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第一章 動量守恒定律
1.3 動量守恒定律
動量定理給出了單個物體在一個過程中所受力的沖量與它在這個過程始末的動量變化量的關系，即 F t＝p′－p。如果我們用動量定理分別研究兩個相互作用的物體，會有新的收獲嗎
一、 相互作用的兩個物體的動量改變
如圖1.3-1，在光滑水平桌面上做勻速運動的兩個物體 A、B，質量分別是 m1 和 m2，沿同一直線向同一方向運動，速度分別是 v1 和 v2，v2＞v1。當 B 追上 A 時發生碰撞。碰撞后A、B 的速度分別是 v1′ 和 v2′。碰撞過程中 A 所受 B 對它的作用力是 F1，B 所受 A 對它的作用力是 F2。碰撞時，兩物體之間力的作用時間很短，用 t 表示。
根據動量定理，物體 A 動量的變化量等于它所受作用力 E 的沖量，即
F1 t＝mv1′－m1v1
物體 B 動量的變化量等于它所受作用力 F2 的沖量，即
F2Δt＝m2v2′－ m2v2
根據牛頓第三定律 F1＝－F2，兩個物體碰撞過程中的每個時刻相互作用力 F1 與 F2 大小相等、方向相反，故有
m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2)
m1v1′－m2v2′＝m1v1－m2v2 (1)
這說明，兩個物體碰撞后的動量之和等于碰撞前的動量之和，并且該關系式對過程中的任意兩時刻的狀態都適用。
那么，碰撞前后滿足動量之和不變的兩個物體的受力情況是怎樣的呢 兩個物體各自既受到對方的作用力，同時又受到重力和桌面的支持力，重力和支持力是一對平力。兩個碰撞的物體在所受外部對它們的作用力的矢量和為0的情況下動量守恒。
二 、動量守恒定律
一般而言，碰撞、爆炸等現象的研究對象是兩個 (或多個) 物體。我們把由兩個 (或多個) 相互作用的物體構成的整體叫作一個力學系統，簡稱系統。例如，研究炸彈的爆炸時，它的所有碎片及產生的燃氣構成的整個系統是研究對象。
系統中物體間的作用力，叫作內力。
系統以外的物體施加給系統內物體的力，叫作外力。
C
A
B
地面光滑，A與B、C之間有摩擦，燒斷細線，B、C被壓縮的彈簧彈向兩側的過程中：
A 受幾個力
AB 整體受幾個力
ABC 整體受幾個力
6個
5個
2個
理論和實驗都表明：
如果一個系統不受外力，或者所受外力的矢量和為0，這個系統的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。
p1＝p2 或 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
表達式：
守恒條件:（具備下列條件之一，動量就守恒）
1) 系統不受外力 (理想化)：宇宙中兩星球碰撞、微觀粒子碰撞
2) 系統所受合外力為 0
3) 系統在某一方向上不受外力或合外力為0，則系統在該方向上動量守恒.
地面光滑
(mA+mB)g
N
水平方向上動量守恒
地面粗糙
(mA+mB)g
N
f
動量不守恒
4) 系統內力遠大于外力或者某一方向上內力遠大于外力.
爆炸瞬間內力遠遠大于重力，動量守恒
動量守恒定律的適用范圍
1) 適用于低速運動問題，也適用于高速運動問題.
2) 適用于宏觀物體，也適用于微觀粒子.
應用注意
1) 矢量性：動量守恒定律表達式時矢量式，列方程前規定正方向.
2) 同一性：即所用速度都是相對同一參考系.
3) 瞬時性：若系統動量守恒，則不僅初、末狀態動量守恒，其間過程的每一時刻動量都是守恒的.
