資源簡介

專題 13 導(dǎo)數(shù)運算法則在抽象函數(shù)中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,與抽象函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題更是一個難點,求解此類問題的關(guān)鍵是
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造合適的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的運算法則確定所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì),最后再利用函數(shù)性質(zhì)
求解.
(一) 抽象函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用
若 f -x = f x 兩邊求導(dǎo)得 - f -x = f x ，即 f -x = - f x ，即若可導(dǎo)函數(shù) f x 是偶函數(shù)，則 f x
是奇函數(shù)，同理可得：若可導(dǎo)函數(shù) f x 是奇函數(shù)，則 f x 是偶函數(shù).
【例 1】（2024 屆上海市奉賢區(qū)高三二模）已知定義域為R 的函數(shù) y = f x ，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在
定義域也為 R 的導(dǎo)函數(shù) y = f x .
(1)求函數(shù) f x = ex + e- x 在點 0, f 0 的切線方程；
(2)已知 f x = a cos x + bsin x，當(dāng) a與b 滿足什么條件時，存在非零實數(shù) k ，對任意的實數(shù) x 使得
f -x = -kf x 恒成立？
(3)若函數(shù) y = f (x) 是奇函數(shù)，且滿足 f x + f 2 - x = 3 .試判斷 f x + 2 = f 2 - x 對任意的實數(shù) x 是否恒
成立，請說明理由.
【解析】（1）由題可知， f (x) = ex - e- x ，
所以切線的斜率為 f (0) = 0 ，且 f (0) = 2，
所以函數(shù)在點 0, f 0 的切線方程為 y - 2 = 0 x - 0 ，即 y = 2；
（2）由題可知 f x = -a sin x + b cos x，
又因為定義域上對任意的實數(shù) x 滿足 f -x = -kf x ，
ì-b = ak
所以 a cos x - bsin x = ak sin x - bk cos x，即 í
a bk
，
= -
當(dāng) k R 且 k 0時， a = b = 0，
當(dāng) k =1時， a + b = 0，當(dāng) k = -1時， a - b = 0；
（3）因為函數(shù) y = f x 在定義域R 上是奇函數(shù)，所以 f (-x) = - f (x) ，
所以 f (-x) × (-x) = - f (x) ，所以 f (-x) = f (x)，所以 y = f x 是偶函數(shù)，
因為 f x + f 2 - x = 3，所以 f x + f 2 - x × 2 - x = 3 ，
即 f x - f 2 - x = 0，即 f x = f 2 - x ，
因為 f (-x) = f (x)，所以 f -x = f 2 - x ，即 f x = f 2 + x ，
所以 y = f x 是周期為 2的函數(shù)，
所以 f x = f x + 2 = f x - 2 ，所以 f 2 - x = f -x = f x = f x + 2 .
(二)和差型抽象函數(shù)的應(yīng)用
解答此類問題時一般要根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)求解,構(gòu)造時要結(jié)合所求的結(jié)論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構(gòu)
造的函數(shù)的單調(diào)性求解．如給出式子 f x - k ,可構(gòu)造函數(shù) y = f x - kx + b ，給出式子 f x - kx ,可構(gòu)造
函數(shù) y = f x 1- x2 + b ，一般地，若給出 f x ± g x 通常構(gòu)造函數(shù) y = f x ± g x + c .
2
【例 2】已知 y = f (x)(x R) 的導(dǎo)函數(shù) f (x)滿足 f (x) 3且 f (1) = 3，求不等式 f (x) 3x的解集．
【解析】令 F (x) = f (x) - 3x ，則 F x = f x -3 0，∴ F (x)在R 上為單調(diào)遞增．
又∵ f (1) = 3，∴ F (1) = f (1) - 3 = 0，則 f (x) 3x可轉(zhuǎn)化為 F (x) 0 = F (1)，
根據(jù) F (x)單調(diào)性可知不等式 f (x) 3x的解集為 (1, + )．
(三)積型抽象函數(shù)的應(yīng)用
若給出形如 f x g x + f x g x 的式子通常構(gòu)造函數(shù) y = f x g x + c ，如給出 xf x + nf x 可構(gòu)造函
數(shù) y = xn f x ，如給出 f x + nf x ，可構(gòu)造函數(shù) y = f x enx ，如給出 f x + f x tan x ，可構(gòu)造函數(shù)
y = f x sin x .
