答案】(1);(2);
【解析】根據題意，先求得a,又方程有兩個相等的實數(shù)根，再由根與系數(shù)的關系計算即可．
解：∵b2-4ac=0，
∴16-20a=0，
解得a=，
∴x1=x2=（x1+x2）=（-）=（-）=；
故答案為；．
12．若關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是 _____．
【答案】k≥-且k≠0
【解析】若一元二次方程有兩個等實數(shù)根，則根的判別式Δ=b2-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．
解：∵關于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有兩個實數(shù)根，
∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0．
解得：k≥-且k≠0，
∴故本題答案為：k≥-，且k≠0．
13．已知關于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列結論：
①當a＞-1時，方程有兩個不相等的實根；
②當a＞0時，方程不可能有兩個異號的實根；
③當a＞-1時，方程的兩個實根不可能都小于1；
④當a＞3時，方程的兩個實根一個大于3，另一個小于3．
以上4個結論中，正確的個數(shù)為_____．
【答案】3
【解析】根據判別式，根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質一一判斷即可．
解：∵x2-2x-a=0，
∴Δ=4+4a,
∴①當a＞-1時，Δ＞0，方程有兩個不相等的實根，故①正確，
②當a＞0時，兩根之積＜0，方程的兩根異號，故②錯誤，
③方程的根為x==1±，
∵a＞-1，
∴方程的兩個實根不可能都小于1，故③正確，
④當a＞3時，由（3）可知，兩個實根一個大于3，另一個小于3，故④正確，
故答案為3．
三、解答題(共6題，)
14．（8分）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】（1）利用解一元二次方程—因式分解法，進行計算即可解答；
（2）利用解一元二次方程—公式法，進行計算即可解答．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
或，
，；
【小問2詳解】
，
，
，
，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
15．（8分）關于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）請選擇（1）中k的一個負整數(shù)值，并求出方程的根．
【解析】（1）根據一元二次方程x2-3x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ=（-3）2-4k＞0，求出k的取值范圍即可；
（2）根據k的取值范圍，結合k為負整數(shù)，得到k的值，進而求出方程的根．
解：（1）∵關于x的一元二次方程x2-3x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0，即Δ=9-4k＞0，
∴k＜；
（2）∵由（1）可知k＜，
∴選擇k等于-4代入原方程得：x2-3x=0，
解方程得：x1=4，x2=-1．
16．（8分）已知關于x的方程2x2-kx+2=0的一個解與方程=4的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2-kx+2=0的另一個解．
【解析】（1）先解分式方程=4可得出x=，再將x=代入方程2x2-kx+2=0，得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出k值；
（2）根據兩根之和=-即可求得方程的另一解．
解：（1）解方程=4，
得x=．
經檢驗x=是原方程的解．
把x=代入方程2x2-kx+2=0，
得-k+2=0，
解得k=5；
（2）當k=5時，方程為2x2-5x+2=0．
由根與系數(shù)關系得方程另一個解為：x=-=2．
17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0時，我們可以將x+1看成一個整體，設x+1=y,則原方程可化為y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．當y1=1時，x+1=1，解得x=0，當y2=2時，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解為x1=0，x2=1．
請利用這種方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
【解析】設2x+3=y,則原方程可化為y2-6y-7=0，求出y的值，再代入求出x即可．
解：設2x+3=y,
則原方程可化為：y2-6y-7=0，
解得：y1=-1，y2=7，
當y=-1時，2x+3=-1，解得：x=-2，
當y=7時，2x+3=7，解得：x=2，
所以原方程的解為x1=-2，x2=2．
18．（8分）已知關于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．
【解析】（1）根據方程的系數(shù)，結合根的判別式可得出Δ=4m2，利用偶次方的非負性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”即可證出結論；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1=m,x2=3m.由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．
方法二：利用根與系數(shù)的關系可求出答案．
（1）證明：∵a=1，b=-4m,c=3m2，
∴Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2．
∵無論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：方法一：∵x2-4mx+3m2=0，即（x-m）（x-3m）=0，
∴x1=m,x2=3m.
∵m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，
∴3m-m=2，
∴m=1．
方法二：
設方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=4m,x1 x2=3m2，
∵x1-x2=2，
∴（x1-x2）2=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4，
∴（4m）2-4×3m2=4，
∴m=±1，
又m＞0，
∴m=1．
19．（9分）已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,從而可判斷三角形的形狀；
（2）根據判別式的意義得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根據勾股定理可判斷三角形的形狀；
（3）利用等邊三角形的性質得a=b=c,方程化為x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，則a=b,所以△ABC為等腰三角形；
（2）△ABC為直角三角形；
理由：根據題意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC為直角三角形；
（3）∵△ABC為等邊三角形，
∴a=b=c,
∴方程化為x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
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