資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
22.5 綜合與實(shí)踐 測(cè)量與誤差 導(dǎo)學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
通過(guò)測(cè)量旗桿的高度的活動(dòng)，并復(fù)習(xí)鞏固相似三角形有關(guān)知識(shí)
靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
重點(diǎn)：利用三角形相似測(cè)量旗桿的高度
難點(diǎn)：三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
（一）利用影子測(cè)量物體的高度
1. 測(cè)量原理 測(cè)量建筑物、旗桿、大樹等物體的高度，在有太陽(yáng)光的前提下，通常利用參照物的高及其影長(zhǎng)、被測(cè)物的高及其影長(zhǎng)構(gòu)造出相似三角形，運(yùn)用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”的原理解決問(wèn)題.
2. 測(cè)量方法 在同一時(shí)刻測(cè)量出太陽(yáng)光下參照物和被測(cè)物體的影長(zhǎng)，再根據(jù)參照物的高度和“在同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)，太陽(yáng)光下物體的高度與影長(zhǎng)成比例”的原理計(jì)算出被測(cè)物體的高度.
特別提醒
運(yùn)用此測(cè)量方法時(shí)，要符合下面兩個(gè)條件：
1. 被測(cè)物體的底部能夠到達(dá)；
2. 由于影長(zhǎng)可能隨著太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)而變化，因此要在同一時(shí)刻測(cè)量參照物與被測(cè)物體的影長(zhǎng).
（二）利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度
1. 測(cè)量原理 利用標(biāo)桿與被測(cè)物體平行建立相似三角形模型.
2. 測(cè)量方法
(1)測(cè)量出標(biāo)桿的長(zhǎng)度、觀測(cè)者眼睛到地面的高度；
(2)讓標(biāo)桿豎直立于地面，調(diào)整觀測(cè)者的位置，使觀測(cè)者的眼睛、標(biāo)桿頂端和被測(cè)物體頂端恰好在一條直線上，測(cè)量出觀測(cè)者的腳距標(biāo)桿底端的距離和距被測(cè)物體底端的距離；
(3)根據(jù)標(biāo)桿與被測(cè)物體平行推導(dǎo)出兩個(gè)三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出被測(cè)物體的高度.
特別提醒
利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度是生活中經(jīng)常采用的方法，使用這種方法時(shí)，觀測(cè)者的眼睛、標(biāo)桿頂端和被測(cè)物體頂端必須“三點(diǎn)共線”，注意標(biāo)桿與地面要垂直，同時(shí)被測(cè)物體的底部必須是可到達(dá)的.
（三）利用平面鏡的反射原理測(cè)量物體的高度
1. 測(cè)量原理 利用平面鏡的反射原理，先根據(jù)反射角等于入射角構(gòu)造出相似三角形，再計(jì)算出被測(cè)物體的高度.
2. 測(cè)量方法
(1)在觀測(cè)者與被測(cè)物體之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記；
(2)測(cè)出觀測(cè)者眼睛到地面的高度；
(3)觀測(cè)者看著鏡子來(lái)回走動(dòng)，直至看到被測(cè)物體頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，此時(shí)測(cè)出鏡子上的標(biāo)記位置到觀測(cè)者腳底的距離及到被測(cè)物體底端的距離；
(4)根據(jù)兩角分別對(duì)應(yīng)相等推導(dǎo)出兩個(gè)三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出被測(cè)物體的高度.
特別提醒
1. 測(cè)量時(shí)被測(cè)物體與人之間不能有障礙物， 且平面鏡要水平放置.
2. 利用“反射角等于入射角” 及“ 等角的余角相等”的知識(shí)可以知道， 反射光線和入射光線與鏡面的夾角相等. 這就找到了一對(duì)銳角對(duì)應(yīng)相等， 有了相似的條件.
（四）利用相似測(cè)量寬度
1. 測(cè)量原理 測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算兩點(diǎn)間的距離.
2. 常見(jiàn)的測(cè)量方式
(1)構(gòu)造“A”型相似，如圖22.5-6 所示.
(2)構(gòu)造“X”型相似，如圖22.5-7 所示.
利用相似三角形測(cè)量高度、寬度等的一般步驟：
1. 利用平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形；
2. 測(cè)量與表示被測(cè)物體的線段相對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度以及另外任意一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度；
3. 畫出示意圖， 利用相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，求出未知量；
4. 檢驗(yàn)并得出答案.
【例1】如圖，身高的小亮站在某路燈下，發(fā)現(xiàn)自己的影長(zhǎng)恰好是，經(jīng)測(cè)量，此時(shí)小亮離路燈底部的距離是，則路燈離地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，得出，即，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，證明．
【例2】 兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)驗(yàn)．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開(kāi)一個(gè)小孔，小孔對(duì)面的墻上就會(huì)出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來(lái)觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點(diǎn)燃的蠟燭距小孔（），光屏在距小孔處，小宇測(cè)得蠟燭的火焰高度為，則光屏上火焰所成像的高度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出圖像，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度．
【詳解】解：如圖，設(shè)蠟燭的高度為線段，蠟燭的像為，于C，于，則，．

