資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.1 比例線段 導學案
（一）學習目標：
1.借助幾何圖形，直觀理解成比例線段的概念。了解線段的比和比例線段的區別和聯系，了解線段的比例中項。
2.掌握比例的基本性質，合比性質，等比性質，并會靈活運用。了解黃金分割和黃金數(比)鞏固“k”法解答問題的廣泛性。
3.理解平行線分線段成比例這個基本事實，及其推論。能利用這個基本事實及推論證明線段成比例，并會進行有關計算。在此過程中體會把一個復雜圖形分解成幾個基本圖形。鍛煉識圖能力和推理論證能力。
（二）學習重難點：
重點：掌握比例的基本性質，合比性質，等比性質，并會靈活運用。
難點：了解線段的比和比例線段的區別和聯系，了解線段的比例中項。
閱讀課本，識記知識：
線段的比和成比例線段
（1）在同一單位下，兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比；
（2）在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。
2.比例尺
在地圖或工程圖紙上，圖上長度與實際長度的比值稱為比例尺。
【注意】：比例尺實際上是兩條線段的比，表示一個比例尺時順序不能顛倒，必須是圖上距離與實際距離的比，另外，在求比例尺時，圖上長度與實際長度的單位必須統一，這時容易出錯的地方。
3.比例的基本性質
（1）比例的基本性質：如果，那么；反過來，如果，那么。
（2）在比例式中，如果，那么。我們把叫做的比例中項。
（3）比例還有如下重要的性質：
（1） （2）
4.黃金分割
如圖所示。點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點B黃金分割，點B為線段AC的黃金分割點。AB與AC（或BC與AB）的比值稱為黃金比。在計算中，通常取它的近似值0.618。
黃金三角形
頂角為36的等腰三角形稱為黃金三角形，如在中，∠A=36，AB=AC,它具有如下的性質：
;
設BD是∠ABC底角的平分線，則也是黃金三角形，且點D是線段AC的黃金分割點；
如果再作∠C的平分線，交BD于點E，則也是黃金三角形，如此連續下去，可得到一串黃金三角形。
【例1】如圖，線段，那么等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了線段的比，設，則，，據此即可求解．
【詳解】解：設，則，，
∴，
故選：D．
【例2】 如圖，在正方形中，E，F分別為的中點，與相交于點P，連接，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，等腰三角形的判定和性質，過點作，證明，推出，進而得到，平行線分線段分比例推出，根據全等三角形對應邊上的高線相等，得到，進而得到，得到為等腰直角三角形，得到即可．
【詳解】解：過點作，

∵正方形，
∴，
∵E，F分別為的中點，
∴，
∴，
∴，（對應邊上的高線相等）
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選：C．
選擇題
1．在一幅地圖上，用表示，這幅地圖的比例尺為（ ）
A． B． C． D．
2．2023年11月24日，“中國名酒，黃鶴樓”——渦陽首屆群星演唱會．雪峰蜜桔節文藝表演舞臺長為36米，主持人站在的黃金分割點C處自然得體．已知，則（ ）米．
A． B． C． D．
3．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
4．根據，可以組成的比例有（ ）
A． B． C． D．
5．已知線段成比例，且，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在半徑為2的扇形中，，點P是線段上一動點，點Q為線段的中點，射線交于點C，當線段最短時，的長為（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，在中，點在邊上，連接，點在邊上，過點作，交于點，過點作，交于點，則下列式子一定正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在中，，，，則等于（　?。?br/>A．10 B．8 C．9 D．6
9．在中，點分別在邊、上，下列比例式中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10.如圖，已知點C，D都是線段的黃金分割點，如果，那么的長度是（　　）
A． B． C． D．
填空題
11．為了將優質教育資源更好的惠及廣大人民群眾，某校設有鳳凰路校區與春暉路校區，楊老師欲從鳳凰路校區騎行去春暉路校區，用手機上的地圖軟件搜索時，顯示兩個校區間騎行的實際路程為，當地圖上比例尺由變為時，則地圖上兩個校區的路程增加了 ．
12．如果線段c是a、b的比例中項，且，，則 ．
13．如圖，在中，，按以下步驟作圖：分別以點A和點C為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，直線交邊于點D．連接．若，，則的長為 ．
14．如圖，已知，它們依次交直線、于點A、B、C和點D、E、F，如果，，那么線段的長是 ．
15．在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是 （結果精確到．參考數據：，，）．
三、解答題
16．對如圖，在中，是斜邊上的高線． 找出一組比例線段，并說明理由．
17.如圖，已知，它們依次交直線，于點A，B，C和點D，E，F．如果，，，求的長．
18.如圖，在梯形中，，，對角線相交于點，設，．
(1)試用，的式子表示向量；
(2)在圖中作出向量在方向上的分向量，并寫出結論．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1．D
【分析】本題考查比例尺，解題的關鍵是掌握：比例尺圖上距離實際距離，根據題意代入數據可直接得出這張地圖的比例尺，注意單位要統一．
