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/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)
專題1.3 絕對(duì)值
1. 從數(shù)形兩方面理解絕對(duì)值的意義（代數(shù)意義和幾何意義）；
2. 會(huì)求已知數(shù)的絕對(duì)值及已知絕對(duì)值求未知數(shù)；體會(huì)分類討論思想；
3. 運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性解決問題；
4. 能利用絕對(duì)值的幾何意義求最值，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.求已知數(shù)的絕對(duì)值 2
考點(diǎn)2.已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù) 3
考點(diǎn)3.絕對(duì)值的概念與意義辨析 4
考點(diǎn)4.絕對(duì)值的非負(fù)性 5
考點(diǎn)5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值 6
考點(diǎn)6.絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用 7
考點(diǎn)7.絕對(duì)值的幾何意義求最值 10
模塊3：能力培優(yōu) 14
1.絕對(duì)值
1）絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，記作。
2）絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
3）絕對(duì)值的代數(shù)意義：
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理為：，或，或。
4）絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或．即：。
3.歸納： ①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是：非負(fù)數(shù)；②絕對(duì)值大于它本身的數(shù)是：負(fù)數(shù)；
③絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是：非正數(shù)；④絕對(duì)值最小的有理數(shù)是：0；
⑤絕對(duì)值最小的正整數(shù)是：1；⑥絕對(duì)值最小的負(fù)整數(shù)是：-1。
考點(diǎn)1.求已知數(shù)的絕對(duì)值
【解題方法】數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，。
例1．（2024·江蘇連云港·二模）2024相反數(shù)的絕對(duì)值是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】本題考查了相反數(shù)與絕對(duì)值，先求出2024的相反數(shù)，再求出相反數(shù)的絕對(duì)值即可，熟練掌握相反數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：2024的相反數(shù)為，的絕對(duì)值為2024，
2024相反數(shù)的絕對(duì)值是2024，故選：C．
變式1．（23-24七年級(jí)·廣東·期末）若，則 ．
【答案】
【詳解】本題考查了不等式的性質(zhì)與絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是熟知：①在不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；②正數(shù)的絕對(duì)值是其本身．
根據(jù)不等式的性質(zhì)與絕對(duì)值的意義進(jìn)行變形與化簡(jiǎn)即可．
解：∵，∴，∴．故答案為：．
變式2．（2024·廣西欽州·一模）的絕對(duì)值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：的絕對(duì)值是，故選：A．
考點(diǎn)2.已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù)
【解題方法】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。
根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，解方程即可。
例1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，則這個(gè)數(shù)是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查相反數(shù)，絕對(duì)值，根據(jù)相反數(shù)和絕對(duì)值的定義即可求解．
【詳解】∵一個(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，即，
∴，∴．故選：D．
例2．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則x的值為 ．
【答案】8或2/2或8
【分析】本題考查了絕對(duì)值方程，根據(jù)絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有2個(gè)求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
∴或，∴或2．故答案為：8或2．
變式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）絕對(duì)值等于的數(shù)是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】本題考查了絕對(duì)值．熟練掌握絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可．
【詳解】解：由題意知，絕對(duì)值等于的數(shù)是或，故選：C．
變式2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若，則 ．
【答案】3或
【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，正確熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
直接取絕對(duì)值即可．
【詳解】解：；；
∴或．故答案為：3或.
變式3．（23-24七年級(jí)上·江蘇無錫·期中）已知，則 ．
【答案】2或0/0或2
【分析】本題考查絕對(duì)值方程，解題的關(guān)鍵是熟記絕對(duì)值的意義．
根據(jù)絕對(duì)值的意義即可求解．
【詳解】∵∴或∴或0．故答案為：2或0．
考點(diǎn)3.絕對(duì)值的概念與意義辨析
【解題方法】絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。
例1．（2023·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值的點(diǎn)的位置，只能在數(shù)軸上（　　）
A．原點(diǎn)兩旁 B．任何一點(diǎn) C．原點(diǎn)右邊 D．原點(diǎn)或其右邊
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及絕對(duì)值的定義解答即可．
【詳解】解：∵任何非數(shù)的絕對(duì)值都大于，∴任何非數(shù)的絕對(duì)值所表示的數(shù)總在原點(diǎn)的右側(cè)，
∵的絕對(duì)值是0，∴的絕對(duì)值表示的數(shù)在原點(diǎn)．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值及數(shù)軸的定義，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識(shí)：（1）數(shù)軸上原點(diǎn)右邊表示的數(shù)都大于，原點(diǎn)左邊表示的數(shù)都小于；（2）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，的絕對(duì)值是．
例2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查絕對(duì)值的代數(shù)意義，由題意確定的符號(hào)，由絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)即可得到答案，熟記絕對(duì)值的代數(shù)意義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，，則，
，故答案為：．
變式1．（2023·河北保定·校考模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．相反數(shù)是它本身的數(shù)是 B．絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正數(shù)
