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第一章 動(dòng)量守恒定律
1.2 動(dòng)量定理
兩個(gè)物體碰撞時(shí)，彼此間會(huì)受到力的作用，那么一個(gè)物體動(dòng)量的變化和它所受的力有怎樣的關(guān)系呢
一、 動(dòng)量定理
為了分析問題的方便，我們先討論物體受恒力的情況。如圖 1.2-1，假定一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體在光滑的水平面上受到恒力 F 的作用，做變速直線運(yùn)動(dòng)。
在初始時(shí)刻，物體的速度為 v，經(jīng)過一段時(shí)間 A，它的速度為 v′，那么，這個(gè)物體在這段時(shí)間的加速度就是
a＝＝
1、動(dòng)量與牛頓第二定律的關(guān)系
F＝ m ＝＝
根據(jù)牛頓第二定律 F＝ma，則有
由于 Δp＝p′－p，所以(1)式也可以寫成 F＝，
它表示：物體動(dòng)量的變化率等于它所受的力。
上式還可以寫成：FΔt＝Δp。
即 F t＝p′－p (1)
F t＝p′－p (1)
(1) 式的右邊是物體在 t 這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的變化量左邊既與力的大小、方向有關(guān)。又與力的作用時(shí)間有關(guān) F t 這個(gè)物理量反映了力的作用對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)。
2、沖量
物理學(xué)中把力與力的作用時(shí)間的乘積叫作力的沖量，用字母 I 表示沖量.
1)定義：
2)公式：
3)單位：
4)矢量：
I＝F t 或 I＝Ft
沖量的單位是牛秒，符號(hào)是 N·s。
I 與 F 的方向相同
5) 意義：
6) 絕對(duì)性：
沖量反映了力的作用在時(shí)間上的累積效應(yīng).
與參考系的選擇無關(guān)
3、動(dòng)量定理
1)內(nèi)容：
2)公式：
物體在一個(gè)過程中所受力的沖量等于它在這個(gè)過程始末的動(dòng)量變化量.
這里說的“力的沖量”指的是合力的沖量，或者是各個(gè)力的沖量的矢量和。
I＝p′－p (2)
F(t′－t)＝mv′－mv (2)
或
①公式中的 F 指的是合外力，可以是恒力，可以是變力.
② F 是物體動(dòng)量變化的原因.
③ 動(dòng)量定理公式是矢量式，運(yùn)算遵循平行四邊形定則.
④ 動(dòng)量定理不僅適用于宏觀低速，同樣適用于微觀高速.
3)說明：
4) 應(yīng)用動(dòng)量定理解題步驟：
①確定研究對(duì)象：物體和物理過程
②受力分析
③確定初末狀態(tài)，規(guī)定正方向
④根據(jù)動(dòng)量定理列方程
⑤求解，并分析作答.
實(shí)際上，物體在碰撞過程中受到的作用力往往不是恒力，物體不做勻變速運(yùn)動(dòng)。在類似的情況下，動(dòng)量定理還成立嗎
我們可以把實(shí)際過程細(xì)分為很多短暫過程 (圖1.2-2) 每個(gè)短暫過程中物體所受的力沒有很大的變化，這樣對(duì)于每個(gè)短暫過程就能夠應(yīng)用 (1) 式了。把應(yīng)用于每個(gè)短暫過程的關(guān)系式相加，就得到整個(gè)過程的動(dòng)量定理。在應(yīng)用 (1) 式處理變力問題時(shí)，式中的應(yīng)該理解為變力在作用時(shí)間內(nèi)的平均值。
二、 動(dòng)量定理的應(yīng)用
根據(jù)動(dòng)量定理，我們知道：如果物體的動(dòng)量發(fā)生的變化是一定的，那么作用的時(shí)間短，物體受的力就大；作用的時(shí)間長，物體受的力就小。
原理：FΔt＝Δp
Δp一定，t 短，F(xiàn) 大；t 長，F(xiàn) 小.