由題知，
，
，
，
，
解得，
即光屏上火焰所成像的高度為．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”解決實(shí)際問(wèn)題．熟練掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
選擇題
1.如圖，小樹在路燈O的照射下形成投影． 若這棵樹高，樹影，樹與路燈的水平距離 ，則路燈的高度為（ ）

A．3m B．5m C．6m D．
2.泰勒斯是古希臘時(shí)期的思想家,科學(xué)家,哲學(xué)家,他最早提出了命題的證明.泰勒斯曾通過(guò)測(cè)量同一時(shí)刻標(biāo)桿的影長(zhǎng),標(biāo)桿的高度,金字塔的影長(zhǎng),推算出金字塔的高度,這種測(cè)量原理,就是我們所學(xué)的 (　　)
A.圖形的平移　　　B.圖形的旋轉(zhuǎn) C.圖形的軸對(duì)稱　　　D.圖形的相似
3.一個(gè)圓錐體容器的主視圖如圖①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如圖②所示，則圖②中，上水面所在圓的半徑長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
4．如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長(zhǎng)為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿上長(zhǎng)為時(shí)，它離地面的高度為，則壩高為（　　 ）．

A． B． C． D．
5.如圖,三角板在燈光照射下形成投影,三角板與其投影的相似比為2∶5,且三角板的一邊長(zhǎng)為8 cm,則投影的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為 (　　)
A.20 cm　　　B.10 cm　　　C.8 cm　　　D.3.2 cm
6.《墨經(jīng)》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關(guān)于光學(xué)問(wèn)題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長(zhǎng)是（ ）

A． B． C． D．
7.如圖,AB是斜靠在墻壁上的固定爬梯,爬梯的底端B到墻角C的距離為1.6 m,爬梯上一點(diǎn)D到墻壁的距離DE為1.4 m,BD的長(zhǎng)為0.5 m,則爬梯的長(zhǎng)為 (　　)
A.3.5 m　　　B.4 m　　　C.4.5 m　　　D.5 m
8.如圖，放映幻燈片時(shí)，通過(guò)光源把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若幻燈片到光源的距離為，到屏幕的距離為，且幻燈片上圖形的高度為，則屏幕上圖形的高度為（ ）

A． B． C． D．
9．同學(xué)們?cè)谖锢碚n上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度為時(shí)，所成的像的高度為（ ）

A． B． C． D．
10.有一塊銳角三角形余料ABC,它的邊BC=12 cm,BC邊上的高為9 cm,現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)相鄰兩邊長(zhǎng)分別為4 cm和2 cm的小長(zhǎng)方形零件,分割方式如圖所示(分割線的耗料不計(jì)),使最底層的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4 cm的邊在BC上,則按如圖所示的方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有 (　　)
A.3個(gè)　　　B.4個(gè)　　　C.5個(gè)　　　D.6個(gè)
填空題
11． 明珠綠星數(shù)學(xué)社團(tuán)想利用標(biāo)桿測(cè)量樓高，小明先在處堅(jiān)立一根高的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、、在同一直線上．測(cè)得，，已知，點(diǎn)、、在同一直線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．則樓高為 m．

12.如圖,某一時(shí)刻,一根2 m高的竹竿EF的影長(zhǎng)GE為1.2 m,此時(shí),小紅測(cè)得一棵被風(fēng)吹斜的樹與地面成30°角,樹頂端B在地面上的影子D與點(diǎn)C的距離是3.6 m,BC⊥AC,則樹高AB為　　　　m.
13．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過(guò)小孔O，物體在幕布前形成倒立的實(shí)像(點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D)．若物體的高為，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離，分別為，則實(shí)像的高度為 ．

14．如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼晴離地面高度為米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為米，鏡子與旗桿的水平距離為米，則旗桿的高度為 米．

15．教學(xué)樓前有一棵樹，小明想利用樹影測(cè)量樹高．在陽(yáng)光下他測(cè)得一根長(zhǎng)為的竹竿的影長(zhǎng)是，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過(guò)思考，他認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高．他測(cè)得，落在地面上的影長(zhǎng)是，落在墻壁上的影長(zhǎng)是，則這棵樹實(shí)際高度為 m．

三、解答題
16．小紅和小華決定利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量出一棵大樹的高度如圖，小紅在點(diǎn)處，測(cè)得大樹頂端的仰角的度數(shù)；小華豎立一根標(biāo)桿并沿方向平移標(biāo)桿，當(dāng)恰好平移到點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)從標(biāo)桿頂端處到點(diǎn)的視線與標(biāo)桿所夾的角與相等，此時(shí)地面上的點(diǎn)與標(biāo)桿頂端、大樹頂端在一條直線上，測(cè)得米，標(biāo)桿米，米，已知、、、在一條直線上，，，請(qǐng)你根據(jù)測(cè)量結(jié)果求出這棵大樹的高度．

