資源簡介

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22.2 相似三角形的判定 導學案
（一）學習目標：
1.掌握相似三角形的判定定理。
2.理解相似三角形判定定理的推導過程，并能運用定理解決簡單的有關問題。
（二）學習重難點：
重點：運用相似三角形的判定定理解決簡單的有關問題.
難點：相似三角形的判定定理的探索及證明過程.
閱讀課本，識記知識：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
【例1】已知如圖，則下列4個三角形中，與相似的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等腰三角形性質和三角形內角和定理分別求出各個選項中三角形的每個角的度數，然后與題干中的三角形的度數相比較即可得出答案．
【詳解】∵由圖可知，，
∴，，
A．選項中三角形是等邊三角形，各角的度數都為，不與相似；
B．選項中三角形各角的度數分別是，，不與相似；
C．選項中三角形各角的度數分別為，，不與相似；
D．選項中三角形各角的度數分別為，，與相似；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理和相似三角形的判定，此題難度不大．
【例2】 如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨能夠判定的條件有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據相似三角形的判定逐一判斷即可．
【詳解】解：，，
，
故①單獨能夠判定；
，，
，
故②單獨能夠判定；
由③不能判定，
，，
，
故④單獨能夠判定；
其中單獨能夠判定的條件有3個，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
選擇題
1.已知△ABC的三邊長是,,2,與△ABC相似的三角形的三邊長可能是 (　　)
A.1,,　　　B.1,,　　　C.1,,　　　D.1,,
2.若△ABC和△DEF滿足下列條件,則能使△ABC與△DEF相似的是 (　　)
A.AB=6,BC=6,AC=9,DE=4,EF=4,DF=6
B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=15
C.AB=1,BC=,AC=2,DE=,EF=,DF=
D.AB=1,BC=,AC=3,DE=,EF=2,DF=
3.如圖，下列條件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若=,則下列結論正確的是 (　　)
A.△AOD∽△COB　　　B.△ABD∽△ACD
C.△ABC∽△DBC　　　D.△AOB∽△DOC
5.下列命題中不一定成立的是（ ）
A．斜邊與一條直角邊對應成相同比例的兩個直角三角形相似
B．兩個等腰直角三角形相似
C．各有一個角等于的兩個等腰三角形相似
D．兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似
6．如圖，在小正方形的邊長為1的網格中，三角形的頂點都在格點上，與相似的是（　　）

A． B．
C． D．
7.如圖所示,AB、CD相交于點O,連接AC,BD,添加下列一個條件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是 (　　)
A.∠A=∠D　　　B.=　　　C.∠B=∠C　　　D.=
8.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
9.如圖，在中，點，點分別是上的點．下列選項中，不能判定與相似的是（ ）

A． B． C． D．
10．如圖，線段、交于點，下列條件中，不能判定和相似的是（ ）

A． B．
C． D．
填空題
11． 如圖,在邊長為1的正方形網格中有P、A、B、C 4個點,則圖中所形成的三角形中,　　　　和　　　　是相似三角形.
12.如圖，在中，點、分別是邊、上的點，若要使，則需添加的條件是 ．（只填一個條件即可）

13．如圖,BD平分∠ABC,且AB=2,BC=3,則當BD=　　　　時,△ABD∽△DBC.
14．如圖,△ABC中,AB=3 cm,BC=4 cm,AC=6 cm.動點P從點A出發,以每秒1 cm的速度沿AB向點B運動,同時動點Q從點B出發,以每秒1 cm的速度沿BC向點C運動,當其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動.設運動時間為t(秒),則t=　　　　時,△PBQ與△ABC相似.
15．如圖，在邊長為的正方形中，點，分別是、的中點，、交于點，的中點為，連接、．給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有 ．

三、解答題
16．如圖所示,網格中每個小正方形的邊長為1,△ABC和△DEF的頂點都在格點上,判斷△ABC和△DEF是否相似,并說明理由.
17.如圖，點是的邊上的一點，點為上的一點，若，，求證：．