例如，玻璃杯落在堅(jiān)硬的地面上會(huì)破碎，落在地毯上不會(huì)破碎，用動(dòng)量定理可以很好地解釋此現(xiàn)象。從同樣的高度落到地面或地毯上時(shí)，在與地面或地毯的相互作用中，兩種情況下動(dòng)量的變化量相等，地面或地毯對(duì)杯子的力的沖量也相等。但是堅(jiān)硬的地面與杯子的作用時(shí)間短，作用力會(huì)大些，杯子易破碎；柔軟的地毯與杯子的作
用時(shí)間較長，作用力會(huì)小些，玻璃杯不易破
碎。易碎物品運(yùn)輸時(shí)要用柔軟材料包裝，跳
高時(shí)運(yùn)動(dòng)員要落在軟墊上 ，就是這個(gè)道理。
在本節(jié)“問題”欄目中，船靠岸時(shí)如果撞到堅(jiān)硬的物體，相互作用時(shí)間很短，作用力就會(huì)很大，很危險(xiǎn)。如果在船舷和碼頭懸掛一些具有彈性的物體(如舊輪胎)，就可以延長作用時(shí)間，以減小船和碼頭間的作用力。
例 題
一個(gè)質(zhì)量為 0.18kg 的壘球，以 25m/s 的水平速度飛向球棒，被球棒擊打后，反向水平飛回，速度的大小為 45 m/s (圖1.2-4)。若球棒與壘球的作用時(shí)間為 0.002s 球棒對(duì)壘球的平均作用力是多大
分析 球棒對(duì)壘球的作用力是變力，力的作用時(shí)間很短。在這個(gè)短時(shí)間內(nèi)，力先是急劇地增大，然后又急劇地減小為0。在沖擊、碰撞這類問題中，相互作用的時(shí)間很短，力的變化都具有這個(gè)特點(diǎn)。動(dòng)量定理適用于變力作用的過程，因此，可以用動(dòng)量定理計(jì)算球棒對(duì)壘球的平均作用力。
解 沿壘球飛向球棒時(shí)的方向建立坐標(biāo)軸，壘球的初動(dòng)量為
p＝mv＝0.18×25 kg·m/s＝4.5 kg·m/s
壘球的末動(dòng)量為
p′＝mv'＝－0.18×45 kg·m/s＝－8.1 kg·m/s
由動(dòng)量定理知壘球所受的平均作用力為
F＝＝N＝－6300N
壘球所受的平均作用力的大小為6300N，負(fù)號(hào)表示力的方向與坐標(biāo)軸的方向相反，即力的方向與壘球飛來的方向相反。
歷史上關(guān)于運(yùn)動(dòng)量度的爭(zhēng)論
歷史上關(guān)于運(yùn)動(dòng)量度的爭(zhēng)論歷史上，一種觀點(diǎn)認(rèn)為應(yīng)該用物理量 mv 來量度運(yùn)動(dòng)的“強(qiáng)弱”：另一種觀點(diǎn)認(rèn)為應(yīng)該用物理量 mv 來量度運(yùn)動(dòng)的“強(qiáng)弱”。主張以 mv 量度運(yùn)動(dòng)的代表人物是笛卡兒。他認(rèn)為：“在物質(zhì)中存在一定量的運(yùn)動(dòng)，它的總和在世界上永遠(yuǎn)不會(huì)增加也不會(huì)消失。”這實(shí)際上是后來所說的動(dòng)量守恒定律的雛形。主張以mv 量度運(yùn)動(dòng)的代表人物是萊布尼茲。他認(rèn)為守恒的應(yīng)該是 mv 而不是 mv。經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的爭(zhēng)論，法國科學(xué)家達(dá)蘭貝爾用他的研究指出，雙方實(shí)際是從不同的角度量度運(yùn)動(dòng)。
用現(xiàn)在的科學(xué)術(shù)語說，就是：“力”既可以通過動(dòng)量來表示
F＝
又可以通過動(dòng)能來表示
F＝
動(dòng)量決定了物體在力 F 的阻礙下能夠運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間，動(dòng)能則決定了物體在力 F 的阻礙下能夠運(yùn)動(dòng)多長距離。也就是說，動(dòng)量定理反映了力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)，動(dòng)能定理反映了力對(duì)空間的累積效應(yīng)。
這場(chǎng)爭(zhēng)論一方面促進(jìn)了機(jī)械能概念及整個(gè)能量概念的形成，并使人們對(duì)多種運(yùn)動(dòng)形式及其相互轉(zhuǎn)變的認(rèn)識(shí)更加深入；另一方面，動(dòng)量與動(dòng)量守恒定律也在爭(zhēng)論中顯示出了它們的重要性。
