資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
3.6 三元一次方程組及其解法 導(dǎo)學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握三元一次方程組的概念和三元一次方程組的解法，并能利用它解決問題。
2.在學(xué)習(xí)解三元一次方程組的過程中，感覺消元轉(zhuǎn)化的思想。
33培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神。
（二）學(xué)習(xí)重難點：
1.三元一次方程組的解法
2.三元一次方程組的解法過程中的方法選擇
閱讀課本，識記知識：
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三個未知數(shù)并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程組的概念
一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組,叫做三元一次方程組。
3.三元一次方程組的解法
解二元一次方程組的基本思想是消元,即把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，由此可以聯(lián)想，解三元一次方程組的基本思想也是消元,一般地,應(yīng)利用代入法或加減法消去一 個未知數(shù)從而變?nèi)獮槎?，然后解這個二元一次方程組 ，求出兩個未知數(shù),最后再求出另一個未知數(shù).
【例1】下列不是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三元一次方程組的定義，根據(jù)三元一次方程組必須滿足“三元”和“一次”兩個要素來求解．
【詳解】解：A、方程組中含有三個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
B、方程組中含有三個未知數(shù)，但含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，不是三元一次方程組，符合題意．
C、方程組中含有三個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
D、方程組中含有三個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
故選：B．
【例2】 響應(yīng)國家號召，某區(qū)推進新型農(nóng)村建設(shè)，強村富民．村民復(fù)興家準(zhǔn)備將一塊良田分成三個區(qū)域來種植三種暢銷型農(nóng)作物．爸爸計劃好三個區(qū)域的占地面積后，復(fù)興主動承擔(dān)起實地劃分的任務(wù)．劃分完畢后，爸爸發(fā)現(xiàn)粗心的復(fù)興將A區(qū)的面積劃分給了B區(qū)，而原B區(qū)的面積錯劃分給了A區(qū)，C區(qū)面積未出錯，造成現(xiàn)B區(qū)的面積占兩區(qū)面積和的比例達到了．為了協(xié)調(diào)三個區(qū)域的面積占比，爸爸只好將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的區(qū)和區(qū)．爸爸劃分完后，A、B、C三個區(qū)域的面積比變?yōu)椋敲窗职謴膮^(qū)劃分給區(qū)的面積與區(qū)劃分前的總面積的比值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，三元依次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．設(shè)三個區(qū)域原來的面積分別為，先求出復(fù)興劃分后，區(qū)的面積與區(qū)的面積，從而可得，再設(shè)區(qū)劃分給區(qū)的面積為，則區(qū)劃分給區(qū)的面積為，根據(jù)爸爸劃分完后，、、三個區(qū)域的面積比變?yōu)榭傻茫瑩?jù)此化簡即可得．
【詳解】解：設(shè)三個區(qū)域原來的面積分別為，
由題意得：復(fù)興劃分后，區(qū)的面積為，區(qū)的面積為，
∵復(fù)興劃分后，造成現(xiàn)區(qū)的面積占兩區(qū)面積和的比例達到了，
，即，
∴復(fù)興劃分后，區(qū)的面積為，區(qū)的面積為，
設(shè)爸爸將區(qū)劃分給區(qū)的面積為，則區(qū)劃分給區(qū)的面積為，
∵爸爸劃分完后，、、三個區(qū)域的面積比變?yōu)椋?br/>，
①，②，
由①得：，
將代入②得：，
，
則爸爸從區(qū)劃分給區(qū)的面積與區(qū)劃分前的總面積的比值為，
故選：B．
選擇題
1.下列是三元一次方程組的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四組數(shù)值中，為方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
3.我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在《張丘建算經(jīng)》里，提出了“百錢買百雞”這個有名的數(shù)學(xué)問題．用個錢買只雞，公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．問公雞，小雞各買了多少只？在這個問題中，公雞的只數(shù)不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4.設(shè)，則（ ）
A．12 B． C． D．
5.解方程組，較簡便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．無法確定
6.小夢在某購物平臺上購買甲、乙、丙三種商品，當(dāng)購物車內(nèi)選3件甲，2件乙，1件丙時顯示價格為420元；當(dāng)選2件甲，3件乙，4件丙時顯示價格為580元，那么購買甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7.解三元一次方程組，若先消去z，組成關(guān)于x、y的方程組，則應(yīng)對方程組進行的變形是（　　）
