資源簡介

等比數列
一、等比數列
1．等比數列的概念
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比．
注意：（1）等比數列的每一項都不可能為0；
（2）公比是每一項與其前一項的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個與無關的常數.
2．等比中項
如果在與中間插入一個數，使，，成等比數列，那么叫做與的等比中項，此時．
3．等比數列的通項公式及其變形
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首項為，公比為的等比數列的通項公式是．
等比數列通項公式的變形：．
4．等比數列與單調性
當或時，是遞增數列；
當或時，是遞減數列；
當時，為常數列；
當時，為擺動數列，所有的奇數項（偶數項）同號，奇數項與偶數項異號．
二、等比數列的前n項和公式
首項為，公比為的等比數列的前項和的公式為
三、等比數列及其前n項和的性質
若數列是公比為的等比數列，前n項和為，則有如下性質：
（1）若，則；若，則．
推廣：若，則．
（2）若成等差數列，則成等比數列．
（3）若項數為，則，若項數為，則．
（4）當時，連續項的和（如）仍組成等比數列（公比為，）．注意：這里連續m項的和均非零．
考點01等比數列基本量的運算
【例1】已知為等比數列，若，且與之和的算術平方根為5，則的值為
（ ）
A． B． C． D．
【例2】在正項等比數列中，若，則數列的公比為
【變式1-1】設等比數列的前項和為，則（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【變式1-2】已知正項等比數列的前項和為，若 ，則 的最小值為
【變式1-3】已知等比數列的前項和為，若，公比.
(1)求數列的通項公式；
(2)求前項和：；
考點02等比數列的判定與證明
【例3】已知數列滿足，.證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
【例4】已知數列的前項和為，滿足．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設數列，求數列的前項和
【變式2-1】已知數列中，，.
(1)證明：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【變式2-2】正項數列滿足，.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和.
【變式2-3】記為數列的前n項和，已知，．
(1)證明：數列是等比數列，并求；
(2)求數列的前n項和．
考點03等比數列項的性質
【例5】已知數列為等比數列， ，則 （ ）
A． B．
C．2 D．
【例6】已知數列是單調遞增的等比數列，且，，則 ，數列的公差為 ．
【變式3-1】已知等比數列滿足，則的最小值是 ．
【變式3-2】若等比數列中的，是方程的兩個根，則等于（ ）
A． B．1011
C． D．1012
【變式3-3】已知數列是各項均為正數的等比數列，且，．求數列的通項公式．
考點04等比數列和的性質
【例7】在正項等比數列中，為其前項和，若，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【例8】等比數列的首項為2，項數為奇數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個等比數列的公比q＝ .
【變式4-1】已知等比數列的公比，且，則 .
【變式4-2】（多選）已知數列的前項和為，下列命題正確的有（ ）.
A．若為等差數列，則一定是等差數列
B．若為等比數列，則一定是等比數列
C．若，則一定是等比數列
D．若，則一定是等比數列
【變式4-3】在等比數列中，公比，前87項和，則（ ）
A． B．60 C．80 D．160
考點05數列中的數學文化
【例9】《張丘建算經》是中國古代的數學著作，書中有一道“今有女善織，日益功疾”的題．若第一天織布5尺（長度單位），從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，現1個月（按30天計）共織390尺布，則第2天比前一天多織布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【例10】著名的“漢洛塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套著個中心帶孔的圓盤，將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作．設將個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數為，則 ， ．

【變式5-1】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足五五數之剩三，將符合條件的所有正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前項和為，則的最小值為（ ）
A．23 B． C． D．33
【變式5-2】分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【變式5-3】剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國古老的民間藝術之一，已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為2的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形內多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作4次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為 ．
考點06等比數列的函數特性
【例11】已知等比數列滿足，公比，且，，則當最小時，（ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
【例12】數列是等比數列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【變式6-1】（多選）設數列為正項等比數列，為公比，為前項的積，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．與均為的最大值
【變式6-2】（多選）設等比數列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件
，，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大值 D．數列無最大值
【變式6-3】已知數列為等比數列，，公比，若是數列的前n項積，則取最大值時，n的值為 .
