資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
12.4 綜合與實踐 一次函數模型的應用 導學案
（一）學習目標：
1.結合實際問題建立一次函數模型，知道函數建模的一般步驟和方法.
2.應用函數模型解決簡單的實際問題.
（二）學習重難點：
重點:結合實際問題建立一次函數模型，知道函數建模的一般步驟和方法.
難點:應用函數模型解決簡單的實際問題.
閱讀課本，識記知識：
1.一次函數模型的應用
（1）利用函數解決實際問題的基本模式
（2）建立函數模型的一般步驟
獲取數據; 列表、描點; 觀察、猜想; 求出函數表達式; 檢驗給出答案.
2.選擇方案
（1）選擇方案
選擇方案是指某一問題中,符合條件的方案有多種，一般要利用數學知識經過分析、猜想、判斷，觶選出最佳方案。涉及的問題類型常有利潤最大、路程最短、運費最少、效率最高等。需要建立函數模型，運用方程(組)或不等式的知識進行求解.
2.用一次函數選擇方案的一般步驟
（1）“析”:分析題意，弄清數量關系.
（2）“列”：列出函數表達式。 不等式或方程(組).
（3）“求”：求出 自變量展不同值時對應的函數值的大小，或函數的最大最小值.
（4）“選”：結合實際雷要選擇最佳方案。
注意:在選擇方案時，要考慮實際問題中自變量的取值范圍。尤其要看它是不是某些特殊解(如正整數解)。
【例1】如圖，桿秤是利用杠桿原理來稱物品質量的簡易衡器，其秤砣到秤紐的水平距離與所掛物重之間滿足一次函數關系．若不掛重物時，秤砣到秤紐的水平距離為，掛物體時，秤砣到秤紐的水平距離為．則當秤砣到秤紐的水平距離為時，秤鉤所掛物重為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的應用，設，用待定系數法求解析式，再令，求出x．
【詳解】∵秤砣到秤紐的水平距離與所掛物重之間滿足一次函數關系
∴設一次函數表達式為，
∵若不掛重物時，秤砣到秤紐的水平距離為，掛物體時，秤砣到秤紐的水平距離為
∴當時，；當時，；
∴，解得
∴一次函數表達式為，
當時，
解得，
即當秤砣到秤紐的水平距離為時，秤鉤所掛物重為
故選：B．
【例2】 甲、乙兩車從A城出發勻速行駛至B城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（千米）與甲車行駛的時間t（小時）之間的函數關系如圖所示．則下列結論：①A，B兩城相距300千米；②乙車比甲車晚出發1小時，卻早到1小時；③乙車出發后2.5小時追上甲車；④當甲、乙兩車相距40千米時，或．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查一次函數的應用，由圖象所給數據可求得甲、乙兩車離開A城的距離y與時間t的關系式，可求得兩函數圖象的交點，進而判斷，再令兩函數解析式的差為40，可求得t，可得出答案．
【詳解】解：由圖象可知A、B兩城市之間的距離為，故①正確；
設甲車離開A城的距離y與t的關系式為，
把代入可求得，
∴，
把代入，可得：，
設乙車離開A城的距離y與t的關系式為，
把和代入可得
，
解得，
∴，
令可得：，解得，
即甲、乙兩直線的交點橫坐標為，
乙的速度：，
乙的時間：，
甲行駛的時間為5小時，而乙是在甲出發1小時后出發的，且用時3小時，即比甲早到1小時，故②正確；
甲、乙兩直線的交點橫坐標為，此時乙出發時間為小時，即乙車出發小時后追上甲車，故③錯誤；
令，可得，即，
當時，可解得，
當時，可解得，
又當時，，此時乙還沒出發，
當時，乙到達B城，；
綜上可知當t的值為或或或時，兩車相距40千米，故④不正確；
故選：B．
選擇題
1.在彈性限度內，彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比．某彈簧不掛物體時長；當所掛物體質量為時，彈簧長．則彈簧長度與所掛物體質量之間的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
2.我們把a、b中較小的數記作，設關于x的函數，則下列關于函數的敘述正確的是（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值
3.一家游泳館的游泳收費標準為30元/次,若購買會員年卡,可享受如下優惠:
會員年卡類型 辦卡費用(元) 每次游泳收費(元)
A類 50 25
B類 200 20
C類 400 15
