資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第九課時 解一元二次方程方法專訓
一、專題導航
二.老師告訴你
解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程還可以用換元法，在具體解題過程中，結合方程特點選擇合適的方法，往往會達到事半功倍的效果。
方法一、用直接開平方法解方程
若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
1．用直接開平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　）
A. x=3+2 B. x=3-2
C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2
2．給出以下方程的解題過程，其中正確的有（　　）
①解方程（x-2）2=16，兩邊同時開方，得x-2=±4，移項得x1=6，x2=-2；
②解方程x（x-）=（x-），兩邊同時除以（x-）得x=1，所以原方程的根為x1=x2=1；
③解方程（x-2）（x-1）=5，由題得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6；
④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-．
A. 0個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值為_____．
4．已知關于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m為常數，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
方法二、用配方法解方程
解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方后，還要再減去這個數。
1．用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解）
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
4．閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發現：當a＞0，b＞0時，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，當且僅當a=b時取等號．請利用上述結論解決以下問題：
（1）當x＞0時，求x+的最小值；
（2）當x＜0時，求x+的最大值；
（3）當x＞0時，求y=的最小值．
5．如圖，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為1cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為2cm/s,若點P、Q分別從B、C同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）當t為何值時，P、Q兩點的距離為4cm？
（2）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？
方法三、用公式法解方程
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。
1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的兩解為a、b,且a＞b,求a值為何（　　）
A. B.
C. D.
2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
3．關于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的解．
方法四、用因式分解法解方程
如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　）
A. x1=，x2= B. x1=1，x2=
C. x1=-，x2=- D. x=±
2．解方程：x（x-5）=5-x.小濱的解答如下：
解：原方程可化簡為x（x-5）=-（x-5），
方程兩邊同時除以x-5，得x=-1，
小濱的解答是否正確，如不正確，寫出正確的解答過程．
3．定義：如果關于x的一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“黃金方程”．
（1）判斷一元二次方程是否為黃金方程，并說明理由．
（2）已知是關于x的黃金方程，若a是此黃金方程的一個根，求a的值．
4．已知下列n（n為正整數）個關于x的一元二次方程：
x2-1=0，
x2+x-2=0，
x2+2x-3=0，
…
x2+（n-1）x-n=0．
（1）請解上述一元二次方程；
（2）請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可．
方法五、用適當方法解方程
1.在解一元二次方程時，配方法不常用，直接開平方法與因式分解法適用于特殊的—元二次方程，公式法適用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.選擇解法的順序：首先考慮用直接開平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考慮用公式法或配方法求解。
1）若給定的方程為（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或經過簡單變形可轉化為這種形式），可采用直接開平方法；
２）若給定的一元二次方程可化為一邊是零，另一邊是易于分解成兩個一次因式的積的形式，可采用因式分解法；若方程兩邊都是整式的乘積形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化為一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解時）；
４)用公式法求解時，要先計算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，則此方程沒有實數根。
1．用適當的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2
2．用適當的方法解方程：
（1）x2+10x+16=0；
（2）x2+2x=x+2．
3．按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
方法六、用換元法解方程
1.換元法：在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，有時候要通過變形才能發現．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．
2.換元法功能：換元法又稱變量替換法,是我們解題常用的方法之一。利用換元法,可以化繁為簡,化難為易,從而找到解題的捷徑。
用換元法解一元二次方程的策略
關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化,復雜問題簡單化,也體現了轉化思想的運用.
1．若實數x滿足方程（x2+2x） （x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值為（　　）
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
2．已知，則的值為________．
3．閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
【問題】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“換元法”解方程．
解：設=t（t≥0），則有x2+2x=t2
原方程可化為：t2+4t-5=0
【續解】
4．閱讀下面的材料，解答后面的問題
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：設x2=y,原方程變為y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
當y=1時，即x2=1，解得x=±1；
當y=2時，即x2=2，解得x=±
綜上所述，原方程的解為x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
問題：（1）上述解答過程采用的數學思想方法是_____
A．加減消元法 B．代入消元法 C．換元法 D．待定系數法
（2）采用類似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
5．閱讀材料并回答下面的問題：
為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看成為一個整體，然后設x2-1=y,則原方程化為y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．當y=1時，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；當y=4時，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根為：x1=，x2=-，x3=，x1=-．
