資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.6 綜合與實踐 獲取最大利潤 導學案
（一）學習目標：
1.能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題.
2.弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.
（二）學習重難點：
重點：用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題
難點：商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍
閱讀課本，識記知識：
（1）利用二次函數解決利潤問題
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．
（3）構建二次函數模型解決實際問題
利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
【例1】某藥店對一種消毒液5天中的售價與銷量進行調查，銷量是售價的函數（統計數據見下表）．已知該消毒液的進價為22元/瓶，則下列說法正確的是（　　）
售價x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5
銷售y（瓶） 200 192 160 150 128
A．銷量是售價的正比例函數
B．每天的利潤是售價的正比例函數
C．每天的利潤是售價的反比例函數
D．要使每天的利潤達到1600元，售價應為33元/瓶
【答案】D
【分析】根據反比例函數的意義計算售價和銷售量的乘積，即可判斷A，再求出利潤的表達式，即可判斷B，C，根據利潤為1600元列出方程，解之即可判斷D．
【詳解】解：由表可知：
，
∴銷量是售價的反比例函數，故A不合題意；
每天的利潤為：
故每天的利潤既不是售價的正比例函數，也不是反比例函數，故B，C不合題意；
要使每天的利潤達到1600元，
則，
解得：，即售價為33元/瓶，故D符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查了正比例函數和反比例函數，解答本題的關鍵是正確利用表格中的數據，掌握銷售問題中的等量關系．
【例2】在經濟學上,通常可以用反比例函數來描述商品需求量與價格之間的關系.假設市場上某商品的需求量D與價格P之間的關系可以用D=k/p(k常數)來表示，當該商品價格為50元時,需求量為100件.若該商品價格控制在100≤P≤200的范圍內, 那么需求量力的范圍為( )
A.25≤D≤50 B.0≤D≤50 C. D≥25 D.50≤D≤100
[答案] A
[分析]本題考查了反比例函數的應用，根據題意,先求出反比例函數解析式，根據條件列出關于D的不等式組，解出不等式組的解集即可.
[詳解]解:當該商品價格為50元時，需求量為100件.
k= 50x 100 = 5000.
反比例函數解析式為D= 5000 ,
當商品價格控制在100≤P≤200的范圍內時則有1005000≤200，
解得: 25≤D≤50,
故選: A.
選擇題
1.某市有家專賣店銷售同樣品牌的羽絨服,如圖,用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四家專賣店的利潤率(利潤和成本的比值) y與該店成本x的情況,中描述甲、丁兩家專賣店對應的點恰好在同一 個反比例函數的圖象上,那么銷售同樣數量的羽絨服獲得利潤最多的店是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如圖，一個電子體重秤的電路圖如圖（2）所示，可變電阻可隨著人的質量的變化而變化，電源電壓恒為8伏，定值電阻的阻值為30歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數為（該讀數可以換算為人的質量），則關于的函數解析式為（ ）
A． B． C． D．
3.某鄉鎮企業現在年產值是15萬元，如果每增加100元投資，一年增加250元產值，那么總產值y(萬元)與新增加的投資額x(萬元)之間函數關系為( )
A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5
4.當壓力F(N)一定時,物體所受的壓強p(Pa)與受力面積S(m2)的函數關系式為p=(F≠0),這個反比例函數的圖象大致是 (　　)
5.某幢建筑物，從10 m高的窗口A，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀(拋物線所在的平面與墻面垂直，如圖9，如果拋物線的最高點M離墻1 m，離地面m，則水流落地點B離墻的距離OB是( )
A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m
6.隨著科技的進步，我國的生物醫藥行業發展迅速，最近某藥品研究所開發一種抗菌新藥，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數關系如圖所示（當時，y與x成反比例）．根據圖中信息可知，血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續時間為（ ）
A．4小時 B．小時 C．小時 D．小時
7.一輛汽車勻速通過某段公路 ,所需時間1( h)與行駛速度v( km/h )滿足函數關系:t=k/v,其圖象為如圖所示的一段曲線,且端點為A(40, 1)和B(m, 0.5) ,若行駛時間不得少于0.5h ,則汽車通過該路段的最大速度為( )
A .80km/h B .60kn/h C .40km/h D .20kn/h
8.學校舉行數學文化競賽．圖中的四個點分別描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四個班級競賽成績的優秀率y（班級優秀人數占班級參加競賽人數的百分率）與該班參加競賽人數x的情況，其中描述八（2）、八（4）兩個班級情況的點恰好在同一個反比例函數的圖像上，則成績優秀人數最多的是（ ）

