資源簡介

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九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第八課時 一元二次方程根與系數的關系
學習目標：
1.探索一元二次方程的根與系數的關系。
2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題。
老師告訴你
一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）的應用常常涉及一下代數式的一些重要變形，需要牢牢記住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
一、知識點撥
知識點1 一元二次方程根與系數的關系
（1）語言表達：對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.
（2）數學表達：對于一元二次方程，若，則。
若一元二次方程的兩個實數根是，當，則
注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，則另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的兩個根，則x1+x2的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【對應導練】
1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的兩個根，則（　　）
A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6
C. x1x2= D. x1x2=7
2．若關于的一元二次方程的兩個根為，，則這個方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
3．關于x的一元二次方程的一個根是3，則另一個根是___________．
4．已知關于x的方程的根為，則的值為__________．
知識點2 一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）的應用
（1）驗根：不解方程，利用根與系數的關系可檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；
（2）已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數；
（3）不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值。
（4）已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；
（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍；
（6）利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號。
【新知導學】
例2-1 .不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
例2-2．已知方程的一個根是1，求另一根和m的值
例2-3．若,是方程的兩實數根,求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
.
例2-4．如果方程的兩個根是,，那么,，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）若，求方程的兩根．
（2）已知實數a、b滿足,，求的值；
（3）已知關于x的方程，求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數．
例2-5．已知關于x的一元二次方程的兩實數根滿足，求a的取值范圍
例2-6．已知關于的一元二次方程有實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）若此方程的兩實數根滿足，求的值．
例2-7．一元二次方程的兩根為和,則_______.
【對應導練】
1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，則另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的兩個實數根，則代數式a2+2a+b的值等于（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3．已知關于的一元二次方程有實數根
（1）求的取值范圍
（2）如果方程的兩個實數根為，，且，求的值
4．關于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程的兩根分為x1、x2，且，求k的值．
5．已知關于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的兩個實數根的平方和等于4，實數k的值．
6 .已知a，b是方程的兩個根，則的值 ．
二、題型訓練
一元二次方程根與系數的關系在求代數式的值中的應用
1．已知關于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0．
（1）若該方程有實數根，求m的取值范圍．
（2）若m=-1時，求的值．
2．已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
一元二次方程根與系數的關系在滿足關系式的字母值中的應用
3．關于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k,使得x1+x2和x1x2互為相反數？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
4．已知關于x的一元二次方程x2-4x+m=0，
（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；
（2）若方程的兩個實數根為x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值．
一元二次方程根與系數的關系在幾何圖形有關問題應用
5．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
（2）當一矩形ABCD的對角線長為AC=，且矩形兩條邊AB和BC恰好是這個方程的兩個根時，求矩形ABCD的周長．
6．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
一元二次方程根與系數的關系與根的情況的綜合應用
7．閱讀材料，解答問題：
已知實數m,n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,則m,n是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知m+n=1，mn=-1．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
已知實數a,b滿足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,則a+b=_____，ab=_____；
（2）間接應用：
在（1）的條件下，求的值；
（3）拓展應用：
已知實數m,n滿足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
8．閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我們把x2看作一個整體，然后設y=x2，則原方程可化為y2-13y+36=0，經過運算，原方程的解為x1，2=±2，x3，4=±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數m,n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,顯然m,n是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知m+n=1，mn=-1．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
方程x4-5x2+6=0的解為 _____；
（2）間接應用：
已知實數a,b滿足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展應用：
已知實數m,n滿足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．一元二次方程其中一個根是0,則另一個根的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
2．若,是關于x的一元二次方程的兩個根,,則b的值為( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
3．已知、是關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根,且滿足,則m的值是( )
A.3 B.1 C.3或 D.或1
4．已知方程的兩個實數根分別為,,則式子的值等于( )
A. B.0 C.2 D.6
5．已知m,n是方程的兩個實數根,則的值為( )
A.1 B.3 C. D.