【例 3】（2024 年全國高考名校名師聯(lián)席命制數(shù)學(xué)押題卷）若函數(shù) f x 在 a,b 上滿足 g x = f x f x 0
且不恒為 0，則稱函數(shù) f x 為區(qū)間 a,b 上的絕對增函數(shù)， g x 稱為函數(shù) f x 的特征函數(shù)，稱任意的實數(shù)
c a,b 為絕對增點（ f x 為函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù)）．
(1)若 1 為函數(shù) f x = a - x ex 的絕對增點，求 a的取值范圍；
(2)絕對增函數(shù) f x 的特征函數(shù) g x 的唯一零點為 x0 ．
（?。┳C明： x0 是 f x 的極值點；
（ⅱ）證明： g x 不是絕對增函數(shù)．
1 f x = a - x ex f x = a -1- x ex【解析】（ ）因為函數(shù) ，所以 ，
則 f x f x = x - a x - a +1 e2x ．
由 f x f x 0得 x - a x - a +1 0 ，解得 x a -1或 x a，
所以 f x 為區(qū)間 - ,a -1 及區(qū)間 a,+ 上的絕對增函數(shù)．
又 1 為函數(shù) f x 的絕對增點，所以1< a -1或1 a ，解得 a 2或a < 1，
所以 a的取值范圍為 - ,1 U 2, + ．
（2）（?。┰O(shè) f x 為區(qū)間 a,b 上的絕對增函數(shù)，由題意知 g x0 = 0，當(dāng) x x0時， g x 0, x0 a,b ．
①若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在區(qū)間 x0 - Δx, x0 上單調(diào)遞增，則在區(qū)間 x0 - Δx, x0 上，
f x 0, f x < 0 ，則 g x < 0，與 g x 0矛盾．
若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在區(qū)間 x0 - Δx, x0 上單調(diào)遞減，則在區(qū)間 x0 - Δx, x0 上，
f x < 0, f x 0，則 g x < 0，與 g x 0矛盾．
若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在區(qū)間 x0 - Δx, x '0 上不單調(diào)，則存在 x0 x0 - Δx, x0 ，且 f x0 = 0，
此時 g x0 = 0與 g x 有唯一零點 x0 矛盾．所以 f x0 0 ．
②若 f x0 0 ，不妨設(shè) f x0 0，則 f x0 = 0，且存在Δx1 0，使得當(dāng) x x0 - Δx1, x0 + Δx1 時，
f x 0，且當(dāng) x x - Δx , x 0 1 0 U x0 , x0 + Δx1 時， f x > 0，即$Δx1 0，使 f x 在 x0 - Δx1, x0 上單調(diào)
遞減，在 x0 , x0 + Δx1 上單調(diào)遞增．
所以 x0 為 f x 的極值點．同理，當(dāng) f x0 < 0時也成立．
（ⅱ）若 g x 為絕對增函數(shù)，則 g x × g x 0在 a,b 上恒成立，
又 g x 0恒成立，所以 g x 0恒成立．
令j x = ex × g x ，所以j x 0 ，且j x = ex × g x + g x 0，
所以j x 在 a,b 上單調(diào)遞增．又j x0 = 0，所以當(dāng) x a, x0 時，j x < 0 ，則 g x < 0，與 g x 0矛盾，
所以假設(shè)不成立，所以 g x 不是絕對增函數(shù)．
π
【例 4】定義在 (0, )上的函數(shù) f (x) ，其導(dǎo)函數(shù)是 f (x)，且恒有 f (x) < f (x) × tan x成立，比較
2
3 f π π ÷ 與 f
è 6 è 3 ÷
的大小.