C．的絕對(duì)值是它本身 D．有理數(shù)的相反數(shù)仍是有理數(shù)
【答案】B
【分析】依次判斷各個(gè)說法即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：絕對(duì)值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)（0和正數(shù)），故B錯(cuò)誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)和絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．
變式2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）若，則是（ ）
A．非負(fù)數(shù) B．負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．非正數(shù)
【答案】D
【分析】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：，為非正數(shù)，故選：D．
考點(diǎn)4.絕對(duì)值的非負(fù)性
【解題方法】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若，則=0且=0．（2）。
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知b、c滿足，則的值是 ．
【答案】//
【分析】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)，得到,
代入計(jì)算即可．
【詳解】∵，∴，∴，
故答案為：或或．
例2．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）如果x為有理數(shù)，式子存在最大值，那么這個(gè)式子有最 值是 ，此
【答案】 大 2021 3
【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握若a為有理數(shù)，則有是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可．
【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為0，
∴的最大值為2021，此時(shí)．故答案為：大；2021；3．
變式1．（23-24七年級(jí)·浙江·期中）若，則 ， ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>所以，所以．故答案為：，．
變式2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可解答．
【詳解】解：∵，∴，
∴的最小值為4，故答案為：4．
考點(diǎn)5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值
【解題方法】絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）；③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變； 括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；④化簡(jiǎn)。
注意：注意改絕對(duì)值符號(hào)時(shí)與去括號(hào)時(shí)是否需要變號(hào)，且變號(hào)的正確性。
例1．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）若，互為相反數(shù)，則 ； ．
【答案】
【分析】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值；根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)可得到，再代入中即可求解；根據(jù)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，即可求解．
【詳解】解：∵，互為相反數(shù)，∴，∴，
∵，∴，故答案為：，．
例2．（2023·河南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：
(1)比較大小（填“”或“”號(hào)）．①______；② ______；③______；
(2)化簡(jiǎn)：．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的特點(diǎn)，比較大小．
（2）利用絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)．
【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：；；；
（2）解： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的簡(jiǎn)單應(yīng)用，做題關(guān)鍵要掌握實(shí)數(shù)的大小比較，去絕對(duì)值．
變式1．（23-24七年級(jí)·上海·期中）若有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)： ．
【答案】
【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負(fù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，由數(shù)軸得出，，從而得出，，，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得出答案，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，，，，
，故答案為：．
變式2.（23-24七年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，先根據(jù)題意確定，然后化簡(jiǎn)絕對(duì)值后合并解題即可．
【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．
考點(diǎn)6.絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用
【解題方法】常見三種應(yīng)用：
1）質(zhì)量問題，絕對(duì)值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；
2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時(shí)是各數(shù)的絕對(duì)值，與數(shù)的正負(fù)性無關(guān)；
3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，原數(shù)減去移動(dòng)的距離；點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，原數(shù)加上移動(dòng)的距離。
例1．（2023·浙江金華·七年級(jí)校考期中）小楊同學(xué)檢測(cè)了4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】比較各個(gè)足球克數(shù)的絕對(duì)值，絕對(duì)值最小的足球最接近標(biāo)準(zhǔn)，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>由于最小，所以從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)工件的是C．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用，理解從輕重的角度看，絕對(duì)值最小的物品最接近標(biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．
例2．（23-24七年級(jí)上·湖南永州·階段練習(xí)）小蟲從某地點(diǎn)0出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的路程依次為（單位：厘米）
，問：(1)小蟲是否回到原點(diǎn)0？
(2)爬行過程中，如果每爬行1厘米獎(jiǎng)勵(lì)5粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？
【答案】(1)小蟲沒有回到原點(diǎn)(2)小蟲可得到315粒芝麻
【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用：（1）利用有理數(shù)的加法，即可求解；
（2）利用加法先求出總距離，再乘以每爬行1厘米獎(jiǎng)勵(lì)5粒芝麻即可求解；
熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
，
答：小蟲沒有回到原點(diǎn)．
（2）
，
（粒），
答：小蟲可得到315粒芝麻．