17.如圖,建筑物BC上有一根旗桿AB,小芳計(jì)劃用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度,測(cè)量方法如下:在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD,地面上的點(diǎn)E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上,同時(shí)地面上的點(diǎn)G、樹頂F、建筑物頂端B也恰好在一條直線上,已知旗桿AB=3米,FD=4米,DE=5米,EG=1.5米,點(diǎn)A、B、C在一條直線上,點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上,AC、FD均垂直于CG,請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高BC.
18.如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)，落在墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到地面的高度，點(diǎn)到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)、、、在同一水平面上．求燈泡到地面的高度．

（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問(wèn)題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫出思維導(dǎo)圖
參考答案
1.【答案】B
【分析】先求解，再根據(jù)相似三角形的判定證出，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：，，
，
由題意得：，
，
，而，
，即，
解得，
答：路燈的高度為．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【答案】　D　
【分析】測(cè)量原理是我們所學(xué)的圖形的相似.故選D.
3.C
【分析】如圖，，上水面，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，交于點(diǎn)G，則，，，由等腰三角形三線合一，得，；可證，于是，求得．
【詳解】解：如圖，，上水面，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，交于點(diǎn)G，則，
∴
由題知，，
∴，
　即上水面所在圓的半徑長(zhǎng)為線段長(zhǎng)
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，尋求線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】根據(jù)，可得，可得，進(jìn)而得出即可．
【詳解】解：如圖，，則，
∴，
，即，
解得，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
【答案】　A　
【分析】設(shè)投影的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為x cm,∵三角板與投影相似,∴8∶x=2∶5,解得x=20.故選A.
6．B
【分析】據(jù)小孔成像原理可知，利用它們的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出之長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖過(guò)O作直線，交于F，

依題意，
∴，
∴，
由可以得，
∵分別是它們的高，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像原理給我們帶來(lái)的已知條件，還有會(huì)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．
7.【答案】　B　
【分析】易知DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,設(shè)爬梯的長(zhǎng)為x m,則=,解得x=4.∴爬梯的長(zhǎng)為4 m.故選B.
8．C
【分析】根據(jù)題意可畫出圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例解答．
【詳解】如圖所示：∵，
∴，
∴，
設(shè)屏幕上的圖形高是，則，
解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．
9．C
【分析】利用蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，得出蠟燭火焰的高度與像的高度的比值為，進(jìn)而求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，

設(shè)所成的像的高度為
由題意可得：，
解得：，
∴所成的像的高度為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，理清題意，正確得出比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【答案】　B　
【分析】如圖,由題意設(shè)最上層的小長(zhǎng)方形的一邊恰好與AB、AC相交,交點(diǎn)分別為E、F.延長(zhǎng)MT,交AC于N.作AD⊥BC,交BC于D,交EF于點(diǎn)G,由題意知,AD是△ABC的高,AG是△AEF的高,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=,∵BC=12 cm,AD=9 cm,EF=4 cm,∴=,∴AG=3 cm,∴GD=6 cm.∵小長(zhǎng)方形的寬為2 cm,∴能分割三層.設(shè)從下面數(shù)第一層小長(zhǎng)方形的另一條長(zhǎng)邊在MN上,易得=,解得MN=9,∴最底層能分割出兩個(gè)小長(zhǎng)方形.同理可得從下面數(shù)第二層能分割出1個(gè)小長(zhǎng)方形,從下面數(shù)第三層能分割出1個(gè)小長(zhǎng)方形,共能分割出4個(gè)小長(zhǎng)方形.故選B.
11.
【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12. 【答案】　12
【解析】　由題意知CD=3.6 m,△BDC∽△FGE,∴=,即=,∴BC=6 m.在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=12 m,即樹高AB為12 m.
13．5
【分析】根據(jù)，通過(guò)證明，根據(jù)相似三角形的相似比即可求得．
【詳解】解：∵，
∴，
∵邊上的高等于，邊上的高等于，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
14．
【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．
【詳解】解：如圖：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
即
∴，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
15．3.6/
【分析】先根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例求出落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度，再加上落在墻上的影長(zhǎng)就是樹的高度．
【詳解】解：同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，
，
即：，
解得落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度，
樹的高度為：，
故答案為：3.6．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，明確把影長(zhǎng)分為兩部分計(jì)算，然后再求和就是樹的高度是解題的關(guān)鍵．
16．這棵大樹的高度為米
【分析】根據(jù)題意得：，，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再證明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：由題意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
這棵大樹的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
17.【解析】　由題意可得,∠ACE=∠EDF=90°,∠AEC=∠FED,
∴△ACE∽△FDE,
∴=,
即=,
∴CD=.
由題意可得,∠BCG=∠FDG=90°,∠BGC=∠FGD,
∴△BCG∽△FDG,
∴=,
即=,
∴6.5BC=4(CD+6.5),
∴6.5BC=4×+4×6.5,
∴BC=14米,
∴這座建筑物的高BC為14米.
18．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．
【詳解】證明：，
故，即，
，
，
，
光在鏡面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
燈泡到地面的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．
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