資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
22.3 相似三角形的性質(zhì) 導(dǎo)學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.
2.掌握相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方及其在實際中的應(yīng)用.
（二）學(xué)習(xí)重難點
重點：明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.
難點：相似三角形的性質(zhì)定理解決簡單的實際問題.
閱讀課本，識記知識：
性質(zhì)1：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.
性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.
相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
注意：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.
性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比
如圖一： ∽，則
由比例性質(zhì)可得：
性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方
如圖二，∽，則分別作出與的高和，則
注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.
射影定理
射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
則，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用圖中小寫字母a、b、c、p、q、h（常稱為勾股六線段）表達以上關(guān)系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述關(guān)系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h這六個量中，已知兩個量就可求出其余四個量來。同學(xué)們自己可任意設(shè)出兩個量，練習(xí)求另外四個量（在設(shè)的時候，要注意構(gòu)成直角三角形的基本條件：斜邊大于直角邊
【例1】如圖，在中，中線相交于點G，下列說法錯誤的是（ ）

A．點G為的重心 B．
C．當(dāng)為等邊三角形時， D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)可判斷選項A、B；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，可判斷選項C；根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分可判斷選項D．
【詳解】解：A、∵的中線相交于點G，
∴點G為的重心，故選項A正確，不符合題意；
B、∵點G 為的重心，
∴，即，故選項B正確，不符合題意；
C、∵為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故選項C正確，不符合題意；
D、∵，
∴，則，
∴，故選項D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的重心性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中線性質(zhì)和重心性質(zhì)：三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．
【例2】 《笛卡爾幾何學(xué)》一書中引入單位線段1來表示線段的乘除．如圖，已知，則，若規(guī)定為單位線段1，則，若規(guī)定為單位線段1，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，根據(jù)比例的性質(zhì)可得，即，由于規(guī)定為單位線段1，則，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵規(guī)定為單位線段1，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，讀懂題意，正確使用比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
選擇題
1.若兩個相似三角形的面積之比為1∶9,則它們對應(yīng)角的平分線之比為 (　　)
A.　　　B.3　　　C.　　　D.3
2.如圖，在中，為上一點，連接，，且與相交于點，，則（ ）

A． B． C． D．
3.如圖,在△ABC中,EF∥BC,=,四邊形BCFE的面積為21,則△ABC的面積是 (　　)
A.　　　B.25　　　C.35　　　D.63
4.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，的頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，則在下列選項中與相似的是（ ）

A． B． C． D．
5.如圖,在△ABC中,點D為BC邊上的一點,且AD=AB=2,AD⊥AB.過點D作DE⊥AD,DE交AC于點E.若DE=1,則△ABC的面積為 (　　)
A.4　　　B.4　　　C.2　　　D.8
6.如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F，若四邊形的面積為6，則的面積為（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
7．如圖，，與相交于點，若，，，則OD的長是（ ）

A．3 B． C．2 D．
8.如圖，的頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上，下列陰影部分的三角形與相似的是（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運動，設(shè)E點的運動時間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點與坐標(biāo)原點關(guān)于直線對稱．將沿軸向右平移，當(dāng)線段掃過的面積為20時，此時點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11． 已知△ABC∽△DEF,且面積比為1∶9,若△ABC的周長為8 cm,則△DEF的周長是　　　　cm.
12.如圖，在中，是中線，G是重心，，交于D．若，則 ．

13．如圖,已知每個小方格的邊長均為1,則△ABC與△CDE的周長比為　　　　.
14．如圖，在中，分別平分與，延長交于點D，連接，作，垂足為E，若，，，則的面積為 ．
15．如圖，若點，，，，，，，，都是方格紙中的格點，為使，則點應(yīng)是，，，四點中的 點．

三、解答題
16．如圖，G為的重心，，求的值．

17.如圖,在△ABC中,點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求證:△BDE∽△EFC;
(2)若=,且S△DBE=2,求△ABC的面積.
18.如圖所示，中，，，，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動，過點作于點，并作關(guān)于直線對稱的，設(shè)點的運動時間為，與的重疊面積為．

(1)當(dāng)點在邊上時， ______（用含的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)點與點重合時，求的值；
(3)求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
參考答案
【答案】　A　
【分析】∵兩個相似三角形的面積比為1∶9,∴它們對應(yīng)角的平分線之比為1∶=1∶3=.故選A.
2.D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
∴，
，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】　B　
【分析】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴===,∴S△AEF=S△ABC.∵S四邊形BCFE=S△ABC-S△AEF=21,即S△ABC=21,∴S△ABC=25.故選B.
4.B
【分析】可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對應(yīng)成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．
【詳解】解：由網(wǎng)格的特點知，、都是正方形的角平分線，
則，，
顯然，選項A、D都不是直角三角形，不符合題意；
選項B中，夾直角的兩邊的比為，符合題意；
選項C中，夾直角的兩邊的比為，不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，有一角相等及夾這角的兩邊對應(yīng)成比例判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)網(wǎng)格的特點求得，是解題的關(guān)鍵．
【答案】　B　
【分析】∵AB⊥AD,DE⊥AD,
∴AB∥DE,
∴△CDE∽△CBA.
∴===,
∴S△CDE=S△CBA,∴S四邊形ABDE=S△CBA.
∵S四邊形ABDE=S△ABD+S△ADE=AB·AD+AD·DE=×2×2+×2×1=3,∴S△CBA=S四邊形ABDE=×3=4.
故選B.
6．B
【分析】連接,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在上，由三角形中線平分三角形的面積可知：，證明和,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．
【詳解】解：如圖，連接，

