資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.4 二次函數的應用 導學案
（一）學習目標：
1.能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實阮總問題。
2.進一步理解二次函數圖象的頂點坐標與函數的最值關系。
3.經歷問題探究的過程，體會二次函數是一類最優化問題的數學模型，并感受數學的應用價值。
（二）學習重難點：
重點：將簡單的實際問題轉化為數學問題，分析和表示變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最值。
難點：正確理解題意，從實際問題中抽象出二次函數模型。
閱讀課本，識記知識：
1.列二次函數解應用題
列二次函數解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數后，表示量與量的關系的代數式是含有兩個變量的等式，對于應用題要注意以下步驟
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數關系)；
(2)設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確；
(3)列函數表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式?這就是二次函數；
(4)按題目要求，結合二次函數的性質解答相應的問題；
(5)檢驗所得解是否符合實際，即是否為所提問題的答案；
(6)寫出答案.
要點詮釋：常見的問題，求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.
2.建立二次函數模型求解實際問題的一般步驟：
(1)恰當地建立直角坐標系；
(2)將已知條件轉化為點的坐標；
(3)合理地設出所求函數關系式；
(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；
(5)利用關系式求解問題.
注意：(1)利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題.利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.
【例1】如圖,將一根長2 m的鐵絲首尾相接圍成矩形,則圍成的矩形的面積的最大值是(　　)
A. m2　　B. m2　　C. m2　　D.1 m2
【答案】A　
【分析】設矩形的一邊長為x m,則其鄰邊長為(1-x)m.設矩形的面積為S m2,則S=x(1-x)=-x2+x=-+(0【例2】 “燎原書店”銷售某種中考復習資料,若每本可獲利x元,一天可售出(200-10x)本,則該書店出售該種中考復習資料的日利潤最大為(　　)
A.500元　　B.750元　　C.1 000元　　D.4 000元
【答案】 C　
【分析】設日利潤為y元,由題意得y=(200-10x)x=-10(x-10)2+1 000,∴當x=10時,y有最大值1 000,即一天出售該種中考復習資料的日利潤最大為1 000元.
選擇題
1.由于長期受新型冠狀病毒的影響，核酸檢測試劑需求量劇增，某醫院去年一月份用量是8000枚，二、三兩個月用量連續增長，若月平均增長率為x，則該醫院三月份用核酸檢測試劑的數量y（枚）與x的函數關系式是（ ）
A． B．
C． D．
2.如圖,要在夾角為30°的兩條小路OA與OB形成的角狀空地上建一個三角形花壇,分別在邊OA和OB上取點P和點Q,并扎起籬笆將花壇保護起來(籬笆的厚度忽略不計).若OP和OQ兩段籬笆的總長為60 m,則該花壇(△POQ)面積的最大值為　　　　m2.
3.如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度（單位：）與水平距離（單位：）之間的關是．則他將鉛球推出的距離是（ ）
A． B． C． D．
4.某超市銷售一種商品,每件成本為50元,銷售人員經調查發現,該商品每月的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足函數關系式y=-5x+550,若要求銷售單價不得低于成本,為使每月所獲利潤最大,該商品銷售單價應定為多少 每月最大利潤是多少 (　　)
A.90元,4 500元　　　　B.80元,4 500元
C.90元,4 000元　　　　D.80元,4 000元
5.一邊靠墻（墻有足夠長），其他三邊用米長的籬笆圍成一個矩形花園，這個花園的最大面積是（ ）平方米．
A．56 B．66 C．72 D．144
6.將進貨價格為35元的商品按單價40元售出時，能賣出200個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲元時，獲得的利潤為元，則下列關系式正確的是( )
A． B．
C． D．
7.如圖，在邊長為10的正方形中，E，F，C，H分別是邊，，，上的點，且．設A，E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能為（）
A． B．
C． D．
8.如圖①，某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線)的薄殼屋頂．已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米．為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的平面直角坐標系求解析式．圖②是以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖②中的拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
9.在拋擲實心球時，實心球運動的高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數關系式是，下列結論正確的是（）
A．當時，實心球離地面的高度最小
B．實心球在空中飛行的最大高度是
C．投擲實心球的距離是
D．如果實心球在空中飛行速度是，則實心球從飛出到落地的時間為
10.如圖1，在中，，，，動點從點開始沿邊AB向點勻速移動（點的速度小于），同時動點從點開始沿邊BC向點勻速移動，點到達時，點恰好到達C．的面積關于出發時間的函數圖象如圖2所示，則點的運動速度為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．某市的一種特產由于運輸問題,長期只能在當地銷售,該市政府對該特產的銷售投資與收益的關系:每年投資x萬元,可獲利P=-(x-60)2+46(單位:萬元),每年最多投入100萬元的銷售投資,則5年所獲利潤的最大值為　　　　　.