變式1．（2024·吉林四平·二模）從一批湯圓中挑選4個(gè)湯圓編號(hào)后進(jìn)行稱重檢查，結(jié)果如下（超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，單位：g），其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
編號(hào) 1 2 3 4
檢查結(jié)果
A．1號(hào)湯圓 B．2號(hào)湯圓 C．3號(hào)湯圓 D．4號(hào)湯圓
【答案】B
【分析】本題考查了正數(shù)負(fù)數(shù)、絕對(duì)值的意義，根據(jù)絕對(duì)值越小的數(shù)最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：依題意，，
∵，∴其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是2號(hào)湯圓，故選：B．
變式2．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽·期中）科博會(huì)期間，出租車司機(jī)小李某天上午營運(yùn)時(shí)是在九洲體育館門口出發(fā)，沿東西走向的大街上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午所接送位乘客的行車?yán)锍蹋▎挝唬海┤缦拢海?br/>(1)將最后一位乘客送到目的地時(shí)，小李在什么位置？
(2)若汽車消耗天然氣量為，這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣多少立方米？
(3)若出租車起步價(jià)為元，起步里程為（包括，超過部分每千米元，問小李這天上午共得車費(fèi)多少元？
【答案】(1)小李在九洲體育館門口西邊處；(2)立方米；(3)元．
【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘法運(yùn)算；
（）求出這幾個(gè)數(shù)的和，根據(jù)符號(hào)、絕對(duì)值判斷位置；
（）求出所有數(shù)的絕對(duì)值的和，即行駛的總路程，進(jìn)而求出用氣量；
（）八名顧客均有起步價(jià)，再求出超出的加價(jià)即可求出總車費(fèi)．
【詳解】（1）由，
∴小李在九洲體育館門口西邊處；
（2）由，
∴共消耗天然氣（立方米），
答：共消耗天然氣立方米；
（3）
，
，
（元），
答：小李這天上午共得車費(fèi)元．
考點(diǎn)7.絕對(duì)值的幾何意義求最值
【解題方法】幾何意義：表示x到點(diǎn)a的距離
（1）找零點(diǎn)（分界點(diǎn)）；（2）根據(jù)零點(diǎn)將數(shù)軸分段；（3）利用“數(shù)形結(jié)合”思想，求解絕對(duì)值的值（幾何法）；或者根據(jù)分段情況，分析絕對(duì)值內(nèi)式子的正負(fù)，去絕對(duì)值（代數(shù)法）。
注：（1）一個(gè)式子中有多個(gè)絕對(duì)值式子時(shí)， x前的系數(shù)必須相同才可以用該“數(shù)形結(jié)合”的方法；（2）分段的時(shí)候，切不可遺漏數(shù)軸上的點(diǎn)，也不可重復(fù)討論。
例1.（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）大家知道，，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．類似地，式子在數(shù)軸上的意義是______．
【答案】表示a的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)之間的距離
【分析】利用絕對(duì)值的意義即可求解．
【詳解】解：因?yàn)椋跀?shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離，式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離，
所以式子在數(shù)軸上的意義是表示a的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)之間的距離．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．
例2.（2022·湖南邵陽·七年級(jí)期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記作．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)．如圖所示，則，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：
（1）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).則
（2）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè).則
（3）如圖所示，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，則
回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離_______________．
(2)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_______________．
(3)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_________．如果，則x的值為________．
(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．
【答案】(1)(2)8(3)，(4)7
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的位置即可得出答案；（2）按照數(shù)軸上的位置進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)數(shù)軸進(jìn)行計(jì)算，列方程解絕對(duì)值方程即可；（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
(1)解：綜上所述，數(shù)軸上兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：；
(2)解：數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：8；
(3)解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離
如果，∴，∴或，
解得或，則的值為-2或-8；故答案為；-2或-8；
(4)解若代數(shù)式有最小值，的值即為-5與2兩點(diǎn)間的距離，此時(shí)最小，最小值為|2 （ 5）|＝7，則最小值為7．故答案為7．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對(duì)值，絕對(duì)值方程，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
變式1.（2023 廣西七年級(jí)月考）同學(xué)們都知道，|3﹣（﹣1）|表示3與﹣1之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　．
（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，這樣的整數(shù)是　 　．
【分析】（1）3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離為3﹣（﹣1）＝4；
（2）利用數(shù)軸解決：把|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4理解為：在數(shù)軸上，某點(diǎn)到3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和到﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為4，然后根據(jù)數(shù)軸可寫出滿足條件的整數(shù)x．
【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝4；
（2）式子|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4可理解為：在數(shù)軸上，某點(diǎn)到3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和到﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為4，所以滿足條件的整數(shù)x可為﹣1，0，1，2，3．
故答案為4；﹣1，0，1，2，3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值：若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝﹣a．也考查了數(shù)軸．
變式2．（2023·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒為一常數(shù)，則此值為_________.
