資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
13.2 命題與證明 導學案
（一）學習目標：
1.了解命題、定義、公理、定理、證明及推論的含義，會區分命題的題設(條件)和結論會在簡單情況下判斷一個命題的真假理解證明的必要性,體會證明的過程要步步有據
2.理解逆命題、逆定理的概念,會識別互逆命題與互逆定理并知道原命題成立時其逆命題不一定成立;
3.能用基本的邏輯術語、幾何證明的步驟、格式和規范進行演繹證明
（二）學習重難點：
重點：了解命題、定義、公理、定理、證明及推論、逆命題、逆定理的含義
難點：能用基本的邏輯術語、幾何證明的步驟、格式和規范進行演繹證明
閱讀課本，識記知識：
1.命題
（1）判斷一件事情的句子叫命題．其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題．
（2）命題通常由題設、結論兩個部分組成，通常可以寫成“如果……那么……”的形式.
（3）命題屬于判斷句或陳述句，是對一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒有關系．其中命題的題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．當證明一個命題是假命題時只要舉出一個反例就可以．
2.公理
人們從長期的實踐中總結出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始依據．
3.定理
從公理或其他真命題出發，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題真假的原始依據．
也就是說同時滿足以下兩個條件的真命題稱為定理：
（1）其正確性可通過公理或其它真命題邏輯推理而得到.
（2）其又可作為判斷其它命題真假的依據.
4.推論
由基本事實、定理直接得出的真命題叫做推論.
二、逆命題和逆定理
1、互逆命題
在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題.
2、互逆定理
如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理.
三、演繹推理
1、從已知條件出發，依據定義、基本事實、已證定理，并按照邏輯規則，推導出結論，這一方法稱為演繹推理．演繹推理的過程就是演繹證明，簡稱證明.
2、演繹推理的過程就是演繹證明，并不是所有的真理都可以進行演繹證明．
四、三角形內角和定理
定理：三角形的內角和等于180°.
推論1：直角三角形的兩銳角互余.
推論2：有兩個角互余的三角形是直角三角形.
推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
推論4：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角.
三角形的外角：由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
【例1】下列命題：①內錯角相等；②相等的角是對頂角；③同旁內角互補，兩直線平行；④一個角的余角一定大于這個角．其中真命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查的是真假命題的判斷，熟記定義與性質是解本題的關鍵；根據平行線的性質對①進行判斷；據對頂角的定義對②進行判斷；根據平行線的判定對③進行判斷；根據余角的定義對④進行判斷．
【詳解】解：①兩直線平行，內錯角相等，原命題為假命題；
②相等的角不一定是對頂角，原命題為假命題；
③同旁內角互補，兩直線平行，原命題為真命題；
④一個角的余角不一定大于這個角，原命題為假命題；
故選A
【例2】 要證明命題“若為銳角，則”是假命題，下列的度數能作為反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的命題的真假判斷，舉反例的方法理解，掌握舉反例要明確：舉例要滿足條件，而不滿足結論，從而可得答案．
【詳解】解：證明命題“若為銳角，則”是假命題，
的度數能作為反例的是，
故選A
選擇題
1.下列命題中，是假命題的是( )
A. 對頂角相等 B. 兩直線平行，同旁內角互補
C. 和為度的兩個角是鄰補角 D. 垂線段最短
2.下列語句是命題的是（ ）
A．畫一條直線 B．正數都大于零
C．同位角相等嗎？ D．明天晴天嗎？
3.命題“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命題是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
4.下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．若數a、b滿足，則
C．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 D．垂線段最短
5.下列說法中，正確的是( )
A. “同位角相等”是一個真命題
B. 圖形的平移是指把圖形沿水平方向移動
C. “凡直角都相等”是一個假命題
D. 在平移的過程中，對應線段互相平行或在同一條直線上且相等
6.能說明命題“對于任何實數”是假命題的一個反例可以是（　　）
A． B． C． D．
7.下列四個命題中，其正確命題的個數是（ ）
①若a＞b，則； ②垂直于弦的直徑平分弦；③平行四邊形的對角線互相平分；④反比例函數y=，當k＜0時，y隨x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
8.命題：①鄰補角互補；②對頂角相等；③同旁內角互補；④兩點之間線段最短．其中真命題的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9.能說明“銳角，銳角的和是銳角”是假命題的例證圖是( )