6．設a、b是一元二次方程的兩個根,則的值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．關于的方程的兩根的平方和是5，則的值是( )
A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
8．若，是方程的兩個實數根，則的值為( )
A.2015 B.2022 C. D.4010
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若a,b是一元二次方程的兩個實數根,則的值為______.
10．關于x的方程有兩個不相等的實數根,,且,則_____.
11．已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值是________.
12．已知，是方程的兩個實數根，則的值為______.
13．已知，且，則的值為__________.
.
三、解答題(共6小題，共48分）
14．（6分）解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積:
(1)
(2)
15．（8分）若是一元二次方程的兩個根，
求下列代數式的值.
（1）；
（2）.
16．（8分）已知:關于x的方程.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根;
(2)若方程的一個根是-1，求另一個根及k值.
17．（8分）已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，是否存在實數k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，請說明理由.
18．（8分）閱讀材料:
已知，，且，求的值.
解:由及，可知，
可變形為.
又，，
p與一是方程的兩個不相等的實數根，
，
根據材料所提供的方法，完成下面的解答
已知，，且，求的值.
19 .（10分）已知關于x的方程有兩實數根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在實數k滿足，若存在請求出k的值，若不存在請說明理由．
九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第八課時 一元二次方程根與系數的關系
學習目標：
1.探索一元二次方程的根與系數的關系。
2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題。
老師告訴你
一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）的應用常常涉及一下代數式的一些重要變形，需要牢牢記住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
一、知識點撥
知識點1 一元二次方程根與系數的關系
（1）語言表達：對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.
（2）數學表達：對于一元二次方程，若，則。
若一元二次方程的兩個實數根是，當，則
注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0。
【新知導學】
例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，則另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
【答案】D
【解析】將x=3代入方程即可求出a的值．
解：將x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0
x=3或x=-1，
故選：D．
例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的兩個根，則x1+x2的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】B
【解析】把原方程化為一般形式，再利用兩根之和等于-，即可求出x1+x2的值．
解：把原方程化為一般形式為x2-2x-1=0，
∵x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的兩個根，
∴x1+x2=2．
故選：B．
【對應導練】
1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的兩個根，則（　　）
A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6
C. x1x2= D. x1x2=7
【答案】A
【解析】根據一元二次方程根與系數的關系進行判斷即可．
解：∵x1，x2是方程x2-6x-7=0的兩個根，
∴x1+x2=6，x1x2=-7，
故選：A．
2．若關于的一元二次方程的兩個根為，，則這個方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先計算出，，然后根據根與系數的關系得到滿足條件的方程可為．
解：，，
，，
以，為根的一元二次方程可為．
故選：C．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，．
3．關于x的一元二次方程的一個根是3，則另一個根是___________．
【答案】
【解析】設方程的另一根為 則由一元二次方程根與系數的關系可得：從而可得答案.
解：關于x的一元二次方程的一個根是3，
設方程的另一根為
則
故答案為：
【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，掌握“一元二次方程根與系數的關系”是解本題的關鍵.
4．已知關于x的方程的根為，則的值為__________．
【答案】19
【解析】化成一般式，確定，直接代入計算即可．
∵，
∴
∵方程的根為，
∴，
∴，
故答案：19．
【點睛】本題考查了根與系數關系定理，正確理解定理，并活用定理是解題的關鍵．
知識點2 一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）的應用
（1）驗根：不解方程，利用根與系數的關系可檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；
（2）已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數；
（3）不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值。
（4）已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；
（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍；
（6）利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號。
【新知導學】
例2-1 .不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
【分析】（1）根據方程的系數，結合“兩根之和等于，兩根之積等于”，即可求出方程﹣2x2+3＝0的兩根之和與兩根之積；
（2）根據方程的系數，結合“兩根之和等于，兩根之積等于”，即可求出方程x2﹣7x﹣3＝0的兩根之和與兩根之積；
（3）將原方程化為一般式，根據方程的系數，結合“兩根之和等于，兩根之積等于”，即可求出方程3x（x﹣2）＝5的兩根之和與兩根之積．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝0，c＝3，
∴x1+x20，x1 x2；
（2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴x1+x27，x1 x23；
（3）原方程化為一般式為3x2﹣6x﹣5＝0．
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5，
∴x1+x22，x1 x2．
【點評】本題考查了根與系數的關系以及一元二次方程的一般式，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關鍵．
例2-2．已知方程的一個根是1，求另一根和m的值
答案：6
解析：設方程的另一個根為t，
根據根與系數的關系得，，
解得，，
所以另一根為2，m的值為6.