【答案】1
【分析】因?yàn)镻 = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒為一常數(shù)，即P的值與x無關(guān)，因此化簡(jiǎn)后不含x項(xiàng)，根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)得出答案．
【詳解】的值恒為一常數(shù)，P的值與x無關(guān)，
,且且且且，，
==1．故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查絕對(duì)值的意義和計(jì)算方法，理解并掌握絕對(duì)值的意義和計(jì)算結(jié)果為常數(shù)的意義是解此題的關(guān)鍵．
變式3．（23-24七年級(jí)上·貴州黔南·期末）知識(shí)理解：同學(xué)們，我們?cè)诮^對(duì)值一節(jié)的學(xué)習(xí)中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫做絕對(duì)值方程．像，，都叫做絕對(duì)值方程，對(duì)于絕對(duì)值方程，我們根據(jù)絕對(duì)值的定義求出未知數(shù)的值．
例如：
（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是5和．
解：因?yàn)椋裕颍?br/>（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是8和．
解：因?yàn)椋裕颍獾茫夯颍?br/>知識(shí)應(yīng)用：
（1）求出下列未知數(shù)的值．；．
（2）知識(shí)探究：直接寫出的最小值．
【答案】（1）①或；②或；（2）2．
【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)、絕對(duì)值的含義、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，明確相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)與數(shù)的距離為個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是和；表示在數(shù)軸上，數(shù)與數(shù)的距離為個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是和．（2）根據(jù)表示數(shù)與表示數(shù)和的點(diǎn)之間的距離之和，當(dāng)表示數(shù)的點(diǎn)處于表示和的點(diǎn)之間時(shí)，距離最小，可得答案．
【詳解】解：（1）①因?yàn)椋?br/>所以或，解得：或；
因?yàn)椋曰颍獾茫夯颍?br/>（2）表示數(shù)與表示數(shù)和的點(diǎn)之間的距離之和，
當(dāng)a在3和5之間時(shí)距離之后最小，最小值為2，
的最小值是．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·廣西南寧·二模）2024的絕對(duì)值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟練掌握一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)絕對(duì)值的意義解答即可；
【詳解】解：2024的絕對(duì)值是2024，故選：A．
2．（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖所示，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及絕對(duì)值的意義，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：依題意，得，，，
∵∴最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是“”，故選：C．
3．（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．0 C．正數(shù) D．非負(fù)數(shù)
【答案】D
【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟知正數(shù)和0的絕對(duì)值都等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，正數(shù)和0的絕對(duì)值都等于它本身，即非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，
故選：D．
4．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）相反數(shù)與絕對(duì)值相等的數(shù)是（ ）
A．非正數(shù) B．非負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．負(fù)數(shù)
【答案】A
【分析】本題考查了相反數(shù)的定義、絕對(duì)值的性質(zhì)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)為正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的為正數(shù)，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：0的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，負(fù)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值相等，0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)，故選：A．
5．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，將實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)；熟練掌握絕對(duì)值的意義和數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．
，，則，，；結(jié)合選項(xiàng)即可求解
【詳解】解：從圖可知，，
∴，，，故、錯(cuò)誤；
∴，故正確，錯(cuò)誤，故選．
6．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級(jí)校考期末）若，則和的關(guān)系為（ ）
A．和相等 B．和互為相反數(shù) C．和相等或互為相反數(shù) D．以上答案都不對(duì)
【答案】C
【分析】由絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)可能相等也可能互為相反數(shù)即可選出答案．
【詳解】解：若，則有，即和相等或互為相反數(shù)．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的相關(guān)性質(zhì)，牢記兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．
7．（2023春·吉林長春·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則a的值可以是（　　）
A．5 B．3 C．1 D．
【答案】A
【分析】利用絕對(duì)值的意義，即可解答．
【詳解】解：，，，的值可以是5，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若x是一個(gè)有理數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．4 D．-2
【答案】C
【分析】根據(jù)判斷在數(shù)軸上的位置，從而判斷和的正負(fù)性，通過絕對(duì)值的非負(fù)性的解出答案.
【詳解】解： 在數(shù)軸上 在的左邊，的右邊
，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)
故答案選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的非負(fù)性，在解題過程中是否能通過已知條件判斷絕對(duì)值里面數(shù)的正負(fù)性是解題的關(guān)鍵.
9．（2024·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若是有理數(shù)，則的值（　　）
A．是負(fù)數(shù) B．是非負(fù)數(shù) C．必是正數(shù) D．無法確定
【答案】B
【分析】分，，三種情況求出的值，即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的值是正數(shù)，
當(dāng)時(shí)，的值是0，當(dāng)時(shí)，的值是0，
綜上分析可知，的值為非負(fù)數(shù)，故B正確．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．
10．（2024七年級(jí)·廣東·培優(yōu)）使成立的條件是（ ）．
A．為任意數(shù) B． C． D．
【答案】D
【分析】分，，三種情況，結(jié)合絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值，看等號(hào)是否恒成立，從而得出答案．
本題主要考查了含絕對(duì)值符號(hào)的等式．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分類討論．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，等式化為：，成立；
當(dāng)時(shí)，，，等式化為：，解得：，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，等式化為：，矛盾．
故使成立的條件是：．故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于的所有整數(shù)有 個(gè)．
【答案】7
【分析】本題考查了絕對(duì)值、整數(shù)的知識(shí)．根據(jù)絕對(duì)值、相反數(shù)、整數(shù)、的性質(zhì)求解，即可得到答案．
【詳解】解：絕對(duì)值小于的整數(shù)是：，共7個(gè)．故答案為：7．
12．（2022 海淀區(qū)七年級(jí)月考）|﹣8|＝　 　，絕對(duì)值等于4的數(shù)是　 　．
【分析】利用絕對(duì)值的定義以及相反數(shù)的定義分析的分析得出答案．