在由原方程得到方程①的解題過程中，利用換元法達到了解方程的目的，體現了轉化的數學思想，
請利用以上方法解方程：
①x4-x2-6=0；
②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0．
專題檢測
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　）
A. B.
C. D. x=±a±b
2．一元二次方程2x2-3x+1=0化為（x+a）2=b的形式，正確的是（　　）
A. B.
C. D. 以上都不對
3．方程x2-6x-5=0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（　　）
A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36
4．下列方程中，沒有實數根的是方程（　　）
A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0
5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正確的是（　　）
A. B.
C. D.
6．三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-11x+30=0的解，則這個三角形的周長是（　　）
A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10
7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的實數根是（　　）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
8．若實數x、y滿足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，則x2+y2的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2
二、填空題(共5題，共20分)
9．解方程：（x-5）2=9的解為x=_____．
10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，則8x-9y=_____．
11．一元二次方程的解為______．
12．一元二次方程x2-5x+6=0的兩根是直角三角形的兩直角邊長，則這個直角三角形的斜邊長為_____．
13．已知x為實數，且滿足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）用適當的方法解一元二次方程
（1）3x2-1=4x
（2）x2-2x-399=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x-6=（2x-3）2．
15．（8分）閱讀下列材料：
“a2≥0”這個結論在數學中非常有用，所以，我們常需要將代數式配成完全平方式．
例如“試說明多項式x2+4x+5的最小值為1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
試利用“配方法”解決下列問題：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多項式-x2+4x+5的最大值．
16．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為（1）中的最小整數，請求出此時方程的根．
17．（8分）閱讀與思考：閱讀下面內容并完成任務．
小明同學在解一元二次方程（x-3）2=x-3時，兩邊同時除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根為x=4；小華同學的解法是：將x-3移到等號左邊，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，進而得到原方程的兩個根x1=3，x2=4．
任務一：請對小明、小華同學的解法是否正確作出判斷；
任務二：若有不正確，請說明其理由；
任務三：直接寫出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）設x1，x2是方程的兩個實數根，且滿足x12+x1x2=1，求m的值．
19 .（8分）閱讀材料：
在學習解一元二次方程以后，對于某些不是一元二次方程的方程，我們可通過變形將其轉化為一元二次方程來解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：設|x|＝y，則原方程可化為：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
當y＝1時，|x|＝1，∴x＝±1；
當y＝2時，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“換元法”．請用“換元法”解決下列問題：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若實數x滿足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第九課時 解一元二次方程方法專訓（解析版）
一、專題導航
二、老師告訴你
解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程還可以用換元法，在具體解題過程中，結合方程特點選擇合適的方法，往往會達到事半功倍的效果。
方法一、用直接開平方法解方程
若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
1．用直接開平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　）
A. x=3+2 B. x=3-2
C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2
【答案】C
【解析】先移項、系數化1，則可變形為（x-3）2=8，然后利用數的開方解答，求出x-3的值，進而求x.
