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21.5 反比例函數 導學案
（一）學習目標：
1.理解并掌握反比例函數的概念.
2.能判斷兩個變量之間的關系是否是函數關系，進而識別其中的反比例函數關系.
3.根據實際問題建立并列出反比例函數關系式.
（二）學習重難點：
重點：反比例函數的概念的理解.
難點：根據實際問題建立并列出反比例函數關系式.
閱讀課本，識記知識：
1. 反比例函數的定義
一般地，形如（k為常數，）的函數稱為反比例函數，它可以從以下幾個方面來理解：
⑴x是自變量，y是x的反比例函數；
⑵自變量x的取值范圍是的一切實數，函數值的取值范圍是；
⑶比例系數是反比例函數定義的一個重要組成部分；
⑷反比例函數有三種表達式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函數（）與（）是等價的，所以當y是x的反比例函數時，x也是y的反比例函數。
（k為常數，）是反比例函數的一部分，當k=0時，，就不是反比例函數了，由于反比例函數（）中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數的表達式。
2.用待定系數法求反比例函數的解析式
由于反比例函數（）中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數的表達式。
3.反比例函數的圖像及畫法
反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數中自變量函數中自變量，函數值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。
反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。
再作反比例函數的圖像時應注意以下幾點：
①列表時選取的數值宜對稱選取；
②列表時選取的數值越多，畫的圖像越精確；
③連線時，必須根據自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；
④畫圖像時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。
4.反比例函數的性質
☆關于反比例函數的性質，主要研究它的圖像的位置及函數值的增減情況，如下表：
反比例函數 （）
的 符號
圖像
性質 ①的取值范圍是，y的取值范圍是 ②當時，函數圖像的兩個分支分別在第一、第三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小。 ①的取值范圍是，y的取值范圍是 ②當時，函數圖像的兩個分支分別在第二、第四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大。
注意：描述函數值的增減情況時，必須指出“在每個象限內……”否則，籠統地說，當時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。
反比例函數圖像的位置和函數的增減性，是有反比例函數系數k的符號決定的，反過來，由反比例函數圖像（雙曲線）的位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第一、第三象限，則可知。
☆反比例函數（）中比例系數k的絕對值的幾何意義。
如圖所示，過雙曲線上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，
則
反比例函數（）中，越大，雙曲線越遠離坐標原點；越小，雙曲線越靠近坐標原點。
雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。
【例1】已知壓力F、受力面積S、壓強P之間的關系是．則下列說法不正確的是（ ）
A．當壓強P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數關系；
B．當壓強P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大；
C．當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成正比例函數關系；
D．當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成反比例函數關系．
【答案】C
【分析】根據正比例函數關系和反比例函數關系的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A．在中，當壓強P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數關系，故選項正確，不符合題意；
B．在中，當壓強P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大，故選項正確，不符合題意；
C．在中，當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成反比例函數關系，故選項不正確，符合題意；
D．在中，當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成反比例函數關系，故選項正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】此題考查了正比例函數關系和反比例函數關系，熟練掌握正比例函數關系和反比例函數關系的定義是解題的關鍵．
【例2】 若點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，，的值，即可解答．
【詳解】解：當時，，解得；
當時，，解得；
當時，，解得；
，
故選：C．
【點睛】本題考查了由反比例函數求自變量的值，求出，，的值是解題的關鍵．
選擇題
1.如下列關系式中，表示是的反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函數為反比例函數，則m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3.下列函數中,為反比例函數的是 (　　)
A.y=-x　　　B.y=　　　C.y=　　　D.y=5x-1
4.某小區要種植一個面積為3 500 m2的矩形草坪,已知草坪的長y(m)隨寬x(m)的變化而變化,則y與x的函數關系式為 (　　)
