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21.3 二次函數與一元二次方程 導學案
（一）學習目標：
1.通過探索，理解二次函數與一元二次方程之間的聯系。
2.能運用二次函數及其圖像、性質確定方程的解或不等式的解集。
3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根。
（二）學習重難點：
重點：能運用二次函數及其圖像、性質確定方程的解或不等式的解集。
難點：理解二次函數與一元二次方程之間的聯系。
閱讀課本，識記知識：
1.一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數：
①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
②當時，圖象與軸只有一個交點；
③當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；
3.二次函數常用解題方法總結：
(1)求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
(2)求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
(3)根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
(4)二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.
【例1】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標是(-2,0),
(5,0),則一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個解是(　　)
A.x1=-2,x2=5　　　 B.x1=2,x2=-5
C.x1=-2,x2=-5　　　 D.x1=2,x2=5
【答案】A　
【分析】∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點分別為(-2,0),(5,0),即自變量取-2和5時函數值為0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根為x1=-2,x2=5.
【例2】 下表是一組二次函數 的自變量x與函數值y的對應值：那么下列選項中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線法求方程的近似根，采用零距離比較法，與零的距離越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．
【詳解】觀察圖表的，得與零的距離最小，
方程 的近似根的是：
故選B．
選擇題
1.已知直線y=kx+2過第一、二、三象限,則直線y=kx+2與拋物線y=x2-2x+3的公共點個數為(　　)
A.0　 　B.1　　 C.2　 　D.1或2
2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分別為x1,x2,則x1+x2的值為(　　)
A.2　 　B.1　　 C.-1　 　D.-2
3.已知二次函數y=ax2+bx+c中自變量x的部分取值和對應函數值y如表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 0 -3 -4 -3 …
則在實數范圍內能使得y<0成立的x取值范圍是(　　)
A.x>3　　　　B.x<-1 C.-13
4.如圖,點A(2.18,-0.51)和B(2.68,0.54)在二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上,則方程ax2+bx+c=0的一個近似解可能是(　　)
A.2.18　 　B.2.68　　 C.-0.51　 　D.2.45
5.根據下列表格對應值：判斷關于的方程的一個解的范圍是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
6.已知拋物線，與x軸的一個交點為，則代數式的值為（）
A． B． C． D．
7.已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），將其向右平移后得到的拋物線與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側），若，則m的值為（ ）
A． B． C．2 D．
8.拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：
①；②；③；④；⑤
其中正確的個數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
9.關于x的一元二次方程在范圍內有且只有一個根，則m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10.如圖所示，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，且，與y軸相交于點E，過點E的直線平行于x軸，與拋物線相交于P，Q兩點，則線段的長為（ ）

A． B． C． D．
填空題
11．二次函數y=2(x-1)(x+5)的圖象與x軸的兩個交點之間的距離是　　　　.
12.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+m交于A(-3,-1)、B(0,2)兩點,則關于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是　　　　　.
13．小王同學在探究函數的性質時，作出了如圖所示的圖像，請根據圖像判斷，當方程有兩個實數根時，常數k滿足的條件是 ．
14．已知二次函數，小明利用計算器列出了下表：
x
那么方程的一個近似根是 （精確到）
15．已知拋物線，當時，，當或時，，拋物線與軸交于A，B兩點，則AB的長為 ．
三、解答題
16．已知k是常數,拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,并且與x軸有兩個交點.
(1)求k的值;
(2)若點P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y軸的距離是2,求點P的坐標.
17.二次函數的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：
(1)直接寫出不等式的解集；
(2)若關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．
18.如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大3，那么稱這樣的方程為“友好方程”．例如:一元二次方程的兩個根是2和5，則方程就是“友好方程”．
(1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值；
(2)若是“友好方程”，求代數式的值；
(3)若方程拋是“友好方程”，且相異兩點M，N都在拋物線上，求一元二次方程的根．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】C　
【解析】∵直線y=kx+2過第一、二、三象限,∴k>0.
令x2-2x+3=kx+2,整理得x2-(2+k)x+1=0.∴Δ=[-(2+k)]2-4=k2+4k=k(k+4),
∵k>0,∴Δ>0,∴直線y=kx+2與拋物線y=x2-2x+3的公共點個數為2.
【答案】D　
【解析】∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分別為x1,x2,∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點為(x1,0),(x2,0),∵拋物線的對稱軸為x=-1,∴=-1,∴x1+x2=-2.
3.【答案】C　
【分析】觀察表中數據可得該二次函數圖象的對稱軸為直線x=1,圖象開口向上.
∵當x=-1時,y=0,∴根據二次函數圖象的對稱性知當x=3時,y=0,∴當-14.【答案】D　
【分析】∵圖象上有兩點,分別為A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴當x=2.18時,y=
-0.51<0;當x=2.68時,y=0.54>0,∴在2.18與2.68之間,必存在一個x值使y=0,又∵2.18<2.45<2.68,故選項D符合.由圖象可知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點在0與1之間,無選項符合.故選D.
