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第二節(jié)　常用邏輯用語
必 備 知 識
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的________條件，q是p的________條件
p是q的________條件 p q且qp
p是q的________條件 pq且q p
p是q的________條件 p q
p是q的________條件 pq且qp
2.全稱量詞與存在量詞
(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作________，用符號“________”表示．
(2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作________，用符號“________”表示．
3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定
有些命題中省略了量詞，在進行否定時先改寫為完整形式，再進行否定
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 ________ x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) ________
【常用結(jié)論】
1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系
設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2．含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．
3．命題p與p的否定的真假性相反．
夯 實 基 礎(chǔ)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)“長方形的對角線相等”是存在量詞命題．(　　)
(2)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”．(　　)
(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　)
(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(　　)
2．(教材改編)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．(教材改編)(多選)下列命題為真命題的是(　　)
A．任意實數(shù)的平方大于或等于0
B．對任意實數(shù)a，二次函數(shù)y＝x2＋a的圖象關(guān)于y軸對稱
C．存在整數(shù)x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)
4．(易錯)下面四個條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是(　　)
A．a(chǎn)>b＋1　 B．a(chǎn)>b－1
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3
5．(易錯)命題“ x<1，<1”的否定是______．
第二節(jié)　常用邏輯用語
必備知識
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2．全稱量詞　 　存在量詞　
3． x∈M，p(x)　 x∈M， p(x)
夯實基礎(chǔ)
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.
答案：B
3．解析：A、B為真命題；C為假命題，因為2x＋4y＝2(x＋2y)必為偶數(shù)；D為真命題，如x＝，x3＝2∈Q.故選ABD.
答案：ABD
4．解析：選項A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”為“a＞b”成立的充分不必要條件．故選A.
答案：A
5．解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，否定時，既改量詞，又否結(jié)論，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
答案： x<1，0≤x≤1第三節(jié)　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
必 備 知 識
1.比較兩個實數(shù)大小的方法
關(guān)系 方法
作差法 作商法作商比較的兩個數(shù)是同號的
a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0)或>1(a，b<0)
2.不等式的性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容
對稱性 a>b ________；a傳遞性 a>b，b>c ________；a可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________
同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向不等式可以相加，但不能相減
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn
可開方性 a>b>0，n∈N，n≥2 >
【常用結(jié)論】
1．倒數(shù)性質(zhì)：若02．若a>b>0，m>0，則<>(b－m>0)．
3．若a>b>0，m>0，則><(b－m>0)．
夯 實 基 礎(chǔ)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變．(　　)
(3)若>1，則a>b.(　　)
(4)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
2．(教材改編)設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則有(　　)
A．M＞N　　 B．M≥N
C．M＜N　　 D．M≤N
3．(教材改編)設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b大小關(guān)系為________．
4．(易錯)若a>b>0，cA．>0　 B．<0
C．> D．<
5．(易錯)已知－1第三節(jié)　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
必備知識
2．ba　a>c　abc　acbd
夯實基礎(chǔ)
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因為M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故選A.
答案：A
3．解析：a2＝11＋4，b2＝11＋4，
∴a2－b2＝4()<0，∴a答案：a4．解析：A.對a>b>0，當c＝－a，d＝－b時，有c同A，故B錯誤；
C．由a>b>0，可得>1，由c1，則＝＝·>1.由于<0，故<，C錯誤；
由C選項的解析可知D正確．故選D.
答案：D
5．解析：∵－3答案：(－6，5)第四節(jié)　基本不等式
必 備 知 識
1.基本不等式也叫均值不等式
(1)基本不等式成立的條件：______________．
(2)等號成立的條件：當且僅當________時取等號．
(3)其中________稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，________稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
　　　　　　　　　　　
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，則
(1)如果積xy是定值P，那么當且僅當________時，x＋y有最小值________．(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么當且僅當________時，xy有最大值________．(簡記：和定積最大)．
【常用結(jié)論】
(5)≤ ≤ (a>0，b>0)
(6)柯西不等式： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a，b，c，d∈R)當且僅當ad＝bc時等號成立
夯 實 基 礎(chǔ)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab與成立的條件是相同的．(　　)
(2)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要條件．(　　)
(4)函數(shù)y＝sin x＋，x∈(0，)的最小值為4.(　　)
2．(教材改編)已知0A． B．
C． D．
3．(教材改編)若用總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________ m2.