A． B．
C． D．
8.已知，，都不為零，且，則式子的值為（ ）
A． B． C．- D．-
9.已知某速食店販?zhǔn)鄣奶撞蛢?nèi)容為一片雞排和一杯可樂，且一份套餐的價錢比單點一片雞排再單點一杯可樂的總價錢便宜40元，阿俊打算到該速食店買兩份套餐，若他發(fā)現(xiàn)店內(nèi)有單點一片雞排就再送一片雞排的促銷活動，且單點一片雞排再單點兩杯可樂的總價錢，比兩份套餐的總價錢便宜10元，則根據(jù)題意可得到下列哪一個結(jié)論（ ）
A．一份套餐的價錢必為140元 B．一份套餐的價錢必為120元
C．單點一片雞排的價錢必為90元 D．單點一片雞排的價錢必為70元
10.我們約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)，如圖1，有，在圖2中，若的值為，則的值為（ ）

A． B． C．1 D．任意實數(shù)
填空題
11．用3.50元買了10分、20分、50分三種郵票共18枚，其中10分郵票的總價與20分郵票的總價相同，則50分郵票共買了枚。
12.對任意一個三位正整數(shù)m，如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，則稱這個三位正整數(shù)m為“美好數(shù)”．最大的三位“美好數(shù)”是 ．若一個三位“美好數(shù)”前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與這個“美好數(shù)”個位數(shù)字的4倍的和為111，滿足條件的三位“美好數(shù)”有 ．
13.在代數(shù)式ax2＋bx＋c中，x分別取0，1，－1時，其值分別為－5，－6，0，則a＝ ，b＝ ，c＝ ．
14．已知y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x＝1時，y＝3；當(dāng)x＝－1時，y＝1；當(dāng)x＝0時，y＝1，則a，b，c的值分別為 ．
15．對于一個三位正整數(shù)n，如果n滿足：它的百位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于個位數(shù)字的2倍，那么稱這個數(shù)n為“文德數(shù)”，例如：，因為，所以是“文德數(shù)”；，因為，所以不是“文德數(shù)”．若將一個“文德數(shù)”m的個位數(shù)的兩倍放到百位，原來的百位數(shù)變成十位數(shù)，原來的十位數(shù)變成個位數(shù)，得到一個新的三位數(shù)s，若s也是一個“文德數(shù)”，求滿足條件的 ．
三、解答題
16．解方程組：
(1) (2)
17.用A，B兩種硬紙板做圓柱模型，每個圓柱需要1個長方形做側(cè)面和2個圓做底面．兩種硬紙板以如圖兩種方式裁剪（裁剪后邊角料不再利用）．
A紙板：剪2個長方形做側(cè)面和3個圓做底面；
B紙板：剪1個長方形做側(cè)面和4個圓做底面．
問需要用A，B兩種硬紙板各多少張恰好能做這種圓柱模型1000個？
18.在甲、乙兩盒堅果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三種堅果，其中甲盒堅果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒堅果重量．
(1)甲盒里核桃仁重多少千克？
(2)若乙盒堅果重量比甲盒堅果重量多，且乙盒堅果中腰果是乙盒堅果重量的，求乙盒堅果中腰果重多少千克？
(3)在(1)、(2)的條件下，當(dāng)甲乙兩盒堅果混合在一起時，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒堅果中腰果重多少千克？
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
參考答案
【答案】D
【解析】略
【答案】D
【解析】略
3.【答案】D
【分析】設(shè)公雞有x只，母雞有y只，小雞有z只，根據(jù)條件建立三元一次不定方程組，解方程組即可求解．
【詳解】解：設(shè)公雞有x只，母雞有y只，小雞有z只，根據(jù)題意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然數(shù)，
，
，是7的倍數(shù)，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4種情況：
①公雞4只，母雞18只，小雞78只；
②公雞8只，母雞11只，小雞81只；
③公雞12只，母雞4只，小雞84只；
④公雞0只，母雞25只，小雞75只．
故小雞的只數(shù)不可能是
故選：
【點睛】本題考查列三元一次不定方程解古代數(shù)學(xué)問題的運用，不定方程組的解法的運用，解答時根據(jù)條件建立方程是關(guān)鍵．
4.【答案】C
【分析】根據(jù)方程②得到，結(jié)合方程①可得，由此即可得到答案．
【詳解】解：
由②得，
∴，
∴，
故選C．
【點睛】本題主要考查了解三元一次方程組，正確求出x、y之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
5．【答案】B
【分析】，，得：，根據(jù)，得：，可得，方程組隨之得解，問題即可作答．
【詳解】
，得：，
，得：，即，
將代入，解得：，
將，代入，解得：，
根據(jù)解答過程可知較簡便的方法是先消y，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了求解三元一次方程組的知識，掌握加減消元法，是解答本題的關(guān)鍵．
6．【答案】B
【分析】設(shè)購買甲、乙、丙三種商品需付款x元，y元，z元，根據(jù)題意列出方程組，計算即可求出x，y，z的值，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)購買甲、乙、丙三種商品需付款x元，z元，
根據(jù)題意得：，
得：，即，
∴，
則購買甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款400元．