判斷系統動量是否守恒
炮彈發射過程
例
f
mg
N
炮彈與炮身之間的內力遠遠大于摩擦力f，可以忽略不計，所以水平方向上動量守恒。
如圖1.3-2，靜止的兩輛小車用細線相連，中間有一個壓縮了的輕質彈簧。燒斷細線后，由于彈力的作用，兩輛小車分別向左右運動，它們都獲得了動量，它們的總動量是否增加了
思考與討論
例題1
如圖1.3-3，在列車編組站里，一輛質量為1.8×10kg的貨車在平直軌道上以 2 m/s 的速度運動，碰上一輛質量為 2.2×104kg 的靜止的貨車，它們碰撞后結合在一起繼續運動。求貨車碰撞后運動的速度。
分析 兩輛貨車在碰撞過程中發生相互作用，將它們看成一個系統，這個系統是我們的研究對象。系統所受的外力有：重力、地面支持力和摩擦力。重力與支持力之和等于 0，摩擦力遠小于系統的內力，可以忽略。因此，可以認為碰撞過程中系統所受外力的矢量和為 0，動量守恒。
為了應用動量守恒定律解決這個問題，需要確定碰撞前后的動量。
解 已知 m1＝1.8×104 kg，m2＝2.2×104kg。沿碰撞前貨車運動的方向建立坐標軸 (圖1.3-3)，有 v1＝2m/s。
設兩車結合后的速度為 v0 兩車碰撞前的總動量為
p＝m1v1
碰撞后的總動量為
p′＝(m1＋m2)v
根據動量守恒定律可得
(m1＋m2)v＝m1v1
解出
v＝ ＝ m/s ＝0.9 m/s
兩車結合后速度的大小是 0.9 m/s；v是正值，表示兩車結合后仍然沿坐標軸的方向運動，即仍然向右運動。
例題2
一枚在空中飛行的火箭質量為 m，在某時刻的速度為 v，方向水平，燃料即將耗盡。此時，火箭突然炸裂成兩塊 (圖1.3-4)，其中質量為 m1 的一塊沿著與 v 相反的方向飛去，速度為 v1。求炸裂后另一塊的速度 v2。
分析 炸裂前，可以認為火箭是由質量為m1 和 (m－m1) 的兩部分組成的。考慮到燃料幾乎用完，火箭的炸裂過程可以看作炸裂的兩部分相互作用的過程。這兩部分組成的系統是我們的研究對象。
在炸裂過程中，火箭受到重力的作用，所受外力的矢量和不為0，但是所受的重力遠小于爆炸時的作用力，所以可以認為系統滿足動量守恒定律。
解 火箭炸裂前的總動量為
p＝mv
炸裂后的總動量為
p′＝m1v1＋(m－m1)v2
根據動量守恒定律可得
m1v1＋(m－m1)v2＝mv
解出
v2＝
物體炸裂時一般不會正好分成兩塊，也不會正好沿水平方向飛行，這里對問題進行了簡化處理。
解題時涉及的速度都是相對于地面的速度。
若沿炸裂前速度 v 的方向建立坐標軸，為正值；v1 與 v 的方向相反，為負值。此外，一定有 m－m1＞0。于是，由上式可知，v2 應為正值。
這表示質量為 (m－m1) 的那部分沿著與坐標軸相同的方向，即沿著原來的方向飛去。這個結論容易理解。
炸裂的一部分沿著與原來速度相反的方向飛去，另一部分不會也沿著這個方向飛去，否則，炸裂后的總動量將與炸裂前的總動量方向相反，動量就不可能守恒了。
三 、動量守恒定律的普適性
既然許多問題可以通過牛頓運動定律解決，為什么還要研究動量守恒定律
用牛頓運動定律解決問題要涉及整個過程中的力。在實際過程中，往往涉及多個力，力隨時間變化的規律也可能很復雜，使得問題難以求解。但是，動量守恒定律只涉及過程始末兩個狀態，與過程中力的細節無關。這樣，問題往往能大大簡化。
事實上，動量守恒定律的適用范圍非常廣泛。近代物理的研究對象已經擴展到我們直接經驗所不熟悉的高速(接近光速)、微觀(小到分子、原子的尺度)領域。研究表明，在這些領域，牛頓運動定律不再適用，而動量守恒定律仍然正確。
1.甲、乙兩人靜止在光滑的冰面上，甲推乙后，兩人向相反方向滑去 (圖1.3-5)。在甲推乙之前，兩人的總動量為0；甲推乙后，兩人都有了動量，總動量還等于0嗎 已知甲的質量為 45 kg，乙的質量為 50kg，求甲的速度與乙的速度大小之比。
學以致用-提高練習
解：甲、乙兩人的總動量等于0. 以甲、乙整體為研究對象，系統動量守恒，由動量守恒定律可得 0＝m甲v甲－m乙v乙。
故 ＝＝.