π
【解析】因為 x (0, )，所以 sin x 0， cos x 0．
2
由 f (x) < f (x) tan x ，得 f (x) cos x < f (x)sin x ．
即 f (x)sin x - f (x)cos x 0 ．
令 g(x)
f (x)
= ， x (0,
π) f (x)sin x - f (x)cos x，則 g (x) = 0．
sin x 2 sin2 x
f (x) π
所以函數(shù) g(x) = 在 x (0, )上為增函數(shù)，
sin x 2
π π π
π f ( ) f (
π) f ( ) f ( )
則 g( ) < g(
π) ，即 6 < 3 6 < 3 3 f (
π
，所以 ，即 ) < f (
π)．
6 3 1sin π sin π 3 6 3
6 3 2 2
(四)商型抽象函數(shù)的應(yīng)用
f x
若給出形如 f x g x - f x g x 的式子通常構(gòu)造函數(shù) y = + c ，如給出 xf x - nf
x
g x 可構(gòu)造函數(shù)
f x f x f xy = n ，給出 f x - nf x ，可構(gòu)造函數(shù) y = nx ，給出 f x - f x tan x ，可構(gòu)造函數(shù) y = .x e sin x
【例 5】（2024 屆湖北省襄陽市第五中學(xué)高三第二次適應(yīng)性測試）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在
高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù) f(x)，g(x)滿足:
①圖象在 a,b 上是一條連續(xù)不斷的曲線；
②在 a,b 內(nèi)可導(dǎo);
f b - f a f x
③對"x a,b ， g x 0 ，則$x a,b ，使得 =g b g a g x .-
特別的，取 g x = x，則有：$x a,b f b - f a ，使得 = f x ，此情形稱之為拉格朗日中值定理.
b - a
(1)設(shè)函數(shù) f x 滿足 f 0 = 0，其導(dǎo)函數(shù) f x 在 0, + f x上單調(diào)遞增，證明：函數(shù) y = 在 0, + 上為
x
增函數(shù).
(2)若"a,b 0,e ln a ln b m b a 且 a b，不等式 - + - ÷ 0 恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍.b a è a b
f x f x - f1 0 【解析】（ ）由題 = ，
x x - 0
由柯西中值定理知：對"x 0，$x 0, x ，
f x - f 0 f x
使得 = = f x f x ， = f x ，
x - 0 1 x
又 f x 在 0, + 上單調(diào)遞增，則 f x f x ，
f x
則 f x ，即 xf x - f x 0，
x
é f x ù xf x - f x
所以 ê =x ú x2
0，

f x
故 y = 在 0, + 上為增函數(shù)；
x
ln a ln b b a
（2） - + m

-

÷ 0
a ln a - b ln b
m，
b a è a b a2 - b2
取 f x = x ln x ， g x = x2，
因為 a b，所以由柯西中值定理，$x b,a ，
f a - f b a ln a - b ln b f x 1+ lnx
使得 = 2 2 = =g a - g b a - b g x 2x ，
1+ lnx
由題則有： m2x ，
設(shè)G x 1+ ln x= 0 < x < e G x - ln x， = ，
2x 2x2
當(dāng)0 < x < 1時，G x 0 ，當(dāng)1 < x < e 時，G x < 0，
所以G x 在 0,1 上單調(diào)遞增，在 1,e 上單調(diào)遞減，
所以G x 1= G 1 =max ，2
m 1
1
故
é
，所以實數(shù)m 的取值范圍是 ê ,+ .2 2 ÷
【例 6】已知函數(shù) f x 在 0,1 恒有 xf x 2 f x ，其中 f x 為函數(shù) f x 的導(dǎo)數(shù)，若a ，b 為銳角三角
形兩個內(nèi)角，比較cos2 b f (sina ),sin2 a f (cos b ) 的大小.
g x f (x)= 0 < x <1 x
2 × f
g x x - 2x × f x x × f
x - 2 × f x
【解析】設(shè) ，則
x2 = 4 = 3 0x x
所以函數(shù) g x 在 0,1 上單調(diào)遞增.
a ， b 為銳角三角形兩個內(nèi)角,則a + b π
2
0 π所以 < - b < a
π
< ，由正弦函數(shù) y = sin x
0, π 在 2 ÷上單調(diào)遞增.2 2 è
0 cos b sin π< = - b 則 ÷ < sina < 1
è 2
g cos g sin f cos b f sina 所以 b < a ，即
cos2
<
b sin2 a
所以 sin2 a × f cos b < cos2 b × f sina .
(五)根據(jù) f x ± f -x = g x 構(gòu)造函數(shù)
若給出形如 f x ± f x = g x 的式子通常構(gòu)造偶函數(shù)或奇函數(shù).