12.如圖,高騰同學在校運會跳高比賽中采用背躍式,跳躍路線是一條拋物線,他跳躍的高度y(單位:m)與跳躍時間x(單位:s)之間具有函數關系y=-x2+x+,那么他能跳過的最大高度為　　　m.
13．某超市銷售一種飲料，每瓶進價為6元．當每瓶售價為10元時，日均銷售量為160瓶，經市場調查表明，每瓶售價每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計劃該飲料日均總利潤為700元，且盡快減少庫存，則每瓶該飲料售價為 ．
14．小華酷愛足球運動一次訓練時，他將足球從地面向上踢出，足球距地面的高度（單位：）與足球被踢出后經過的時間（單位：）之間的關系為：，則足球距離地面的最大高度為 m．
15．跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當繩子甩到最高處時，其形狀視為一條拋物線．如圖是小冬與小雪將繩子甩到最高處時的示意圖，并且相距4米，現以兩人的站立點所在的直線為x軸，其中小冬拿繩子的手的坐標是．身高米的小麗站在繩子的正下方，且距y軸的距離為1米，繩子剛好經過她的頭頂．若身高米的小偉站在這條繩子的正下方，他距y軸m米，則m的取值范圍為 ．
三、解答題
16．某工廠現有74臺機器，每臺機器平均每天生產360件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由于其他生產條件沒變，因此每增加一臺機器，每臺機器平均每天將少生產4件產品．
(1)如果增加臺機器，每天的生產總量為件，求與之間的關系式，并寫出的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，增加多少臺機器，可以使每天的生產總量最大，最大總量是多少？
17.某公司計劃購進一批原料加工銷售,已知該原料的進價為6.2萬元/t,加工過程中原料的質量有20%的損耗,加工費m(萬元)與原料的質量x(t)之間的關系為m=50+0.2x,銷售價y(萬元/t)與原料的質量x(t)之間的關系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數關系式;
(2)設銷售收入為P(萬元),求P與x之間的函數關系式;
(3)原料的質量為多少噸時,所獲銷售利潤最大 最大銷售利潤是多少萬元 (銷售利潤=銷售收入-總支出).
18.2023年7月，第31屆世界大學生夏季運動會在成都舉辦，讓四川成為了全世界年輕人關注的焦點，其中大運會吉祥物蓉寶也廣受歡迎，成為熱銷商品．某商家以每套42元的價格購進一批蓉寶．若該商品每套的售價是50元時，每天可售出180套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．
(1)設蓉寶每套售價定為元時，求該商品銷售量（套）與之間的函數關系式；
(2)求每套售價定為多少元時，每天銷售所獲利潤最大，最大利潤是多少元？
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】B
【分析】本題考查二次函數的應用，設月平均增長率為x，根據題意列出函數關系式即可．
掌握增長率問題中增加量平均增長率原銷售量，抓住公式列函數式是解題關鍵．
【詳解】設月平均增長率為x，
根據題意得，．
故選：B．
2.【答案】225
【解析】如圖,作PC⊥OB于點C,設OP長為x m,△POQ的面積為S m2.則OQ長為(60-x)m,∵∠POQ=30°,∴PC=OP=x(m),∴S=×x·(60-x)=-(x-30)2+225(03.【答案】C
【分析】此題把函數問題轉化為方程問題來解，滲透了函數與方程相結合的解題思想方法．成績就是當高度時x的值，所以解方程可求解．
【詳解】解：當時，
解之得（不合題意，舍去），
所以推鉛球的距離是10米．
故選：C．
【答案】B　
【分析】設每月所獲利潤為w元,依題意得w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5x2+800x-
27 500=-5(x-80)2+4 500,∵-5<0,∴圖象開口向下,∴當x=80(80>50)時,w有最大值,為4 500,∴為使每月所獲利潤最大,該商品銷售單價應定為80元,每月最大利潤是4 500元.