解：移項得，3（x-3）2=24，兩邊同除3得，（x-3）2=8，開方得，x-3=±2，所以x1=3+2，x2=3-2．故選C．
2．給出以下方程的解題過程，其中正確的有（　　）
①解方程（x-2）2=16，兩邊同時開方，得x-2=±4，移項得x1=6，x2=-2；
②解方程x（x-）=（x-），兩邊同時除以（x-）得x=1，所以原方程的根為x1=x2=1；
③解方程（x-2）（x-1）=5，由題得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6；
④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-．
A. 0個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】A
【解析】直接開平方法必須具備兩個條件：
（1）方程的左邊是一個完全平方式；
（2）右邊是非負數．將右邊看作一個非負已知數，利用數的開方解答．
解：①應先將系數化為1再開方．所以錯．
②在不知道因式是否為零的情況下，將其作為除數來化簡方程，容易造成丟根．所以錯．
③方程右邊不為0，不能用因式分解法解．所以錯．
④當n為負數時，不能直接開平方．所以錯．
故選：A．
3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值為_____．
【答案】±8
【解析】將a+b看作整體，用平方差公式解答，求出a+b的值即可；
解：∵（a+b+1）（a+b-1）=63，
∴（a+b）2-12=63，
∴（a+b）2=64，
a+b=±8；
故答案為：±8
4．已知關于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m為常數，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
【答案】x3=0，x4=-3
【解析】把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．
解：∵關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均為常數，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0變形為a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1，
解得x=0或x=-3．
故答案為：x3=0，x4=-3．
方法二、用配方法解方程
解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方后，還要再減去這個數。
1．用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
【答案】C
【解析】配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
解：由原方程移項，得
x2-2x=5，
方程的兩邊同時加上一次項系數-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1）2=6．
故選：C．
2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解）
【解析】把二次項系數化為1，常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，配成左邊是完全平方的形式，再用直接開平方法求出方程的根．
解：x2-3x-=0，
x2-3x=，
x2-3x+=，
=，
x-=±，
x=±，
∴x1=，x2=．
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
【解析】利用配方法進行求解即可．
解：x（x+4）=8x+12，
x2+4x=8x+12，
x2-4x=12，
x2-4x+4=12+4，
（x-2）2=16，
x-2=±4，
x=2±4，
∴x1=6，x2=-2．
4．閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發現：當a＞0，b＞0時，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，當且僅當a=b時取等號．請利用上述結論解決以下問題：
（1）當x＞0時，求x+的最小值；
（2）當x＜0時，求x+的最大值；
（3）當x＞0時，求y=的最小值．
【解析】（1）根據閱讀材料計算；
（2）把x+化為-（-x-），根據閱讀材料計算；
（3）把化為x+3+，根據閱讀材料計算．
解：（1）當x＞0時，x+≥2=2，
∴當x＞0時，x+的最小值是2；
（2）當x＜0時，x+=-（-x-），
-x-≥2=2，
∴-（-x-）≤-2，
∴當x＜0時，x+的最大值是-2；
（3）y==x+3+，
x+≥2=8，
∴x+的最小值是8，
∴x+3+的最小值是11，
∴當x＞0時，y=的最小值是11．
5．如圖，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為1cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為2cm/s,若點P、Q分別從B、C同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）當t為何值時，P、Q兩點的距離為4cm？
（2）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？
【解析】（1）根據勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出經過2或s后，P、Q兩點的距離為4cm；
（2）根據三角形的面積公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函數最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
設經過ts后，P、Q兩點的距離為4cm,
ts后，PC=6-t cm,CQ=2t cm,
根據勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數據（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t為2或時，P、Q兩點的距離為4cm；
（2）設經過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=6-tcm,CQ=2t cm,
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
當t=-時，即t=3s時，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
當點P運動3秒時，四邊形BPQA的面積最小為：15cm2．
方法三、用公式法解方程
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。
1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的兩解為a、b,且a＞b,求a值為何（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法即可求解．
解：3x2-11x-1=0，
這里a=3，b=-11，c=-1，
∴Δ=（-11）2-4×3×（-1）=133＞0，
∴x==，
∵一元二次方程式3x2-11x-1=0 的兩解為a、b,且a＞b,
∴a的值為．
故選：D．
2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
【解析】直接利用求根公式計算可得．
解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0，
則x==，
即x1=1，x2=．
3．關于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的解．
