資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
13.1 三角形中的邊角關系 導學案
（一）學習目標：
1.理解三角形的概念,知道它各部分的名稱,掌握三角形按邊長的分類方法.
2.理解三角形的三邊關系的由來,會用三邊關系判斷三條線段能否構成三角形.
（二）學習重難點：
重點：掌握三角形按邊長的分類方法
難點：會用三邊關系判斷三條線段能否構成三角形
閱讀課本，識記知識：
1.三角形及其元素定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
在下圖中，線段AB，BC，CA是三角形的邊.點A，B，C是三角形的頂點.△A，△B，△C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符號“△”表示，頂點是A，B，C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.
△ABC的三邊，有時也用a，b，c表示.在上圖中，頂點A所對的邊BC用a表示，頂點B所對的邊AC用b表示，頂點C所對的邊AB用c表示.
3.三角形的分類
4.三邊關系
文字語言 數學語言 理論依據 應用
三角形兩邊的和大于第三邊 在△ABC中，a+b>c； b+c>a;a+c>b 兩點之間，線段最短 (1)判斷三條線段能否組成三角形 (2)已知三角形的兩邊，求第三邊的取值范圍
三角形兩邊的差小于第三邊 在△ABC中，a-b5.三角形的高、中線與角平分線
（1）三角形的高
定義 幾何表達形式
從三角形的一個頂點向它所 對的邊畫垂線，頂點和垂足間 的線段叫做三角形的高 AD是△ABC的邊BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中線
定義 幾何表達形式
連接三角形的一個頂點 和它所對的邊的中點的線段叫做三角形的中線 AD是△ABC的邊BC上的中線或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D為BC的中點
（4）三角形的角平分線
定義 幾何表達形式
三角形的一個角的平分線與這 個角的對邊相交，這個角的頂點 和交點之間的線段叫做三角形 的角平分線 AD是△ABC的角平分線或
（5）“三線”的交點
一個三角形有三條中線、三條角平分線、三條高，它們所在直線都分別相交于一點.
線的名稱 線的位置 交點名稱
中線 三條中線交于三角形內部 重心
角平分線 三條角平分線交于三角形內部 內心
高 銳角三角形：三條高都在三角形內部 垂心
直角三角形；其中兩條恰好是直角邊
鈍角三角形：其中兩條在三角形外部
注意：三角形的高、中線、角平分線都是線段。
6.三角形的穩定性
三角形具有穩定性，而四邊形沒有穩定性.
三角形的穩定性有廣泛的應用：橋梁、起重機、人字型屋頂等.
考點02 與三角形有關的角
1.三角形的內角
(1)三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.
(2)證明方法
剪拼成平角、通過作平行線構造平角，構造兩平行線下的同旁內角。
2.直角三角形的性質與判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角互余。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
(2)判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形。
如下圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
3.三角形的外角
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，∠ABD是△ABC的一個外角。
性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形的外角和為360°。
【例1】木工師傅要做一個三角形木架，現有兩根長度分別為13和8的木條，則第三根木條的長度可以是（　　）
A．5 B．20 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本題考查三角形三邊關系定理，記住兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎題，中考常考題型．
【詳解】解：設第三根木條的長度為x，則，
即，
∴第三根木條的長度可以是20，
故選：B．
【例2】 如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形外角的性質，先求出，再根據三角形一個外角的度數等于與它不相鄰的兩個內角的度數之和進行求解即可．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，
由三角形的外角性質得，．
故選：B．
選擇題
1.下列長度的三根小木棒能構成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.如圖，湖泊對岸的涼亭和到大門A的距離分別是和，則的長不可能是（ ）

A． B． C． D．
3.如圖，在中有四條線段，其中有一條線段是的中線，則該線段是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
4.已知的三條高的比是，且三條邊的長均為整數，則的邊長可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5.如圖，木工師傅做門框時，常用木條固定矩形門框，使其不變形，這種做法的依據是（　　）
A．兩點之間線段最短 B．四邊形的不穩定性
C．三角形的穩定性 D．矩形的四個角都是直角
6.三角形是一種基本的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現代的建筑物，從巨大的鋼架橋到微小的分子結構，到處都有三角形的形象．在工程建筑、機械制造中經常采用三角形的結構，這樣做應用的數學原理是（ ）
A．四邊形的不穩定性 B．三角形的穩定性
C．三角形內角和等于 D．全等三角形的性質
7.如圖，在中，，分別平分，，，分別平分，，若，則（ ）
A． B． C． D．
8.如圖，已知直線，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9.圖，直線，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
10.如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點． 若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11． 已知的三邊長均為整數，且，，則中的長為 ．
12.如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為 ．
13．如圖，自行車是人們日常代步的工具．你發現了沒有，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這樣設計的原理是 ．
14．如圖，點E是的邊上一點，若，則在條件①；②；③中，能判定的條件有 ．
15．如圖，在第1個中，，，在上取一點C，延長到，使得在第2個中，；在上取一點D，延長到，使得在第3個中，；…，按此做法進行下去，第3個三角形中以為頂點的內角的度數為 ；第n個三角形中以為頂點的底角的度數為 ．
三、解答題
16．如圖，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，點A，B，C均在格點上．
(1)標出一個格點D，使線段所在直線與線段所在直線互相垂直；
(2)三角形的面積為______；