例如,購買A類會員年卡,一年內游泳20次,消費50+25×20=550元,若一年內在該游泳館游泳的次數介于40和50之間(包含40和50),則最省錢的方式為(　　)
A.購買A類會員年卡 B.購買B類會員年卡
C.購買C類會員年卡 D.不購買會員年卡
4.已知腰圍的長度“”與褲子的尺寸“英寸”之間存在一種換算關系如下：
腰圍/cm
尺碼/英寸
小聰量了一下自己所穿裈子的腰圍是，那么他的褲子尺碼是( )
A．30英寸 B．28英寸 C．27英寸 D．26英寸
5.張叔叔有一輛以電能作為動力來源的新能源汽車，剩余電量的電量百分比與已行駛的路程的對應關系如圖所示，如果這輛汽車每千米的耗電量相同，當所剩電量百分比為時，該車已行駛的路程為（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，“漏壺”是一種古代計時器，在壺內盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．若用表示漏水時間，表示壺底到水面的高度，下面的圖象適合表示與的函數關系的是（不考慮水量變化對壓力的影響）（ ）．
A． B．
C． D．
7.某品牌鞋子的長度與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系．若23碼鞋子的長度為，44碼鞋子的長度為，則38碼鞋子的長度為（ ）
A． B． C． D．
8.小冬和小天沿同一條筆直的公路相向而行，小冬從甲地前往乙地，小天從乙地前往甲地，兩人同時發出，當行駛5分鐘時小冬發現重要物品忘帶，立刻掉頭提速返回甲地，用時4分鐘，拿到物品后以提速后的速度繼續前往乙地（掉頭和拿物品的時間忽略不計），小天始終以一個速度保持行駛，二人相距的路程y（米）與小冬出發時間x（分鐘）之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度與小天行駛速度相同；
B．小冬和小天出發時的速度分別為160米/分鐘和200米/分鐘；
C．小天出發分鐘兩人相遇；
D．小冬最終達到乙地的時間是20分鐘．
9.已知，如圖，直線：，分別交平面直角坐標系于，兩點，直線與坐標軸交于，兩點，兩直線交于點；點是軸上一動點，連接，將沿翻折，點對應點剛好落在軸負半軸上，則所在直線解析式為（ ）
A． B．
C． D．
10.如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，以為邊作等邊三邊形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，…，則點的橫坐標是（　?。?br/>A． B． C． D．
填空題
11． 某市新能源出租車的收費標準如下：3千米以內（包括3千米）收費12元，超過3千米后，每超1千米就加收元．若某人乘出租車行駛的距離為x（）千米，則需付費用y與行駛距離x之間的函數關系式是 ．
12.已知：平面內點、、，直線將分成面積相等的兩部分，則m的值為 ．
13．小李想選擇一種新的話費套餐.獲悉某通信公司新開發了甲、乙兩種手機話費套餐,其每月通話費用與通話時間之間的關系如圖所示.若平時小李每月的通話時間大約在120分鐘,則小李選擇　　　　種套餐更合適.
14．在平面直角坐標系中，我們把橫，縱坐標都是整數的點叫做整點．已知點，點是x軸正半軸上的一個動點，若內部（不包括邊界）的整點個數為6，則b的取值范圍是 ．
15．現有甲、乙兩個長方體蓄水池，將甲池中的水勻速注入乙池中．如圖，這是甲、乙兩個蓄水池中水的高度（米）隨注水時間（小時）變化的圖象．當甲、乙兩蓄水池中水的高度相同時，注水的時間是 小時．
三、解答題
16．某服裝店準備購進甲、乙兩種服裝出售,甲種服裝每件售價120元,乙種服裝每件售價90元.每件甲種服裝的進價比乙種服裝的進價貴20元,購進3件甲種服裝的費用和購進4件乙種服裝的費用相等,現計劃購進兩種服裝共100件,其中甲種服裝不少于65件.
(1)甲種服裝每件的進價為　　　　元,乙種服裝每件的進價為　　　　元;
(2)若購進這100件服裝的費用不得超過7 500元.
①求甲種服裝最多購進多少件;
②該服裝店對甲種服裝每件降價a(017.為提高學生的身體素質,某市某學校積極開展“陽光體育運動”.引導學生走向操場、走進大自然、走到陽光下,積極參加體育鍛煉.為滿足學生需求,保障“陽光體育運動”的開展,讓更多的學生以更大的興趣、更多的時間積極投入到運動之中.學?，F計劃從某體育用品專賣店購進足球和籃球共100個,足球的售價為每個80元.購買籃球所需費用y(元)與購買數量x(個)之間存在如圖所示的函數關系.