【解析】由一元二次方程的Δ=b2-4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化簡原方程并求解．
解：由題意知，m≠0，Δ=b2-4ac=[-（3m-1）]2-4m（2m-1）=1
∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化為：2x2-5x+3=0，
解得，x1=1，x2=3/2．
方法四、用因式分解法解方程
如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　）
A. x1=，x2= B. x1=1，x2=
C. x1=-，x2=- D. x=±
【答案】A
【解析】本題運用的是因式分解法來解題，將方程化為因式的乘積，然后根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題．
解：原方程變形為：（x-）（x-）=0，
解得x=或x=．
故選：A．
2．解方程：x（x-5）=5-x.小濱的解答如下：
解：原方程可化簡為x（x-5）=-（x-5），
方程兩邊同時除以x-5，得x=-1，
小濱的解答是否正確，如不正確，寫出正確的解答過程．
【解析】方程解答不正確，兩邊除以（x-5）時，沒有考慮為0的情況，寫出正確過程即可．
解：方程解答不正確，
正確解答為：方程化簡得：x（x-5）=-（x-5），
移項得：x（x-5）+（x-5）=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
可得x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1．
3．定義：如果關于x的一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“黃金方程”．
（1）判斷一元二次方程是否為黃金方程，并說明理由．
（2）已知是關于x的黃金方程，若a是此黃金方程的一個根，求a的值．
【答案】（1）一元二次方程是黃金方程，理由見解析
（2）或
【解析】
（1）根據黃金方程的定義進行求解即可；
（2）根據黃金方程的定義得到，則原方程為，再由a是此黃金方程的一個根，得到，解方程即可．
【小問1詳解】
解：一元二次方程是黃金方程，理由如下：
由題意得，，
∴，
∴一元二次方程是黃金方程；
小問2詳解】
解：∵是關于x的黃金方程，
∴，
∴，
∴原方程為，
∵a是此黃金方程的一個根，
∴，即，
∴，
解得或．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定義，正確理解題意是解題的關鍵．
4．已知下列n（n為正整數）個關于x的一元二次方程：
x2-1=0，
x2+x-2=0，
x2+2x-3=0，
…
x2+（n-1）x-n=0．
（1）請解上述一元二次方程；
（2）請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可．
【解析】（1）分別利用因式分解法解各方程；
（2）根據方程根的特征易得這n個方程都有一個根為1，另外一根等于常數項．
解：（1）x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，
x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2，
x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3，
…x2+（n-1）x-n=0，解得x1=1，x2=-n；
（2）這n個方程都有一個根為1，另外一根等于常數項．
方法五、用適當方法解方程
1.在解一元二次方程時，配方法不常用，直接開平方法與因式分解法適用于特殊的—元二次方程，公式法適用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.選擇解法的順序：首先考慮用直接開平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考慮用公式法或配方法求解。
1）若給定的方程為（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或經過簡單變形可轉化為這種形式），可采用直接開平方法；
２）若給定的一元二次方程可化為一邊是零，另一邊是易于分解成兩個一次因式的積的形式，可采用因式分解法；若方程兩邊都是整式的乘積形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化為一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解時）；
４)用公式法求解時，要先計算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，則此方程沒有實數根。
1．用適當的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1-．（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【解析】（1）利用直接開方法，求解即可；
（2）先把等號右邊的項移到等號左邊，再利用因式分解法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2＝2，
開方得：x﹣1＝±，
則x1＝1+ ，x2＝1﹣；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0，
可得2x+1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣2．
故答案為（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【點睛】本題考查解一元二次方程-因式分解法和直接開方法，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法.
2．用適當的方法解方程：
（1）x2+10x+16=0；
（2）x2+2x=x+2．
【解析】（1）利用因式分解法把方程轉化為x+8=0或x+2=0，然后解一次方程即可；
（2）先把方程變形為x（x+2）-（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+10x+16=0，
（x+8）（x+2）=0，
x+8=0或x+2=0，
所以x1=-8，x2=-2；
（2）x2+2x=x+2，
x（x+2）-（x+2）=0，
（x+2）（x-1）=0，
x+2=0或x-1=0，
所以x1=-2，x2=1．
3．按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
【解析】（1）利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-公式法，進行計算即可解答；
（3）利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答．
解：（1）x2+4x+2=0，
x2+4x=-2，
x2+4x+4=2，即（x+2）2=2，
∴x+2=±，
∴x1=-2+，x2=-2-；
（2）2x2-4x=-1，
2x2-4x+1=0，
這里a=2，b=-4，c=1，Δ=（-4）2-4×2×1=8＞0，
∴x==，
∴x1=，x2=；
（3）3x2+2x-1=0，
（3x-1）（x+1）=0，
∴3x-1=0或x+1=0，
∴x1=，x2=-1．
方法六、用換元法解方程
1.換元法：在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，有時候要通過變形才能發現．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．
2.換元法功能：換元法又稱變量替換法,是我們解題常用的方法之一。利用換元法,可以化繁為簡,化難為易,從而找到解題的捷徑。
用換元法解一元二次方程的策略
關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化,復雜問題簡單化,也體現了轉化思想的運用.