(3)標出所有的格點E，使三角形與三角形的面積相等．
17.如圖，，分別是的高和角平分線，且，，求．
18.如圖，已知：點P是內一點．
(1)求證：；
(2)若平分，平分，，求的度數．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】D
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題關鍵．根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊”逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊關系，不能構成三角形，則此項不符合題意；
B、，不滿足三角形的三邊關系，不能構成三角形，則此項不符合題意；
C、，不滿足三角形的三邊關系，不能構成三角形，則此項不符合題意；
D、，滿足三角形的三邊關系，能構成三角形，則此項符合題意；
故選：D．
2.【答案】D
【分析】本題主要考查三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵；因此此題可根據三角形的三邊關系進行求解．
【詳解】解：由題意得：，即；
∴的長不可能是；
故選D．
3.【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的中線，解題的關鍵是掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據定義可得答案．
【詳解】解：∵三角形的中線是一邊的中點與此邊所對頂點的連線
∴在中有四條線段中，線段是的中線
故選B
4.【答案】B
【分析】此題考查了三角形面積的求解方法．解題的關鍵是由三角形的面積的求解方法與三條高的比是，求得三條邊的比，設三邊為，， 三條對應的高為，，，根據的面積的求解方法即可求得，由的三條高的比是，易得，又由三條邊的長均為整數，觀察4個選項，即可求得答案．
【詳解】解：設三邊為，， 三條對應的高為，，，
可得：，
已知，
可得，
三邊均為整數．
又個答案分別是10，12，14，16．
的邊長可能是12．
故選：B．
5．【答案】C
【分析】本題考查三角形穩定性的實際應用，根據三角形具有穩定性解答即可．
【詳解】解：常用木條固定矩形門框，使其不變形，這種做法的依據是三角形的穩定性，
故選：C．
6．【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的穩定性，熟練掌握三角形的穩定性是解題的關鍵．根據三角形的穩定性可進行求解．
【詳解】解：由題意得：其中運用的數學原理是三角形的穩定性；
故選B．
7．【答案】A
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，角平分線的定義，熟知三角形的內角和是是解答此題的關鍵．根據三角形的內角和定理得到，根據角平分線得到，再根據三角形的內角和定理解題即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，分別平分，，
∴，，
又∵，分別平分，，
∴，
∴，
∴，
故選A
8．【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余，先根據，得出，再根據直角三角形兩銳角互余得出，即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
9．【答案】A
【分析】此題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，首先根據得到，然后利用三角形外角的性質求解即可．解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
【詳解】如圖所示，

∵，，
∴，
∵
∴．
故選A．
10．【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質，三角形外角性質，對頂角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．由平行線的性質得到，由對頂角的性質得到，再根據三角形外角的性質即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
．
故選C．
11.【答案】4
【分析】本題考查了三角形三邊關系的應用，由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得出的取值范圍，再由為整數，即可得出答案，熟練掌握三角形三邊關系是解此題的關鍵．
【詳解】解：由三角形三邊關系可得：，即，
的三邊長均為整數，
，
故答案為：．
12. 【答案】17
【分析】本題考查三角形的中線，根據為邊長的中線，可得出和的周長關系，進而解決問題．
【詳解】解：因為是邊上的中線，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周長為20，
所以．
故答案為：17．
13．【答案】三角形具有穩定性
【分析】本題考查了三角形的穩定性的應用，根據“自行車的幾根梁做成三角形的支架”，即可作答．
【詳解】解：∵活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，
∴這樣設計的原理是三角形具有穩定性
故答案為：三角形具有穩定性
14．【答案】①②③
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，三角形內角和定理，根據平行線的判定與性質，三角形內角和定理逐項判定即可．
【詳解】解：①∵，
∴，
故①正確；
②∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故②正確；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故③正確；
故答案為：①②③．
15．【答案】
【分析】本題考查的是三角形外角的性質，解答此題的關鍵是先根據三角形內角和定理求出的度數，再根據三角形外角的性質分別求出，及的度數，找出規律即可得出第n個三角形的以為頂點的底角的度數．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴，
同理可得，，，
以此類推，第n個三角形的以為頂點的底角的度數．
故答案為：；．
16．【答案】(1)見解析
(2)4
(3)見解析
【分析】（1）根據的方向，尋找過點C且與互相垂直的直線，再尋找格點D即可；
（2）利用割補法求面積即可；
（3）根據同底等高的三角形面積相等，尋找過點C且與互相平行的直線，以及的另一側且到的距離和點C到距離相等的直線，再尋找格點E即可；
【詳解】（1）如圖所示點D即為所求作的點；(兩點取其一即可)
（2），
故答案為：4；
（3）如圖所示點即為所求作的點；
17.【答案】．
【分析】本題考查三角形內角和定理、直角三角形的性質及角平分線的定義，根據三角形內角和定理可求出的度數，根據角平分線的定義和直角三角形兩銳角互余的性質即可得出答案；熟練掌握三角形內角和定理是解題關鍵．
【詳解】解：∵
∵是的角平分線，
，
∵是的高，
18．【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了三角形的外角性質、三角形內角和定理、三角形的角平分線定義．
（1）延長交于D，根據外角的性質知，根據外角的性質知，所以易證．
（2）由三角形內角和定理求出，由角平分線和三角形內角和定理即可得出結果．
【詳解】（1）證明：如圖：延長交于D，
是的一個外角，是的一個外角，
，，
；
（2）在中，
，
，
平分，平分，
，，
在中，
．
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