【例 7】設(shè)函數(shù) f (x) 在 R 上存在導(dǎo)函數(shù) f '( x ) , "x R ,有 f (x) - f (-x) = x3 ,在 (0, + )上有
2 f '(x) - 3x2 0 ,若 f (m - 2) - f (m) -3m2 + 6m - 4 ,求實數(shù)m 的取值范圍.
3 3
【解析】因為 f x - f -x = x3 , f (x) x (-x)所以 - = f (-x) -
2 2
3
令 g(x) x= f (x) - \g(x) = g(-x)
2
即函數(shù) g(x) 2為偶函數(shù),因為 0, + 上有2 f ' x - 3x 0 ,
2
所以 g (x) 3x= f (x) - 0
2
即函數(shù) g(x) 在 (0, + )單調(diào)遞增；
又因為 f m - 2 - f m -3m2 + 6m - 4
3 3
所以 g(m - 2) - g(m) f (m 2) (m - 2)= - - - f (m) m+
2 2
= f (m - 2) - f (m) + 3m2 - 6m + 4 0
即 g(m - 2) g(m) ,所以 m - 2 m ,解得m 1 ,故選 B.
(六)信息遷移題中的抽象函數(shù)
求解此類問題關(guān)鍵是如何利用題中的信息.
【例 8】已知定義在R 上的函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù)為 f x ，若 f x 1對任意 x R 恒成立，則稱函數(shù) f x
為“線性控制函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù) f x = sinx和 g x = ex 是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù) f x 為“線性控制函數(shù)”，且 f x 在R 上嚴(yán)格增，設(shè) A B 為函數(shù) f x 圖像上互異的兩點，設(shè)直線 AB
的斜率為 k ，判斷命題“ 0 < k 1”的真假，并說明理由；
(3)若函數(shù) f x 為“線性控制函數(shù)”，且 f x 是以T (T 0)為周期的周期函數(shù)，證明：對任意 x1, x2 都有
f x1 - f x2 T .
【解析】（1） f x = cosx 1，故 f x = sinx是“線性控制函數(shù)”；
g 1 = e 1，故 g x = ex 不是“線性控制函數(shù)”.
（2）命題為真，理由如下：
設(shè) A x1, f x1 , B x2 , f x2 ，其中 x1 < x2
f x - f x
由于 f x 在R 上嚴(yán)格增，故 f x1 < f x2 ，因此 k = 1 2 0x1 - x2
由于 f x 為“線性控制函數(shù)”，故 f x 1，即 f x -1 0
令F x = f x - x，故F x = f x -1 0，因此F x 在R 上為減函數(shù)
f x - f x f xk -1 = 1 2 -1 = 1 - x1 - f x2 - x2 F x1 - F x = 2 0 k 1，
x1 - x2 x1 - x2 x1 - x2
綜上所述，0 < k 1，即命題“ 0 < k 1”為真命題.
f a - f b
（3 ）根據(jù)（2）中證明知，對任意 a < b 都有 k = 1
a - b
由于 f x 為“線性控制函數(shù)”，故 f x -1，即 f x +1 0
令G x = f x + x ，故G x = f x +1 0，因此F x 在R 上為增函數(shù)
f a - f b f a + a - f b + b G a - G b f a - f b
+1 = = 0 -1
a - b a - b a - b a - b
f a - f b f a - f b
因此對任意 a < b 都有 -1,1 ，即 1
a - b a - b
當(dāng) x1 = x2時，則 f x1 - f x2 = 0 T 恒成立
當(dāng) x1 x2 時，
f x1 - f x2 f x1 - f x2
若 x2 - x1 T ，則1 ，故 f x1 - f x2 Tx1 - x2 T
若 x2 - x1 T 時，則存在 x3 x1, x1 +T 使得 f x3 = f x2
f x1 - f x3 f x1 - f x
故 1 3 ，因此 f x1 - f x2 = f x1 - f x3 < Tx1 - x3 T
綜上所述，對任意 x1, x2 都有 f x1 - f x2 T .