5．【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的應用，設矩形垂直于墻的邊長為米，面積為平方米，根據矩形的面積公式即可求出函數解析式，再利用配方法即可求出函數最值，解題的關鍵在于找出等量關系列出函數解析式．
【詳解】解：設矩形垂直于墻的邊長為米，面積為平方米，
根據題意得：，
∵，
∴當時，取最大值，最大值為，
故選：．
6．【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題關鍵是理解“單價沒上漲1元，其銷售量就減少5元”的含義．
根據獲得的利潤銷售量每個利潤，設這種商品的售價上漲元時，獲得的利潤為元；即每個利潤為元，銷售量為：個，結合獲得的利潤為元，可得與的函數關系式，化簡即可．
【詳解】上漲前每件商品的利潤為元，能賣出200個，上漲元后利潤為元，能賣出個，根據題意得：
即：
故選：C
7．【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
本題需先設正方形的邊長為，然后得出與是二次函數關系，從而得出函數的圖象．
【詳解】解：設正方形的邊長為，則，
∴與的函數圖象是A．
故選：A．
8．【答案】A
【分析】根據圖形，設解析式為，根據，，構建方程組求解即得．
本題主要考查了二次函數的實際應用．熟練掌握待定系數法確定二次函數解析式，結合拋物線在坐標系的位置，將二次函數解析式設為適當的形式，是解題的關鍵．
【詳解】∵拋物線關于y軸對稱，
∴設解析式為，
由題知，，
得，
解得，
∴．
故選：A．
9．【答案】C
【分析】本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
根據二次函數的性質以及題意，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵，
∴當時，取得最大值，此時，故選項A、B錯誤，
當時，，
解得(舍去)，故選項C正確，
當時，，如果實心球在空中飛行速度是，則實心球從飛出到落地的時間為，故選項D錯誤，
故選：C．
10．【答案】C
【分析】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系式，可以根據函數關系式判斷隨著自變量的變化相應的函數圖象如何變化；
根據題意可以分別得到和的長，從而可表示出三角形的面積，結合函數圖象，從而可以確定點的運動速度．
【詳解】解：∵．
且點P到達點B時，點Q到達點C．
設點P的速為，則點Q的速度，
∴，
∵
，
因為函數圖象過點，
∴，
，
，
解得：，
點P的速度小于，
∴點P的運動速度為，
故選：C．
11.【答案】230萬元
【解析】　∵P=-(x-60)2+46,012. 【答案】
【解析】　∵y=-x2+x+=-(x-1)2+,∴他能跳過的最大高度為m.
13．【答案】11元
【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，根據“總利潤每瓶利潤日均銷售量”列方程求解可得．
【詳解】解：設每瓶該飲料售價為元，
由題意可知，，
整理得，解得，，
當時，日均銷售量為（瓶），
當時，日均銷售量為（瓶），
，為盡快減少庫存，每瓶該飲料售價為11元．
故答案為：11元．
14．【答案】9
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，利用二次函數求最值，解題的關鍵是熟悉二次函數的性質，即頂點的縱坐標是函數的最值；
開口方向向下，最大值為頂點坐標縱坐標，由公式可得答案．
【詳解】
，，，
足球距離地面的最大高度為拋物線的頂點坐標的縱坐標，
函數的對稱軸為：，
當時，h最大，
將代入中得，
故答案為：9
15．【答案】
【分析】本題主要考查二次函數的實際應用， 依據題意，設解析式為，再由小麗的坐標，且過，求出，，最后令時，求出，進而表示出的范圍．解題的關鍵掌握待定系數法求二次函數解析式．
【詳解】解：由題意，可知對稱軸是：直線，
設解析式為，
又∵小麗頭頂的坐標，且過，
∴
解得：，
解析式為．
當時，
或．
．
故答案為：．
16．【答案】(1)
(2)臺，件
【分析】本題主要考查了列二次函數的關系式，求二次函數最大值，
對于（1），根據總產量機器的臺數每臺機器產量列出關系式，再整理即可；
對于（2），根據二次函數圖象的性質討論極值．
【詳解】（1）根據題意，得，
∵解得：；
（2）∵中，
∴二次函數圖象有最高點，函數有最大值，
即當，．
所以增加8臺機器，可以使每天的生產量最大，最大總量是26896件．
17.【解析】　(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b,
將(20,15),(30,12.5)代入,得
解得
∴y與x之間的函數關系式為y=-0.25x+20.
(2)P=(1-20%)xy=0.8(-0.25x+20)x=-0.2x2+16x,
∴P與x之間的函數關系式為P=-0.2x2+16x.
(3)設銷售利潤為W萬元,
∴W=P-6.2x-m=-0.2x2+16x-6.2x-(50+0.2x),
化簡,得W=-0.2x2+9.6x-50,
整理,得W=-0.2(x-24)2+65.2,
∵-0.2<0,∴當x=24時,W有最大值,為65.2,
∴原料的質量為24噸時,所獲銷售利潤最大,最大銷售利潤是65.2萬元.
18．【答案】(1)
(2)每套售價定為元時，每天銷售所獲利潤最大，最大利潤是元．
【分析】（1）本題主要考查了一次函數的應用，根據“該商品每套的售價是50元時，每天可售出180套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．”列出解析式，即可求解．
（2）本題主要考查了二次函數的實際應用，根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量，可得到函數關系式，再利用二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，，即．
（2）解：由題知，
，二次函數開口向下，有最大值，
即當時，最大，最大利潤為元，
故每套售價定為元時，每天銷售所獲利潤最大，最大利潤是元．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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