汽車碰撞試驗(yàn)
汽車安全性能是當(dāng)今衡量汽車品質(zhì)的重要指標(biāo)。實(shí)車碰撞試驗(yàn)是綜合評(píng)價(jià)汽車安全性能最有效的方法，也是各國政府檢驗(yàn)汽車安全性能的強(qiáng)制手段之一。
1998年6月18日，某國產(chǎn)轎車在清華大學(xué)汽車工程研究所進(jìn)行的整車安全性碰撞試驗(yàn)取得成功，被譽(yù)為“中國轎車第一撞”。從此，我國汽車的整車安全性碰撞試驗(yàn)開始與國際接軌。
當(dāng)汽車以50 km山左右的速度撞向剛性壁障時(shí)，撞擊使汽車的動(dòng)量瞬間變到0，產(chǎn)生了極大的沖擊力(圖 1.2-5)。“轟”的一聲巨響之后，載著模擬乘員的嶄新轎車眨眼間被撞得短了一大截。技術(shù)人員馬上查看車輛受損情況：安全氣囊是否爆開 安全帶是否發(fā)
揮了作用 前擋風(fēng)玻璃是否破碎 “乘
員”是否完好無損 車門是否能夠正
常開啟 …… 還要取出各種傳感器，
作進(jìn)一步處理，通過計(jì)算機(jī)得到碰
撞試驗(yàn)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。
汽車碰撞時(shí)產(chǎn)生的沖擊力不僅很大，而且很復(fù)雜。在碰撞瞬間沖擊力與碰撞的速度、相撞雙方的質(zhì)量分布、接觸位置的形狀、材料、變形等因素相關(guān)。利用“乘員”身上的傳感器采集的數(shù)據(jù)，研究人員可以評(píng)估人體相應(yīng)部位所受沖擊力的大小。根據(jù)這些結(jié)果，汽車廠家可以改進(jìn)車輛的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，增加乘員保護(hù)裝置，使我們乘坐的汽車越來越安全。
1. 如圖1.2-6，一物體靜止在水平地面上受到與水平方向成θ角的恒定拉力 F 作用時(shí)間 t 后，物體仍保持靜止。現(xiàn)有以下看法：
A. 物體所受拉力F的沖量方向水平向右
B. 物體所受拉力F的沖量大小是 Ft cos θ
C. 物體所受摩擦力的沖量大小為 0
D. 物體所受合力的沖量大小為0
你認(rèn)為這些看法正確嗎 請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由。
學(xué)以致用-提高練習(xí)
解：物體所受恒定拉力 F 的沖量方向與拉力的方向相同，故A錯(cuò)誤.
物體所受拉力 F 的沖量大小為 F，故B錯(cuò)誤.
物體所受摩擦力的沖量大小 IFf＝Ff·t，而物體保持靜止，故 Ff＝Fcosθ，則 IFf＝Ftcosθ，故C錯(cuò)誤.
物體所受合力為零，則合力的沖量大小為0，故D正確.
2. 體操運(yùn)動(dòng)員在落地時(shí)總要屈腿 (圖1.2-7)，這是為什么
解：體操運(yùn)動(dòng)員屈腿是為了延長與地面的接觸時(shí)間，運(yùn)動(dòng)員從接觸地面至靜止的過程中，動(dòng)量的變化量一定，地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員的力的沖量也一定，力的作用時(shí)間長，作用力就會(huì)小一些，故落地時(shí)屈腿可以減小地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員的沖擊力，以防運(yùn)動(dòng)員受傷.
3. 如圖1.2-8，用 0.5 kg 的鐵錘釘釘子。打擊前鐵錘的速度為 4 m/s ，打擊后鐵錘的速度變?yōu)?0，設(shè)打擊時(shí)間為0.01s，g 取 10m/s2.
(1)不計(jì)鐵錘所受的重力，鐵錘釘釘子的平均作用力是多大
(2)考慮鐵錘所受的重力，鐵錘釘釘子的平均作用力是多大
(3)請(qǐng)你分析一下，在計(jì)算鐵錘釘釘子的平均作用力時(shí)，在什么情況下可以不計(jì)鐵錘所受的重力。
(1)不計(jì)鐵錘所受的重力，鐵錘釘釘子的平均作用力是多大
解：以鐵錘為研究對(duì)象，以豎直向下為正方向，不計(jì)重力作用，有 F· t＝m(v2－v1)
則 F＝ ＝ N ＝ － 200N
負(fù)號(hào)表示鐵錘受力方向跟正方向相反.