T
（事實上，對任意 x1, x2 都有 f x1 - f x2 ，此處不再贅述）2
【例 9】定義：若曲線 C1和曲線 C2有公共點 P，且在 P 處的切線相同，則稱 C1與 C2在點 P 處相切．
(1) 2 2設(shè) f x = 1- x , g x = x - 8x + m．若曲線 y = f x 與曲線 y = g x 在點 P 處相切，求 m 的值；
(2)設(shè) h x = x3，若圓 M： x2 + y - b 2 = r 2 r 0 與曲線 y = h x 在點 Q（Q 在第一象限）處相切，求 b 的
最小值；
(3)若函數(shù) y = f x 是定義在 R 上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為 y = f x ，且滿足 f x f x 和 f x < 2
都恒成立.是否存在點 P，使得曲線 y = f x sin x和曲線 y=1 在點 P 處相切？證明你的結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)點P(x1, y1)，由 f (x) =1- x2 , g(x) = x2 -8x + m ，求導(dǎo)得 f (x) = -2x, g (x) = 2x -8，
于是-2x1 = 2x1 -8，解得 x1 = 2，由 f (x1) = g(x1)，得1- 22 = 22 -8 2 + m，解得m = 9，
所以 m 的值為 9.
（2）設(shè)切點Q(x2 , x
3
2 ), x2 0，由 h x = x3求導(dǎo)得 h (x) = 3x2 2，則切線的斜率為 h (x2 ) = 3x2 ，
3
2 x - b又圓 M： x + (y - b)2 = r2 的圓心M (0,b)，直線MQ 的斜率為 2 ，x2
x3
則由 2
- b 1
×3x22 = -1
3
，得b = x2 + 3x ，令j(x)
1
= x3 + , x 0 2 1，求導(dǎo)得j (x) = 3x - ，
x2 2 3x 3x2
0 3當(dāng) < x < 時，j (x) < 0 x 3，當(dāng) 時，j (x) 0 j(x) (0, 3 3，即函數(shù) 在 )上遞減，在 ( ,+ )上遞增，
3 3 3 3
因此當(dāng) x 3= 時，j(x) 3 4 3min = j( ) = ，3 3 9
3 4 3
所以當(dāng) x2 = 時，b3 min
= .
9
（3）假設(shè)存在P(x0 ,1) 滿足題意，
則有 f (x0 )sin x0 =1，對函數(shù) y = f (x) sin x 求導(dǎo)得： y = f (x)sin x + f (x) cos x，
于是 f (x0 )sin x0 + f (x0 ) cos x0 = 0，即 f (x0 )sin x0 = - f (x0 ) cos x0 ，
平方得[ f (x0 )]
2 sin2 x0 = [ f (x0 )]
2 cos2 x = [ f (x )]20 0 (1- sin
2 x0 )，
2 2 1
即有[ f (x0 )] sin x0 + [ f (x0 )]
2 sin2 x 2 20 = [ f (x0 )] ，因此[ f (x0 )] × 2 +1 = [ f (x )]
2
[ f (x )] 0 ，0
整理得[ f (x0 )]
2 + [ f (x0 )]
2 = [ f (x 40 )] ，而恒有 f x f x [ f (x )]2成立，則有 0 [ f (x )]20 ，
從而[ f (x0 )]
4 2[ f (x 20 )] ，顯然 f (x0 ) 0，于是[ f (x
2
0 )] 2，即 | f (x0 ) | 2 與 f x < 2 恒成立矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在點 P 滿足條件.
【例 1】（2024 年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷）函數(shù)與函數(shù)之間存在位置關(guān)系.已知函數(shù) f x 與 g x 的圖象在
它們的公共定義域 D內(nèi)有且僅有一個交點 x0 , f x0 ，對于"x1 D且 x1 - , x0 ， x2 D且 x2 x0 , + ，
若都有 é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0，則稱 f x 與 g x 關(guān)于點 x0 , f x0 互穿；若都有
é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù 0，則稱 f x 與 g x 關(guān)于點 x0 , f x0 互回.已知函數(shù) f x 與 g x 的定
義域均為R ，導(dǎo)函數(shù)分別為 f x 與 g x ， f x 與 g x 的圖象在R 上有且僅有一個交點 m, f m ，
f x 與 g x 的圖象在R 上有且僅有一個交點 m, f m .
