資源簡介

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12.3 一次函數與二元一次方程 導學案
（一）學習目標：
1、理解一次函數與二元一次方程的關系。
2、會利用一次函數的圖像求二元一次方程組的近似解，提高分析問題和解決問題的能力。
3、嘗試用函數的觀點探索實際問題中的數量關系，培養用數學的良好意識。
（二）學習重難點：
重點:利用一次函數圖像解二元一次方程組和一些簡單的實際問題。
難點:理解一次函數與二元一次方程的關系，把函數與方程(組)有機結合起來,靈活解決問題。
閱讀課本，識記知識：
一次函數與二元一次方程之間的關系：
一般地，一次函數y=kx+b圖像上任意一點的坐標都是二元次方程kx-y+b=0的解;
以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標的點都在一次函數y=kx+b 圖像上。
2.用圖像法解二元一次方程組的依據：
一般地，如果兩個一次函數的圖像有一個交點，那么交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解。
3.圖像法解二元一次方程組一般步驟：
（1）把二元一次方程化成一-次函數的形式；
（2）在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點;
（3）交點坐標就是方程組的解。簡記為: 變函數——畫圖像一一找交點——寫結論.
【例1】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數（m、n為常數，且）與正比例函數的交點P在第三象限，過點P作軸于點A，作軸于點B，若，，則關于x、y的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是利用函數的交點坐標確定方程組的解，矩形的判定與性質，勾股定理，根據由兩個函數的交點坐標同時滿足兩個函數解析式，從而可得方程組的解．
【詳解】∵軸，，，
∴，
∵軸，，軸，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
依題意函數和的圖象相交于點P，點，
∴關于x，y的二元一次方程組的解是，
故選：A．
【例2】 在平面直角坐標系中，直線和與軸圍成的三角形面積是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數與坐標軸的交點，求三角形的面積，一次函數與二元一次方程組，先求出直線與y軸的交點坐標，再求出兩條直線的交點橫坐標，即可求出答案．
【詳解】當時，，
∴．
將兩個函數關系式聯立，得，
即，
解得，
∴，
∴．
故選：B．

選擇題
1.如圖,兩個一次函數圖象的交點坐標為(2,4),則關于x,y的方程組的解為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.如圖，關于一次函數與的圖象，下列說法正確的有（ ）個．
①，；
②圖象，隨自變量的增大而減小；
③不論為何值，一次函數的圖象都經過定點，則點的坐標為；
④方程組的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3.已知二元一次方程組的解為則在同一平面直角坐標系中,函數y=x+5與y=-x-1的圖象的交點坐標為(　　)
A.(-4,1)　　　B.(1,-4)　　　C.(4,-1)　　　D.(-1,4)
4.一次函數與的圖像如圖所示，由圖像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5.若直線y=2x-3與直線y=5x+2的交點坐標為(a,b),則解為的方程組可以是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.如圖，一次函數的圖象與的圖象相交于點A，則方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
7.把直線y=-5x+3向上平移m個單位后,與直線y=2x+4的交點在第一象限,則m的取值范圍是(　　)
A.m<4　　　B.m>1　　　C.18.兩個一次函數和的交點坐標為，那么下列方程組中，解為的是（　　）
A． B． C． D．
9.如圖，直線與交點的橫坐標為，則關于，的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
10.已知直線與的交點的坐標為，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．在平面直角坐標系中，線段的端點坐標為，若直線與線段總有交點，則的取值范圍是 ．
12.直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一平面直角坐標系中如圖所示,則關于x、y的方程組的解為　　　　.
13．若直線與坐標軸圍成的三角形面積為6，則 ．
14．已知y1=2x-7和y2=-3x+8,當x>3時,y1>y2;當x<3時,y115．如圖，直線：與直線：相交于點，則關于，的方程組的解為 ．
三、解答題
16．根據一次函數的圖象，寫出下列問題的答案：
(1)關于x的方程的解是 ；
(2)關于x的方程的解是 ；
(3)當時，y的取值范圍是 ．
17.A城有肥料噸，城有肥料噸，現要把這些肥料全部運往、兩鄉，從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸；從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸．現鄉需要肥料噸，鄉需要肥料噸，設城運往鄉的肥料為噸，運往鄉肥料的總運費為，運往鄉肥料的總運費為．
(1)寫出關于的函數關系式以及關于的函數關系式；
(2)怎樣調度總運費最少？求出最少的運輸費用．
18.如圖，已知一次函數的圖象與y軸交于點A，一次函數的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數的圖象分別交于點C、D，點D的坐標為．
(1)關于x、y的方程組的解為 ；
(2)關于x的不等式的解集為 ；
(3)求四邊形的面積；
(4)在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】　A　
【分析】∵直線y=k1x+b1與直線y=k2x+b2的交點坐標為(2,4),
∴關于x,y的方程組的解為故選A.
2.【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數的性質，一次函數與二元一次方程，數形結合思想，根據圖象逐個分析即可．
【詳解】由圖可知，隨x的增大而增大，
∴，
∵過二四象限，
∴，
∴圖象，隨自變量的增大而減小；
故①②正確；
∵一次函數
∴不論為何值，當時，，
即不論為何值，一次函數的圖象都經過定點，則點的坐標為，
故③正確；
∵一次函數與的圖象交點為，
∴方程組的解是，
故④正確，
綜上所述，說法正確的是①②③④．
故選：D．
3.【答案】　A　
【分析】∵二元一次方程組的解為
∴在同一平面直角坐標系中,函數y=x+5與y=-x-1的圖象的交點坐標為(-4,1).
故選A.
