資源簡介

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12.2 一次函數(shù) 導學案
（一）學習目標：
1. 結合具體情境，理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念.
2.會根據(jù)具體問題的條件,確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)關系式中的未知系數(shù).
（二）學習重難點：
重點：一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，及確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)關系式
難點：確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)關系式
閱讀課本，識記知識：
一.常量、變量：
在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做 變量 ；數(shù)值始終不變的量叫做 常量 。
二、函數(shù)的概念：
函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．
三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法：
（1）用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。
（2）用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數(shù)。
（3）用寄次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。
用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負數(shù)的一 切實數(shù)。
（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。
（5）對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。
四、 函數(shù)圖象的定義：一般的，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．
五、用描點法畫函數(shù)的圖象的一般步驟
1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值。）
注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。
2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點。
3、連線：（按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來）。
六、函數(shù)有三種表示形式：
（1）列表法 （2）圖像法 （3）解析式法
七、正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念：
1、定義
一般地，形如y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。
一般地，形如y=kx+b (k,b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).
當b =0 時,y=kx+b 即為 y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.
增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.
傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.
圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.
2、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.
根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.
3、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系
一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
4、直線（）與（）的位置關系
（1）兩直線平行且 （2）兩直線相交
（3）兩直線重合且 （4）兩直線垂直
5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質
正比例函數(shù) 一次函數(shù)
概 念 一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù) 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，是y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).
自變量 范 圍 X為全體實數(shù)
圖 象 一條直線
必過點 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0時，直線經(jīng)過一、三象限； k<0時，直線經(jīng)過二、四象限 k＞0，b＞0,直線經(jīng)過第一、二、三象限 k＞0，b＜0直線經(jīng)過第一、三、四象限 k＜0，b＞0直線經(jīng)過第一、二、四象限 k＜0，b＜0直線經(jīng)過第二、三、四象限
增減性 k>0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升） k<0，y隨x的增大而減小。（從左向右下降）
傾斜度 |k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
圖像的 平 移 b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移個單位； b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移個單位.
【例1】下列是正比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了正比例函數(shù)的定義．形如，則該函數(shù)就是正比例函數(shù)，據(jù)此求解即可．
【詳解】是正比例函數(shù)，故選項B正確；
不是正比例函數(shù)，故選項A錯誤；
不是正比例函數(shù)，故選項C錯誤；
不是正比例函數(shù)，故選項D錯誤；
故選：B．
【例2】 已知一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，且與x軸交于點A，與y軸交于點B，將該一次函數(shù)向左平移2個單位后得到一次函數(shù)（m、n為常數(shù)）的圖象，則下列關于一次函數(shù)的說法，正確的是（ ）
A．該函數(shù)圖象與y軸交于負半軸 B．該函數(shù)圖象有可能經(jīng)過坐標原點
C．該函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標小于 D．該函數(shù)圖象不一定經(jīng)過第三象限
【答案】C
【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移以及一次函數(shù)的圖象和性質．根據(jù)平移得到，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質，進行判斷即可．掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵該一次函數(shù)向左平移2個單位后得到一次函數(shù)的圖象，
∴，
∴的圖象過一，二，三象限，與軸交于正半軸，
∵一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，
∴平移后的直線過點，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴的函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標小于；
綜上：選項A，B，D錯誤，選項C正確．
故選C．
選擇題
1.下列各函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
2.下面各組變量的關系中，成正比例關系的是（ ）
A．圓的周長與它的半徑 B．人的身高與年齡
C．正方形的面積與它的邊長 D．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
3.下列函數(shù)中，是的正比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的取值是（ ）
A． B． C． D．任意實數(shù)
5.已知一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，則n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
6.在同一平面直角坐標系中，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
7.在平面直角坐標系中，直線與關于軸對稱，那么對于一次函數(shù)，當每增加1時，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
8.已知一次函數(shù)滿足，且y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)的大致圖象是大致是（ ）
A． B．
C． D．
9.若，是一函數(shù)圖象上的兩點，則與的大小關系是（　　）
A． B． C． D．不能確定
10.如圖，在平面直角坐標系中有一個的正方形網(wǎng)格，其右下角格點（小正方形的頂點）的坐標為，左上角格點的坐標為，若分布在直線兩側的格點數(shù)相同，則的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
填空題
11． 正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，且，則k的范圍是 ．
12.已知函數(shù)是正比例函數(shù)，則 ．
13．已知一次函數(shù)經(jīng)過、兩點，，且該函數(shù)的圖象與坐標軸圍成的三角形面積是4，則k的值是 ．
14．點，在一次函數(shù)的圖象上，當時，則b d（填“”“”“”）
15．平面直角坐標系中，已知點、，在y軸上確定點P，使得的周長最小，則點P的坐標是 ．
三、解答題
16．已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求：
(1)該函數(shù)的表達式；
(2)若點在此函數(shù)圖象上，求的值.