A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）班
9.某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓（）是氣體體積（）的反比例函數，如圖，當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球體積應（ ）．
A． B． C． D．
填空題
10．根據某商場對一款運動鞋五天中的售價與銷量關系的調查顯示,售價是銷量的反比例函數(統計數據見下表).已知該運動鞋的進價為180元/雙,要使該款運動鞋每天的銷售利潤達到2 400元,則其售價應定為　　　　元/雙.
售價x(元/雙) 200 240 250 400
銷售量y(雙) 30 25 24 15

11.一輛汽車前燈電路上的電壓U(V)保持不變,通過燈泡的電流強度I(A)是電阻R(Ω)的反比例函數.若當電阻為30 Ω時,通過燈泡的電流強度為0.40 A,則當電阻為50 Ω時,通過燈泡的電流強度為　　　　A.
12．已知A(-14,y1),B(-15,y2)兩點在雙曲線y=上,當y1>y2時,m的取值范圍是　　　　.
13．如圖,一次函數y=6x與反比例函數y=(k>0)的圖象交于A、B兩點,點C在x軸上運動,連接AC,點Q為AC中點,在點C運動過程中,OQ的最小值為2,則k=　　　　.
14．將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元售出時，每天能賣出20個.若這種商品的
零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷售量就增加了1個，為了獲得最大利潤，則應降價______元，最大利潤為______元.
三、解答題
15.碼頭工人每天往一艘輪船上裝載貨物，平均每天裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數關系，其圖像如圖：

(1)求這個反比例函數的解析式；
(2)裝載完畢后，由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少卸貨多少噸？
16．某工廠生產A產品x噸所需費用為P元,而賣出x噸這種產品的售價為每噸Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)該廠生產并售出x噸,寫出這種產品所獲利潤W(元)關于x(噸)的函數關系式;
(2)當生產多少噸這種產品,并全部售出時,獲利最多 這時獲利多少元 這時每噸的價格又是多少元
17.某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足關系：m=140－2x.
(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數關系式;
(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？
18.某水果店去年2月至5月份銷售甲乙兩種新鮮水果，已知甲種水果每月售價與月份x之間存在的反比例函數關系如表所示．
時間x/月份 2 3 4 5
售價 /（元/千克） 12 8 6
甲種水果進價為3元/千克，銷售量P（千克）與x之間滿足關系式；乙種水果每月售價與月份x之間滿足，對應的圖象如圖所示．乙種水果進價為元/千克，平均每月銷售160千克．

(1)求與x之間的函數關系式；
(2)求與x之間的函數關系式；
(3)若水果店銷售水果時需要繳納元/千克的稅費，問該水果店哪個月銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.[答案] C
[分析]本題考查反比例函數的實際應用，根據圖象獲取信息。即可得出結果.
[詳解]解:。甲、丁兩家專賣店對應的點恰好在同-一個反比例函數的圖象上，
當銷售同樣數量的羽絨服時，甲，丁的利潤相等,
丙在雙曲線的.上方,乙在雙曲線的下方，
小當銷售同樣數量的羽絨服時，丙的利潤大于甲，丁的利潤，乙的利潤小于甲，丁的利潤.
故選C.
2.C
【分析】通過串聯電路中電流處處相等和可以列出等量關系，然后再化簡為關于的函數解析式
【詳解】由題意得：可變電阻兩端的電壓=電源電壓-電表電壓，
即：可變電阻電壓，
∵，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，
∴．
化簡得：，
∵，
∴．
故選：C
【點睛】本題以物理中的電路問題為背景，考查了學生對于反比例函數關系式的掌握情況，解題的關鍵是先要求找出兩個要求量之間的等量關系，然后化簡為要求的表達式，轉化過程中需要注意無關量的消去，一般情況下都是用代入法消元來解決這一問題的．
3.C
【答案】　A　
【分析】當F(F>0)一定時,p與S之間成反比,則函數圖象是雙曲線位于第一象限的分支.故選A.
5．B〔提示：設水流的解析式為y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B點離墻的距離OB是3 m
6．A
【分析】設密度是體積的反比例函數為，把點代入解析式，根據待定系數法求得的值和函數解析式，再將代入函數，即可解答．
【詳解】解：設密度是體積的反比例函數為，
把點代入解析式，可得，解得，
，
當時，（），
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的關系，再利用待定系數法求出他們的解析式．
7．[答案] A
[分析]本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式.
將點4(40, 1)代入-告可得k,把B(m, 0.5)代入求出m= 80,即可得到答案.
[詳解]解:由題意得，函數經過點4(40, 1) .
把4(40. 1)代入,得k=40
函數解析式為t=40/v ,
行駛時間不得少于0.5h,
把B(m, 0.5)代入，得0.5=-40/m
M=80
汽車通過該路段的最大速度為80km/h.
故選: A.
8．A
【分析】設反比例函數表達式為，過八（1）點，八（3）點作軸的平行線交反比例函數于，，設八（1）點為，，八（2）點為，，八（3）點為，，八（4）點為，，點為，，點為，，然后比較，，，與的大小即可得出答案．
【詳解】解：設反比例函數的表達式為，
過八（1）點，八（3）點作軸的平行線交反比例函數于，，

