資源簡介

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22.4 圖形的位似變換 導學案
（一）學習目標：
1.知道位似圖形的相關概念，會利用位似變換將一個圖形放大或縮小.
2.知道位似與相似的聯系與區別.
3.會在網格圖中作位似圖形，能找出位似圖形的位似中心。
（二）學習重難點：
重點:作位似圖形.
難點:位似變換與其他圖形變換的綜合問題.
閱讀課本，識記知識：
1.位似變換
（1）位似圖形的定義：
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
注意：①兩個圖形必須是相似形；
②對應點的連線都經過同一點；
③對應邊平行．
（2）位似圖形與坐標
在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
2．作圖-位似變換
（1）畫位似圖形的一般步驟為：
①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機也很好地將一個圖形放大或縮?。?br/>注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結果是不唯一的．
【例1】如圖，與位似，點為位似中心，位似比為，若的周長為6，則的周長是（　?。?br/>A．16 B．9 C．6 D．4
【答案】D
【分析】根據位似變換的定義、相似三角形的性質計算即可．
【詳解】解：和是位似圖形，位似比為，
和的相似比為，
的周長的周長，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵．
【例2】如圖，與位似，點O為位似中心，若的周長等于周長的．，則的長度為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據位似變換的概念得到，根據周長之比得到相似比，繼而求解．
【詳解】解：∵與位似，
∴，
∵的周長等于周長的，
∴相似比為，
∵，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．
選擇題
1.下列各組圖形中的兩個三角形均滿足△ABC∽△DEF,這兩個三角形不是位似圖形的是　 (　　)
A　　　B　　　C　　　D
2.如圖，在外任取一點，連接、、，并分別取它們的中點、、，順次連接、、得到，則下列說法錯誤的是（ ）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形
C．與的周長比是 D．與的面積比是
3.如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的頂點坐標分別為A(-3,2),B(-3,-2),C(3,-2),D(3,2),以原點為位似中心,在矩形ABCD的內部畫矩形EFGH,使矩形EFGH是矩形ABCD的位似圖形,且相似比為2∶1,則矩形EFGH的周長為 (　　)
A.20　　　B.15　　　C.10　　　D.
4.如圖，已知與是以點為位似中心的位似圖形，若，，，則點A的坐標為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在正方形網格中，以點為位似中心，的位似圖形可以是（ ）

A． B． C． D．
6.如圖,在△ABC外任取一點O,連接AO、BO、CO,并分別取它們的中點D、E、F,順次連接DE、EF、DF得到△DEF,則下列說法錯誤的是 (　　)
A.△DEF與△ABC是位似圖形
B.△DEF與△ABC是相似圖形
C.△DEF與△ABC的周長比是1∶2
D.△DEF與△ABC的面積比是1∶2
7.如圖，與是位似圖形，則位似中心為（ ）

A．點 B．點 C．點 D．點
8.如圖,在平面直角坐標系中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABO的頂點坐標分別為A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的頂點坐標分別為A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,1),△ABO與△A1B1O1是以點P為位似中心的位似圖形,則P點的坐標為　　　　.
9.如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．如圖，在直角坐標系中，與是位似圖形，已知點，則位似中心的坐標是（ ）

A． B． C． D．
填空題
11．如圖，在平面直角坐標系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標為 ．

12.如圖,△A'B'C'與△ABC是位似圖形,點O為位似中心,若OA'=AA',則△A'B'C'與△ABC的面積比為　　　　.
13．如圖，與位似，點為位似中心，若，的周長為4，則的周長為 ．

14．由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，．若，則圖中與位似的三角形中，邊對應邊的長為 ．

15．如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，點、的坐標分別為、．若線段和是位似圖形，且位似中心在軸上，則位似中心的坐標為 ．

三、解答題
16．如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若與是位似圖形且頂點均在格點上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標；
(2)與的位似比為__________，面積比為__________．
17.如圖,在平面直角坐標系中,△ABC和△A1B1C1關于點E成中心對稱,
(1)在圖中標出點E,且點E的坐標為　　　　;
(2)點P(a,b)是△ABC邊AB上一點,△ABC經過平移后點P的對應點P'的坐標為(a-6,b+2),請畫出上述平移后的△A2B2C2,此時A2的坐標為　　　　,C2的坐標為　　　　;
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2關于點F成位似三角形,則點F的坐標為　　　　.
18.如圖，圖中的小方格都是邊長為的正方形，與是關于點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．

(1)畫出位似中心點；
(2)求出與的位似比；
(3)以點為位似中心，再畫一個，使它與的位似比等于．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】　B　
【分析】根據位似圖形的概念,A、C、D三個圖形中的兩個三角形都是位似圖形,B中的兩個三角形不符合位似圖形的概念,故不是位似圖形.故選B.
2.【答案】C
【分析】根據位似圖形的性質得出與是位似圖形，根據位似圖形一定是相似圖形得出與是相似圖形，再根據周長比等于位似比以及根據面積比等于相似比的平方即可解答．
【詳解】解：根據位似性質可得：
A、與是位似圖形，故A選項正確，不符合題意；
B、與是相似圖形，故B選項正確，不符合題意；
C、∵點D，E，F，為中點，
∴將的三邊縮小到原來的得到，
∴與的周長之比為2：1，故C選項不正確，符合題意；
D、∵面積比等于相似比的平方，
∴與的面積之比為4：1，故D選項正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，正確的記憶位似圖形性質是解決問題的關鍵．
3.【答案】　C　
【分析】∵矩形ABCD的頂點坐標分別為A(-3,2),B(-3,-2),C(3,-2),D(3,2),∴矩形ABCD的周長為4+6+4+6=20,∵矩形ABCD與矩形EFGH的相似比為2∶1,∴矩形ABCD與矩形EFGH的周長比為2∶1,∴矩形EFGH的周長為10.故選C.
4.【答案】B
【分析】根據位似變換的性質得到，相似比為，進而求出點A的坐標．
【詳解】解：∵與是以點為位似中心的位似圖形，，，
∴，相似比為，
∵，
點A的坐標為，
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，求出與的相似比為是解題的關鍵．
5．【答案】C
【分析】根據位似的性質，連接并延長，觀察交點即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接并延長，