由牛頓第三定律可知，鐵錘釘釘子的平均作用力大小為200 N，方向豎直向下.
(2)考慮鐵錘所受的重力，鐵錘釘釘子的平均作用力是多大
解：以鐵錘為研究對(duì)象，考慮鐵錘的重力作用，以豎直向下為正方向，有 (mg＋F) t＝m(v2－v1)
則 F＝ －mg＝ N－0.5×10N ＝－205N，
負(fù)號(hào)表示方向豎直向上
由牛頓第三定律可知，鐵錘釘釘子的平均作用力大小為205 N，方向豎直向下.
(3)請(qǐng)你分析一下，在計(jì)算鐵錘釘釘子的平均作用力時(shí)，在什么情況下可以不計(jì)鐵錘所受的重力。
解：由動(dòng)量定理可知，鐵錘釘釘子時(shí)的打擊時(shí)間越短，平均作用力越大，鐵錘自身重力作用影響越小，可以忽略不計(jì).
4. 一個(gè)質(zhì)量為 10 kg 的物體，以 10 m/s 的速度做直線運(yùn)動(dòng)，受到一個(gè)反向的作用力 F，經(jīng)過 4s，速度變?yōu)榉聪?2m/s。這個(gè)力是多大
解：規(guī)定初速度方向?yàn)檎较颍?br/>由動(dòng)量定理可知 F· t＝m(v2－v1)
則 F＝ ＝ N＝－30 N
即反向的作用力的大小為 30 N.
5. 一個(gè)質(zhì)量為 60 kg 的蹦床運(yùn)動(dòng)員，從離水平網(wǎng)面 3.2m 高處自由下落，著網(wǎng)后沿豎直方向蹦回到離水平網(wǎng)面 5.0m 高處。已知運(yùn)動(dòng)員與網(wǎng)接觸的時(shí)間為 0.8s，g 取 10m/s2。
(1) 求運(yùn)動(dòng)員與網(wǎng)接觸的這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的變化量。
解：規(guī)定豎直向下為正方向，運(yùn)動(dòng)員與網(wǎng)接觸的這段時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化量 p ＝m(v2－v1)
v1＝＝ m/s＝8 m/s
v2＝－＝－ m/s＝－10 m/s
Δp＝m(v2－v1)＝60×(－10－8) kg·m/s＝－1080 kg·m/s，負(fù)號(hào)表示方向豎直向上.
(2) 求網(wǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均作用力大小。
解：對(duì)于運(yùn)動(dòng)員，由動(dòng)量定理可知 (mg＋F) t＝ΔP
得 F＝－mg＝－1 950 N.
負(fù)號(hào)表示方向豎直向上.
(3) 求從自由下落開始到蹦回離水平網(wǎng)面5.0m高處這一過程中運(yùn)動(dòng)員所受重力的沖量彈力的沖量。
解：設(shè)運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)間為 t1，上升時(shí)間為 t2，則由 h1＝gt12， h2＝gt22，
得 t1＝0.8 s，t2＝1s
則全過程中重力的沖量為 IG＝mg(t1＋t2＋ t)＝1560 N·s，方向豎直向下.
由動(dòng)量定理有 IG＋I(xiàn)F ＝0
則彈力的沖量 IF＝1560 N·s，方向豎直向上.
6. 曾經(jīng)有一則新聞報(bào)道，一名4歲兒童從3層高的樓房掉下來，被一名見義勇為的青年接住。請(qǐng)你估算一下，兒童受到的合力的沖量是多大 設(shè)兒童與青年之間的相互作用時(shí)間為 0.1s，則兒童受到的合力的平均值有多大
解：假設(shè)兒童質(zhì)量 m＝15 kg，每層樓高3m，窗臺(tái)離樓板高1m，青年接到兒童時(shí)手臂離地面高度也為1m，忽略其他情況，選豎直向下為正方向，g取10m/s.
兒童在接觸青年手臂前下落的高度 h＝6m，
兒童剛被接住時(shí)的速度 v＝＝11m/s，
根據(jù)動(dòng)量定理，兒童受到的合力的沖量 I＝0－mv＝－165N·s，負(fù)號(hào)表示方向豎直向上.
兒童與青年之間的相互作用時(shí)間 t＝0.1s，
則兒童所受合力的平均值 F＝1650N，方向豎直向上.

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