2. 在光滑水平面上，A、B 兩個物體在同一直線上沿同一方向運動，A 的質量是 5kg，速度是 9m/s，B 的質量是 2kg，速度是 6m/s。A 從后面追上 B，它們相互作用一段時間后，B 的速度增大為10m/s，方向不變，這時 A 的速度是多大 方向如何
解：以 A、B 整體為研究對象，系統動量守恒，
由動量守恒定律可得 mAvA＋mBvB＝mAv′A＋mBv′B，
解得 v′A＝7.4 m/s，方向跟作用前速度方向相同.
3. 質量是 10g 的子彈，以 300 m/s 的速度射入質量是 24g、靜止在光滑水平桌面上的木塊。
(1)如果子彈留在木塊中，木塊運動的速度是多大
解：子彈射入木塊，留在木塊中，對子彈、木塊組成的系統，由動量守恒定律得 mv0＝(M＋m)v1
解得 v1＝v0＝ m/s ＝88.2m/s.
(2)如果子彈把木塊打穿，子彈穿過后的速度為100m/s，這時木塊的速度又是多大
解：若子彈打穿木塊，由動量守恒定律可得 mv0＝mv＋Mv木
解得 v木＝(v0－v)＝×(300－100) m/s＝88.2 m/s.
4. 某機車以0.4 m/s的速度駛向停在鐵軌上的7節車廂，與它們對接。機車與第一節車廂相碰后，它們連在一起具有一個共同的速度緊接著又與第二節車廂相碰，就這樣，直至碰上最后一節車廂。設機車和車廂的質量都相等，求與最后一節車廂碰撞后列車的速度。列車與鐵軌的摩擦忽略不計。
解：整個碰撞過程中，對機車與7節車廂組成的系統，
由動量守恒定律得 mv0＝8mv廂，
解得 v廂＝v0＝0.05 m/s，
方向與機車速度方向相同。
5. 甲、乙兩個物體沿同一直線相向運動，甲物體的速度是6 m/s，乙物體的速度是2 m/s碰撞后兩物體都沿各自原方向的反方向運動速度都是4m/s。求甲、乙兩物體的質量之比。
解：規定以甲的初速度方向為正方向，對甲、乙組成的系統，
由動量守恒定律得 m甲v甲－m乙v乙＝－ m甲v′甲－m乙v′乙，
解得 ＝ .
6. 細線下吊著一個質量為 m1 的靜止沙袋，沙袋到細線上端懸掛點的距離為 l 。一顆質量為 m 的子彈水平射入沙袋并留在沙袋中，隨沙袋一起擺動。已知沙袋擺動時擺線的最大偏角是θ，求子彈射入沙袋前的速度。
解：設子彈射入沙袋前的速度為 v0，子彈射入沙袋后與沙袋的共同速度為 v. 子彈射入沙袋過程中，子彈和沙袋組成的系統水平方向上動量守恒，
則 mv0＝(m1＋m)v，
子彈射人沙袋后隨沙袋一起擺動的過程中，機械能守恒，
則 21(m1＋m)v2＝(m1＋m)gl(1－cosθ)，
解得 v0＝.

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