資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
12.1 函數(shù) 導(dǎo)學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標：
①初步了解函數(shù)的概念能正確分辨出常量與變量、自變量與因變量。
②能夠由實際問題背景或表達式求出函數(shù)自變量的取值范圍，會求函數(shù)值。
③結(jié)合實例，初步了解函數(shù)的三種表示法:解析法、列表法、圖象法，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法描述某些實際問題中變量之間的關(guān)系。
④能根據(jù)實際問題背景,刻畫變量間的函數(shù)圖象。
（二）學(xué)習(xí)重難點：
重點：由實際問題背景或表達式求出函數(shù)自變量的取值范圍，會求函數(shù)值
難點：了解函數(shù)的三種表示法:解析法、列表法、圖象法，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法描述某些實際問題中變量之間的關(guān)系
閱讀課本，識記知識：
1.變量與常量
在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量,數(shù)值保持不變的量叫做常量。
2.函數(shù)
一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量X、y，如果對于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).
如果當(dāng)x=a時，y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值.
3.表示函數(shù)的三種方法
示函數(shù)關(guān)系主要有下列三種方法:列表法、解析法、圖象法.
（1）列表法：通過列出自量的值與對函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.
（2）解析法：用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做解析法。其中的等式叫做函數(shù)表達式(或函數(shù)解析式) .
注意:在用表達式表示函數(shù)時,要考慮瞳的取值必須使函數(shù)表達式有意義
（3）圖象法
一般地，對于一個函數(shù)，如果把自量x與函數(shù)值y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.
用圖象來表示兩個變量間的函數(shù)關(guān)系的方法，叫做像法.
由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟:
①列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值
②描點:以表中每對對應(yīng)值為坐標,在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點
③連線:按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
注意:
(1)函數(shù)的圖象是由一些 點組成的,在描點的時候應(yīng)盡可能地多選幾個點，使圖象更準確;
(2)在畫圖象時，應(yīng)考慮自變量的取值范圍。
【例1】函數(shù) 中自變量x的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．全體實數(shù)
【答案】A
【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和二次根式的性質(zhì)．根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0可求解．
【詳解】解：根據(jù)二次根式的意義可知：，
解得，
故選A．
【例2】 甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20高的樓頂起飛，兩架無人機同時勻速上升10s．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（單位：）與無人機上升的時間x（單位：s）之間的關(guān)系如圖所示，時，兩架無人機的高度差為（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出甲、乙兩架無人機的速度，然后求出時甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度，本題得以解決．
【詳解】由圖可得，
甲無人機的速度為
乙無人機的速度為，
∴時，甲無人機所在的位置距離地面的高度為米，
乙無人機所在的位置距離地面的高度，
∴時，兩架無人機的高度差為，
故選：C．
選擇題
1.下列說法正確的是（　　）
A．常量是指永遠不變的量
B．具體的數(shù)一定是常量
C．字母一定表示變量
D．球的體積公式，變量是π，r
2.根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是和2時，輸出的y值相等，則b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
3.當(dāng)時，函數(shù)的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
4.若等腰三角形頂角x度，底角是y度，則y與x函數(shù)關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
5.函數(shù)的自變量x的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6.甲、乙兩人分別騎自行車和摩托車，從同一地點沿相同的路線前往距離的某地．如圖，分別表示甲、乙兩人離開出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系．問乙出發(fā)（　　）后兩人相距．
A．2小時 B．小時
C．2小時或小時 D．1小時或小時
7.打開某洗衣機開關(guān)，在洗滌衣服時（洗衣機內(nèi)無水），洗衣機經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間滿足某種函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．C． D．
8.桿秤是我國傳統(tǒng)的計重工具．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用杠桿原理自制了一個如圖1所示的無刻度簡易桿秤．在量程范圍內(nèi)，之間的距離l與重物質(zhì)量m的關(guān)系如圖2所示，下列說法不正確的是（ ）