(1) f x = ex若 ， g x =1+ x ，試判斷函數(shù) f x 與 g x 的位置關(guān)系.
(2)若 f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互回，證明： f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互穿且
é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
(3)研究表明：若 f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互穿，則 f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互回且
2 3 i
é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+
x x x
上恒成立.根據(jù)以上信息，證明： ex 1+ x + + + ×××+ （ i
2 6 i!
為奇數(shù)）.
【解析】（1）設(shè)H x = f x - g x = ex - 1+ x = ex - x -1，
則H x = ex -1，當(dāng) x < 0 時，H x < 0 ，當(dāng) x 0時，H x 0，
\H x 在 - ,0 上單調(diào)遞減，在 0, + 上單調(diào)遞增，
所以H x H 0 = e0 -1 = 0 ，即 f x g x ，當(dāng)且僅當(dāng) x = 0時取等號.
又 f x 與 g x 的圖象在R 上有且僅有一個交點 0,1 ，
\函數(shù) f x 與 g x 關(guān)于點 0,1 互回.
（2）設(shè) x1 < m ， x2 m，則 é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù 0，（互回的定義的應(yīng)用）
設(shè)h x = f x - g x ，則 h x = f x - g x ，故 h x1 h x2 0 .
①若 h x1 , h x2 均大于零，因為 h m = f m - g m = 0 ，（提示： f x 與 g x 的圖象交于點
m, f m .
所以h x 0，所以 h x 單調(diào)遞增，
又 h m = f m - g m = 0 ，（提示： f x 與 g x 的圖象交于點 m, f m ）
所以 h x1 < 0 ， h x2 0，
所以 h x1 × h x2 = é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0， h x1 × h x2 0 ，
所以 f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
②若 h x1 , h x2 均小于零，因為 h m = f m - g m = 0 ，
所以 h x 0，所以 h x 單調(diào)遞減，
又 h m = f m - g m = 0 ，
所以 h x1 0， h x2 < 0，
所以 h x1 × h x2 = é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0， h x1 × h x2 0 ，
所以 f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
綜上， f x 與 g x 關(guān)于點 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
x2 3 i
（3）設(shè) fi x = ex ， gi x =1+ x
x x
+ + +L+ （ i N*）
2 6 i!
2 3 i-1
則 f ' x x x xi = ex = fi-1 x （ i 2 '）， gi x =1+ x + + +L+ = g x 2 6 i 1 ! i-1 （ i 2）-
' '
（關(guān)鍵：尋找 fi x 與 fi-1 x ， gi x 與 gi-1 x ， i 2之間的關(guān)系）
易知 f1 x = ex ， g1 x =1+ x ，
由（1）可知 f1 x 與 g1 x 關(guān)于點 0,1 互回.
0
因為 fi 0 = e =1 = gi 0 ，
所以"i N*， fi x 與 gi x 的圖象交于點 0,1 .
由（2）得 f2 x 與 g2 x 關(guān)于點 0,1 互穿，（提示： f 2 x = f1 x ， g2 x = g1 x ）
由（3）得 f3 x 與 g3 x 關(guān)于點 0,1 互回，
易得當(dāng) i為奇數(shù)時， fi x 與 gi x 關(guān)于點 0,1 互回，
所以"x1 - ,0 ， x2 0, + ，有 é fi x1 - gi x1 ù × é fi x2 - gi x2 ù 0（ i為奇數(shù)）.（提示：互回的定義
的應(yīng)用）
由題意得 é fi x2 - gi x2 ù × é fi-1 x2 - gi-1 x2 ù 0對任意正整數(shù) i恒成立，（提示：由本問信息可得）
所以 é fi-1 x2 - gi-1 x2 ù × é fi-2 x2 - gi-2 x2 ù 0
é fi-2 x2 - gi-2 x2 ù × é fi-3 x2 - gi-3 x2 ù 0，L，
é f2 x2 - g2 x2 ù × é f1 x2 - g1 x2 ù 0
累乘得 é fi x2 - gi x2 ù × é fi-1 x2 - gi-1 x2
2
ù Lé f1 x2 - g1 x2 ù 0
所以 é fi x2 - gi x2 ù × é f1 x2 - g1 x2 ù 0
易知 f1 x2 - g1 x2 0，（點撥： f1 x g1 x ，當(dāng)且僅當(dāng) x = 0時等號成立，又 x2 0, + ，所以
f1 x2 g1 x2 .所以 fi x2 - gi x2 0 .