1．若實數x滿足方程（x2+2x） （x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值為（　　）
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
【答案】B
【解析】設x2+2x=y,則原方程化為y（y-2）-8=0，求出y,即可得出選項．
解：設x2+2x=y,則原方程化為y（y-2）-8=0，
解得：y=4或-2，
當y=4時，x2+2x=4，此時方程有解，
當y=-2時，x2+2x=-2，此時方程無解，舍去，
所以x2+2x=4．
故選：B．
2．已知，則的值為________．
【答案】
【解析】設a=x2+y2，代入即可得到一個關于a的一元二次方程，即可求解.
解：設x2+y2=a，則原方程化為
(a+1)(a+2)-6=0，
a2+3a+2-6=0，
a2+3a-4=0，
(a-1)(a+4)=0，
解得a=-4或1，
又∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=1.
故答案為1.
【點睛】本題考查用換元法求解一元二次方程的問題，掌握一元二次方程的解法并注意x2+y2≥0是解本題的關鍵.
3．閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
【問題】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“換元法”解方程．
解：設=t（t≥0），則有x2+2x=t2
原方程可化為：t2+4t-5=0
【續解】
【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分別解方程=-5和方程=1，然后進行檢驗確定原方程的解．
解：（t+5）（t-1）=0，
t+5=0或t-1=0，
∴t1=-5，t2=1，
當t=-5時，=-5，此方程無解；
當t=1時，=1，則x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-；
經檢驗，原方程的解為x1=-1+，x2=-1-．
4．閱讀下面的材料，解答后面的問題
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：設x2=y,原方程變為y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
當y=1時，即x2=1，解得x=±1；
當y=2時，即x2=2，解得x=±
綜上所述，原方程的解為x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
問題：（1）上述解答過程采用的數學思想方法是_____
A．加減消元法 B．代入消元法 C．換元法 D．待定系數法
（2）采用類似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
【答案】C
【解析】（1）利用換元法解方程；
（2）設x2-2x=y,原方程化為y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可．
解：（1）上述解答過程采用的數學思想方法是換元法．
故答案是：C；
（2）設x2-2x=y,原方程化為y2-y-6=0，
整理，得
（y-3）（y+2）=0，
得y=3或y=-2
當y=3時，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3；
當y=-2時，即x2-2x=-2，方程無解．
綜上所述，原方程的解為x1=-1，x2=3．
5．閱讀材料并回答下面的問題：
為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看成為一個整體，然后設x2-1=y,則原方程化為y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．當y=1時，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；當y=4時，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根為：x1=，x2=-，x3=，x1=-．