【答案】解：|﹣8|＝8；絕對(duì)值等于4的數(shù)是：±4．故答案為：8，±4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值和相反數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
13．（23-24七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）a是最大的負(fù)整數(shù)，且a、b、c滿足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【答案】 1 5
【分析】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，先根據(jù)已知條件得到a的值，然后根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得到b、c的值，掌握絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵a是最大的負(fù)整數(shù)，∴，
∵，∴，，
∴，，∴，，解得：，
∴，故答案為：．
14．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了利用數(shù)軸進(jìn)行絕對(duì)值的化簡(jiǎn)計(jì)算，數(shù)形結(jié)合、明確絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，是解題的關(guān)鍵．
先由數(shù)軸可得：，，再根據(jù)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則計(jì)算即可．
【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，
．故答案為：．
15．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）若，則的值為 ．
【答案】3或．
【分析】本題主要考查的是絕對(duì)值，熟知互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等是解題的關(guān)鍵．先去絕對(duì)值符號(hào)，再求出x的值即可．
【詳解】解：∵，∴，∴或．故答案為：3或．
16．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后運(yùn)動(dòng)的路程共有 ．（保留）

【答案】
【分析】計(jì)算出這些數(shù)的絕對(duì)值的和，再乘以周長，即可求出路程．本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值、絕對(duì)值的應(yīng)用和圓的周長公式的應(yīng)用，正確審題并計(jì)算出絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解： 圓的周長為：
，，故答案為：
17．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）當(dāng) 時(shí)，的值最小．
【答案】
【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，，當(dāng)取最小值時(shí)候，的值最小，據(jù)此可求解．
【詳解】解：∵∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
此時(shí)，,故答案是：．
18．（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，以及采用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性以及題意，可知當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，分類討論計(jì)算即可．
【詳解】解：a、b、c是整數(shù)，，是整數(shù)，
，又，
時(shí)，則或時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，則，；
當(dāng)時(shí)，則，；
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，則，，
綜上可得：，故答案為：1．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）。
19．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）出租車司機(jī)李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載八批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)（單位：千米）．
(1)李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的什么方向？距離多少千米？
(2)這時(shí)間段李師傅開車的平均速度是多少千米每小時(shí)？
【答案】(1)在出發(fā)地東方，距離6千米(2)平均速度為千米/小時(shí)
【分析】此題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，（1）把記錄的數(shù)字相加即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)路程÷速度=時(shí)間即可求解．
【詳解】（1）解：（千米），
答：李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的東方，距離6千米；
（2）解：（千米/小時(shí)），
答：平均速度為千米/小時(shí)．
20．（2023·湖北·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示．
（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）1；（2）1
【分析】（1）先代入數(shù)值，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)求解即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義、去括號(hào)、合并即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)
原式
（2）根據(jù)如圖所示數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知：，
∴，，，，
原式
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減、數(shù)軸、以及絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各自的定義．
21．（23-24七年級(jí)·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．
(2)化簡(jiǎn)：．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，掌握利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)成為解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)數(shù)軸取得a、b、c的大小關(guān)系，然后再確定所求代數(shù)式的正負(fù)即可；
（2）根據(jù)（1）所的代數(shù)式的正負(fù)取絕對(duì)值，然后再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，
則．
故答案為：，，．
（2）解：∵，
∴
．
22．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，即，也可以說，|x|表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示數(shù)軸上數(shù)x1與數(shù)x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．
例1：已知，求x的值．
解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為和2，所以x的值為或2．
例2：已知，求x的值．
解：在數(shù)軸上與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為3和，所以x的值為3或．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
(1)；(2)．
【答案】(1)x的值為或3；(2)x的值為6或．
【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，及利用兩點(diǎn)之間的距離解絕對(duì)值方程，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．（1）可表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，據(jù)此求解可得；
（2）可表示數(shù)軸上與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，據(jù)此求解可得．
【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)為和3，所以x的值為或3；
（2）解：∵在數(shù)軸上與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為4的點(diǎn)表示的數(shù)為6和，所以x的值為6或．
23．（2023·浙江·七年級(jí)期中）閱讀材料：數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這樣能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決一些問題例如：數(shù)軸上表示5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離為|5﹣2|＝3，數(shù)軸上表示5的點(diǎn)與表示﹣2的點(diǎn)之間的距離為|5﹣（﹣2）|＝7
[理解]（1）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是 ，點(diǎn)B表示的數(shù)是 ，A，B兩點(diǎn)之間的距離 ．
