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21.2 二次函數的圖象和性質 導學案
（一）學習目標：
1.掌握用描點法畫出二次函數的圖象。
2.掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
3.經歷探索二次函數的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標以及性質的過程，理解二次函數的性質。
（二）學習重難點：
重點：掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
難點：理解二次函數的性質。
閱讀課本，識記知識：
1. 二次函數基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質：上加下減。
3. 的性質：左加右減。
4. 的性質：
5.二次函數圖象的畫法：
五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）。
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
6.二次函數的性質
（1） 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2） 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
7.二次函數解析式的表示方法
（1）一般式：（，，為常數，）；
（2）頂點式：（，，為常數，）；
（3）兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
【例1】拋物線與的共同特點是（ ）
A．開口都向上 B．對稱軸都是y軸
C．都有最高點 D．都是y隨x的增大而增大
【答案】B
【分析】本題考查二次函數圖象的性質．根據題目中的函數解析式和二次函數的性質可以解答本題．
【詳解】解：拋物線開口向下，經過原點，有最高點，對稱軸是y軸，在對稱軸左側，隨增大而增大，在對稱軸右側，隨增大而減小，
拋物線開口向上，經過原點，有最低點，對稱軸是y軸，在對稱軸左側，隨增大而減小，在對稱軸右側，隨增大而增大，
∴拋物線和的共同性質是：對稱軸都是y軸，
故選：B．
【例2】 已知二次函數的圖象經過，兩點．若，，則a的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
【答案】D
【分析】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，根據二次函數的對稱性確定出對稱軸的范圍，然后求解即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向下，
∵圖象經過，兩點，，
∴對稱軸在5到10之間，
∴a的值可能是9．
故選D．
【例3】
二次函數的圖像如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：
①； ②；
③； ④（為實數）．
其中結論正確的為（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本題主要考查二次函數圖像與系數的關系、平方差公式等知識，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數與方程及不等式的關系．由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置判斷①；由與的關系及時可判斷②；利用，根據時，時可判斷③；由時取最小值可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線與軸交點在軸下方，
∴，
∴，故①正確；
∵時，，故②不正確；
∵，
且，，
∴，故③不正確；
∵時，為最小值，
∴，故④正確．
綜上所述，結論正確的有①④．
故選：A．
選擇題
1.二次函數的圖象一定經過點（ ）
A． B． C． D．
2.設邊長為的正方形的面積為，則關于的函數圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
3.關于二次函數的圖象，下列結論不正確的是（ ）
A．開口向上 B．當時，隨的增大而減小
C．對稱軸是直線 D．拋物線頂點
4.由二次函數解析式可知（ ）
A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為
C．其最大值為2 D．對稱軸為
5.拋物線的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
6.對于的圖象下列敘述正確的是（）
A．頂點坐標為 B．對稱軸為
C．當時y隨x增大而增大 D．當時y隨x增大而減小
7.在同一直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
8.若二次函數的圖象經過三點，則 的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
9.二次函數的圖象上有兩點， ，則a，b的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
10.一位同學在畫二次函數的圖象時，把看成了，結果所畫圖像是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，則b的值為（ ）
A．24 B． C． D．12
填空題
11．已知二次函數的解析式為，在直線的左側，函數值隨著自變量的增大而增大，那么的取值范圍是 ．
12.已知二次函數，當函數值隨值的增大而增大時，的取值范圍是 ．
13．已知二次函數，當自變量分別取時，對應的函數值分別為，則關于的大小關系是 ．
14．將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的拋物線的解析式是 ．
15．已知函數，有下列結論：①圖象具有對稱性，對稱軸是直線；②當時，函數有最大值是4；③點，點在該函數圖象上，則當時，；④函數圖象與直線有4個交點，其中正確結論的序號是 ．
三、解答題
16．已知二次函數．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填寫上表，并在下邊平面直角坐標系中描出表中的點并畫出函數圖象．
(2)
由圖可知拋物線開口方向為______，對稱軸為______，頂點坐標為______，當時，y隨x的增大而______．
(3)利用圖象寫出當時，y的取值范圍是______．
17.已知二次函數的圖象的頂點坐標為，且經過點．
(1)求這個函數的關系式；
(2)試判斷點是否在此函數圖象上．
18.已知平面直角坐標系，拋物線經過點和兩點.
(1)求拋物線的表達式；
(2)如果將這個拋物線向右平移個單位，得到新拋物線經過點，求的值.