例2-3．若,是方程的兩實數根,求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)∵,是方程的兩實數根,
∴,,
∴；
(2)；
(3)∵,是方程的兩實數根,
∴,
∴,
∴.
例2-4．如果方程的兩個根是,，那么,，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）若，求方程的兩根．
（2）已知實數a、b滿足,，求的值；
（3）已知關于x的方程，求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數．
答案：（1）當，則方程為，
解得：
（2）∵a、b滿足，
∴a、b是的解，
當時，，
；
當時，原式．
（3）設方程，的兩個根分別是，
則，，
則方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數
例2-5．已知關于x的一元二次方程的兩實數根滿足，求a的取值范圍
答案：解：該一元二次方程有兩個實數根，
，
解得：，
由韋達定理可得，
，，
解得：，
．
例2-6．已知關于的一元二次方程有實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）若此方程的兩實數根滿足，求的值．
答案：解：（1）∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，即，
解得．
（2）由根與系數的關系可得，
∴，
∵，
∴，解得，或，
∵，
∴（舍去），
∴．
例2-7．一元二次方程的兩根為和,則_______.
答案：2024
解析：∵
∴
∵一元二次方程的兩根為和,
∴
即
∴
故答案為：2024.
【對應導練】
1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，則另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
【答案】D
【解析】將x=3代入方程即可求出a的值．
解：將x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0
x=3或x=-1，
故選：D．
2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的兩個實數根，則代數式a2+2a+b的值等于（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】根據根與系數的關系可得a+b==-1，ab==-8，將a2+2a+b變形為a（a+1）+（a+b），再前面括號中的a用-1-b替換得-ab+a+b,最后將ab,a+b的值代入計算即可求解．
解：∵a,b是一元二次方程x2+x-8=0的兩個實數根，
∴a+b==-1，ab==-8，
∴a=-1-b,
∴a2+2a+b
=a2+a+（a+b）
=a（a+1）+（a+b）
=a（-1-b+1）+（a+b）
=-ab+a+b
=8-1
=7．
故選：A．
3．已知關于的一元二次方程有實數根
（1）求的取值范圍
（2）如果方程的兩個實數根為，，且，求的值
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根據一元二次方程的根與判別式的關系，只需△≥0解不等式即可求出m的范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數關系：，即可求解．
（1）根據題意得：
，
解得：，
∴m的取值范圍為m≤4；
（2）根據題意得：，
，
∴，即，
解得：，
即m的值為3．
【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式、一元二次方程根與系數關系、解一元一次不等式、解一元一次方程，熟練掌握用判別式判斷一元二次方程根的情況，會靈活運用根與系數關系求解是解答的關鍵．
4．關于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程的兩根分為x1、x2，且，求k的值．
【解析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ=b2-4ac,可得出Δ=（k+1）2≥0，進而可證出方程總有兩個實數根；
（2）利用根與系數的關系可得出x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，結合可得出關于k的一元二次方程，解之即可求出k的值．
（1）證明：∵a=1，b=-（k-3），c=-2k+2，
∴Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0的兩個實數根，
∴x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
∵，
∴（x1+x2）2-x1x2=19，
∴（k-3）2-（-2k+2）=19，
整理得：k2-4k-12=0，
解得：k1=-2，k2=6，
∴k的值為-2或6．
5．已知關于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的兩個實數根的平方和等于4，實數k的值．
【解析】由方程有兩個實數根，可得根的判別式大于等于0，列出關于k的不等式，然后設出方程的兩個根分別為x1，x2，用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，根據兩根的平方和等于4及完全平方公式列出關于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入關于k的不等式中檢驗，可得出滿足題意的k的值．
解：∵方程x2-（k-1）x+k+1=0有兩個實數根，
∴b2-4ac=（k-1）2-4（k+1）=k2-6k-3≥0，
可設方程的兩個根分別為x1，x2，
則有x1+x2=-=k-1，x1x2==k+1，
又兩個實數根的平方和等于4，即x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22=4，即（k-1）2-2（k+1）=4，
整理得：k2-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
當k=5時，k2-6k-3=-8＜0，不合題意，舍去，
當k=-1時，k2-6k-3=4＞0，符合題意，
則實數k的值為-1．
6 .已知a，b是方程的兩個根，則的值 ．