（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在數(shù)軸上的意義為表示 的點(diǎn)與表示 的點(diǎn)之間的距離為2
[歸納]（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示有理數(shù)a，點(diǎn)B表示有理數(shù)b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離可表示為 ．
[應(yīng)用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，則滿足條件的x的值為 ．
【答案】（1）-3；2；5；（2）-8；-6；（3）；（4）-6或4
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)求解即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可；
（3）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可；
（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論即可，分，，計(jì)算即可；
【詳解】（1）由已知數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，A，B兩點(diǎn)之間的距離；
故答案是：；2；5；
（2）它在數(shù)軸上的意義為表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離為2；
故答案是；；
（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示有理數(shù)a，點(diǎn)B表示有理數(shù)b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離可表示為；
故答案是：；
（4）當(dāng)時(shí)，原式，解得；
當(dāng)時(shí)，原式，故不存在；
當(dāng)時(shí)，原式，解得；
滿足條件的x的值為-6或4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)的表示，絕對(duì)值的意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
24．（23-24七年級(jí)上·新疆·期中）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于相應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值，如2與3的距離可表示為，2與的距離可表示為
(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 　　；如果，則x為 　　；
(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．
(4)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，x的值為 　　．
【答案】(1)5，6(2)，2或(3)0(4)2
【分析】本題考查數(shù)軸與絕對(duì)值幾何意義與應(yīng)用．
（1）根據(jù)題目所舉例子進(jìn)行計(jì)算即可；（2）仿照題干所舉例子進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù)數(shù)軸可知，，，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：，．故答案為：5，6；
（2）解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，
，則或，即或．故答案為：，2或；
（3）解：由數(shù)軸可知，，，，
則|；
（4）解：代數(shù)式的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示，2，3的三點(diǎn)的距離之和，顯然只有當(dāng)時(shí)，距離之和才是最小，則取最小值時(shí)，x的值為2；
故答案為：2．
25．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：學(xué)習(xí)了|a|為數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，小凡所在數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A，B之間的距離進(jìn)行了探究：
（1）利用數(shù)軸可知5與1兩點(diǎn)之間距離是 　 　；一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為 　 　．
問題探究：（2）請(qǐng)求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
問題解決：（3）如圖在十四運(yùn)的場(chǎng)地建設(shè)中有一條直線主干道L，L旁依次有3處防疫物資放置點(diǎn)A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，現(xiàn)在設(shè)計(jì)在主干道L旁修建防疫物資配發(fā)點(diǎn)P，問P建在直線L上的何處時(shí)，才能使得配發(fā)點(diǎn)P到三處放置點(diǎn)路程之和最短？最短路程是多少？
【答案】（1）4，；（2）2；（3）B，2000米，
【分析】（1）數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)距離為4，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為；
（2）|x﹣3|+|x﹣5|表示的點(diǎn)到3和5兩點(diǎn)距離和，由到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離即可；
（3）到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離．
【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)距離為4，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為；
故答案為：4，；
（2）∵|x﹣3|表示x的點(diǎn)到3的點(diǎn)的距離，|x﹣5|表示x的點(diǎn)到5的點(diǎn)的距離，
到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離，
∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值為，
（3）∵到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離，
∴當(dāng)配發(fā)點(diǎn)P在點(diǎn)B時(shí)，到三處放置點(diǎn)路程之和最短；
即：最小距離和=AB+BC= 800米+1200米=2000米．
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值及數(shù)軸上點(diǎn)距離，題目難度較大，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，理解絕對(duì)值的幾何意義．
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專題1.3 絕對(duì)值
1. 從數(shù)形兩方面理解絕對(duì)值的意義（代數(shù)意義和幾何意義）；
2. 會(huì)求已知數(shù)的絕對(duì)值及已知絕對(duì)值求未知數(shù)；體會(huì)分類討論思想；
3. 運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性解決問題；
4. 能利用絕對(duì)值的幾何意義求最值，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.求已知數(shù)的絕對(duì)值 2
考點(diǎn)2.已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù) 3
考點(diǎn)3.絕對(duì)值的概念與意義辨析 4
考點(diǎn)4.絕對(duì)值的非負(fù)性 5
考點(diǎn)5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值 6
考點(diǎn)6.絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用 7
考點(diǎn)7.絕對(duì)值的幾何意義求最值 10
模塊3：能力培優(yōu) 14
1.絕對(duì)值
1）絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，記作。
2）絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
3）絕對(duì)值的代數(shù)意義：
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理為：，或，或。
4）絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或．即：。
3.歸納： ①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是：非負(fù)數(shù)；②絕對(duì)值大于它本身的數(shù)是：負(fù)數(shù)；
③絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是：非正數(shù)；④絕對(duì)值最小的有理數(shù)是：0；
⑤絕對(duì)值最小的正整數(shù)是：1；⑥絕對(duì)值最小的負(fù)整數(shù)是：-1。
考點(diǎn)1.求已知數(shù)的絕對(duì)值
【解題方法】數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，。
例1．（2024·江蘇連云港·二模）2024相反數(shù)的絕對(duì)值是（ ）
A． B． C．2024 D．
變式1．（23-24七年級(jí)·廣東·期末）若，則 ．
變式2．（2024·廣西欽州·一模）的絕對(duì)值是（ ）
A．2 B． C． D．
考點(diǎn)2.已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù)