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】C
【分析】本題考查二次函數圖象上點的特征，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．把，，分別代入計算即可判斷．
【詳解】解：當時，，
∴二次函數的圖象不經過點，，
當時，，
∴二次函數的圖象不經過點，
當時，，
∴二次函數的圖象經過點．
故選：C．
2.【答案】C
【分析】本題考查二次函數圖象的知識，解題的關鍵是掌握二次函數圖象的實際運用，根據題意，則且，即可．
【詳解】根據題意，，
∴對稱軸為軸；
∵為正方形的邊長，
∴，
故選：C．
3.【答案】C
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，根據二次函數的性質可進行求解，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：、因為，所以拋物線開口向上，故正確，不符合題意；
、因為拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，所以，故正確，不符合題意；
、拋物線的對稱軸為直線，故錯誤，符合題意；
、因為拋物線的對稱軸為直線，當時，，所以，故正確，不符合題意；
故選：．
4.【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握的對稱軸為，頂點坐標為；時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小．據此逐個判斷即可．
【詳解】解：A、∵，∴其圖象開口向上，故A不正確，不符合題意；
B、C、∵，∴其圖象的對稱軸為，其最小值為2，故B、C不正確，不符合題意；
D、∵該函數圖象開口向上，對稱軸為，∴對稱軸為，故D正確，符合題意；
故選：D．
5．【答案】D
【分析】本題考查了求二次函數的性質，根據拋物線的頂點式直接求得頂點坐標．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，
故選：D．
6．【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的性質，主要利用了開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函數的增減性．
根據二次函數的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】由二次函數可知，開口向上．對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，隨增大而增大，故A、B、D錯誤，C正確；
故選：C．
7．【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，根據各個選項中的圖象，可以判斷出一次函數和二次函數中a、c的正負情況，即可判斷哪個選項是正確的，解答本題的關鍵是明確一次函數和二次函數的性質，利用數形結合的思想解答．
【詳解】解：A、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
B、一次函數中，，二次函數中，，故選項符合題意；
C、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
D、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
故選：B．
8．【答案】B
【分析】由可知圖象開口向下，求出對稱軸，圖象上的點到對稱軸的距離越遠，縱坐標越小．
【詳解】解：二次函數的解析式為，
函數圖象開口向下，對稱軸為，
，，到對稱軸的距離分別為：，，．
函數圖象開口向下，
圖象上的點到對稱軸的距離越遠，縱坐標越小，
．
故選B．
9．【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據函數解析判斷出二次函數的增減性是解題的關鍵．
【詳解】解：對于二次函數，
∵，
∴當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，，
故選:B．
10．【答案】D
【分析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．
利用二次函數平移規律 “上加下減，左加右減”的原則結合對稱軸的性質進行解答即可．
【詳解】解：二次函數的圖象的對稱軸為，
把看成了，
所畫圖象的對稱軸為，
兩條對稱軸關于y軸對稱，
所畫圖像是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，
，即．
故選D．
11.【答案】
【分析】本題考查二次函數的增減性，掌握的圖像和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵二次函數的對稱軸為y軸，
∴開口向下，當x時，函數值隨著自變量的增大而增大，
又∵直線的左側，函數值隨著自變量的增大而增大，
∴，
故答案為：．
12. 【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，正確利用對稱軸判斷函數增減性是解題關鍵；
直接利用二次函數的性質得出拋物線，開口向上，在對稱軸右邊的函數值隨值的增大而增大，即可得出答案．
【詳解】二次函數中
此函數開口向上，對稱軸為直線，
在對稱軸右邊的函數值隨值的增大而增大，
即當時函數值隨值的增大而增大．
故答案為：．
13．【答案】/
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，得到對稱軸為直線，且開口向上，據此即可比較大小．
【詳解】解：由二次函數可得：對稱軸為直線，且開口向上，離對稱軸越近函數值越小，
∵，
∴
故答案為：．
14．【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移．熟練掌握二次函數圖象的平移規律為：上加下減，左加右減是解題的關鍵．
根據上加下減，左加右減進行求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，平移后拋物線的解析式是，
故答案為：．
15．【答案】①③④
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，根據題意畫出對應的函數圖象，再利用函數圖象進行求解即可．
【詳解】解：如圖所示，在x軸上方（包含x軸上）的函數圖象即為，
∴的圖象具有對稱性，對稱軸為直線，故①正確；
由函數圖象可知，沒有最大值，故②錯誤；
由函數圖象可知，當，y隨x增大而增大，
∴當時，，故③正確；
由函數圖象可知，函數圖象與直線有4個交點，故④正確；
故答案為：①③④．
16．【答案】(1)見解析
(2)向下；y軸；；減小；
(3)
【分析】本題考查二次函數的基礎知識點，
（1）根據列表、描點、連線三步作出函數圖象即可；
（2）觀察函數圖象求解即可；
（3）觀察函數圖象求解即可；
解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數圖象畫法，通過數形結合求解．
【詳解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函數圖象如圖所示：
（2）根據函數圖象得：拋物線開口方向為向下；對稱軸為y軸；頂點坐標為；當時，y隨x的增大而減小；
故答案為：向下；y軸；；減小；
（3）有函數圖象可得：當時，y的取值范圍是，
故答案為：．
17.【答案】(1)
(2)在此函數圖象上，見解析
【分析】本題主要考查二次函數的基本性質，熟練掌握二次函數是本題得關鍵.
（1）根據題意設出，將拋物線的頂點坐標代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函數的解析式；
（2）代入即可判斷.
【詳解】（1）解：設二次函數的關系式為：，
∵拋物線頂點坐標為，
∴拋物線表達式為：，
將點代入函得，
解得，
∴二次函數的關系式為；
（2）解：當時，，
∴在此函數圖象上.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數的解析式求解以及二次函數的平移，注意計算的準確性即可．
（1）將點和代入即可求解；
（2）由（1）得，設平移后的拋物線表達式為，將點代入即可求解．
【詳解】（1）解：將點和代入得：
解得
∴拋物線的表達式是：.
（2）解：由（1）配方得：
根據題意可設平移后的拋物線表達式為
∵經過點；
∴
解得：，
∵
∴.
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