在由原方程得到方程①的解題過程中，利用換元法達到了解方程的目的，體現了轉化的數學思想，
請利用以上方法解方程：
①x4-x2-6=0；
②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0．
【解析】根據題意給出的方法以及根據一元二次方程的解法即可求出答案．
解：①令t=x2，
∴t≥0，
∴原方程化為：t2-t-6=0，
∴（t-3）（t+2）=0，
∴t=3或t=-2（舍去），
∴x2=3，
∴原方程的根為x=±．
（2）令t=x2+3，
∴t≥3，
∴原方程化為：t2-9t+20=0，
∴（t-4）（t-5）=0，
∴t=4或t=5，
當t=4時，
∴x2+3=4，
∴x=±1，
當t=5時，
∴x2+3=5，
∴x=±．
綜上所述，原方程的根為x=±1或x=±．
專題檢測
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　）
A. B.
C. D. x=±a±b
【答案】A
【解析】兩邊直接開平方可得x-a=±，再把a移到方程有邊即可．
解：（x-a）2=b（b＞0），
兩邊直接開平方得：x-a=±，
故：x1=+a,x2=-+a,
故選：A．
2．一元二次方程2x2-3x+1=0化為（x+a）2=b的形式，正確的是（　　）
A. B.
C. D. 以上都不對
【答案】C
【解析】先把常數項1移到等號的右邊，再把二次項系數化為1，最后在等式的兩邊同時加上一次項系數一半的平方，然后配方即可．
解：∵2x2-3x+1=0，
∴2x2-3x=-1，
x2-x=-，
x2-x+=-+，
（x-）2=；
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化為（x+a）2=b的形式是：（x-）2=；
故選：C．
3．方程x2-6x-5=0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（　　）
A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36
【答案】C
【解析】配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
解：∵x2-6x-5=0
∴x2-6x=5
∴x2-6x+9=5+9
∴（x-3）2=14
故選：C．
4．下列方程中，沒有實數根的是方程（　　）
A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0
【答案】D
【解析】分別計算四個方程的判別式的值，然后根據判別式的意義進行判斷．
解：A、Δ=b2-4ac=22-4×（-3）×10=124＞0，方程有兩個不相等的實數根，所以A選項錯誤；
B、Δ=b2-4ac=82-4×2×（-3）=88＞0，方程有兩個不相等的實數根，所以B選項錯誤；
C、Δ=b2-4ac=22-4×3×（-1）=16＞0，方程有兩個不相等的實數根，所以C選項錯誤；
D、Δ=b2-4ac=32-4×1×3=-3＜0，方程沒有實數根，所以D選項正確．
故選：D．
5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法求解即可．
解：∵a=1，b=-6，c=1，
∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0，
則x===3±2，
故選：D．
6．三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-11x+30=0的解，則這個三角形的周長是（　　）
A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】根據一元二次方程的解法即可求出第三邊，然后根據三角形的三邊關系即可求出周長．
解：由x2-11x+30=0，
解得：x=6或x=5，
當第三邊長為6時，
由三角形三邊關系可知：2+4=6，
故不能組成三角形，
當第三邊為5時，
由三角形三邊關系可知：4+2＞5，能夠組成三角形，
∴這個三角形的周長為：2+4+5=11，
故選：A．
7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的實數根是（　　）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
【答案】D
【解析】利用直接開平方法求解即可．
解：（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0，
（1-x2）（1+x2）+15=0，
1-（x2）2+15=0，
∴（x2）2=16，
∴x=±2．
故選：D．
8．若實數x、y滿足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，則x2+y2的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2
【答案】B
【解析】設t=x2+y2，原方程變形為（t+2）（t-2）=0，解之即可得出t的值，再根據x2+y2非負即可確定t的值．
解：設t=x2+y2，則t≥0，
原方程變形為（t+2）（t-2）=0，
解得：t=2或t=-2（舍去）．
故選：B．
二、填空題(共5題，共20分)
9．解方程：（x-5）2=9的解為x=_____．
【答案】8或2
【解析】直接利用平方根的定義解方程，可得答案．
解：（x-5）2=9，
∴x-5=±3，
∴x=8或x=2．
故答案為：8或2．
10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，則8x-9y=_____．
【答案】-15
【解析】已知等式左邊配方后，利用非負數的性質求出x與y的值，即可求出代數式的值．
解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0，
可得2x+3=0，3y-1=0，
解得：x=-，y=，
則8x-9y=8×（-）-9×=-15，
故答案為：-15．
11．一元二次方程的解為______．
【答案】
【解析】先把方程化為一般式，然后利用公式法求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解題的關鍵．
12．一元二次方程x2-5x+6=0的兩根是直角三角形的兩直角邊長，則這個直角三角形的斜邊長為_____．
【答案】
【解析】解一元二次方程求得直角三角形的兩直角邊長，利用勾股定理求得即可．
解：∴x2-5x+6=0，
（x-3）（x-2）=0，
解得x1=3，x2=2，
∴直角三角形的兩直角邊長分別為3和2，
∵斜邊長=．
故答案為：．
13．已知x為實數，且滿足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____．
【答案】1
【解析】設x2+3x=y,方程變形后，求出解得到y的值，即可確定出x2+3x的值．
解：設x2+3x=y,
方程變形得：y2+2y-3=0，即（y-1）（y+3）=0，
解得：y=1或y=-3，即x2+3x=1或x2+3x=-3（無解），
故答案為：1．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）用適當的方法解一元二次方程
（1）3x2-1=4x
（2）x2-2x-399=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x-6=（2x-3）2．
【解析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）方程整理得：3x2-4x-1=0，