【答案】
【分析】由根與系數關系知，，即知a＜0，b＜0，化簡原式，所以原式
故答案為：﹣14．
【詳解】解：∵a，b是方程的兩個根，
∴，，
∴a＜0，b＜0，
∴
∴原式
故答案為：﹣14．
【點睛】本題主要考查根與系數關系、完全平方公式變形及二次根式的運算及化簡；能夠根據a,b的關系式確定其取值范圍，進而準確處理二次根式的運算及化簡是解題的關鍵．
二、題型訓練
一元二次方程根與系數的關系在求代數式的值中的應用
1．已知關于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0．
（1）若該方程有實數根，求m的取值范圍．
（2）若m=-1時，求的值．
【解析】（1）先用m的式子表示根的判別式，再根據方程有實數根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范圍；
（2）把m=-1代入方程，再根據根與系數的關系求得兩根的和與積，再把變形，代入求解即可．
解：（1）∵關于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0有實數根，
則Δ=b2-4ac≥0，
即[-2（1-m）]2-4×1×m2≥0，
∴，
∴m的取值范圍；
（2）當m=-1時，x2-4x+1=0，
設x1，x2是方程x2-4x+1=0的兩根，
∴x1+x2=4，x1x2=1，
∴，
∴=．
2．已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
【解析】（1）根據判別式的意義得到Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，然后解關于m的不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,利用整體代入的方法得到m2-m-6=0，然后解關于m的方程即可．
解：（1）根據題意得Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范圍是m≤0；
（2）根據題意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1 x2=12，
∴（-2m）2-2（m2+m）=12，即m2-m-6=0，
解得m1=-2，m2=3（舍去）．
故m的值為-2．
一元二次方程根與系數的關系在滿足關系式的字母值中的應用
3．關于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k,使得x1+x2和x1x2互為相反數？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）利用判別式的意義得到Δ=（2k-1）2-4k2≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根與系數的關系得到∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2，則利用x1+x2和x1x2互為相反數得到-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1，不滿足△≥0，從而可判斷不存在實數k滿足條件．
解：（1）根據題意得Δ=（2k-1）2-4k2≥0，
解得k≤；
（2）不存在．
∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2，
而x1+x2和x1x2互為相反數，
∴-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1，
∵k≤，
∴不存在實數k,使得x1+x2和x1x2互為相反數．
4．已知關于x的一元二次方程x2-4x+m=0，
（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；
（2）若方程的兩個實數根為x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值．
【解析】（1）由根的情況，根據判別式可得到關于m的不等式，則可求得m的取值范圍；
（2）由方程根的定義可把（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23化為關于m的方程，則可求得m的值．
解：
（1）∵關于x的一元二次方程x2-4x+m=0有兩個實數根，
∴△≥0，即（-4）2-4m≥0，解得m≤4；
（2）∵x1、x2是方程x2-4x+m=0的兩個實數根，
∴-4x1=-m,-4x2=-m,
∵（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，
∴-4x1+4+-4x2+4+m2=23，
即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3，
又m≤4，
∴m=-3．
一元二次方程根與系數的關系在幾何圖形有關問題應用
5．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
（2）當一矩形ABCD的對角線長為AC=，且矩形兩條邊AB和BC恰好是這個方程的兩個根時，求矩形ABCD的周長．
【解析】（1）計算判別式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非負數的性質得到Δ＞0，從而根據判別式的意義得到結論；
（2）利用根與系數的關系得到AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，利用矩形的性質和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，則（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC為正數得到k的值為3，然后計算AB+BC得到矩形ABCD的周長．
（1）證明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3）
=4k2+4k+1-16k+12
=4k2-12k+13
=（2k-3）2+4，
∵（2k-3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
（2）根據題意得AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，