5．【答案】B
【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解．根據表中數據得到時，；時，，于是可判斷在和之間取某一值時，，由此得到方程的一個解的范圍．
【詳解】解：時，；
時，，
∴當時，的值可以等于0，
∴方程的一個解的范圍是．
故選：B．
6．【答案】D
【分析】本題考查的是二次函數與軸的交點坐標的含義，求解代數式的值，熟練掌握拋物線與軸的交點特征是解決問題的關鍵．把點代入拋物線的解析式可得，再整體代入代數式求值即可．
【詳解】解∶拋物線與軸的一個交點為，
，
故選D．
7．【答案】A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線的平移等知識，屬于常考題型，掌握二次函數的性質是關鍵．
首先求出拋物線的對稱軸為，然后由得到拋物線向右平移8個單位得到拋物線，進而得到拋物線的對稱軸為，即可求解．
【詳解】∵拋物線與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側），
∴對稱軸為
∵
∴拋物線向右平移8個單位得到拋物線
∴拋物線的對稱軸為
∴
∴解得．
故選：A．
8．【答案】C
【分析】本題考查二次函數與系數的關系，二次函數圖象上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．根據二次函數的圖象和性質一一判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線對稱軸，經過點，
∴，
，
，
，
∴，故①正確，
∵拋物線對稱軸，經過點，
∴和關于對稱軸對稱，
時，，
∴，故②正確，
∵拋物線與x軸交于，拋物線對稱軸，
拋物線與x軸的另外一個交點為，
時，，
，
，
，即，故③錯誤，
拋物線與x軸有兩個交點，
方程有兩個不相等的實數根，
，故④正確，
，
，故⑤正確，
故正確的有4個，
故選：C．
9．【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和二次函數的關系，根的判別式的意義；
分兩種情況：①方程有兩個相等的實數根，且在的范圍內時，可得，求出和，再根據確定m的范圍，得到此時m的值；②方程有兩個不相等的實數根，且在的范圍內時，根據一元二次方程的解和二次函數的關系得出不等式組，求解即可．
【詳解】解：①當一元二次方程有兩個相等的實數根，且在的范圍內時，
則，
解得：，
此時，
∴，
解得：，
∴；
②當一元二次方程有兩個不相等的實數根，且在的范圍內時，
∴或，
解不等式組得該不等式組無解；
解不等式組得：，
綜上，m的取值范圍為：或，
故選：D．
10．【答案】B
【分析】先求出三點的坐標，進一步可得點的坐標；再利用待定系數法求出直線的解析式，可得點的坐標，從而可得點的坐標，即可求解．
【詳解】解：令，則，
令，則，解得：，
∴，
∵，
令，則，解得：，
∴，
設直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
令，則，
∴，
∵過點E的直線平行于x軸，
令，則，
解得：，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸的交點問題以及拋物線上點的坐標，解一元二次方程，待定系數法求一次函數解析式等知識，利用數形結合的思想解決問題是解題關鍵．
11.【答案】6
【解析】當y=0時,2(x-1)(x+5)=0,解得x1=1,x2=-5,∴二次函數y=2(x-1)(x+5)的圖象與x軸的交點坐標是(1,0),(-5,0),∴兩個交點之間的距離是1-(-5)=6.
12. 【答案】-3【解析】由圖象可知,當-3kx+m的解集是-313．【答案】或
【分析】本題考查了二次函數與方程的關系，求得函數的頂點坐標，然后結合圖像即可求解．
【詳解】解：∵
∴頂點坐標為
∴與直線有3個交點，
觀察圖像，當方程有兩個實數根時，常數k滿足的條件是為或，
故答案為：或．
14．【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答此題的關鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，注意數形結合的思想方法．
【詳解】解∶由可得：
，
當時，，
當時，，
故的一個近似根，
距離x軸更近，
的一個近似根是，
的另一個近似根是
故答案為：或
15．【答案】5
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數，，是常數，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的交點橫坐標為和，再根據根與系數的關系得到，，則，，所以函數化為函數，即，利用交點式得到、的坐標是，，從而得到的長度．
【詳解】解：當時，，當或時，，
拋物線與軸的交點橫坐標為和，
，，
，，
，
函數化為函數，即，
函數與軸的交點、的坐標是，，
．
故答案為5．
16．解析　(1)∵拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,∴k2+k-6=0,解得k1=
-3,k2=2.
又∵拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k與x軸有兩個交點,∴方程x2+(k2+k-6)x+3k=0有兩個不等的實根,∴Δ=02-4×3k>0,∴k<0,∴k=-3.
(2)由(1)知拋物線的解析式為y=x2-9.
∵點P到y軸的距離是2,∴點P的橫坐標為2或-2,當x=2時,y=-5,當x=-2時,y=
-5.∴點P的坐標為(2,-5)或(-2,-5).
17.【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．
（1）根據圖象在x軸上方時即可求得x的取值范圍；
（2）根據圖象開口向下，最大值為y= 2可得k的取值范圍．
【詳解】（1）解∶由圖象可得在時，拋物線在軸上方，
的解集為．
（2）拋物線開口向下，且函數最大值為2，
當時，直線與拋物線有兩個交點，
即當時，關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
18．【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，新定義，拋物線與軸的交點問題；
（1）將一元二次方程的根轉化為拋物線與軸交點問題，由一個根比另一個根大可得拋物線與軸交點距離對稱軸個單位，從而求解．
（2）由方程的一個解為可得另一根為或，然后根據根與對稱軸的關系分類求解．
（3）由拋物線上點，坐標求得拋物線對稱軸為直線，進而求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，
的解或，
把代入得，
解得，
故答案為：．
（2）解：∵的解為或
∴或
（3）解：∵相異兩點M，N都在拋物線上，
∴的對稱軸為直線，
∵是“友好方程”，
∴一元二次方程的根為或
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