【詳解】解：∵，
∴這幅地圖的比例尺為．
故選：D．
2．D
【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義進行計算，即可解答．
【詳解】解：點是的黃金分割點，且，米，
米，
故選：D．
3．D
【分析】若線段a，b，c，d，滿足，稱線段a，b，c，d為成比例的線段，根據定義計算判斷可．
本題考查了成比例線段，熟練掌握定義，準確計算是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴A不符合題意；
∵，
∴B不符合題意；
∵，
∴C不符合題意；
∵，
∴D符合題意；
故選D．
4．A
【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．根據比例的性質，進行計算即可解答．
【詳解】解：，
，
故選：A．
5．A
【分析】本題考查了比例線段，根據線段成比例，可得，由可得，把，代入比例式計算即可求解，掌握成比例線段的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵線段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故選：．
6．B
【分析】本題考查垂線段最短，等邊三角形的判定及性質，弧長公式．
由垂線段最短可得當時，最短．此時，由點Q是的中點，可得，從而證得，得到，根據弧長公式即可解答．
【詳解】解：如圖，當時，最短．

連接，，
∵，即，
又，
∴，
∴，
∵點Q是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
故選：B
7．A
【分析】本題考查由平行判斷成比例的線段，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．．據此解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
8．D
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據平行可得，問題即可得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故選：D．
9．B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理逐項判斷即可．
【詳解】解：如圖：
A、當時，不能判定，故不符合題意；
B、當時，能判定，故符合題意；
C、當時，不能判定，故不符合題意；
D、當時，不能判定，故不符合題意；
故選：B．
10.C
【分析】本題主要考查了黃金分割，不妨設點C靠近A，點D靠近B，則由黃金分割比例得到，，再由列出方程求解即可．
【詳解】解：∵點C，D都是線段的黃金分割點，
∴不妨設點C靠近A，點D靠近B，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故選：C．
11.
【分析】本題考查了比例尺的運用，掌握比例尺的計算方法是解題的關鍵．
根據進行計算即可求解，計算時注意單位的換算，單位要統一．
【詳解】解：實際路程為，
當比例尺為時，圖示距離為，
當比例尺為時，圖上距離為，
∴，
故答案為： ．
12．
【分析】根據比例中項的定義，列式計算即可．
本題考查了比例中項即，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵線段c是a、b的比例中項，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去），
故答案為：．
13．6
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．設與交于點，由題可知，直線為線段的垂直平分線，根據勾股定理進行計算即可．
【詳解】解：設與交于點，
由題可知，直線為線段的垂直平分線，
，點為的中點，
，
，
，
，
，
點為的中點，
，
，
故答案為：．
14．9
【分析】此題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例性質是解本題的關鍵．由平行得比例，求出的長即可．
【詳解】解：∵，
，
，
，
解得：，
∴，
故答案為：9．
15．
【分析】本題考查黃金分割及分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．
設下部高為，根據雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比列方程可解得答案．
【詳解】解：設下部的高度為，則上部高度是，
雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
，
解得或（舍去），
經檢驗，是原方程的解，
，
故答案為：．
16．見解析
【分析】本題主要考查了成比例線段．根據，即可求解．
【詳解】解：∵在中，是斜邊上的高線，
∴，
∴，
∴ ，
∴是一組比例線段．
17．
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據平行線分線段成比例定理得到，把已知數據代入計算即可；
【詳解】解：，
，即，
．
18．(1)
(2)圖形見解析，向量在方向上的分向量分別為，
【分析】本題考查了平行線分線段成比例、平面向量定理，解決本題的關鍵是掌握平面向量定理．
（1）根據平行線分線段成比例可得，結合平面向量定理即可表示；
（2）根據平面向量定理畫圖即可．
【詳解】（1）解：，，
，
，即，
，，，方向相同，
，
，
；
（2）如圖所示：即為向量在方向上的分向量分別為，．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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