(1)直接寫出當0≤x≤40和x>40時,y與x之間的函數關系式;
(2)若在購買計劃中,籃球的數量不超過60個,但不少于35個,則學校如何分配籃球和足球的購買數量,可使得購買總費用最低 并求出最低費用.
18.現有兩段長度相等的路面需要攤鋪，分別交給甲乙兩隊完成．甲隊攤鋪路面的長度（米）與攤鋪時間（小時）的函數關系的圖象如圖所示；乙隊攤鋪路面的長度（米）與攤鋪時間（小時）的函數解析式是．結合圖象提供的信息，回答下列問題：

(1)甲隊攤鋪的路面總長是________米；
(2)在圖中畫出乙隊攤鋪路面的長度（米）與攤鋪時間（小時）的函數關系的圖象；
(3)當甲隊的工作效率發生變化的這個時刻，乙隊攤鋪路面的長度是________米；
(4)甲隊的平均工作效率是每小時________米．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數的應用，解題關鍵是理解題意，利用待定系數法求得函數解析式．設彈簧總長度與所掛物體質量之間符合一次函數關系為，然后根據題意，代入求解即可．
【詳解】解：設彈簧總長度與所掛物體質量之間符合一次函數關系為，
由題意得，解得，
所以該一次函數解析式為．
故選：D．
2.【答案】B
【分析】本題考查的是一次函數的性質，新定義運算的含義，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵；先求解當，或，設，，分別畫出函數的簡圖，再分類討論即可．
【詳解】解：設，，如圖，
當，
解得：或，
當時，，
∴，
此時沒有最大值，也沒有最小值，
當時，，
∴，
此時當時，有最大值，最小值；
當時，，
∴，
此時沒有最大值，也沒有最小值，
綜上：可得A，C，D不符合題意，B符合題意；
故選B
【答案】　C　
【分析】設一年內在該游泳館游泳的次數為x,購買A類、B類、C類會員年卡,不購買會員年卡消費的錢數分別為yA元,yB元,yC元,yD元,
根據題意得yA=50+25x,yB=200+20x,yC=400+15x,yD=30x,
當40≤x≤50時,1 050≤yA≤1 300,1 000≤yB≤1 200,1 000≤yC≤1 150,1 200≤yD≤1 500.
由此可見,C類會員年卡消費最低,所以最省錢的方式為購買C類會員年卡.故選C.
4.【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數的應用，依據題意，設腰圍的長度“”與褲子的尺寸“英寸”之間存在一種換算關系為，從而列出方程組，解得，，再令，最后即可得解．
【詳解】解：由題意，設腰圍的長度“”與褲子的尺寸“英寸”之間存在一種換算關系為，
∴．
∴．
∴腰圍的長度“”與褲子的尺寸“英寸”之間存在一種換算關系為．
將代入，，也符合該解析式；
當腰圍為，即時，有．
．
故選：D．
5．【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，利用待定系數法求出y關于x的函數關系式為，再代入求出對應的x的值即可得到答案．
【詳解】解：設y關于x的函數關系式為，
把，代入中得：，
∴，
∴y關于x的函數關系式為，
當時，則，
解得，
∴當所剩電量百分比為時，該車已行駛的路程為，
故選B．
6．【答案】B
【分析】本題主要考查一次函數的函數圖象與實際應用，解答本題的關鍵在于充分理解題意，根據函數圖像的性質結合實際意義，即可得出結論．
【詳解】解：由題意得，
剛開始時，壺內有一定量的水，
∴，
當壺內水開始漏水時，由于壺口大小不變，漏水的速度也不變，
∴壺底到水面的高度也是勻速減小，
∴高度與時間的函數關系是一條逐漸減小的一次函數，
∴B圖象符合題意．
故選：B．
7．【答案】B
【分析】本題考查一次函數的應用．設，分別將和代入求出一次函數解析式，把代入即可求解．
【詳解】解：設，分別將和代入可得：
，
解得，
∴，
當時，，
故選：B．
8．【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的實際應用，一元一次方程等知識，解答本題的關鍵是明確題意，采用數形結合的思想．
由圖象可知前5分鐘，兩人共行駛了米，故兩人速度和為米/分鐘，再根據小東提速返回的路程，小天用4分鐘的時間，可知小天的速度是小東的倍，即可算出兩人開始的速度；然后根據總路程和小東繼續去乙地的速度，分別求出小天和小東用的相遇時間即可；小東在加上開始5分鐘和返回4分鐘即總時間，逐一判斷即可．