考點07等差數列與等比數列的綜合應用
【例13】已知為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例14】設數列的前項的和為.
(1)若是公差為的等差數列，且成等比數列，求；
(2)若，求證：.
【變式7-1】在如圖所示的表格中，每個空格中填入一個數字，使每一行方格中的數成等比數列，每一列方格中的數成等差數列，則所填數字之積的值為 .
1 a 4
b 6 d
c e 20
【變式7-2】已知公比大于1的等比數列滿足：，且是和的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的前項和．
【變式7-3】已知等比數列公比為2，數列滿足，若數列的前項和為.
(1)求數列和的通項公式；
(2)是否存在正整數，使得成等差數列，若存在，請求出所有滿足條件的正整數，如不存在，請說明理由.
易錯01忽視奇數項符號相同、偶數項符號相同
注意：等比數列中，項的符號規律是: 全正、全負、正負相間
1．實數 ，，，，等比數列，則xyt等于（ ）
A．-4 B．1 C．8 D．-8
2．數列滿足：首項，，則下列說法正確的
（ ）
A．該數列的奇數項成等比數列，偶數項成等差數列
B．該數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列
C．該數列的奇數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列
D．該數列的偶數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列
易錯02利用前n項和公式時忽視分類討論致錯
注意：等比數列求和公式分兩種情況，在解題過程中容易忽略
1．已知數列的前項和為．
（1）若為等差數列，且公差，，，求和；
（2）若為等比數列，且，，求和公比．
2．數列是首項的等比數列，且成等差數列，求數列的通項公式.
一、單選題
1．已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則的公比
（ ）.
A．1 B．2. C．3 D．5
2．已知等比數列的前項積為，公比，則取最大值時的值為（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．5或6
3．數列滿足，則數列的前8項和為（ ）.
A．63 B．127 C．255 D．256
4．設等比數列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數列的前28項和為（ ）
A．64 B．72 C．80 D．92
5．設為數列的前項和，，則“”
“數列
以為公比的等比數列”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
6．已知實數成等比數列，集合，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．已知數列的前項和為，則（ ）
A．若為等差數列，且，則
B．若為等差數列，且，則
C．若為等比數列，且，則
D．若為等比數列，且，則
8．已知數列滿足.
①；②
等差數列；③
等比數列；④數列前項和為.
上述語句正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
二、多選題
9．已知為等差數列的前n項和，為等比數列的前n項積，且，則（ ）
A． B． C． D．
10．等比數列的公比為，則下列說法正確的
（ ）
A．為等差數列 B．若且，則遞增
C．為等比數列 D．為等比數列
11．設等比數列前項積為，公比為．若，，，則下列結論正確的
（ ）
A． B．
C．當時，取最大值 D．使成立的最大自然數
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三、填空題
12．已知等比數列的首項，其前項和為，若，則 ．
13．若一個數列的第項等于這個數列的前項的乘積，則稱該數列為“積數列”.若各項均為正數的等比數列
一個“2026積數列”，且，則當其前項的乘積取得最大值時，的值為 .
14．已知數列滿足，，，單調遞增，則的取值范圍為 .
四、解答題
15．已知等比數列的各項皆為正數，且.
(1)求數列的通項公式;
(2)求的值.
16．已知數列，中，，，
公差為1的等差數列，數列
公比為2的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
17．設等比數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)記為數列的前項和．若，求的值．
18．設，若數列的前項和為，且
與的等差中項；
(1)求數列的通項公式；
(2)若
以為首項，為公差的等差數列，求數列的前項和．
19．已知數列
單調遞增的等差數列，數列為等比數列，且
和的等差中項，
和的等比中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若為數列的前項和，求證：．等比數列
一、等比數列
1．等比數列的概念
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比．
注意：（1）等比數列的每一項都不可能為0；
（2）公比是每一項與其前一項的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個與無關的常數.