A.xy=3 000　　　B.x=3 500y　　C.y=　　　D.y=
5.雙曲線要經過點，則m的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．下列問題中的兩個變量是成反比例的是（　　）
A．被除數（不為零）一定，除數與商
B．貨物的單價一定，貨物的總價與貨物的數量
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長
D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時間
7.在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點，則代數式 的值為( )
A．3 B． C． D．
8．在同一直角坐標系中，反比例函數與二次函數的大致圖像可能是（ ）
A． B． C． D．
9.若點、都在反比例函數的圖象上，則、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法判斷
10．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在x軸正半軸上，點B、C在反比例函數的圖象上，若的面積等于6，且，則k的值為（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
填空題
11．小明利用學習函數獲得的經驗研究函數的性質，得到如下結論：
①當時，x越小，函數值越小；
②當時，x越大，函數值越小；
③當時，x越小，函數值越大；
④當時，x越大，函數值越大．
其中正確的是 （只填寫序號）．
12．若函數是反比例函數，則的值為 ．
13．點在反函數的圖象上，則 ．
14．在平面直角坐標系中，若反比例函數的圖象經過點和點，則的值為 ．
15．如圖，將反比例函數的圖象繞坐標原點順時針旋轉，旋轉后的圖象與x軸相交于A點，若直線與旋轉后的圖象相交于B，則的面積為 ．

三、解答題
16．已知是反比例函數，求m的值．
17.已知反比例函數圖像經過一、三象限．
(1)判斷點在第幾象限；
(2)若點，是反比例函數圖像上的兩點，試比較，，的大小關系；
(3)已知，且滿足當時，函數的最大值是；設反比例函數，當時，函數的最小值是，求為何值時，．
18．如圖，是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中線段是豎直高度為6米的平臺，滑道分為兩部分，其中段是雙曲線，段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，B點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，距直線的水平距離為x．
(1)請求出滑道段y與x之間的函數關系式；
(2)當滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行者此時距滑道起點A的水平距離；
(3)在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道落地點D與最高點B連線與水平面夾角應不大于，，求長度的取值范圍．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.C
【分析】根據反比例函數的定義，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、是正比例函數，故本選項錯誤；
B、，分母中的x的指數是2，所以不是的反比例函數，故本選項錯誤；
C、，y是x的反比例函數，故本選項正確；
D、，不是的反比例函數，故本選項錯誤．
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義，熟記正比例函數，反比例函數以及一次函數的定義是解題的關鍵，是基礎題，難度不大．
2.D
【分析】根據反比例函數的定義進行解答即可．
【詳解】解：是反比例函數，
解得．
故選：D．
【點睛】本題主要考查反比例函數定義，熟練掌握反比例函數的定義是解題關鍵．
3.【答案】　D　
【分析】y=-x是一次函數,y=是一次函數,y=不是反比例函數,y=5x-1=是反比例函數.故選D.
4.【答案】　C　
【分析】由矩形的面積公式可得xy=3 500,∴y=.故選C.
5．D
【分析】直接把點代入函數解析式即可求得的值．
【詳解】解：將代入雙曲線得，
，
解得：．
故選：D．
【點睛】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征．函數圖象過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．
6．A
【分析】形如（為常數，）的函數稱為反比例函數．看兩個變量是否具有反比例關系，主要看它們的乘積是否為非零的常數．依據判斷方法逐項分析即可．
【詳解】解：A．被除數（不為零）一定，除數與商是反比例函數的關系，故此選項符合題意；
B．貨物的單價一定，貨物的總價與貨物的數量是正比例函數的關系，故此選項不符合題意；
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長是一次函數的關系，故此選項不符合題意；
D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時間是正比例函數的關系，故此選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數，正確區分正比例函數與反比例函數是解題關鍵．判斷一個函數是否是反比例函數，首先看看兩個變量是否具有反比例關系．
7．D
【分析】把點 分別代入 與 中， 得 ， 進而求解即可．
【詳解】解：函數與的圖象交于點，
，，
，
，
．
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數、一次函數圖象上點的坐標特征，掌握圖象上點的坐標適合解析式是解題的關鍵．
8．B
【分析】根據的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論，根據反比例函數的圖像與性質以及二次函數的圖像與性質進行判斷即可．
【詳解】解：當時，反比例函數的圖像經過一、三象限，二次函數的圖像開口向上，其對稱軸在軸右側，且與軸交于負半軸，故選項C、D不符合題意；