A．在量程范圍內(nèi)，質(zhì)量m越大，之間的距離l越大；
B．未掛重物時，之間的距離l為；
C．當(dāng)之間的距離l為時，重物質(zhì)量m為；
D．在量程范圍內(nèi)，重物質(zhì)量m每增加，之間的距離l增加．
9.甲、乙兩地相距km，一列快車從甲地勻速開往乙地，一列慢車從乙地勻速開往甲地，兩車同時出發(fā)，快車到達乙地后停止，兩車之間的距離S（km）與快車的行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，則慢車的速度是（ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
10.如圖①，在矩形中，連接，動點P從點B出發(fā)，依次沿運動至點B停止，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則邊的長為（ ）
A．4 B．3 C．5 D．8
填空題
11．函數(shù)的自變量的取值范圍是 ．
12.已知函數(shù)，那么 ．
13．函數(shù)的定義域是 ．
14．在無錫全民健身越野賽中，甲、乙兩選手的行程y(千米)隨時間(時)變化的圖像(全程)如圖所示．下列四種說法：①起跑后1小時內(nèi)，甲在乙的前面；②第1小時兩人都跑了10千米；
③ 甲比乙先到達終點；④ 兩人都跑了20千米．正確的有 ．(填寫序號)
15．如圖1，一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內(nèi)，現(xiàn)以一定的速度往水槽中注水，時注滿水槽，水槽內(nèi)水面的高度與注水時間之間的函數(shù)圖象如圖2所示．水槽內(nèi)正方體鐵塊的棱長為 ，如果將正方體鐵塊取出，又經(jīng)過 秒恰好將水槽注滿．
三、解答題
16．將一個溫度計從一杯熱水中取出之后，立即放入一杯涼水中，下面是用表格表示的溫度計的讀數(shù)與時間之間的關(guān)系．
時間/s 5 10 15 20 25 30
讀數(shù) 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在發(fā)生變化？自變量和因變量各是什么？
(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，大致估計時溫度計的讀數(shù)．
17.某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設(shè)A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
18.如圖1，B地在A地的正東方向，某一時刻，乙車從B地開往A地，1小時后，甲車從A地開往B地，當(dāng)甲車到達B地的同時乙車也到達A地．
如圖2，橫軸（小時）表示兩車的行駛時間（從乙車出發(fā)的時刻開始計時），縱軸（千米）表示兩車與A地的距離．
問題：
(1)、兩地相距多少千米？
(2)和兩段線分別表示兩車距A地的距離（千米）與行駛時間（小時）之間的關(guān)系，請問哪一段表示甲車，哪一段表示乙車？
(3)請問兩車相遇時距A地多少千米？
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
參考答案
1.【答案】B
【分析】本題考查常量與變量的定義及判斷，根據(jù)保持不變的量叫常量，發(fā)生改變的量叫變量直接逐個判斷即可得到答案；
【詳解】解：常量是在一定條件下不變的量，故A選項錯誤，
具體的數(shù)一定是常量，故B選項正確，
字母不一定表示變量，故C選項錯誤，
球的體積公式，變量是r，V，故D選項錯誤，
故選：B．
2.【答案】A
【分析】本題考查了函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是先求出時y的值，再將、代入計算即可．
【詳解】解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
解得：，
故選：A．
3.【答案】B
【分析】本題主要考查了函數(shù)值求解，把自變量的值代入函數(shù)解析式計算即可．
【詳解】解：當(dāng)時，
．
故選：B．
4.【答案】A
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式等知識，利用三角形內(nèi)角和定理和外角的定義即可解決問題．解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
【詳解】解：∵等腰三角形頂角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故選A．
5．【答案】C
【分析】本題考查函數(shù)自變量取自范圍，分式的意義的條件．根據(jù)分式的意義的條件即可得出，解之即可得出自變量x的取值范圍；
【詳解】解：由題意，得，解得
故選：C．
6．【答案】D
【分析】本題考查從函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以分別計算出甲、乙的速度，然后根據(jù)兩人相距，可知存在兩種情況，相遇前和相遇后，再列出相應(yīng)的方程，求解即可．
【詳解】解：由圖象可得，
甲的速度為：，
乙的速度為：，
設(shè)乙出發(fā)小時后兩人相距，
或，
解得或，
故選：D．
7．【答案】D
【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，進水過程中，水量y不斷增加，且剛開始時水量為0，清洗過程中，水量y保持不變，排水的過程中，水量y不斷減少，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：進水過程中，水量y不斷增加，且剛開始時水量為0，清洗過程中，水量y保持不變，排水的過程中，水量y不斷減少，
∴四個選項中，只有D選項的函數(shù)圖象符合題意，
故選D
8．【答案】C
【分析】本題考查了函數(shù)的圖象．?dāng)?shù)形結(jié)合，從函數(shù)圖象中獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．
由圖象可知，在量程范圍內(nèi)，質(zhì)量m越大，之間的距離l越大，進而可判斷A的正誤；未掛重物時，之間的距離l為，進而可判斷B的正誤；當(dāng)之間的距離l為時，重物質(zhì)量m為，進而可判斷C的正誤；在量程范圍內(nèi)，重物質(zhì)量m每增加，之間的距離l增加，進而可判斷D的正誤．
【詳解】解：由圖象可知，在量程范圍內(nèi)，質(zhì)量m越大，之間的距離l越大，A正確，故不符合要求；
未掛重物時，之間的距離l為，B正確，故不符合要求；
當(dāng)之間的距離l為時，重物質(zhì)量m為，C錯誤，故符合要求；