2．等比中項
如果在與中間插入一個數，使，，成等比數列，那么叫做與的等比中項，此時．
3．等比數列的通項公式及其變形
中小學教育資源及組卷應用平臺
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
首項為，公比為的等比數列的通項公式是．
等比數列通項公式的變形：．
4．等比數列與單調性
當或時，是遞增數列；
當或時，是遞減數列；
當時，為常數列；
當時，為擺動數列，所有的奇數項（偶數項）同號，奇數項與偶數項異號．
二、等比數列的前n項和公式
首項為，公比為的等比數列的前項和的公式為
三、等比數列及其前n項和的性質
若數列是公比為的等比數列，前n項和為，則有如下性質：
（1）若，則；若，則．
推廣：若，則．
（2）若成等差數列，則成等比數列．
（3）若項數為，則，若項數為，則．
（4）當時，連續項的和（如）仍組成等比數列（公比為，）．注意：這里連續m項的和均非零．
考點01等比數列基本量的運算
【例1】已知為等比數列，若，且與之和的算術平方根為5，則的值為
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】為等比數列，若，則，則.
又與之和的算術平方根為5，得到，則，則.
則，則.，
.
故選：A.
【例2】在正項等比數列中，若，則數列的公比為
【答案】
【詳解】設正項等比數列的公比為，
因為，則，
所以，
數列的公比為.
故答案為：.
【變式1-1】設等比數列的前項和為，則（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【答案】A
【詳解】因為，，所以，
因為是等比數列，所以成等比數列，
所以，解得或（舍，若成立則不滿足上面三項成等比數列），故A正確.
故選：A.
【變式1-2】已知正項等比數列的前項和為，若 ，則 的最小值為
【答案】/
【詳解】設等比數列的公比為，由題意知且，
由，得到，得到，解得，
所以，得到，所以
故，
易知當時，，當時，，
故的最小值為，
故答案為：.
【變式1-3】已知等比數列的前項和為，若，公比.
(1)求數列的通項公式；
(2)求前項和：；
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可得，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
所以，故數列是以為公比，為首項的等比數列，
所以.
考點02等比數列的判定與證明
【例3】已知數列滿足，.證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
【答案】證明見解析，
【詳解】因為，所以，
則，又，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，
所以.
【例4】已知數列的前項和為，滿足．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設數列，求數列的前項和
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）
當時，，．
當時，，，
，數列是以為首項，以為公比的等比數列．
（2）由（1）得，，即，
.
當（常數），則是首項為2,公差為1的等差數列.
則.
【變式2-1】已知數列中，，.
(1)證明：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為數列中，，，
所以，且，
所以是等比數列，公比為2，首項為2
（2）由(1)可得，即，
所以數列的前項和
【變式2-2】正項數列滿足，.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為，
所以，又，
所以是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）可得，所以，
所以
.
【變式2-3】記為數列的前n項和，已知，．
(1)證明：數列是等比數列，并求；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【詳解】（1）因為，又，所以，
整理得．
由題意得，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
故，即．
（2）由（1）可得．
當時，，
當時，，
所以，
，
兩式相減，得
即
，
即，
綜上，
考點03等比數列項的性質
【例5】已知數列為等比數列， ，則 （ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】C
【詳解】因為為等比數列，則公比，
所以，又，
所以
，解得，
又，而恒成立，
所以，則，故.
故選：C.
【例6】已知數列是單調遞增的等比數列，且，，則 ，數列的公差為 ．
【答案】 81
【詳解】因為數列是單調遞增的等比數列，即，
則，解得或（舍去），
則，解得，
所以，.
故答案為：81；.
【變式3-1】已知等比數列滿足，則的最小值是 ．
【答案】27
【詳解】因為數列是等比數列，則，可得，
所以，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值是27.
故答案為：27.
【變式3-2】若等比數列中的，是方程的兩個根，則等于（ ）
A． B．1011
C． D．1012
【答案】C
【詳解】因為等比數列中的，是方程的兩個根，
所以，根據等比數列性質知，
，
因為，于是，
則
=
=.故A，B，D錯誤.