而AB2+BC2=AC2=（）2，
∴（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2，
而AB+BC=2k+1＞0，AB BC=4k-3＞0，
∴k的值為3，
∴AB+BC=7，
∴矩形ABCD的周長為14．
6．已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實數根；
（2）若斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩根，求k的值．
【解析】（1）對于一元二次方程根的情況需判斷Δ的值，可得結論；
（2）設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,利用根與系數的關系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化簡帶入求k的值．
（1）證明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴無論k取何值，方程總有實數根；
（2）解：設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,
則a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4應舍去，
∴k=4．
一元二次方程根與系數的關系與根的情況的綜合應用
7．閱讀材料，解答問題：
已知實數m,n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,則m,n是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知m+n=1，mn=-1．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
已知實數a,b滿足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,則a+b=_____，ab=_____；
（2）間接應用：
在（1）的條件下，求的值；
（3）拓展應用：
已知實數m,n滿足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
【答案】(1)7;(2)1;
【解析】（1）由韋達定理即可求解；
（2）結合（1）的過程，將平方后變形為+，再代入數據即可得出結論；
（3）令，-n=b,則a2+a-7=0，b2+b-7=0，可得a,b是方程x2+x-7=0的兩個不相等的實數根，可得∴，將其代入即可求解．
解：（1）∵實數a,b滿足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,
∴a,b是方程x2-7x+1=0的兩個不相等的實數根，
∴a+b=7，ab=1．
故答案為：7，1；
（2）由（1）得，（）2=++=+=7+2=9，
∴（取正）；
（3）令，-n=b,則a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵mn≠-1，
∴，即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的兩個不相等的實數根，
∴，
故．
8．閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我們把x2看作一個整體，然后設y=x2，則原方程可化為y2-13y+36=0，經過運算，原方程的解為x1，2=±2，x3，4=±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數m,n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,顯然m,n是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知m+n=1，mn=-1．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
方程x4-5x2+6=0的解為 _____；
（2）間接應用：
已知實數a,b滿足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展應用：
已知實數m,n滿足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
【答案】x1=，x2=-，x3=，x4=-
【解析】（1）利用換元法降次解決問題；
（2）模仿例題解決問題即可；
（3）令=a,-n=b,則a2+a-7=0，b2+b-0，再模仿例題解決問題．
解：（1）令y=x2，則有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴x1=，x2=-，x3=，x4=-；
故答案為：x1=，x2=-，x3=，x4=-；
（2）∵a≠b,
∴a2≠b2或a2=b2，
①當a2≠b2時，令a2=m,b2=n.
∴m≠n,則2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0，
∴m,n是方程2x2-7x+1=0的兩個不相等的實數根，
∴，
此時a4+b4=m2+n2=（m+n）2-2mn=．
②當a2=b2（a=-b）時，a2=b2=，此時a4+b4=2a4=2（a2）2=，
綜上所述，a4+b4=或．
（3）令=a,-n=b,則a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵n＞0，
∴≠-n,即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的兩個不相等的實數根，
∴，
故+n2=a2+b2=（a+b）2-2ab=15．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．一元二次方程其中一個根是0,則另一個根的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
答案：C
解析：∵,
∴,,,
設,另一個根為,
∵,
∴,
故選：C.
2．若,是關于x的一元二次方程的兩個根,,則b的值為( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
答案：A
解析：由題意得：,,
∵,
∴,
∴,
故選：A.