4．(易錯)若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝(　　)
A．1＋　　 B．1＋
C．3　　　　 D．4
5．(易錯)y＝2＋x＋(x<0)的最大值為______．
第四節(jié)　基本不等式
必備知識
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　(3)
2．(1)x＝y(tǒng)　2　(2)x＝y(tǒng)　S2
夯實基礎(chǔ)
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：因為0答案：B
3．解析：設(shè)矩形的一邊長為x m，矩形場地的面積為y m2，
則矩形另一邊長為×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤[]2＝25(m2)，當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.
答案：25
4．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，當x－2＝1時，即x＝3時等號成立．∴a＝3.故選C.
答案：C
5．解析：∵x<0，∴－x>0，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)，
又－x－≥2 ＝2，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)≤2－2，
當且僅當－x＝－，且x<0，即x＝－時等號成立．
答案：2－2第五節(jié)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
必 備 知 識
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【常用結(jié)論】
1．分式不等式的解法
(1)>0 f(x)g(x)>0.
(2)≥0
2．絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)；|x|0)的解集為(－a，a)．
記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數(shù)x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數(shù)x恒成立 或
夯 實 基 礎(chǔ)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的條件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
2．(教材改編)已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A＝(　　)
A．[－4，1)
B．[－4，4]
C．(－∞，1)
D．R
3．(教材改編)已知關(guān)于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，則a＋b的值是________．
4．(易錯)不等式5．(易錯)要使函數(shù)y＝mx2＋mx＋m－1的值恒為負值，則m的取值范圍為________．
第五節(jié)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
必備知識
{x|xx2}
夯實基礎(chǔ)
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故選D.
答案：D
3．解析：若關(guān)于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，則2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.
答案：－1
4．解析：－x<0，即<0，
即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，
所以或
解得x>1或－1所以不等式的解集為(－1，0)
答案：(－1，0)
5．解析：函數(shù)y＝mx2＋mx＋m－1的值恒為負值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0對一切實數(shù)x恒成立．
當m＝0時，－1<0恒成立；
當m≠0時，要使其恒成立，
則有解得m<0.
綜上，m的取值范圍為(－∞，0].
答案：(－∞，0]第一節(jié)　集合
必 備 知 識
1.集合的有關(guān)概念
(1)集合元素的三個特性：________、________、________．
(2)元素與集合的關(guān)系：①屬于，記作________；②不屬于，記作________．
(3)集合的三種表示方法：________、________、圖示法．Venn圖、數(shù)軸、區(qū)間等
(4)五個特定的常用數(shù)集及記法：
集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
符號 ________ ________ ______ ________ ______
2.集合間的基本關(guān)系
關(guān)系 自然語言 符號表示 Venn圖
子集 集合A中____________都是集合B中的元素 ________
真子集 集合A B，但________x∈B，且x A ________
集合相等 集合A的______________都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素 集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集 ______
3．集合的基本運算
運算 自然語言 符號表示 Venn圖
交集 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 A＝____________
并集 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 A＝____________
補集 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 UA＝____________
根據(jù)“補集思想”可以得到“正難則反”的思維方法
【常用結(jié)論】
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．
(2)子集的傳遞性：A B，B C A C.
(3)等價關(guān)系：A B A＝A A＝B UA UB.
夯 實 基 礎(chǔ)　
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(　　)
(4)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A恒成立．(　　)
2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，則下面結(jié)論中正確的是(　　)
A．{a} A　 B．a(chǎn) A C．{a}∈A　 D．a(chǎn) A
3．(教材改編)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1，4] B．(0，3]
C．(－1，0]
4．(易錯)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為(　　)
A．{－1}　 　 B．{1}
C．{－1，1}　　 D．{－1，0，1}
5．(易錯)已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，則A＝(　　)
A．R B．{x|y＝x2－1}
C．{(x，y)|y＝x2－1} D．
第一節(jié)　集合
必備知識
1．(1)確定性　無序性　互異性　(2)∈　 　(3)列舉法　描述法　(4)N　N*或N＋　Z　Q　R
2．任意一個元素　A B(或B A)　存在元素　A?B(或B?A)　任何一個元素　A＝B
3．{x|x∈A，且x∈B}　{x|x∈A，或x∈B}　{x|x∈U，且x A}
夯實基礎(chǔ)
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因為2不是自然數(shù)，所以a A.故選D.
答案：D
3．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A＝{x|－1≤x≤4}．故選A.
答案：A
4．解析：∵B A，當B≠ ，即a≠0時，B＝{x|x＝－}，
∴－∈A，即a＝±1.
當B＝ ，即a＝0時，滿足條件．
綜上可知實數(shù)a所有可能取值的集合是{－1，0，1}．
答案：D
5．解析：因為集合A的代表元素是實數(shù)，而集合B的代表元素是圖象上的點，故A＝ .
答案：D

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