17.已知一次函數(shù)．
(1)求圖象與兩條坐標軸的交點坐標，并在如圖的直角坐標系中畫出它的圖象；
(2)從圖象看，y隨著x的增大而增大，還是隨x的增大而減小？
(3)x取何值時，．
18.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C在線段AB上，且到x軸的距離為1．
(1)點B的坐標為__________，點C的坐標為__________；
(2)若點P是x軸上的一個動點，畫圖說明并求出當點P運動到什么位置時，的值最小，直接寫出最小值．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】A
【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義可知，A選項中的函數(shù)是正比例函數(shù)，B、C、D三個選項中的函數(shù)不是正比例函數(shù)，
故選A．
2.【答案】A
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例，由此逐項判斷即可，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：A、圓的周長與它的半徑成正比例關系，故此選項符合題意；
B、人的身高與年齡不成正比例關系，故此選項不符合題意；
C、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例關系，故此選項不符合題意；
D、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關系，故此選項不符合題意；
故選：A．
3.【答案】C
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟記“一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)”是解題關鍵．
【詳解】解：A、一次函數(shù)，不符合題意；
B、是反比例函數(shù)，不符合題意；
C、是正比例函數(shù)，符合題意；
D、是二次函數(shù)，不符合題意；
故選：C．
4.【答案】B
【分析】本考查了正比例函數(shù)的定義．根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到且，然后解不等式和方程即可得到滿足條件的m的值．
【詳解】解：由正比例函數(shù)的定義可得：且，
解得：，
故選：B．
5．【答案】B
【分析】本題考查正比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征．利用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式，再將點代入求值即可．關鍵是求出函數(shù)解析式．
【詳解】解：設正比例函數(shù)的解析式為，將，代入，得：，
∴，
當時，，
∴；
故選B．
6．【答案】A
【分析】本題考查正比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)圖像，解題的關鍵在于對進行分情況討論，找出符合題意的函數(shù)圖像即可．
【詳解】當時，正比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限；
當時，正比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限；
對照各選項中的圖象，只有A符合．
故選：A．
7．【答案】C
【分析】本題主要考查運用待定系數(shù)法求函數(shù)關系式，先求出函數(shù)與坐標軸的交點坐標，再運用待定系數(shù)法求出的值，即可解決問題．
【詳解】解：對于，當 時，；當時，；
∴直線與軸的交點坐標為，與軸的交點坐標為，
∴點關于軸的對稱點為；
∵直線與關于軸對稱，
∴直線經(jīng)過點和，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴當每增加1時，增加3，
故選：C．
8．【答案】C
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，對于一次函數(shù)，當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限， 當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，當時，一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限；當時y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小，
∴，
∵，
∴，
∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴四個選項中只有C選項的函數(shù)圖象符合題意，
故選：C．
9．【答案】A
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質，熟記“，y隨x的增大而增大；，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．
根據(jù)，利用一次函數(shù)的性質可得y隨x的增大而減小，再結合即可得．
【詳解】解：，
y隨x的增大而減小，
又，
．
故選：A．
10．【答案】B
【分析】本題主要考查了過定點的直線旋轉，正方形的對稱性．由正方形的對稱性，要使兩側格點一樣，直線要在正方形中心附近，結合圖形，直線要在直線和直線之間運動，從而確定，進而求解．
【詳解】直線過定點，分布在直線兩側的格點數(shù)相同，
由正方形的對稱性可知，直線兩側的格點數(shù)相同，
在直線和直線之間，兩側格點相同，（如圖）
，，
∴把代入得，
把代入得，
，則．
故選：B．
11.【答案】/
【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質，根據(jù)題意可知y隨x增大而減小，則，可得．對于正比例函數(shù)，當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減小．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，且，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 【答案】
【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，據(jù)此可得，解之即可得到答案．
【詳解】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴，
∴，
故答案為：．
13．【答案】
【分析】本題考查一次函數(shù)解析式的確定及其與坐標軸圍成面積的計算方法，由函數(shù)解析式確定與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，然后根據(jù)函數(shù)圖象與坐標軸的面積為4列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過、兩點，，
∴隨的增大而減小，
∴，
∵在中，
當時，；
當時，，
∴的圖象與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，
由題意可得：，解得：（舍去）或．
故答案為：．
14．【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握函數(shù)的增減性質是解本題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)的，可知y隨x的增大而減小，而，都在該圖象上，且，即可推出結果．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：一次函數(shù)中
y隨x的增大而減小，
又，都在該圖象上，且，
．
故答案為：．
15．【答案】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對稱性質、最短距離，畫出圖形，確定點P的位置是解題的關鍵．
【詳解】解：∵線段的長度是確定的，
∴的周長最小就是的值最小，
如圖，作點A關于y軸的對稱點C，連接交y軸于點P，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴．
故答案為．

16．【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式、正比例函數(shù)圖象上的點的特征，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．
（1）將代入求出的值即可得出函數(shù)的表達式；
（2）將代入得：，求出的值即可．
【詳解】（1）解：將代入得：，
解得：，
該函數(shù)的表達式為：；
（2）解：將代入得：，
解得：．
17.【答案】(1)與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標，圖象見解析；
(2)y隨著x的增大而減小；
(3)．
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，解答此題時要注意利用數(shù)形結合的方法求解．
（1）利用圖象與坐標軸的交點坐標求法，圖象與x軸相交，圖象與y軸相交，分別求出即可．根據(jù)交點，畫出函數(shù)的圖象即可；
（2）直接根據(jù)函數(shù)的圖象進行解答即可；
（3）把代入解析式即可求得．
【詳解】（1）解：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式，
得到；
．
所以與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標．
函數(shù)圖象為：
（2）由圖象可知，y隨著x的增大而減小；
（3）解：當時，
即，
解得．
18．【答案】(1)，
(2)當點P運動到時，的值最小，最小為
【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質，軸對稱求線段和最小值；
（1）分別令、求解即可；
（2）點關于x軸的對稱點為，連接交x軸相交，當點P運動到與x軸的交點處時，連接BP，此時的值最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）∵點C在線段AB上，且到x軸的距離為1．
∴點C縱坐標為1，
當時，解得，
∴，
當時，解得，
∴，
故答案為：， ；
（2）點關于x軸的對稱點為，則，
連接交x軸相交，當點P運動到與x軸的交點處時，
連接BP，此時的值最小，
設直線的表達式為
將點和點分別代入上式，得
解得，
∴直線的表達式為
當時，解得，
∴點P的坐標為
當點P運動到時，的值最小，最小值為．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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