18.如圖，在四邊形中，，交于點E，點F在上，請你再添加一個條件（不再標注或使用其他字母），使，并給出證明．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】　A　
【分析】∵△ABC的三邊長是,,2,∴△ABC的三邊長的比為∶2∶=1∶∶,∴與△ABC相似的三角形的三邊長可能是1,,.故選A.
【答案】　A　
【分析】A項,因為===,所以△ABC與△DEF相似,故A選項符合題意;B項,因為≠≠,所以△ABC與△DEF不相似,故B選項不符合題意;C項,因為≠≠,所以△ABC與△DEF不相似,故C選項不符合題意;D項,因為≠≠,所以△ABC與△DEF不相似,故D選項不符合題意.故選A.
3.D
【分析】根據有兩個角對應相等的三角形相似和兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．
【詳解】解：A、∵，，
∴，故此選項不合題意；
B、∵，，
∴，故此選項不合題意；
C、∵，
∴，，
∴，故此選項不合題意；
D、不能判定，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
4.【答案】　A　
【分析】∵=,∠AOD=∠BOC,∴△AOD∽△COB.故選A.
5．D
【分析】根據相似三角形判定定理進行判定即可．
【詳解】解：A、斜邊與一條直角邊對應成相同比例的兩個直角三角形相似一定成立，故本選項不符合題意；
B、兩個等腰直角三角形相似一定成立，故本選項不符合題意；
C、各有一個角等于的兩個等腰三角形相似一定成立，故本選項不符合題意；
D、兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似不一定成立，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是判斷命題的真假，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題，判斷命題真假關鍵是首先要熟悉課本中定理．
6．C
【分析】根據分別求出個三角形的三邊長，再根據相似三角形的判定，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：根據題意得：，，，
A、三邊長分別為，則，則該三角形不與相似，故本選項不符合題意；
B、三邊長分別為，則，則該三角形不與相似，故本選項不符合題意；
C、三邊長分別為，則，則該三角形與相似，故本選項符合題意；
D、三邊長分別為，則，則該三角形不與相似，故本選項不符合題意；
故選：C
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
7．【答案】　D　
【分析】由題圖可得,∠AOC=∠BOD,所以要使△AOC∽△DOB,只需再添加夾該等角的兩邊成比例或另一角相等即可,所以題中選項A、B、C均符合題意,而D選項中AC與AO的夾角并不是∠AOC,BD與OD的夾角也不是∠BOD,所以其不能判定兩個三角形相似.故選D.
8．D
【分析】先根據求出，再根據相似三角形的判定方法解答．
【詳解】解：，
，
A、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；
B、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；
C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項不符合題意；
D、添加，不能判定，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．
9．D
【分析】根據相似三角形的判定逐一判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故A能判定；
∵，，
∴，
故B能判定；
∵，，
∴，
故C能判定；
∵，不是夾角，
∴不能判定與相似，
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
10．D
【分析】本題中已知是對頂角，應用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．
【詳解】解：A、由，能判定故本選項不符合題意．
B、由能判定，故本選項不符合題意．
C、由、能判定，故本選項不符合題意．
D、已知兩組對應邊的比相等：，但其夾角不一定對應相等，不能判定和相似，故本選項符合題意．
故選：D
【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．
11.答案　△APB;△CPA
解析　由題意可得AP==,PB=1,PC=5,AB=,AC=,∴===,∴△APB∽△CPA.
12. （答案不唯一）
【分析】根據相似三角形的判定定理進行作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
當，
則，
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
13．【答案】　
【解析】　∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴當=時,△ABD∽△DBC,∴=,∴BD=(舍負).
14．【答案】　或
【解析】　據題意得AP=t cm,PB=(3-t)cm,BQ=t cm(0≤t≤3),當PQ∥AC時,△BPQ∽△BAC,∴=,即=,解得t=;當∠BPQ=∠C時,△BPQ∽△BCA,∴=,即=,解得t=,∴當t=或時,△PBQ與△ABC相似.
15．①④/④①
【分析】證明，再利用全等三角形的性質結合余角性質得，①正確，利用勾股定理求，利用等面積法，求得可得②不正確，再證，求出，，，可斷定，④正確，通過得到，則，可得③不正確．
【詳解】四邊形為正方形，，，
、為、中點，，
，
，，，，
， ①正確，
， ，
，故②錯誤，
為中點，，
，由，，
，，
，，故④正確，
，而，則，
，與不平行，③錯誤

故答案為：①④．
【點睛】本題考查三角形全等的證明與判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理，三角形的高，面積，直角三角形的斜邊中線，知識較多有一定難度，解題時注意利用線段關系減計算相應的線段長．
16．【解析】　△ABC和△DEF相似.
理由如下:根據勾股定理,得AB=2,BC=5,AC=;DF=2,DE=4,EF=2,
∵===,
∴△ABC∽△DEF.
17.見解析
【分析】先根據等邊對等角得到，進而得到，再由即可證明．
【詳解】證明：，
，

，
， ．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等邊對等角，熟知兩組角對應相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．
18.
【分析】在題中，由平行可知一對角相等，要想相似，再找一對角相等即可，因此可添加一組平行，找同位角相等即可．
【詳解】解：添加條件．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查相似三角形的判定的理解及運用，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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