【詳解】A．當行駛5分鐘時小冬發現重要物品忘帶發現重要物品沒帶，立刻掉頭提速返回甲地甲地，此時由圖軸可知，小東和小天相距的路程不變，
所以小冬返回甲地的速度與小天行駛速度相同，
此選項不符合題意
B．小東掉頭提速返回甲地，用時4分鐘，且小東和小天相距的路程不變
小東提速前5分鐘的路程，相當于小天只需4分鐘就可走完，
小天速度是小東提速前的速度的倍
設小東原速度為v米/分鐘,則提速后為米/分鐘，小天的速度為米/分鐘，則
小冬和小天出發時的速度分別為160米/分鐘和200米/分鐘，
故此選項不符合題意；
C．兩人同時發出，當行駛5分鐘到達B點 ，小東掉頭提速返回甲地，用時4分鐘，且小東和小天相距的路程不變，
此時兩人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度繼續前往乙地，
小東提速后速度為200米/分鐘，兩人繼續行駛分鐘相遇，
小天一共行駛了分鐘
故此選項不符合題意；
D．小東行駛時間為開始5分鐘，返回甲地4分鐘，重新返回乙地分鐘，
小冬最終達到乙地的時間是29分鐘，
故此選項不符合題意．
故選：D
9．【答案】A
【分析】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，勾股定理及應用，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度．把代入得，即得，當的對應點在軸負半軸時，過作軸于，由知，，設，則，在中，有，用待定系數法即得直線解析式．
【詳解】解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
直線為，
當的對應點在軸負半軸時，過作軸于，如圖：
在中，令得，
，，
，
，，，
，
，
設，則，
，
在中，，
，
解得，
，
設直線解析式為，把代入得：
，
解得，
直線解析式為．
故選：A．
10．【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的解析式及其性質，等邊三角形的性質，勾股定理，坐標中規律探究，先利用解析式確定，從而確定等邊三邊形的邊長為1，過點作軸于點，根據勾股定理確定即的橫坐標為；結合平行于軸，得，確定，，過點作于點，根據勾股定理確定即的橫坐標為；猜想規律計算即可．
【詳解】∵與軸交于點，
∴，
解得，
∴，
∴等邊三邊形的邊長為1，
過點作軸于點，
根據勾股定理，得，
∴即的橫坐標為；
∵平行于軸，
∴，
解得，
∴，，
∴等邊三邊形的邊長為2，
過點作于點，
根據勾股定理，得，
∴即的橫坐標為；
由此猜想其規律為的橫坐標為，
故選：A．
11.【答案】
【分析】本題考查了一次函數的應用，先判斷行駛的距離是3千米還是3千米以上，再根據題意列出解析式化簡即可．
【詳解】解：由題意可得：
，
故答案為：．
12. 【答案】2
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形中線性質，確定一次函數圖象過定點是解題關鍵．設點C為線段的中點，則點C的坐標為，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出直線過三角形的頂點，結合直線將分成面積相等的的兩部分，可得出直線過點，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出m的值．
【詳解】解：設點C為線段的中點，，則點C的坐標為，如圖所示．
∵，
∴當時，，
∴直線過三角形的頂點．
∵直線將分成面積相等的的兩部分，
∴直線過點，
∴，
∴．
故答案為：2．
13．【答案】　乙
【解析】　設甲種手機話費套餐對應的函數解析式為y=kx(k≠0),
則100k=40,
解得k=0.4,
故甲種手機話費套餐對應的函數解析式為y=0.4x,
設乙種手機話費套餐對應的函數解析式為y=ax+20(a≠0),
則100a+20=40,
解得a=0.2,
故乙種手機話費套餐對應的函數解析式為y=0.2x+20,
當x=120時,y甲=0.4×120=48,y乙=0.2×120+20=44,
∵48>44,
∴小李選擇乙種套餐更合適.
故答案為乙.