【解題方法】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。
根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，解方程即可。
例1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，則這個(gè)數(shù)是（　　）
A．3 B． C． D．
例2．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則x的值為 ．
變式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）絕對(duì)值等于的數(shù)是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不對(duì)
變式2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若，則 ．
變式3．（23-24七年級(jí)上·江蘇無錫·期中）已知，則 ．
考點(diǎn)3.絕對(duì)值的概念與意義辨析
【解題方法】絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。
例1．（2023·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值的點(diǎn)的位置，只能在數(shù)軸上（　　）
A．原點(diǎn)兩旁 B．任何一點(diǎn) C．原點(diǎn)右邊 D．原點(diǎn)或其右邊
例2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，則 ．
變式1．（2023·河北保定·校考模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．相反數(shù)是它本身的數(shù)是 B．絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正數(shù)
C．的絕對(duì)值是它本身 D．有理數(shù)的相反數(shù)仍是有理數(shù)
變式2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）若，則是（ ）
A．非負(fù)數(shù) B．負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．非正數(shù)
考點(diǎn)4.絕對(duì)值的非負(fù)性
【解題方法】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若，則=0且=0．（2）。
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知b、c滿足，則的值是 ．
例2．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）如果x為有理數(shù)，式子存在最大值，那么這個(gè)式子有最 值是 ，此 。
變式1．（23-24七年級(jí)·浙江·期中）若，則 ， ．
變式2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為 ．
考點(diǎn)5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值
【解題方法】絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）；③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變； 括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；④化簡(jiǎn)。
注意：注意改絕對(duì)值符號(hào)時(shí)與去括號(hào)時(shí)是否需要變號(hào)，且變號(hào)的正確性。
例1．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）若，互為相反數(shù)，則 ； ．
例2．（2023·河南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：
(1)比較大小（填“”或“”號(hào)）．①______；② ______；③______；
(2)化簡(jiǎn)：．
變式1．（23-24七年級(jí)·上海·期中）若有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)： ．
變式2.（23-24七年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）若，則 ．
考點(diǎn)6.絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用
【解題方法】常見三種應(yīng)用：
1）質(zhì)量問題，絕對(duì)值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；
2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時(shí)是各數(shù)的絕對(duì)值，與數(shù)的正負(fù)性無關(guān)；
3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，原數(shù)減去移動(dòng)的距離；點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，原數(shù)加上移動(dòng)的距離。
例1．（2023·浙江金華·七年級(jí)校考期中）小楊同學(xué)檢測(cè)了4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年級(jí)上·湖南永州·階段練習(xí)）小蟲從某地點(diǎn)0出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的路程依次為（單位：厘米）
，問：(1)小蟲是否回到原點(diǎn)0？
(2)爬行過程中，如果每爬行1厘米獎(jiǎng)勵(lì)5粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？
變式1．（2024·吉林四平·二模）從一批湯圓中挑選4個(gè)湯圓編號(hào)后進(jìn)行稱重檢查，結(jié)果如下（超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，單位：g），其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
編號(hào) 1 2 3 4
檢查結(jié)果
A．1號(hào)湯圓 B．2號(hào)湯圓 C．3號(hào)湯圓 D．4號(hào)湯圓
變式2．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽·期中）科博會(huì)期間，出租車司機(jī)小李某天上午營運(yùn)時(shí)是在九洲體育館門口出發(fā)，沿東西走向的大街上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午所接送位乘客的行車?yán)锍蹋▎挝唬海┤缦拢海?br/>(1)將最后一位乘客送到目的地時(shí)，小李在什么位置？
(2)若汽車消耗天然氣量為，這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣多少立方米？
(3)若出租車起步價(jià)為元，起步里程為（包括，超過部分每千米元，問小李這天上午共得車費(fèi)多少元？
考點(diǎn)7.絕對(duì)值的幾何意義求最值
【解題方法】幾何意義：表示x到點(diǎn)a的距離
（1）找零點(diǎn)（分界點(diǎn)）；（2）根據(jù)零點(diǎn)將數(shù)軸分段；（3）利用“數(shù)形結(jié)合”思想，求解絕對(duì)值的值（幾何法）；或者根據(jù)分段情況，分析絕對(duì)值內(nèi)式子的正負(fù)，去絕對(duì)值（代數(shù)法）。
注：（1）一個(gè)式子中有多個(gè)絕對(duì)值式子時(shí)， x前的系數(shù)必須相同才可以用該“數(shù)形結(jié)合”的方法；（2）分段的時(shí)候，切不可遺漏數(shù)軸上的點(diǎn)，也不可重復(fù)討論。
例1.（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）大家知道，，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．類似地，式子在數(shù)軸上的意義是______．
例2.（2022·湖南邵陽·七年級(jí)期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記作．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)．如圖所示，則，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：
（1）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).則
（2）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè).則
（3）如圖所示，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，則
回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離_______________．
(2)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_______________．
(3)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_________．如果，則x的值為________．
(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．
變式1.（2023 廣西七年級(jí)月考）同學(xué)們都知道，|3﹣（﹣1）|表示3與﹣1之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　．
（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，這樣的整數(shù)是　 　．
變式2．（2023·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒為一常數(shù)，則此值為_________.
