資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
23.2 解直角三角形及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解解直角三角形的含義，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；
2.能通過(guò)作高線構(gòu)造直角三角形解非直角三角形；
3.會(huì)用解直角三角形中的有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型,解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
重點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形
難點(diǎn)：會(huì)利用解直角三角形，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
知識(shí)點(diǎn)一 解直角三角形
1.解直角三角形的概念
一般地,直角三角形中,除直角外,共有五個(gè)元素,即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的過(guò)程,叫做解直角三角形.
在直角三角形中,除直角外的五個(gè)元素中,已知其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊),可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三)
一個(gè)直角三角形可解，則其面積和周長(zhǎng)可求.但在一個(gè)解直角三角形的題中，如無(wú)特別說(shuō)明，則不包括求面積和周長(zhǎng)
2.直角三角形中五個(gè)元素（除直角外的）之間的關(guān)系
如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
三邊之間的關(guān)系：.（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
邊角之間的關(guān)系： ;;;
;;;.
3.解直角三角形的類(lèi)型和解法
條件 解法步驟 圖示
兩 邊 ①兩直角邊 由，求； ;
②斜邊,一直角邊（如） 由，求； ;
一 邊 一 角 一直角邊 和一銳角 ③銳角,鄰邊 如（） ；
④銳角,對(duì)邊 如（） ；
⑤斜邊,銳角 如（） ；
知識(shí)點(diǎn)二 解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
(1)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;
(2)根據(jù)問(wèn)題中的條件選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形;
(3)得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案;
(4)得到實(shí)際問(wèn)題的答案.
2.實(shí)際問(wèn)題中，常見(jiàn)的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式
圖形 關(guān)系式 圖形 關(guān)系式
3.解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型
仰角和俯角
在測(cè)量中,我們把在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的叫做仰角.
視線在水平線下方的叫俯角.
如圖所示，PQ 為水平線,視線為PA時(shí)，則∠APQ為仰角;視線為PB時(shí),則∠BPQ為俯角.
知識(shí)點(diǎn)三 方向角
指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角,叫方向角.
如圖所示，目標(biāo)方向線OA，OB，OC形成的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向,北偏東 45°習(xí)慣上又叫做東北方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向,南偏西45習(xí)慣上又叫做西南方向.
知識(shí)點(diǎn)四 坡度與坡角
（1）坡角:坡面與水平面所成的夾角.如圖中的
（2）坡度:我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度.坡度也可寫(xiě)成的形式,在實(shí)際應(yīng)用中常表示成的形式
（3）坡度與坡角的關(guān)系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大
【例1】如圖，在中，，，點(diǎn)P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，，求出，則，求出，分別求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的的度數(shù)，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，則；
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，則；
∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法和步驟，以及各個(gè)特殊角度的銳角三角函數(shù)值．
【例2】 如圖，從航拍無(wú)人機(jī)看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無(wú)人機(jī)與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
根據(jù)題意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故則這棟樓的高度為．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．
選擇題
1.如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為（ ）

A． B． C．4 D．5
2．如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（ ）

A．48 B．50 C．52 D．54
3.如圖，以的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若，，，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
4．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個(gè)四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
6.如圖，某農(nóng)林部門(mén)用鋼管為樹(shù)木加固，已知鋼管為4米，鋼管與地面所成角，則固定點(diǎn)離地面的高度為（ ）米

A． B． C． D．
7．如圖，小誠(chéng)在距離旗桿底部B點(diǎn)的A處測(cè)得旗桿頂部C的仰角為，則旗桿BC的高為（ ）
A． B． C． D．
8.如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點(diǎn)D，點(diǎn)E分別位于測(cè)繪點(diǎn)C的正北和正西方向．已知測(cè)得兩定位點(diǎn)E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測(cè)繪點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，測(cè)繪方在測(cè)繪點(diǎn)H測(cè)得點(diǎn)G在點(diǎn)H的南偏西的方向上，且，則隧道的長(zhǎng)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m
9．某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，和表示兩條互相垂直的公路．甲偵測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于北偏東，乙勘測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于南偏西，測(cè)得，，請(qǐng)求出點(diǎn)到的距離（ ）．（參考數(shù)據(jù)，，）

A．140 B．340 C．360 D．480
10．某興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)，如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長(zhǎng)為，此時(shí)用眼舒適度不太理想，小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角（點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想，則此時(shí)頂部邊緣處離地面的高度為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)為 ．

12．如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是 ．
13．如圖，在矩形中，，連接，點(diǎn)在上，平分 ．

14．如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，熱氣球與樓的水平距離，則這棟樓的高度約為 m（，，結(jié)果保留整數(shù)）．
15．如圖，小明在濱海大道的A處測(cè)得鳥(niǎo)島P在北偏東的方向，他向正東方向前行200米到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得鳥(niǎo)島P在他的北偏東方向，則島P到濱海大道的A處的距離為 米（精確到1米）．