在量程范圍內(nèi)，重物質(zhì)量m每增加，之間的距離l增加，D正確，故不符合要求；
故選：C．
9．【答案】B
【分析】本題考查了行程問題的函數(shù)圖像，旨在考查學(xué)生的理解能力．由圖可知快車行駛后到達乙地，據(jù)此可求出快車的速度；根據(jù)兩車后相遇可求慢車的速度．
【詳解】解：設(shè)快車、慢車的速度分別為，
由圖可知，快車行駛后到達乙地，
∴ km/h，
∵兩車后相遇，
∴，
解得：
∴ km/h，
故選：B
10．【答案】A
【分析】本題考查動點的函數(shù)圖象問題．根據(jù)題意結(jié)合圖象，可知：，結(jié)合勾股定理進行求解即可．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)點在上運動時，的面積為定值，為6，點的總路程為12，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
聯(lián)立：，解得：或，
∵，
∴；
故選A．
11.【答案】且/且
【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
【詳解】解：由題意得，且，
解得且，
故答案為：且．
12. 【答案】2
【分析】本題考查了求函數(shù)值，將代入進行計算即可，準確計算是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
13．【答案】
【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍．根據(jù)被開方數(shù)大于等于0以及分式的分母不能為0列式計算即可得解．
【詳解】解：由題意得，，，
解得且．
故答案為：．
14．【答案】①②④
【分析】本題考查利用函數(shù)的圖象解決實際問題， 正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標表示的意義， 理解問題的過程， 就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決 ．
根據(jù)時的函數(shù)圖象判斷出①正確；根據(jù)時的值判斷出②正確；根據(jù)圖象直接判斷出③錯誤；由圖可知，乙是勻速跑的，當(dāng)時，千米，所以乙跑的速度為10千米/時，即可求得乙跑的路程為20千米，現(xiàn)由圖象可知，甲乙兩人跑的路程相等，即可判斷出④正確 ．
【詳解】解：①由圖可知，時， 甲的函數(shù)圖象在乙的上邊，
所以， 起跑后 1 小時內(nèi)， 甲在乙的前面， 故①正確；
②時， 甲、 乙都是千米， 第 1 小時兩人都跑了 10 千米， 故②正確；
③由圖可知，時， 乙到達終點， 甲沒有到達終點， 所以， 乙比甲先到達終點， 故③錯誤；
④由圖象可知，乙是勻速跑的，當(dāng)時，千米，所以乙跑的速度為10千米/時，則乙跑的路程為(千米)，由圖象可知，甲乙兩人跑的路程相等，所以兩人都跑了 20 千米，故④正確；
綜上所述， 正確的說法是①②④．
故答案為：①②④．
15．【答案】 8 3
【分析】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)函數(shù)圖像可得正方體的棱長為，同時可得水面上升從到所用的時間為8秒，結(jié)合前5秒由于立方體的存在，導(dǎo)致水面上升速度加快了3秒可得答案．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)注水時間為后，函數(shù)圖象的變化趨勢剛好發(fā)生了改變，即此時水面剛好淹沒正方體鐵塊，
∴正方體鐵塊的棱長為，
由函數(shù)圖象可知，再淹沒過正方體鐵塊后在內(nèi)水面上漲了，
∵在有鐵塊的條件下，內(nèi)水面上升的高度為，
∴在沒有鐵塊的前提下還需要恰好將水槽注滿．
故答案為：8；3．
16．【答案】(1)溫度計的讀數(shù)和時間在發(fā)生變化．自變量和因變量分別是時間、溫度計的讀數(shù)
(2)可取
【詳解】1．解：（1）溫度計的讀數(shù)和時間在發(fā)生變化．自變量和因變量分別是時間、溫度計的讀數(shù)．
（2）由表格可看出：隨著時間的增加，溫度計的讀數(shù)越來越小，因此時溫度計的讀數(shù)應(yīng)小于；每隔，溫度差分別為，即溫度差越來越小，因此時的溫度應(yīng)大于，所以時溫度計的讀數(shù)應(yīng)大于且小于，時的溫度可取這個范圍內(nèi)的任意值，比如可取等．
17.【答案】(1)，
(2)他本月的通話時間為分鐘
(3)通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系和求函數(shù)值和自變量的值，根據(jù)題意正確列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意可知，，求出的值即可；
（3）分別求出時，和的值，比較大小即可．
【詳解】（1）解：A套餐：月租費15元，通話費每分鐘元，
，
B套餐：月租費0元，通話費每分鐘元，
；
（2）解：該手機用戶使用A套餐且本月繳費50元，
，
解得：，
他本月的通話時間為分鐘；
（3）解：當(dāng)時，，，
，
∴通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算．
18．【答案】(1)400千米
(2)線段表示甲車距A地的距離與行駛時間的關(guān)系，線段表示乙車距A地的距離與行駛時間的關(guān)系
(3)千米
【分析】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的實際應(yīng)用，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
（1）由函數(shù)圖象可知，、兩地相距400千米；
（2）由于乙車比甲車先出發(fā)1小時，則當(dāng)時甲車距離A地的距離為0，據(jù)此結(jié)合函數(shù)圖象可得答案；
（3）設(shè)兩車相遇時距A地千米， 由函數(shù)圖象可知，甲車的速度為，乙車的速度為，再根據(jù)時間路程速度列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象可知，、兩地相距400千米；
（2）解：∵乙車從B地開往A地，1小時后，甲車從A地開往B地，
∴乙車比甲車先出發(fā)1小時，則當(dāng)時甲車距離A地的距離為0，
∴線段表示甲車距A地的距離與行駛時間的關(guān)系，線段表示乙車距A地的距離與行駛時間的關(guān)系．
（3）解：設(shè)兩車相遇時距A地千米，
由函數(shù)圖象可知，甲車的速度為，乙車的速度為，
∴，
解得，
答：兩車相遇時距A地千米．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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