資源簡介

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23.1 銳角的三角函數 導學案
（一）學習目標：
1.理解正弦、余弦、正切、余切這四個銳角三角函數的概念,能準確地用直角三角形兩邊的比表示這些函數。
2.掌握特殊角的三角函數值,會計算含有特殊角的三角函數的運算式,能根據特殊角的三角函數值得出對應銳角的度數。
3.能推導并熟記30°、45°、60°角的三角比值，并能根據這些值說出對應的銳角度數；能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角比的運算式。
（二）學習重難點：
重點：能準確地用直角三角形兩邊的比表示這些函數；能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角比的運算式。
難點：能推導并熟記30°、45°、60°角的三角比值，并能根據這些值說出對應的銳角度數。
閱讀課本，識記知識：
正弦
（1）定義：在中，，銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即；
（2）符號語言:在中,，.
2.余弦
（1）定義：在中，，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即；
（2）符號語言:在中,，.
3.正切
（1）定義：在中，，銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即；
（2）符號語言:在中,，.
4.余切（拓展）
（1）定義：在中，，銳角的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作，即；
（2）符號語言:在中,，.
【例1】如圖，在矩形中，連接，點E是上一點，連接，若，，，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性質得，再由，求得，即可求得的長為8，根據勾股定理求得的長為10，即可求得．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】此題考查了矩形的性質、勾股定理、銳角三角函數，解題的關鍵是根據面積等式求出的長進而求出的長．
【例2】 如圖，在中，，，將繞點C順時針旋轉得到，點A，B的對應點分別是D，E，點F是邊的中點，連接，，．則下列結論錯誤的是（　　）
A． B．，
C． D．
【答案】D
【分析】根據等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到，判斷A選項；證明，根據全等三角形的性質判斷B、C選項；解直角三角形，用分別表示出、，判斷D選項．
【詳解】解：A、由旋轉的性質可知，，，
∴為等邊三角形，
∴，本選項結論正確，不符合題意；
B、在中，，，點F是邊的中點，
∴，，
由旋轉的性質可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，本選項結論正確，不符合題意；
C、∵，
∴，本選項結論正確，不符合題意；
D、在中，，
∴，
同理可得， ，
∴，
∴故本選項結論錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質，正確理解旋轉變換的概念是解題的關鍵．
選擇題
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三邊都縮小為原來的,則sin A的值 (　　)
A.放大為原來的5倍　　　B.縮小為原來的　　　C.不變　　　D.無法確定
2.如圖，的三個頂點分別在正方形網格的格點上，則的值為（ ）

A． B． C． D．
3.如圖,在Rt△ABC中,D是AB的中點,BC=5,AC=12,則sin∠DCA的值為 (　　)
A.　　　B.　　　C. 　　　D.
4.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,則cos C= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.如圖,銳角△ABC中,以BC為直徑的半圓O分別交AB、AC于D、E,且S△ADE∶S四邊形BCED=1∶2,則cos∠BAC的值是 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.計算|1-tan 60°|的值為 (　　)
A.1-　　　B.0　　　C.-1　　　D.1-
7.若銳角A、B滿足(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,則△ABC是 (　　)
A.直角三角形　　　B.等邊三角形
C.含有60°角的任意三角形　　　D.頂角為鈍角的等腰三角形
8.若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，菱形的對角線，，，則下列結論正確的是（ ）

A． B． C． D．
填空題
11． 如圖,將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊,B點恰好落在AD邊上,設此點為F,若AB∶BC=4∶5,則sin∠CFD=　　　　.
12.如圖,在半徑為3的☉O中,直徑AB與弦CD相交于點E,連接AC,BD,若AC=2,則tan D=　　　　.
13．如圖,AB∥CD,∠ABD的平分線與∠BDC的平分線交于點E,若cos∠1=,則∠2的正切值為　　　　.
14．如圖，一塊含有的直角三角板的直角頂點和坐標原點O重合，角的頂點A在反比例函數的圖象上，頂點B在反比例函數的圖象上，則k的值為 ．

15．如圖，中，，，，P是上方一動點，射線，連接交的外接圓于點D，則的最小值為 ．
三、解答題
16．如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
17.如圖，在矩形中，于點E，連接點A、點E，已知，．求

(1)的值；
(2)的面積．
18．如圖，在中，．

(1)在邊上求作一點D，使得平分的周長（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，將繞點B順時針旋轉α得到，若點A的對應點在的延長線上，求證：三點共線．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】　C　
【分析】∵∠C=90°,∴sin A=,
∵△ABC的三邊都縮小為原來的,∴∠A的對邊與斜邊的比不變,
∴sin A的值不變.故選C.
2.D
【分析】找到格點，連接，可得，再根據三角函數的定義求解即可．
【詳解】解：連接，如下圖：