這里a=3，b=-4，c=-1，
∵△=16+12=28，
∴x==；
（2）方程整理得：x2-2x=399，
配方得：x2-2x+1=400，即（x-1）2=400，
開方得：x-1=20或x-1=-20，
解得：x1=21，x2=-19；
（3）分解得：x（2x-7）=0，
解得：x1=0，x2=3.5；
（4）方程整理得：（2x-3）（2x-3-2）=0，
解得：x1=1.5，x2=2.5．
15．（8分）閱讀下列材料：
“a2≥0”這個結論在數學中非常有用，所以，我們常需要將代數式配成完全平方式．
例如“試說明多項式x2+4x+5的最小值為1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
試利用“配方法”解決下列問題：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多項式-x2+4x+5的最大值．
【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）原式配方后，利用非負數的性質求出最大值即可．
解：（1）x2+4x-5
=x2+4x+4-9
=（x+2）2-9
=[（x+2）+3][（x+2）-3]
=（x+5）（x-1）；
（2）-x2+4x+5
=5-（x2-4x）
=5-（x2-4x+4-4）
=5-（x-2）2+4
=9-（x-2）2，
∵（x-2）2≥0，
∴當（x-2）2=0時，9-（x-2）2取得最大值9．
16．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為（1）中的最小整數，請求出此時方程的根．
【解析】（1）根據根的判別式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；
（2）根據k＞-1，且k是最小整數，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解關于x的一元二次方程即可．
解：（1）∵方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＞0，
∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0，
解得k＞-1；
（2）∵k＞-1，且k是最小整數，
∴k=0，
把k=0代入原方程，可得x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-2．
17．（8分）閱讀與思考：閱讀下面內容并完成任務．
小明同學在解一元二次方程（x-3）2=x-3時，兩邊同時除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根為x=4；小華同學的解法是：將x-3移到等號左邊，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，進而得到原方程的兩個根x1=3，x2=4．
任務一：請對小明、小華同學的解法是否正確作出判斷；
任務二：若有不正確，請說明其理由；
任務三：直接寫出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
【解析】任務一：根據解題過程即可判斷；
任務二：當x-3=0時，方程的兩邊不能同時除以x-3．
任務三：移項后分解因式，即可得出三個一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：任務一：小明同學的解法錯誤；小華同學的解法；
任務二：當x-3=0時，方程的兩邊不能同時除以x-3．
任務三：（x-5）3-4（x-5）2=0，
（x-5）2（x-5-4）=0，
x-5=0或x-9=0，
解得：x1=x2=5，x3=9．
18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）設x1，x2是方程的兩個實數根，且滿足x12+x1x2=1，求m的值．
【解析】（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式Δ=b2-4ac＞0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．
（2）x1是方程的實數根，就適合原方程，可得到關于x1與m的等式．再根據根與系數的關系知，x1x2=m-1，故可求得x1和m的值．
解：（1）根據題意得Δ=b2-4ac=4-4×（m-1）＞0，解得m＜2；
（2）∵x1是方程的實數根，
∴x12-2x1+m-1=0 ①
∵x1，x2是方程的兩個實數根
∴x1 x2=m-1
∵x12+x1x2=1，
∴x12+m-1=1 ②
由①②得x1=0.5，
把x=0.5代入原方程得，m=．
19 .（8分）閱讀材料：
在學習解一元二次方程以后，對于某些不是一元二次方程的方程，我們可通過變形將其轉化為一元二次方程來解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：設|x|＝y，則原方程可化為：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
當y＝1時，|x|＝1，∴x＝±1；
當y＝2時，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“換元法”．請用“換元法”解決下列問題：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若實數x滿足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
【分析】（1）設x2＝a，則原方程可化為a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，繼而可得x2＝1或x2＝9，解之即可；
（2）設＝m，則原方程可化為m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得＝﹣1、＝2，解之即可；
（3）設x+＝y，則原方程可化為：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得．
【解答】解：（1）設x2＝a，則原方程可化為a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
當a＝1時，x2＝1，∴x＝±1；
當a＝9時，x2＝9，∴x＝±3；
（2）設＝m，則原方程可化為m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，
∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
當m＝﹣1時，＝﹣1，即x2+x+1＝0，由△＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此時方程無解；
當m＝2時，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣，
經檢驗x＝1和x＝﹣都是原分式方程的解；
（3）設x+＝y，則原方程可化為：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝4，
即x+＝﹣1（方程無解，舍去）或x+＝4，
故x+＝4．
【點評】本題主要考查換元法解方程，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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