故選：B．
【點睛】此題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
7．【答案】C
【分析】由題意知，得，，，即，然后判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，得，，，
∴消去z，組成關(guān)于x、y的方程組為，
故選：C．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
8．【答案】A
【分析】把z看作是常數(shù)，再解二元一次方程組可得，，再代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：，
得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
∴；
故選A
【點睛】本題考查的是三元一次方程組的解法，求解代數(shù)式的值，把其中一個未知數(shù)看作是常數(shù)，解方程組是解本題的關(guān)鍵．
9．【答案】C
【分析】設(shè)一片雞排的價錢為x元，一杯可樂的價錢為y元，一份套餐的價錢為z元，根據(jù)題意列方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)一片雞排的價錢為x元，一杯可樂的價錢為y元，一份套餐的價錢為z元，
根據(jù)題意得：，
得：，
∴一片雞排的價錢為90元．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意找對等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
10．【答案】C
【分析】根據(jù)新定義可得，即可求解．
【詳解】解：由題意得
，
整理得：
②③得：，
將①代入上式得：，
解得：，
故選：C．
【點睛】本題考查了新定義，解三元一次方程組．理解新定義是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】3
【解析】略
12. 【答案】 或
【分析】題目主要考查有理數(shù)的表示、方程組求解，理解題意，列出方程組化簡求值是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，最大的三位美好數(shù)的百位數(shù)字一定是9，十位數(shù)字為8，再根據(jù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，得到個位數(shù)字為1，即可，設(shè)三位“美好數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，根據(jù)一個三位“美好數(shù)”前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與這個“美好數(shù)”個位數(shù)字的4倍的和為111，結(jié)合美好數(shù)的定義，列出方程組求解即可．
【詳解】解：∵最大的三位“美好數(shù)”
∴百位數(shù)字一定是9，十位數(shù)字為8，
∵各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，
∴個位數(shù)字為1，
∴最大的三位“美好數(shù)”是；
設(shè)三位“美好數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
則：，
由題意，得：，
整理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
∴符合條件的的三位“美好數(shù)”有或；
故答案為：，或．
13．【答案】2，-3，-5
【解析】略
14．【答案】 1，1，1
【解析】略
15．【答案】
【分析】本題主要考查了整式的加減計算，等式的性質(zhì)，設(shè)m的百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個位數(shù)為c，則s的百位數(shù)為，十位數(shù)為a，個位數(shù)為b，根據(jù)“文德數(shù)”的定義推出，再根據(jù)a、b、c為整數(shù)，以及a、b、c的取值范圍確定c的值，進而確定a、b的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)m的百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個位數(shù)為c，則s的百位數(shù)為，十位數(shù)為a，個位數(shù)為b，
根據(jù)題意可得，，
∴，
∵且a、b、c都是整數(shù)，
∴都是整數(shù)，
∴，
當(dāng)時，，此時，
故答案為：．
16．.解：（1） （2）
17.【答案】需要用400張A種硬紙板，200張B種硬紙板
【詳解】設(shè)需要x張A種硬紙板，y張B種硬紙板，根據(jù)題意，得
，解得
答：需要用400張A種硬紙板，200張B種硬紙板．
18．【答案】(1)千克
(2)千克
(3)千克
【分析】本題考查的是百分?jǐn)?shù)的與分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，方程組的應(yīng)用；
（1）甲盒里核桃仁重量為：（千克）；
（2）先計算乙盒堅果的重量，再計算乙盒堅果中腰果的重量即可；
（3）先計算杏仁的總重量為千克．設(shè)甲盒堅果中腰果重千克，甲盒堅果中杏仁重千克，乙盒堅果中杏仁重千克，根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】（1）解：甲盒里核桃仁重量為：千克；
答：甲盒里核桃仁重千克；
（2）乙盒堅果重量為：千克，
乙盒堅果中腰果重量為：千克；
答：乙盒堅果中腰果重千克；
（3）混合后，杏仁的總重量為：千克；
設(shè)甲盒堅果中腰果重千克，甲盒堅果中杏仁重千克，乙盒堅果中杏仁重千克，
根據(jù)題意列方程組，得：
解得：，，；
答：甲盒堅果中腰果重千克．
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