故選：C.
【變式3-3】已知數列是各項均為正數的等比數列，且，．求數列的通項公式．
【答案】答案見解析
【詳解】因為數列是各項均為正數的等比數列，所以公比，
因為，所以，所以．
由題易知是公比為的等比數列，所以是公比為的等比數列．
因為，所以，
所以，所以，所以．
所以當時，；
當時，．
考點04等比數列和的性質
【例7】在正項等比數列中，為其前項和，若，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【詳解】由，得，
因為數列為等比數列，所以成等比數列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因為等比數列的各項為正數，所以，
所以，
故選：D
【例8】等比數列的首項為2，項數為奇數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個等比數列的公比q＝ .
【答案】/0.5
【詳解】設數列共有項，
由題意得，，
則，
解得，
故答案為：
【變式4-1】已知等比數列的公比，且，則 .
【答案】120
【詳解】因為在等比數列中，若項數為，則，
所以
.
故答案為：120
【變式4-2】（多選）已知數列的前項和為，下列命題正確的有（ ）.
A．若為等差數列，則一定是等差數列
B．若為等比數列，則一定是等比數列
C．若，則一定是等比數列
D．若，則一定是等比數列
【答案】AC
【詳解】對于A，設等差數列的公差為，則，
則，
同理可得，
所以，所以，，仍為等差數列，故A項正確；
對于B,取數列為，1，，1，，，，不能成等比數列，故B項不正確；
對于C，由可得時，，相減可得（），
由可得，因此對任意都成立，故是等比數列，C正確，
對于D，由可得，相減可得，若，不是等比數列，故D錯誤．
故選：AC．
【變式4-3】在等比數列中，公比，前87項和，則（ ）
A． B．60 C．80 D．160
【答案】C
【詳解】在等比數列中，由公比，
可得構成公比為的等比數列，
設，則，
因為數列的前87項和，
所以，解得，所以.
故選：C.
考點05數列中的數學文化
【例9】《張丘建算經》是中國古代的數學著作，書中有一道“今有女善織，日益功疾”的題．若第一天織布5尺（長度單位），從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，現1個月（按30天計）共織390尺布，則第2天比前一天多織布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【詳解】設第2天比前一天多織布尺，
根據題意得，解得，
所以第2天比前一天多織布尺，
故選：D．
【例10】著名的“漢洛塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套著個中心帶孔的圓盤，將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作．設將個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數為，則 ， ．

【答案】 7 /
【詳解】根據題意假設木樁1上原有個圓盤，要將這個圓盤全部按要求套到木樁3上，所需的最少次數為,
則有如下操作：
先將個圓盤從木樁1套到木樁2上，所需最少次數為，
再將最大的圓盤從木樁1套到木樁3上，需要1次，
最后將木樁2上的個圓盤全部套到木樁3上，所需的最少次數為，
則,,
即,
所以是以2為首項，1為公比的等比數列，
所以,.
故答案為: .
【變式5-1】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足五五數之剩三，將符合條件的所有正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前項和為，則的最小值為（ ）
A．23 B． C． D．33
【答案】B
【詳解】由題意，可知所有正整數為3，8，13，18，…
即數列為5的非負整數倍加3，
故，
數列是以3為首項，5為公差的等差數列，
，
，
當且僅當，即時，等號成立，
當時，，
當時，
所以當時，取得最小值且最小值為.
故選：B.
【變式5-2】分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【答案】C
【詳解】設題圖②中第行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，
依題意可得，且有，
所以是以為首項，3為公比的等比數列，
①；
又，，
故有，
∴為常數數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，
②；
由①②相加減得：
，；
所以．
故選：C．
【變式5-3】剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國古老的民間藝術之一，已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為2的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形內多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作4次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為 ．
【答案】
【詳解】第次剪去正方形內多余部分的面積記為；
因為的半徑為2，由其內接正方形對角線為直徑，所以內接正方形的邊長為，
即，再作第一個內切圓，其直徑為該正方形的邊長，即，
所以第一次剪去部分的面積為，
同理：，， ，
，， ，
，， ，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面積之和為：，
故答案為：.