設八（1）點為，，八（2）點，，八（3）點為，，八（4）點，，點為，，點為，，
由圖象可知：，，
依題意得：，，，分別為八（1），八（2），八（3），八（4）的優秀人數．
八（2）點，點，點，八（4）點在反比例函數的圖象上，
，
，，
，，
，
即：八（1）班優秀人數八（2）班優秀人數八（4）班優秀人數八（3）班優秀人數，
八（1）班的優秀人數為最多．
故選：A．
【點睛】本題主要考查反比例函數圖象與性質的實際應用，讀懂題意，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解決問題的關鍵．
9．A
【分析】由題意得與成反比例，設氣球內氣體的氣壓和氣體的體積之間的函數關系式為，代入，求出解析式，由，求出的范圍即可．
【詳解】解：設氣球內氣體的氣壓和氣體的體積之間的函數關系式為，
∵圖象過，
∴，
解得，，
∴，
∵在第一象限內隨的增大而減小，
∴當時，，即，
故選：A．
【點睛】本題考查了求反比例函數的解析式，反比例函數的應用，解題的關鍵是根據圖象上已知點的坐標，利用待定系數法求出函數解析式．
10.【答案】　300
【解析】　由表中數據得xy=6 000,
∴y=,
則函數解析式為y=.
由題意,得(x-180)y=2 400,
把y=代入得(x-180)·=2 400,
解得x=300,
經檢驗,x=300是原方程的解,
∴單價應定為300元.
11. 【答案】　0.24
【解析】由題意可得I=,∵當電阻為30 Ω時,通過燈泡的電流強度為0.40 A,∴U=30×0.40=12(V),∴I=,當電阻為50 Ω時,I==0.24(A).
12．【答案】　m<-16
【解析】　∵A(-14,y1),B(-15,y2)兩點在雙曲線y=上,
且-15<-14<0,y1>y2,
∴在每個象限內,y隨x的增大而增大,
∴m+16<0,解得m<-16.
13．【答案】　
【解析】　連接CB,由題意可知點A、B關于原點對稱,故O是AB的中點,又Q為AC中點,故OQ是△ABC的中位線,則OQ=BC,故當BC最短時,OQ也最短,當BC⊥x軸時,BC最短,此時BC=2OQ=4,即點B的縱坐標為-4,將點B的縱坐標代入y=6x得-4=6x,解得x=-,故點B的坐標為,∵點B在反比例函數y=(k>0)的圖象上,∴k=-×(-4)=.
14．5 625
15.(1)
(2)平均每天至少要卸80噸貨物
【分析】（1）根據待定系數法求出反比例函數解析式即可；
（2）把代入函數解析式求出函數解析式即可．
【詳解】（1）解：設與的函數解析式為，
依題意得：，，
∴y與x的函數解析式為；
（2）解：把代入得：，
答：平均每天至少要卸80噸貨物．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是求出反比例函數解析式．
16．(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
當x=150噸時,利潤最多,最大利潤2000元.
當x=150噸,Q=-+45=40(元).
17.(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
當x=45時，y最大=1250.
∴每件商品售價定為45元最合適，此銷售利潤最大，為1250元.
18．(1)為整數）
(2)，且x為整數）
(3)水果店2月份銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是720元
【分析】（1）根據表中數據，用待定系數法求函數解析式即可；
（2）根據圖象用待定系數法求函數解析式即可；
（3）根據總利潤等于甲乙兩種水果利潤之和列出函數解析式，根據函數的性質求最值即可．
【詳解】（1）解：設與x之間的函數關系式為 ，
把代入解析式，則 ，
解得，
∴與x之間的函數關系式為為整數）；
（2）解：把代入，得：
，解得 ，
∴與x之間的函數關系式為，且x為整數）；
（3）解：設甲乙兩種水果獲得的總利潤為w，則
，
=
，
對稱軸為直線 ．
∵，
∴當時，w隨x的增大而減小．
∵x為整數，
∴當時，w有最大值，最大值（元），
答：水果店2月份銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是720元．
【點睛】本題考查反比例函數和二次函數的應用，關鍵是用待定系數法求函數解析式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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