14．【答案】
【分析】本題考查了一次函數的應用，一次函數解析式，直線與x軸的交點．根據整點定義進行分類討論是解題的關鍵．
如圖，當經過點的直線過點時，直線即坐標軸圍成的三角形內部的整點有6個，待定系數法求此時的直線解析式為，時，，可得；當經過點的直線過點時，直線即坐標軸圍成的三角形內部的整點有4個，同理可求，此時的直線的解析式為，當時，，可得；然后結合圖象作答即可．
【詳解】解：如圖，
當經過點的直線過點時，直線即坐標軸圍成的三角形內部的整點有6個，
設直線的解析式為，
將，代入得，
解得，，
∴，
當時，，
解得，，
當經過點的直線過點時，直線即坐標軸圍成的三角形內部的整點有4個，
同理可求，此時的直線的解析式為，
當時，，
解得，；
∴由圖象可知，內部（不包括邊界）的整點個數為6，b的取值范圍是，
故答案為： ．
15．【答案】/
【分析】本題考查了一次函數的實際應用．先利用待定系數法求出兩個蓄水池的函數解析式，再聯立求出交點橫坐標即可得．
【詳解】解：設甲蓄水池的函數解析式為，
由題意，將點代入得：，解得，
則甲蓄水池的函數解析式為，
設乙蓄水池的函數解析式為，
由題意，將點代入得：，解得，
則乙蓄水池的函數解析式為，
聯立得，
解得，
即當甲、乙兩池中水的深度相同時，注水時間為小時，
故答案為：．
16．【解析】(1)設乙種服裝每件的進價為x元,則甲種服裝每件的進價為(x+20)元,根據題意得3(x+20)=4x,解得x=60,∴x+20=80.
故甲種服裝每件的進價為80元,乙種服裝每件的進價為60元.
(2)①設計劃購進y件甲種服裝,則購進(100-y)件乙種服裝,
根據題意得
解得65≤y≤75,
∴甲種服裝最多購進75件.
②設總利潤為w元,則w=(120-80-a)y+(90-60)(100-y)=(10-a)y+3 000,且65≤y≤75.
(i)當00,w隨y的增大而增大,則當y=75時,w有最大值,故購進甲種服裝75件,乙種服裝25件才能獲得最大利潤;
(ii)當a=10時,所有進貨方案獲利相同;
(iii)當1017.【解析】　(1)設當0≤x≤40時,y與x的函數關系式為y=kx(k≠0),
則4 000=40k,解得k=100,
故當0≤x≤40時,y與x的函數關系式為y=100x,
設當x≥40時,y與x的函數關系式為y=ax+b(a≠0),
則解得
故當x≥40時,y與x的函數關系式為y=70x+1 200.
綜上可得,y與x的函數關系式為y=
(2)設學校購買足球和籃球的總費用為w元,
由題意知35≤x≤60,
當35≤x≤40時,w=80(100-x)+100x=20x+8 000.
因為20>0,所以w隨x的增大而增大,
因此,當x=35時,w取得最小值,此時w=8 700.
當40因為-10<0,所以w隨x的增大而減小,
因此,當x=60時,w取得最小值,此時w=8 600.
因為8 700>8 600,
所以當x=60時,總費用最低,最低費用為8 600元.
所以100-x=100-60=40.
答:當學校購買籃球60個,足球40個時,可使得購買總費用最低,最低費用為8 600元.
18．【答案】(1)100
(2)見解析
(3)50
(4)
【分析】本題考查了從函數圖象中獲取信息、一次函數的應用，讀懂函數圖象，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
（1）由函數圖象即可得出答案；
（2）根據乙隊攤鋪路面的長度（米）與攤鋪時間（小時）的函數解析式是畫出圖象即可；
（3）由圖可得，當時，甲隊的工作效率發生變化，將代入進行計算即可得出答案；
（4）由圖可得：甲隊攤鋪的路面總長是米，所花費的時間為小時，由此進行計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：甲隊攤鋪的路面總長是米，
故答案為：；
（2）解：畫出乙隊攤鋪路面的長度（米）與攤鋪時間（小時）的函數關系的圖象如圖所示：
（3）解：由圖可得，當時，甲隊的工作效率發生變化，
此時乙隊攤鋪路面的長度是（米），
故答案為：；
（4）解：由圖可得：甲隊攤鋪的路面總長是米，所花費的時間為小時，
故甲隊的平均工作效率是每小時（米），
故答案為：．
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