當時，反比例函數的圖像經過二、四象限，二次函數的圖像開口向上，其對稱軸在軸左側，且與軸交于正半軸，故選項A不符合題意，選項B符合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖像與性質以及二次函數的圖像與性質，解題關鍵是根據的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論．
9．B
【分析】根據解析式，將自變量值代入解析式求函數值比較．
【詳解】解：由題知，，，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數解析式，求函數值，理解根據解析式求函數值是解題的關鍵．
10.B
【分析】先證明C是的中點，設點A的坐標是，點B的坐標是．則，點C的坐標是，然后根據點C在反比例函數上，則，再根據三角形的面積公式可得，據此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴點C是的中點，
設點A的坐標是，點B的坐標是．則．
∴點C的坐標是，
∵點C在反比例函數上，
∴，即，．
∵的面積等于6，
∴，即，
∴，
解得．
故選：B．
【點睛】本題考查了求反比例函數的解析式，正確設出未知數，轉化為k的關系是關鍵．
11.②③④
【分析】列表，描點、連線，畫出圖象，根據圖象回答即可．
【詳解】解：列表，
x 1 2
y 3 3 5
描點、連線，圖象如下，

根據圖象知：
①當時，x越小，函數值越大，錯誤；
②當時，x越大，函數值越小，正確；
③當時，x越小，函數值越大，正確；
④當時，x越大，函數值越大，正確．
故答案為：②③④．
【點睛】本題考查二次函數、反比例函數與不等式等知識，解題的關鍵是理解題意，學會畫出函數圖象，利用圖象解決問題，屬于中考常考題型．
12．
【分析】根據反比例函數的定義：，列式計算即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故答案為：
【點睛】本題考查反比例函數定義．熟練掌握反比例函數的定義，是解題的關鍵．
13．/0.5
【分析】直接將點代入即可求出的值．
【詳解】解：∵點在反函數的圖像上，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積等于比例系數．理解函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．
14．
【分析】反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的積為定值，由此可解．
【詳解】解：反比例函數的圖像經過點和點，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數的性質，解題的關鍵是掌握反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的積為定值．
15．//
【分析】反比例函數的圖象上點繞點順時針方向旋轉得點，過點作軸于，得出，作軸于，設，并且是由繞點順時針旋轉得到的，則，從而，可證出是等腰直角三角形，得的坐標，代入從而得出的值，進而求得的長度，利用三角形面積公式解決問題．
【詳解】解：設反比例函數的圖象上點繞點順時針方向旋轉得點，過點作軸于，
設，
，
，
，
，
，
，
作軸于，是由繞點順時針旋轉得到的，
∴點K在原反比例函數圖象上．
設，
，
∴，
過點作軸于，軸，

是等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
解得或（舍，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題是一次函數與反比例函數的交點問題，考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，求得點的坐標是解題的關鍵．
16．
【分析】根據反比例函數的定義．即，只需令，即可．
【詳解】解：由題意得：且，；
解得，又；
．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義，解題的關鍵是將一般式轉化為的形式．
17.(1)第四象限
(2)
(3)
【分析】（1）由反比例函數圖像經過一三象限確定的取值范圍，從而判斷點所在象限；
（2）根據反比例函數的增減性及點的坐標特征進行分析判斷；
（3）利用反比例函數的增減性確定函數最值時的值，從而列方程求解．
【詳解】（1）解：反比例函數圖像經過一、三象限，
，
，
點在第四象限；
（2）反比例函數圖像經過一、三象限，
在每一象限內隨的增大而減小，
點，在反比例函數圖像上，
且，兩點在第一象限，可得，
，
解得：，
，，的大小關系為：；
（3）反比例函數圖像經過一、三象限，
在每一象限內隨的增大而減小，
，
反比例函數位于第二、四象限，
在每一象限內隨的增大而增大，
，且滿足當時，函數的最大值是，當時，函數的最小值是，
當時，，
當時，，
，
解得：（不合題意，舍去）或，
當時，代入中，，
，，
若，
，
解得：，
經檢驗是原方程的解集，
當時，．
【點睛】本題考查反比例函數圖像的性質，掌握反比例函數的性質利用數形結合思想解題是關鍵．
18．(1)滑道段y與x之間函數關系式為
(2)滑行者距滑道起點的水平距離為米
(3)
【分析】（1）由B在雙曲線上，且根據題意，得到，由B為拋物線的最高點，可設拋物線的解析式為，滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，得到點D的坐標為，把代入得，，解得，即可得到拋物線的解析式；
（2）依據前面的解析式求出A、C的橫坐標，它們的差距即為所經過的水平距離；
（3）先判斷的最小值，再根據已知求出最大值即可．
【詳解】（1）解：B在雙曲線上，且根據題意，
∴，
∵B為拋物線的最高點，
則設拋物線的解析式為，
∵滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，
∴點D的坐標為，
把代入得，
，
解得，
∴滑道段y與x之間函數關系式為；
（2）令上式時，則，
解得，（不合題意，舍去），
∴，
將代入中得，
∴，
∴，
此時滑行者距滑道起點的水平距離為米；
（3）解： 根據上面所得，
當時，，
此時，
則D點不可往左，可往右，的最小值為8，
又∵，
∴，
∴．
∴長度的取值范圍為．
【點睛】本題主要考查了二次函數和反比例函數的實際應用，用到了待定系數法求二次函數解析式、求函數圖象上點的坐標等知識，數形結合是解題的關鍵．
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