4.【答案】C
【分析】此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，正確利用函數圖象分析是解題關鍵．
直接利用函數圖象，結合，得出的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示：不等式的解集為：．
故選：C．
【答案】　C　
【分析】∵直線y=2x-3與直線y=5x+2的交點坐標為(a,b),
∴解為的方程組是即故選C.
6.【答案】B
【分析】本題考查了一次函數和二元一次方程組的關系，先求出點的坐標，再根據方程組與函數的關系求解即可，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：設點的坐標為，
點在直線上，
，
，
點的坐標為，
一次函數的圖象與的圖象相交于點A，
方程組的解是，
故選：B．
7.【答案】　B　
【分析】把直線y=-5x+3向上平移m個單位后可得y=-5x+3+m,
聯立解得即交點坐標為,
∵交點在第一象限,∴解得m>1.
故選B.
8．【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數與二元一次方程組的關系，熟練掌握一次函數與二元一次方程組的關系是解題的關鍵．由于函數圖像交點坐標為兩個函數解析式組成的方程的解，因此聯立兩函數解析式即可得到答案．
【詳解】解：由于一次函數和的交點坐標為，
是方程組的解，
即是方程組的解，
故選D．
9．【答案】B
【分析】本題考查了二元一次去方程組與一次函數的關系，首先利用待定系數法求出兩直線交點的縱坐標，進而可得到兩直線的交點坐標，再根據兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次去方程組的解即可得到答案，解題的關鍵是理解和掌握兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次去方程組的解．
【詳解】解：把代入得，，
∴兩直線的交點坐標為，
∴二元一次方程組的解為，
故選：．
10．【答案】A
【分析】本題考查的是一次函數的交點坐標與二元一次方程組的解，理解交點坐標的含義是解本題的關鍵．由函數的性質先求解，從而可得方程組的解．
【詳解】解：∵直線與的交點的坐標為，
∴，
∴交點坐標為，
∴方程組的解是，
故選：A．
11.【答案】或
【分析】本題考查了一次函數的性質，根據性質即可求解，熟練掌握一次函數的性質時解題的關鍵．
【詳解】解：把代入得，，解得：，
把代入得，，解得，
∵直線與線段總有交點，
∴的取值范圍是或，
故答案為：或．
12. 【答案】　
【解析】　因為兩函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解,
所以方程組的解是
13．【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數與坐標軸圍成的圖形面積問題，先求出一次函數與坐標軸的交點坐標分別為，再根據圍成的圖形面積為6得到，據此求解即可．
【詳解】解：在中，當時，，但時，，
∴一次函數與坐標軸的交點坐標分別為，
∵直線與坐標軸圍成的三角形面積為6，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
14．【答案】　(3,-1)
【解析】　因為當x>3時,y1>y2;當x<3時,y115．【答案】
【分析】本題考查了二元一次方程組與一次函數的關系，首先利用待定系數法求出的值，進而得到點坐標即可，解題的關鍵是掌握兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次方程組的解．
【詳解】解：∵直線經過點，
∴，解得，
∴，
∴關于的方程組的解為，
故答案為：．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，
（1）利用函數圖象寫出函數值為0時對應的自變量的值即可；
（2）利用函數圖象寫出時對應的自變量的值即可
（3）利用函數圖象寫出時對應的函數值范圍即可．
【詳解】（1）利用函數圖象可知函數值為0時，，
故答案為：；
（2）利用函數圖象可知時對應的自變量的值為，
故答案為：；
（3）根據圖象可知：當時，，
故答案為：．
17.【答案】(1)，；
(2)從城運往鄉噸，運往鄉噸；從城運往鄉噸，運往鄉噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是元．
【分析】（）根據題意即可得出之間的函數關系式；
（）設總運費為元，根據題意得，與之間的函數關系式，再利用一次函數的增減性即可求解；
此題考查了一次函數的應用，根據已知得出城和城運往各地的肥料噸數是解題的關鍵．
【詳解】（1）根據題意得，
；
（2）設總運費為元，根據題意得，與之間的函數關系式為，
∵，隨的增大而增大，
∴當時，，
∴從A城運往C鄉0噸，運往D鄉200噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是10040元．
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)4；
(4)或．
【分析】這是一道一次函數綜合題，主要考查一次函數與x軸、y軸的交點、待定系數法求一次函數解析式、一次函數與不等式的關系，三角形的面積、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，畫出相應的圖形，利用數形結合的思想和分類討論的數學思想解答．
（1）根據題目中的兩個函數解析式可以求得點D的坐標、從而可以得到關于x、y的方程組的解；
（2）根據一次函數與不等式的關系，利用數形結合的思想可以得到關于x的不等式的解集；
（3）根據點D在一次函數上，可以求得b的值，然后即可求得點C和點B的坐標，再根據圖形可知四邊形的面積的面積的面積，代入數據即可解答本題；
（4）根據題意，畫出相應的圖形，可知有三種情況，然后分別進行討論計算即可解答本題．
【詳解】（1）解：∵點在一次函數上，
，
∴點D的坐標為，
∵一次函數的圖象與一次函數的圖象交于點D，
的解是，
∴關于x、y的方程組的解為，
故答案為：；
（2）由（1）可知點D的坐標為，
∵一次函數的圖象與一次函數的圖象交于點D，
∴關于x的不等式的解集為，
故答案為：；
（3）∵一次函數，
∴當時，，
∴點A的坐標為，
∵點D在一次函數上，
，得，
∴一次函數，
當時，，當時，，
∴點C的坐標為，點B的坐標為，
，
，
即四邊形的面積是4；
（4）如圖2，當點E為直角頂點時，過點D作軸于，
，
；
當點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；
當點D為直角頂點時，過點D作交x軸于點，
設，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
．
解得．
；
由上可得，點E坐標為或．
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