∴的位似圖形是．
故選：C．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
【答案】　D　
【分析】∵AO、BO、CO的中點分別為D、E、F,∴EF=BC,DF=AC,DE=AB,∴===,∴△DEF∽△ABC,∵△DEF與△ABC的對應點連線相交于點O,∴△DEF與△ABC是位似圖形,位似中心為點O,∵△DEF與△ABC的相似比為1∶2,∴△DEF與△ABC的周長比是1∶2,△DEF與△ABC的面積比是1∶4,∴D選項說法錯誤.故選D.
7．【答案】D
【分析】根據位似中心是位似點連線的交點判斷即可．
【詳解】如圖，根據位似中心是位似點連線的交點，可知點P為位似中心，

故選D．
【點睛】本題考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似點連線的交點是解題的關鍵．
8．答案　(-5,-1)
解析　如圖,P點的坐標為(-5,-1).
9．B
【分析】根據位似圖形的定義，畫出位似中心，即可得出結果．
【詳解】解：∵與是位似圖形，
連接并延長，交于點，則點即為位似中心，如圖所示：
由圖可知：；
故選B．
【點睛】本題考查坐標系下求位似中心的坐標．熟練掌握位似圖形的定義，確定位似中心的位置，是解題的關鍵．
10．B
【分析】根據位似圖形的對應頂點的連線交于一點并結合網格圖中的格點特征確定位似中心．
【詳解】連接，并延長，交于點，點即為位似中心，如圖，

∴點坐標為，
故答案為：．
【點睛】此題考查了位似變換的概念、坐標與圖形性質，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心是解題的關鍵．
11.
【分析】連接各組對應點，它們在兩個正方形之間相交于點，則點為位似中心，然后寫出點坐標即可．
【詳解】解：如圖，點為位似中心，．

故答案為：．
【點睛】本題考查位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質是解題的關鍵．
12. 【答案】　1∶4
【解析】　∵△A'B'C'與△ABC是位似圖形,點O為位似中心,且OA'=AA',∴S△A'B'C'∶S△ABC=(OA'∶OA)2=(1∶2)2=1∶4.
13．2
【分析】根據與位似，得出，推出，進而得出，根據相似三角形周長比等于相似比，即可求解．
【詳解】解：∵與位似，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周長為4，
∴的周長為2，
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了相似三角形那個的判定和性質，位似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形周長比等于相似比．
14．/
【分析】根據勾股定理和直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出，，找出規律得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
根據勾股定理得：，
即，
解得：，
同理可得：，
…
，
∵與位似，與是對應邊，
∴邊對應邊的長為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質，圖形規律探索，位似圖形的定義，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理和直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．
15．
【分析】根據題意，位似中心在軸上，如圖所示，連接與軸交于點，則點是位似中心，運用待定系數法求出直線的解析式，令，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接與軸交于點，則點是位似中心，

∵，，
∴設所在直線的解析式為，
∴，解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴位似中心的坐標是，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查位似與一次函數的綜合，掌握位似的定義，待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵．
16．(1)見解析
(2)，
【分析】（1）連接、，兩線相交于點D，根據位似中心的概念、結合圖形解答即可；
（2）根據，，即可得出相似比和面積比．
【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標為：．

（2）解：∵，，
∴與的位似比為：，
與的面積比為：．
故答案為：，．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線所在直線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
17.【解析】　(1)如圖,連接BB1,線段BB1的中點即為點E.
∵B(1,1),B1(-1,-3),
∴E(0,-1).
(2)∵點P(a,b)是△ABC邊AB上一點,△ABC經過平移后點P的對應點P'的坐標為(a-6,b+2),
∴△ABC向左平移了6個單位,向上平移了2個單位,∴△A2B2C2如圖所示.
∵A(3,2),C(4,0),
∴A2(-3,4),C2(-2,2).
(3)∵連接A1A2與B1B2,它們交于點(-3,0),
∴F(-3,0).
18．(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）連接，分別延長三條線段交于一點O，則點O即為所求；
（2）與的位似比等于與的比，也等于與在水平線上的投影比，即，即可得到答案；
（3）按照位似圖形的作圖方法作即可．
【詳解】（1）解：如圖，點即為所求．
（2）與的位似比等于與的比，也等于與在水平線上的投影比，即．
∴與的位似比為．
（3）如圖，為所求．

【點睛】此題考查了位似圖形和位似圖形的作圖，熟練掌握位似圖形的作圖和性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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