考點06等比數列的函數特性
【例11】已知等比數列滿足，公比，且，，則當最小時，（ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
【答案】A
【詳解】由題意知，故，
則，即，
結合等比數列滿足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故當最小時，，
故選：A
【例12】數列是等比數列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【答案】C
【詳解】設等比數列的公比為，，
若，則，
當 時，由 得，解得或，
若，則，此時與已知矛盾；
若，則，此時為遞增數列．
當時，由，得，解得或，
若，則，此時與已知矛盾；
若，則，此時為遞增數列．
反之，若是遞增數列，則，
所以“對于任意的，”是“是遞增數列”的充要條件．
故選：C．
【變式6-1】（多選）設數列為正項等比數列，為公比，為前項的積，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．與均為的最大值
【答案】ABD
【詳解】為正項等比數列，，，；
對于A，，，，，
，又，，A正確；
對于B，，，B正確；
對于C，，又，，
，即，C錯誤；
對于D，，，
當且時，；當且時，；又，
當或時，取得最大值，即與均為的最大值，D正確.
故選：ABD.
【變式6-2】（多選）設等比數列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大值 D．數列無最大值
【答案】AB
【詳解】由可得，
由可知，，
當時，則，不成立，
故，且，故，A正確；
，故B正確；
是數列中的最大值，C，D錯誤.
故選：AB
【變式6-3】已知數列為等比數列，，公比，若是數列的前n項積，則取最大值時，n的值為 .
【答案】6或7
【詳解】由題意可知，，數列單調遞減，若最大時，
即，解得：，
所以或7.
故答案為：或
考點07等差數列與等比數列的綜合應用
【例13】已知為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為與的等差中項為，所以，
設等比數列的公比為，
又，得：，解得：，或，
則，或者，根據答案，只能選C.
故選：C.
【例14】設數列的前項的和為.
(1)若是公差為的等差數列，且成等比數列，求；
(2)若，求證：.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意知，故，
解得，所以或.
（2）因為①，所以②，
所以由②①得，，
所以時，，
所以由得，
所以，
顯然也符合上式，所以，
所以.
【變式7-1】在如圖所示的表格中，每個空格中填入一個數字，使每一行方格中的數成等比數列，每一列方格中的數成等差數列，則所填數字之積的值為 .
1 a 4
b 6 d
c e 20
【答案】3600
【詳解】因為每一行方格中的數成等比數列，每一列方格中的數成等差數列，
由成等比數列，得，所以或，由成等差數列，得到，
由成等比數列，得到所以，由成等差數列，得到，解得，
又由成等比數列，得到，即或，
由成等差數列知，當時，，時，，
所以,
故答案為：.
【變式7-2】已知公比大于1的等比數列滿足：，且是和的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的前項和．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
因為是和的等差中項，
所以，又，
代入得，即，
所以，即，
解得或，
又因為數列是的等比數列，
所以．
（2）由（1）知,
①，
②，
得,
.
【變式7-3】已知等比數列公比為2，數列滿足，若數列的前項和為.
(1)求數列和的通項公式；
(2)是否存在正整數，使得成等差數列，若存在，請求出所有滿足條件的正整數，如不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，或
【詳解】（1）由題意，當時，，
又，，
數列公比為2的等比數列，.
數列的前項和為，
當時，，
又，，當時，符合上式，
.
綜上，.
（2）的通項公式為，
，
若成等差數列，
則，即，
解得，
為正整數，且，
為正整數，則或18，
當時，則；
當，則，符合要求，
綜上，存在正整數，當或時，成等差數列.
易錯01忽視奇數項符號相同、偶數項符號相同
注意：等比數列中，項的符號規律是: 全正、全負、正負相間
1．實數 ，，，，等比數列，則xyt等于（ ）
A．-4 B．1 C．8 D．-8
【答案】D
【詳解】設，，，，，
由等比數列知，
，
因為，所以，
所以，
故選：
【點睛】本題主要考查了等比數列的定義、通項和性質，屬于基礎題.