A. B.
C. D.
10.對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
填空題
11． 命題“垂直于同一直線的兩直線平行”的題設是____________，結論是__________．
12.用一組，，的值說明命題“若，則”是錯誤的，這組值可以是_____，______，_______．
13．命題：若兩個數相等，則它們的絕對值相等是 （填“真”或“假”）命題．
14．“平行于同一條直線的兩條直線平行”這個命題的條件是 ．
15．如圖，三角形中，，是邊上的兩點，是邊上一點，連接并延長．交的延長線于點．現有以下條件：①平分；②；③．從三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明．
條件： ；
結論： ．（填序號）
三、解答題
16．已知，和中，，．試探究：
(1)如圖1，與的關系是______，并說明理由；
(2)如圖2，寫出與的關系，并說明理由；
(3)根據上述探究，請歸納得到一個真命題．
17. 如圖，點在直線上，點在直線上，若，，則，請說明理由．
解：已知，
，( )
，
，( )
．( )
又已知，
，
________ ________同旁內角互補，兩直線平行，
．( )
18.桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉n張（n為正整數）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“”、“”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．
(1)當時，每翻轉1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少______次操作后所有紙牌全部正面向上；
(2)當時，每翻轉2張紙牌，總和的變化量是______，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.【答案】
解：、對頂角相等，是真命題，不符合題意；
B、兩直線平行，同旁內角互補，是真命題，不符合題意；
C、和為度的兩個角是互為補角，不一定是鄰補角，故本選項說法是假命題，符合題意；
D、垂線段最短，是真命題，不符合題意；
故選：．
2.【答案】B
【分析】本題考查了命題．解題關鍵點：理解命題的意義．判斷一件事情的語句叫命題，以此進行判斷求解即可．
【詳解】A．畫一條直線，不是命題，故不符合題意；
B．正數都大于零，是一個命題，故不符合題意；
C．同位角相等嗎？不是命題，故不符合題意；
D．明天晴天嗎？不是命題，故不符合題意．
故選B．
3.C
4.【答案】D
【分析】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的定義、垂線段的性質、平行公理等等知識，難度不大．利用對頂角的定義、數的平方運算、平行公理以及垂線段的性質、逐項判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
B、若數a、b滿足，則或，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
C、同一個平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
D、垂線段最短，故原命題正確，符合題意；
故選：D．
5．【答案】
解：“同位角相等”不是真命題，故A錯誤，不符合題意；
圖形的平移是指把圖形沿同一方向移動，故B錯誤，不符合題意；
“凡直角都相等”是一個真命題，故C錯誤，不符合題意；
在平移的過程中，對應線段互相平行或在同一條直線上且相等，故D正確，符合題意；
故選：．
6．【答案】A
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確舉出反例是解題的關鍵．
根據題意、乘方的意義舉例即可．
【詳解】解：當時，
∴此時，故“對于任何實數”是假命題，
當時，，
故選：A．
7．B
8．【答案】C
【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質，鄰補角和對頂角的定義，兩點之間線段最短等等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：①鄰補角互補，原命題是真命題；
②對頂角相等，原命題是真命題；
③兩直線平行，同旁內角互補，原命題是假命題；
④兩點之間線段最短，原命題是真命題；
∴真命題有3個，
故選C．
9．【答案】
解：例如選項圖中：三角形三個內角都是銳角，則．
故選：．
8.【答案】兩個角是對頂角
解：命題“對頂角相等”的題設是兩個角是對頂角．
故答案為：兩個角是對頂角．
10．【答案】A
【分析】本題考查了反證法；
根據反例滿足條件，不滿足結論可對各選項進行判斷．
【詳解】解：A.，滿足條件，不滿足結論，可作為說明原命題是假命題的反例，符合題意；
B.，，滿足條件和結論，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
C.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
D.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
故選：A．
11.兩條直線垂直于同一條直線，這兩條直線互相平行
12. 2 3 -1
13．【答案】真
【分析】本題主要考查真假命題，根據真假命題可進行求解．熟練掌握概念是解題的關鍵．
【詳解】解：命題：若兩個數相等，則它們的絕對值相等是真命題．
故答案為：真．
14．【答案】兩條直線平行于同一條直線
【分析】本題考查了對命題的題設和結論的理解，把命題改寫成“如果 那么 ”的形式，即可求解，把命題改寫成“如果那么”的形式是解題的關鍵．
【詳解】解：命題“平行于同一條直線的兩條直線平行”可改寫為：“如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行”，
∴命題的條件是“兩條直線平行于同一條直線”，
故答案為：兩條直線平行于同一條直線．
15．【答案】 ①② ③
【詳解】條件：①②
結論：③
證明：平分，
．
，
，．
．（答案不唯一）
16．（1）解：，理由如下：
如下圖，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
如下圖，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
故答案為：；
（3）解：由題意得：如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補．
17.【答案】對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；，；兩直線平行，內錯角相等．
解：已知，
對頂角相等，
，
同位角相等，兩直線平行，
兩直線平行，同旁內角互補．
又已知，
，
同旁內角互補，兩直線平行，
兩直線平行，內錯角相等．
18．【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根據翻轉的操作方法即可得出答案；
（2）根據三種情況進行分析，進而得出答案．
【詳解】（1）解：總變化量：，
次數（至少）：，
故答案為：7；
（2）解：①兩張由反到正，變化：；
②兩張由正到反，變化：；
③一正一反變一反一正，變化，
要使所有紙牌正面向上，則總變化量仍為14，
∵14無法由4，，0相加得到，
∴不能全正，故不能所有紙牌全正；
故答案為：14．
【點睛】此題主要考查了推理與論證，此題解題的關鍵是要明確：只有將一張牌翻動奇數次，才能使它的正面向上，根據“奇數奇數偶數，偶數奇數奇數”進行解答即可．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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