三、解答題
16．如圖，中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)．

(1)求作四邊形，使得四邊形是菱形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
(2)與的交點(diǎn)為O，連結(jié)，若， ，求的長(zhǎng)．
17．如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
18.研學(xué)旅行繼承和發(fā)展了我國(guó)傳統(tǒng)游學(xué)“讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路”的教育理念和人文精神，成為核心素養(yǎng)教育下的新內(nèi)容和新方式．某中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，學(xué)生到達(dá)基地后，他們先從如圖所示的基地門(mén)口A處沿南偏西方向走了400米，到達(dá)昆蟲(chóng)博覽館B處，再?gòu)腂處向正東方向走了400米到達(dá)農(nóng)耕體驗(yàn)區(qū)D處，然后從D處沿正北方向到達(dá)戶外拓展區(qū)C處，最后再?gòu)腃處沿北偏西方向回到A處．求戶外拓展區(qū)C處與基地門(mén)口A處之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：）

（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問(wèn)題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫(huà)出思維導(dǎo)圖
參考答案
1.D
【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】如下圖，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．
【詳解】解：連接，如圖所示

，，
，
四邊形的面積為48
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
3.B
【分析】過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為B，根據(jù)正弦和余弦的定義，求出，，從而得到坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為B，
∴，，
∴，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，），
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，的長(zhǎng)．
4．C
【分析】過(guò)B、D兩點(diǎn)分別作AC的垂線，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四邊形ABCD的面積等于△ACD的面積加上△ABC的面積，即可求出；
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四邊形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查含30°的直角三角形的性質(zhì)和四邊形面積的計(jì)算，熟練掌握含30°直角三角形的性質(zhì)和不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
5．B
【分析】由已知可知高所對(duì)的斜邊都為5，由正弦的定義可得到高關(guān)于正弦的表達(dá)式，比較正弦值即可得到答案．
【詳解】解：如圖，分別作出兩三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】根據(jù)題意可得：， 然后在 中， 利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
【詳解】由題意得：
在中， 米，
∴ (米)，
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵
7．B
【分析】利用的正切求解即可．
【詳解】解：由題意得，，，
∵，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
8．B
【分析】先解直角三角形求出，然后根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求解．
【詳解】解：由題意知：，，，，
在中，，
∴，
∵點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方位角問(wèn)題，三角形中位線定理等，明確題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】作于，于，設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)用表示出、，根據(jù)正切的定義用表示出，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．
【詳解】解：作于，于，

則四邊形為矩形，
，，
設(shè)，則，，
在中，，
，則，
在中，，
由題意得，，
解得，，
即點(diǎn)到的距離約為480，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．
10．B
【分析】根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到，在中根據(jù)三角函數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由題意得：，
∵，
∴，
在中，
∴此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)約為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
11.
【分析】根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可知，進(jìn)一步可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，，根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：，，
，，
是的中點(diǎn)，
，
，
是的中點(diǎn)，
平分，，
，，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使得，連接，，與交于點(diǎn)，連接，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的判定可得為等邊三角形，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，求得，當(dāng)與重合時(shí)，即、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即可求解．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，是高，
∴，，
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使得，連接，，與交于點(diǎn)，連接，，如圖：
則，
在中，，
∴，，
故，
∴，
∴為等邊三角形，
在中，，
∵，，
即垂直平分，
∴，，
∴，
，
∴當(dāng)與重合時(shí)，即、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為：，
∴的周長(zhǎng)的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于證明三角形全等，確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．
13．/
【分析】過(guò)點(diǎn)D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理易求對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而解三角形求出、即可解答．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，如圖：

∵平分，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)和解三角形，解題關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)D作構(gòu)造是等腰直角三角形，再解三角形．
14．273
【分析】根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：由題意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
這棟樓的高度約為，
故答案為：273．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】在圖中兩個(gè)直角三角形中，先根據(jù)已知角的正切函數(shù)，分別求出，根據(jù)它們之間的關(guān)系，構(gòu)建方程求出，再利用直角三角形30度角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D
由已知得，在中，，
在中，，
解得，，
∴（米），
∴(米)，
答：島P到濱海大道的A處的距離為米．
故答案為．

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵明確解一般三角形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．
16(1)見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）如圖所示，①作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D；②以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交垂直平分線于點(diǎn)E；即得所求．
（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，由菱形得，，，可證四邊形是矩形，解得，，由勾股定理，由斜邊中線定理，得．
【詳解】（1）解：如圖所示，①作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D；
②以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交垂直平分線于點(diǎn)E；
③連接，，，即得所求．
（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，

在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，O是的中點(diǎn)，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；構(gòu)造直角三角形求解線段是解題的關(guān)鍵．
17．(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得，進(jìn)而可以證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明，得，代入值即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）解：證明：為直徑，
，
，
，
所對(duì)的圓周角為和，
，
；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，，，
，
，
，
，
，
AC=FC
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是得到．
18．250米
【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解∶如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，

∴，
根據(jù)題意可知∶米，米，，
∴（米），，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴（米）．
答：戶外拓展區(qū)C處與基地門(mén)口A處之間的距離為250米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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