3．已知、是關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根,且滿足,則m的值是( )
A.3 B.1 C.3或 D.或1
答案：A
解析：∵、是關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根,
∴,
解得：,
又∵,,,
∴,
∴
即
解得：或,
∵,
∴,
故選：A.
4．已知方程的兩個實數根分別為,,則式子的值等于( )
A. B.0 C.2 D.6
答案：B
解析：由可得：,,
∴；
故選B.
5．已知m,n是方程的兩個實數根,則的值為( )
A.1 B.3 C. D.
答案：C
解析：∵m,n是方程的兩個實數根,
∴,,,
∴
.
故選：C.
6．設a、b是一元二次方程的兩個根,則的值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：C
解析：由題意知,,,即,
則.
故選C.
7．關于的方程的兩根的平方和是5，則的值是( )
A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
答案：D
解析：設方程的兩根為、，則，，
，
，
，
，，
，
.
故選：D.
8．若，是方程的兩個實數根，則的值為( )
A.2015 B.2022 C. D.4010
答案：B
解析：，是方程的兩個實數根，
，，
原式
.
故選：B.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若a,b是一元二次方程的兩個實數根,則的值為______.
答案：
解析：根據根與系數的關系a+b=-, ab=-3,
==
10．關于x的方程有兩個不相等的實數根,,且,則_____.
答案：-1
解析：∵關于x的方程有兩個不相等的實根、,
∴,,
依題意,即,
即,,,
∵關于x的方程有兩個不相等的實根、,且有,
∴,
∴,
∴,
解得：,又,
∴.
11．已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值是________.
答案：14
解析：，是一元二次方程的兩個實數根，
，，
，
，
.
故答案為：14.
12．已知，是方程的兩個實數根，則的值為______.
答案：0
解析：,是方程的根，所以α+β=3,αβ=-4,α2 -3α-4=0,
=3α+4-3α+αβ=-4+4=0
13．已知，且，則的值為__________.
答案：3
解析：因為，所以，即，又因為，，即，
所以m，是方程的兩個不相等的實數根，
所以，
所以.
三、解答題(共6小題，共48分）
14．（6分）解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積:
(1)
(2)
答案：(1)
(2)
15．（8分）若是一元二次方程的兩個根，
求下列代數式的值.
（1）；
（2）.
答案：（1）解：根據一元二次方程的根與系數的關系，得
（2）
16．（8分）已知:關于x的方程.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根;
(2)若方程的一個根是-1，求另一個根及k值.
答案： (1) 證明:
無論k取何值，
即
方程有兩個不相等的實數根.
(2)設另一根為，則，
解得
方程的另一個根為，k的值為1.
17．（8分）已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，是否存在實數k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，請說明理由.
答案：解:不存在.理由如下:
∵一元二次方程有兩個實數根，
，且，
.
是方程的兩個實數根，
，
又
經檢驗，是該分式方程的根.
又，∴不存在實數k，使成立.
解析：
18．（8分）閱讀材料:
已知，，且，求的值.
解:由及，可知，
可變形為.
又，，
p與一是方程的兩個不相等的實數根，
，
根據材料所提供的方法，完成下面的解答
已知，，且，求的值.
答案：方法1:由，知，
得.
.
根據與的特征，
得與是方程的兩個不相等的實數根，
.
方法2:由，得.
根據與的特征，且，得m與n是方程的兩個不相等的實數根.
，
.
19 .（10分）已知關于x的方程有兩實數根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在實數k滿足，若存在請求出k的值，若不存在請說明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根與系數的關系得到，再由得到，解方程求出，再根據方程有解，利用根的判別式求出k的范圍即可得到答案；
（2）由題意可得，當，方程有兩個相等的實數根，利用根的判別式求解即可；當時，則，利用根與系數的關系求解即可．
【詳解】（1）解：∵關于x的方程有兩實數根，，
∴，
又∵，
∴，
解得；
∵方程要有實數根，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
當是，則，
∴，
解得；
當時，則，
又∵，
∴（舍去）；
綜上所述，存在實數滿足．
【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式，熟知一元二次方程根與系數的關系，根的判別式是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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