2．數列滿足：首項，，則下列說法正確的
（ ）
A．該數列的奇數項成等比數列，偶數項成等差數列
B．該數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列
C．該數列的奇數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列
D．該數列的偶數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列
【答案】D
【詳解】已知數列滿足，
則，，，，，
對于A，，即，所以該數列的奇數項成等比數列不成立，
，即，所以該數列的偶數項成等差數列不成立，A選項錯誤；
對于B，，即，所以該數列的奇數項成等差數列不成立，
，即，所以該數列的偶數項成等比數列不成立，B選項錯誤；
對于C，，，
，所以該數列的奇數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列不成立，C選項錯誤；
對于D，令，
由可得，
所以，所以即
公比為2的等比數列，
則該數列的偶數項分別加4后構成一個公比為2的等比數列，D選項正確；
故選：D.
易錯02利用前n項和公式時忽視分類討論致錯
注意：等比數列求和公式分兩種情況，在解題過程中容易忽略
1．已知數列的前項和為．
（1）若為等差數列，且公差，，，求和；
（2）若為等比數列，且，，求和公比．
【答案】（1），；（2）或.
【解析】（1）根據題意可得出關于的方程，求出的值，再由可求得的值；
（2）由題意可得出和的方程組，由此可解得和的值.
【詳解】（1）由題意可得，
即，，解得，；
（2）由題意可知且，由，可得，解得或.
2．數列是首項的等比數列，且成等差數列，求數列的通項公式.
【答案】
【詳解】設等比數列的公比為（）
若，則，不成等差數列，不符合題意
所以，
依題意， 即，
解得，
一、單選題
1．已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則的公比
（ ）.
A．1 B．2. C．3 D．5
【答案】C
【詳解】設等差數列的公差為，由成等比數列，得，
整理得，則，所以的公比.
故選：C
2．已知等比數列的前項積為，公比，則取最大值時的值為（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．5或6
【答案】D
【詳解】等比數列的前項積為，公比，
則，
故取最大值時的值為5或6，
故選:D.
3．數列滿足，則數列的前8項和為（ ）.
A．63 B．127 C．255 D．256
【答案】C
【詳解】由，得，
因此數列
首項為1，公比為2的等比數列，
數列的前8項和為.
故選：C
4．設等比數列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數列的前28項和為（ ）
A．64 B．72 C．80 D．92
【答案】C
【詳解】設
該等比數列的前項和，依題意可知，
則成等比數列，即成等比數列，
則，解得．
故選：C.
5．設為數列的前項和，，則“”
“數列
以為公比的等比數列”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】由，若，等式顯然成立，
但
數列的通項和前項和都沒有規定，故得不出“數列
以1為公比的等比數列”的結論，
即“”不
“數列
以為公比的等比數列”的充分條件；
而由“數列
以為公比的等比數列”可知，若，則顯然成立，
當時，有成立，即必有成立，
故“”
“數列
以為公比的等比數列”的必要條件.
故選：C.
6．已知實數成等比數列，集合，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，要使最小，則，，都
負數，則和選擇1和4，
設等比數列的公比為，
當時，，所以，所以，所以；
當時，，所以，所以，所以；
綜上，的最小值為.
故選：D.
7．已知數列的前項和為，則（ ）
A．若為等差數列，且，則
B．若為等差數列，且，則
C．若為等比數列，且，則
D．若為等比數列，且，則
【答案】D
【詳解】設等差數列的公差為，
對于A，若為等差數列，且，
則，，
，無法判斷符號，A錯誤；
對于B，若，
，則，
，則，則，B錯誤；
設等比數列的公比為，
對于C，若為等比數列，且，
若時，則，故C錯誤；
對于D，若為等比數列，且，
當時，則，
當時，則；
若時，；
若時，；
若時，；D正確.
故選：D.
8．已知數列滿足.
①；②
等差數列；③
等比數列；④數列前項和為.