變式3．（23-24七年級(jí)上·貴州黔南·期末）知識(shí)理解：同學(xué)們，我們?cè)诮^對(duì)值一節(jié)的學(xué)習(xí)中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫做絕對(duì)值方程．像，，都叫做絕對(duì)值方程，對(duì)于絕對(duì)值方程，我們根據(jù)絕對(duì)值的定義求出未知數(shù)的值．
例如：
（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是5和．
解：因?yàn)椋裕颍?br/>（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個(gè)單位長度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是8和．
解：因?yàn)椋裕颍獾茫夯颍?br/>知識(shí)應(yīng)用：
（1）求出下列未知數(shù)的值．；．
（2）知識(shí)探究：直接寫出的最小值．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·廣西南寧·二模）2024的絕對(duì)值是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖所示，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．0 C．正數(shù) D．非負(fù)數(shù)
4．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）相反數(shù)與絕對(duì)值相等的數(shù)是（ ）
A．非正數(shù) B．非負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．負(fù)數(shù)
5．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，將實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級(jí)校考期末）若，則和的關(guān)系為（ ）
A．和相等 B．和互為相反數(shù) C．和相等或互為相反數(shù) D．以上答案都不對(duì)
7．（2023春·吉林長春·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則a的值可以是（　　）
A．5 B．3 C．1 D．
8．（2023秋·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若x是一個(gè)有理數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．4 D．-2
9．（2024·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若是有理數(shù)，則的值（　　）
A．是負(fù)數(shù) B．是非負(fù)數(shù) C．必是正數(shù) D．無法確定
10．（2024七年級(jí)·廣東·培優(yōu)）使成立的條件是（ ）．
A．為任意數(shù) B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于的所有整數(shù)有 個(gè)．
12．（2022 海淀區(qū)七年級(jí)月考）|﹣8|＝　 　，絕對(duì)值等于4的數(shù)是　 　．
13．（23-24七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）a是最大的負(fù)整數(shù)，且a、b、c滿足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ．
14．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖，則 ．
15．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）若，則的值為 ．
16．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后運(yùn)動(dòng)的路程共有 ．（保留）

17．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）當(dāng) 時(shí)，的值最小．
18．（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且，則 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）。
19．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）出租車司機(jī)李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載八批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)（單位：千米）．
(1)李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的什么方向？距離多少千米？
(2)這時(shí)間段李師傅開車的平均速度是多少千米每小時(shí)？
20．（2023·湖北·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示．
（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；
（2）化簡(jiǎn)：．
21．（23-24七年級(jí)·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．
(2)化簡(jiǎn)：．
22．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，即，也可以說，|x|表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示數(shù)軸上數(shù)x1與數(shù)x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．
例1：已知，求x的值．
解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為和2，所以x的值為或2．
例2：已知，求x的值．
解：在數(shù)軸上與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為3和，所以x的值為3或．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
(1)；(2)．
23．（2023·浙江·七年級(jí)期中）閱讀材料：數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這樣能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決一些問題例如：數(shù)軸上表示5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離為|5﹣2|＝3，數(shù)軸上表示5的點(diǎn)與表示﹣2的點(diǎn)之間的距離為|5﹣（﹣2）|＝7
[理解]（1）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是 ，點(diǎn)B表示的數(shù)是 ，A，B兩點(diǎn)之間的距離 ．
（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在數(shù)軸上的意義為表示 的點(diǎn)與表示 的點(diǎn)之間的距離為2
[歸納]（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示有理數(shù)a，點(diǎn)B表示有理數(shù)b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離可表示為 ．
[應(yīng)用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，則滿足條件的x的值為 ．
24．（23-24七年級(jí)上·新疆·期中）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于相應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值，如2與3的距離可表示為，2與的距離可表示為
(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 　　；如果，則x為 　　；
(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．
(4)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，x的值為 　　．
25．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：學(xué)習(xí)了|a|為數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，小凡所在數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A，B之間的距離進(jìn)行了探究：
（1）利用數(shù)軸可知5與1兩點(diǎn)之間距離是 　 　；一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間距離為 　 　．
問題探究：（2）請(qǐng)求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
問題解決：（3）如圖在十四運(yùn)的場(chǎng)地建設(shè)中有一條直線主干道L，L旁依次有3處防疫物資放置點(diǎn)A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，現(xiàn)在設(shè)計(jì)在主干道L旁修建防疫物資配發(fā)點(diǎn)P，問P建在直線L上的何處時(shí)，才能使得配發(fā)點(diǎn)P到三處放置點(diǎn)路程之和最短？最短路程是多少？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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