由題意可得：，
由勾股定理可得：，，
故選：D
【點睛】此題考查了勾股定理，三角函數的定義，解題的關鍵是構造出直角三角形．
3.【答案】　B　
【分析】過點D作DE⊥AC于點E,在Rt△ABC中,AB==13.∵點D是AB的中點,∴CD=AB=,∵DE⊥AC,∠ACB=90°,∴∠DEA=∠BCA=90°,∴DE∥BC,∴DE=BC=,∴sin∠DCA==.故選B.
4.答案　D　在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,由勾股定理得BC===4,所以cos C==.故選D.
5．答案　D　連接CD.∵∠ADE=∠ACB,∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB.∵S△ADE∶S四邊形BCED=1∶2,
∴S△ADE∶S△ACB=1∶3,∴=.∵BC為直徑,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴cos∠BAC==.故選D.
【答案】　C　
【分析】|1-tan 60°|=|1-|=-1.故選C.
【答案】　B　
【分析】∵(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,∴tan A-3=0,2cos B-1=0,∴tan A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形.故選B.
8．D
【分析】對原式左右兩邊進行平方計算，然后結合同角三角函數關系求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查同角三角函數之間的關系，熟記并熟練運用基本結論是解題關鍵．
9．A
【分析】在中，，，設，則，根據余弦的定義即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，
設，則，
∴．
故選：A．

【點睛】此題考查了銳角三角函數的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
10．D
【分析】首先根據菱形的性質可得，，，再利用勾股定理計算出的長，然后根據銳角三角函數定義分別進行計算可得答案．
【詳解】
在菱形中，
有，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質及銳角三角函數，解題的關鍵是熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分的性質及銳角三角函數的定義與計算．
11.【答案】　
【解析】　由折疊可知,CB=CF.在矩形ABCD中,∵AB=CD,AB∶BC=4∶5,∴sin∠CFD===.
12. 答案　2
解析　如圖,連接BC,∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∵AB=2×3=6,AC=2,∴BC===4,又∵∠D=∠A,∴tan D=tan A===2.
13．【答案】　
【解析】　∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°.∵BE是∠ABD的平分線,∴∠1=∠ABD.∵DE是∠CDB的平分線,∴∠2=∠CDB,∴∠1+∠2=90°.∵cos∠1=,∴∠1=30°,∴∠2=60°,∴tan∠2=tan 60°=.
14．
【分析】過作于點，過作于點，即可得證，再根據相似三角形的性質得到和利用特殊角的正切值得出，然后設點的坐標為，繼而根據反比例函數圖像上點的特征得到，再次利用反比例函數圖像上點的特征即可求得答案．
【詳解】解：過作于點，過作于點，如圖：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴設點的坐標為，則，
∴，，
∴，
∵在反比例函數的圖象上，
∴，
∵點在反比例函數的圖象上，
∴．
故答案是：
【點睛】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征、相似三角形的判定和性質、特殊的銳角三角函數值，能夠求得是解題的關鍵．
15．/
【分析】連接，取中點M，連接，，中，根據，，可得，即可得是直角三角形，且，再根據，可得，進而得，即有點D在以為直徑的圓上，即點M為該圓圓心，結合圖形有，當且僅當A、M、D三點共線時取等號，即當A、M、D三點共線時，有最小值，最小值為：，問題隨之得解．
【詳解】解：連接，取中點M，連接，，如圖，
∵中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點D在以為直徑的圓上，即點M為該圓圓心，
∵如圖，，當且僅當A、M、D三點共線時取等號，
∴當A、M、D三點共線時，有最小值，最小值為：，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
即有最小值，最小值為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解直角三角形、圓周角定理、勾股定理等知識，構造合理的輔助線，證明是直角三角形，點D在以為直徑的圓上，是解答本題的關鍵．
16．解析　(1)∵AC=5,BC=3,∠C=90°,
∴AB=,
∴sin A===,
sin B===.
(2)∵AC=1,BA=,∠C=90°,
∴BC=2,
∴sin A===,sin B===.
17.(1)
(2)
【分析】（1）根據矩形的性質得出，，，根據勾股定理求出，最后根據三角函數的定義求出結果即可；
（2）根據等積法求出，根據勾股定理求出，最后求出的面積即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，三角形面積的計算，三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理和三角函數的定義．
18．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）過點作的垂線段，交于點D，根據和等腰三角形的性質，即可求出，故需要等于2，以點C為圓心，為半徑畫弧交于點D，即可解答；
（2）畫出圖形，根據旋轉可得，從而證明是等腰三角形，且，最后證明即可解答．
【詳解】（1）解：如圖，過點作的垂線段，交于點D，

，，
，
，
，
∴，
，
的周長為8，
，
故只需要以點C為圓心，為半徑畫弧交于點D，
如圖，即為所求圖形

（2）證明：如圖，按題意畫出圖形，

根據（1）中可得，，
將繞點B順時針旋轉α得到，
，
，，，
，
，
，
，
，即三點共線．
【點睛】本題考查了余弦的概念，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的性質，旋轉的性質，正確畫出圖形，運用等腰三角形的性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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