點P是的重心，點D是邊的中點，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)的面積為m，則的面積為，的面積為，
四邊形的面積為6，
，
，
的面積為9，
的面積是18．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】根據(jù)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及已知條件，可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
8．A
【分析】應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對應(yīng)成比例，分別對各選項進行分析即可得出答案．
【詳解】解：在中，
，，，
A、三邊分別為，，，則，故與相似，符合題意；
B、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；
C、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；
D、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
9．C
【分析】求出，分兩種情況：①當(dāng)時，，，得出，即可得出；②當(dāng)時，證出，得出，因此，得出，；即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
分兩種情況：
①當(dāng)時，
，，
∵D為的中點，
∴，E為的中點，，
∴；
②當(dāng)時，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為2或3.5；
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論．
10．B
【分析】連接AA1、BB1，過C點作CE⊥x軸于E點，過B點作BD⊥CE，交EC的延長線于點D，根據(jù)A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，進而得到AC=2，BC=4，再證Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，設(shè)AE=x，則有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，則C點坐標(biāo)可求，再根據(jù)AB掃過的面積為20，求得，可知△ABC向右平移了5個單位，則問題得解．
【詳解】平移后的效果如圖，連接AA1、BB1，過C點作CE⊥x軸于E點，過B點作BD⊥CE，交EC的延長線于點D，
根據(jù)平移的性質(zhì)可知AA1=BB1，且，
即有四邊形是平行四邊形．
∵CE⊥x軸，BD⊥CE，
∴∠D=∠CEA=90°，
根據(jù)對稱的性質(zhì)可知△AOB≌△ACB，
∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC，
∵A(-2，0)、B(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴AO=AC=2，OB=BC=4，
∵∠ACB=90°=∠D，
∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴Rt△DBC∽Rt△ECA，
∴，
設(shè)AE=x，則有CD=2x，
∴OE=AO+AE=2+x，
∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB，
∴四邊形OBDE是矩形，
∴BD=OE，即BD=2+x，
∵，
∴，
∴在Rt△ACE中，，
∴有，解得，（負(fù)值舍去），
∴，
∴，，
∴C點坐標(biāo)為，
根據(jù)平移的性質(zhì)可知直線AB掃過的圖形為是平行四邊形，
∴根據(jù)題意有，
∵，
∴，
∴，
∴可知△ABC向右平移了5個單位，
∴C也向右平移了5個單位才得到C1，
∴即，
∴C1點坐標(biāo)為，
故選：B．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識，求出C點的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．
11.【答案】　24
【解析】　∵△ABC∽△DEF,且面積比為1∶9,∴△ABC與△DEF的相似比為1∶3,∴△ABC與△DEF的周長比為1∶3,∵△ABC的周長為8 cm,∴△DEF的周長是3×8=24(cm).
12. 2
【分析】先求解，證明，可得，由三角形的重心的性質(zhì)可得，再建立方程即可．
【詳解】解：∵是中線，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∴；
故答案為：2．
【點睛】本題考查的是三角形的中線的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記三角形的重心的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
13．【答案】　2∶1
【解析】　由題圖知AB∥DE,AB==2,DE==,∴△ABC∽△DEC,∴△ABC的周長∶△CDE的周長=AB∶DE=2∶=2∶1.
14．
【分析】過D點作交于點F，則，得到，可求出的長，利用角平分線得到，進而求出長，計算面積即可．
【詳解】解：如圖，過D點作交于點F，
∴,
∴,
∵
∴DF
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】相似三角形兩個角對應(yīng)相等，且對應(yīng)邊成比例，據(jù)此解答．
【詳解】解：由圖知，點應(yīng)位于線段的中垂線上，
所以要使，
所以只能是點，
其他點均不符合題意，
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定，要注意聯(lián)系實際圖形進行判定．
16．24
【分析】G為的重心，判斷出點是邊的中點，即可判斷出；即可得出，求出即可得出結(jié)論．
【詳解】解： 點為的重心，
，
∴
，
，
點為的重心，
點是邊的中點，
；
點為的重心，
，
，
，
∴．
【點睛】此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)和應(yīng)用以及相似，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：重心就是三條中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．
17.【解析】　(1)證明:∵DE∥AC,
∴∠BED=∠C.
∵EF∥AB,
∴∠B=∠CEF,
∴△BDE∽△EFC.
(2)∵DE∥AC,EF∥AB,
∴四邊形ADEF為平行四邊形,
∴AF=DE.
∵=,
∴=,
∵DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴==,
∴S△ABC=9S△BDE=9×2=18.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理得出，由題意得出，通過證明，得出，即，進行計算即可得到答案；
（2）由（1）知：，可得，即，，由題意得出，即可求得答案；
（3）分三種情況：當(dāng)時，重疊部分為，且；當(dāng)時，重疊部分為四邊形，利用計算即可得到答案；當(dāng)時，重疊部分為直角三角形，運用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】（1）解：中，，，，
，
點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動，
當(dāng)點在邊上時，，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
故答案為：；
（2）解：當(dāng)點與點重合時，如圖①，
，
，
由（1）知：，
，即，
，
由題意知：當(dāng)時，，
，
解得，
故當(dāng)點與點重合時，的值為；
（3）解：當(dāng)時，如圖②，，
，
由（1）知：，，
，即，
，，
，
與關(guān)于直線對稱，
，
；
當(dāng)時，如圖③，設(shè)交于，取的中點，作交于，連接，
，
則，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
當(dāng)時，如圖④，過點作于，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，即，
綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用分類討論思想解決問題．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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