上述語句正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】D
【詳解】對于①，
，故①正確；
對于②，令，由①知，，
，
所以，
公比為2的等比數列，即
公比為2的等比數列，故不
等差數列，故②錯誤；
對于③，令，
由①知，，所以，
，
所以
等比數列，即
等比數列，故③正確；
對于④，由②知，，，
數列前項和為數列前n項的和與數列前n項的和的和，即所求和為.
又，
，
所以，故④正確；
故選：D.
二、多選題
9．已知為等差數列的前n項和，為等比數列的前n項積，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】對于A，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
若，
則，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：BCD.
10．等比數列的公比為，則下列說法正確的
（ ）
A．為等差數列 B．若且，則遞增
C．為等比數列 D．為等比數列
【答案】ABD
【詳解】由數列為等比數列，則，則
A選項：，，
則為定值，所以數列為等差數列，A選項正確；
B選項：由，，則，
所以當時，，數列單調遞增；
當時，，數列單調遞增；所以B選項正確；
C選項：當時，，
此時不
等比數列，C選項錯誤；
D選項：當時，，
又為定值，
所以數列為等比數列，D選項正確；
故選：ABD.
11．設等比數列前項積為，公比為．若，，，則下列結論正確的
（ ）
A． B．
C．當時，取最大值 D．使成立的最大自然數
4046
【答案】ACD
【詳解】A選項，，，故或，
當時，由可知，
所以，但，互相矛盾，舍去，
當時，又，所以，
故滿足要求，A正確；
B選項，，B錯誤；
C選項，因為，，
故當時，取最大值，C正確；
D選項，由于，故當時，
，
，
，
使成立的最大自然數
4046，D正確.
故選：ACD
三、填空題
12．已知等比數列的首項，其前項和為，若，則 ．
【答案】8
【詳解】因為，所以，即，故．
故答案為：8.
13．若一個數列的第項等于這個數列的前項的乘積，則稱該數列為“積數列”.若各項均為正數的等比數列
一個“2026積數列”，且，則當其前項的乘積取得最大值時，的值為 .
【答案】1012或1013
【詳解】由題可知在等比數列中，，故.
設數列的公比為，因為數列
各項均為正數的等比數列，且，
，所以，所以且.
故當數列的前項的乘積取得最大值時，的值為1012或1013.
故答案為：1012或1013
14．已知數列滿足，，，單調遞增，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】因為，所以，
又因為單調遞增，所以，
所以數列
以為首項，為公比的等比數列，
所以，
所以即，
則的取值范圍為，
故答案為：.
四、解答題
15．已知等比數列的各項皆為正數，且.
(1)求數列的通項公式;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)4750
【詳解】（1）因為數列為全為正數的等比數列，且
則有因此
所以
所以
（2）
=4750
16．已知數列，中，，，
公差為1的等差數列，數列
公比為2的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，可得，
故，，
數列
公比為2的等比數列，且，
，
，．
（2）由題意及（1），可得，
則
．
17．設等比數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)記為數列的前項和．若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
根據題意，有，解得，
所以．
（2）令，
所以，
根據，可得，
整理得，因為，所以．
18．設，若數列的前項和為，且
與的等差中項；
(1)求數列的通項公式；
(2)若
以為首項，為公差的等差數列，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為
與的等差中項，可得，
當時，可得，解得，
當時，由，可得，
兩式相減可得，
即為，
可得數列
首項和公比均為的等比數列，
所以；
（2）若
以為首項，為公差的等差數列，
則，
可得，
數列的前項和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得．
19．已知數列
單調遞增的等差數列，數列為等比數列，且
和的等差中項，
和的等比中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若為數列的前項和，求證：．
【答案】(1)，．
(2)證明見解析
【詳解】（1）設數列的公差為，數列的公比為，
由已知可得，
消去得：，解得或，
因為等差數列單調遞增，所以，
于
，，
，．
（2）由得：
，①
，②
①②得：
，
于
，
又單調遞增．
綜上所述：．

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