因為 é fi x1 - gi x1 ù × é fi x2 - gi x2 ù 0，（ i為奇數(shù)），
所以 fi x1 - gi x1 0（ i為奇數(shù)），
因為 fi 0 = gi 0 ，所以 fi x gi x （ i為奇數(shù)），
2 3 i
即 ex 1 x x x x+ + + + + （ i為奇數(shù)），得證.
2 6 i!
【例 2】（2024 屆上海市普陀區(qū)桃浦中學(xué)高三上學(xué)期期末）對于一個在區(qū)間 I 上連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù) y = f (x) ，
在 I 上任取兩點 (x1, f x1 )， (x2 , f x2 ) ，如果對于任意的x1與x2的算術(shù)平均值的函數(shù)值大于等于對于任意
的x1與x2的函數(shù)值的算術(shù)平均值，則稱該函數(shù)在 I 上具有“M 性質(zhì)”.如果對于任意的x1與x2的幾何平均值的
函數(shù)值大于等于對于任意的x1與x2的函數(shù)值的幾何平均值，則稱 y = f (x) 在 I 上具有“L 性質(zhì)”.
(1)如果函數(shù) y =loga x在定義域內(nèi)具有“M 性質(zhì)”，求 a的取值范圍.
1
(2) 2對于函數(shù) y = ax - ln x，若該函數(shù)的一個駐點是 x = ，求 a，并且證明該函數(shù)在 x ée , + ù上具有“L 性e
質(zhì)”.
(3)設(shè)存在m, n I ，使得 f (m) = f (n) .
①證明:取x (m, n)，則有 f (m) - f (n) = f (x )(m - n)
②若 I = [a,b]，設(shè)命題 p :函數(shù) y = f (x) 具有“ M 性質(zhì)”，命題 q : f (x) 為嚴(yán)格減函數(shù)，試證明 p 是q的必要條
件.
(可用結(jié)論:若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且在區(qū)間 I 上連續(xù)，若有 (a,b) I ，且 f (a) = f (b) ，則 f (x) 在區(qū)間
I 上存在駐點)
【解析】（1）由函數(shù) f (x) = loga x在 (0, + )上具有“ M 性質(zhì)”，
x + x 1
可得對任意 x1, x2 (0,+ ), log 1 2a loga x1 + log2 2 a x2 = loga x1x2 .
又 x1 + x2 2 x1x2 ，所以 a 1；
1
（2）令 g(x) = ax - ln x, g (x) a
1
= - 由 g

÷ = 0，得a = ex è e
1
則 g(x) = e x - ln x ，在 0,
1
÷上嚴(yán)格減:在 ,+ e ÷ 上嚴(yán)格增
.
è è e
要證 g(x)在 é e
2 ,+ 上具有“ L性質(zhì)”.
需證 g x1 × x2 g x1 × g x2 ，
即證 é g
2
x ù1 × x2 g x1 × g x2 ，
而 é g x1 × x2
2
ù
=
2
e x1x
2
2 - ln x1x2 = e x1x2 - 2e x1x2 ln x1x2 + ln2 x1x2 ，
g x1 × g x2 = ex1 - ln x1 ex2 - ln x2 = e2x1x2 - e x1 ln x2 + x2 l nx + ln x1 × ln x
2 1 2
則 ln x1x2 - 2e x1x2 ln x1x2 = ln x1x2 - e x1x2 ln x1x4 2
ln x1 ln x2 - e x1 ln x2 + x2 ln x1 ，
1
需證 ln x + ln x 2 - e x x ln x x + e x ln x + x ln x ln x ln x ，
4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1
由 ln x1 + ln x2
2 ln x ln x
4 1 2
，
e x1 ln x2 + x2 ln x1 - e x1x2 ln x1x2
= é e x2 × x2 - x1 × ln x1 + x1 × x1 - x ù2 × ln x2
= 2e x2 - x1 x2 ln x1 - x1 × ln x2
ln x ln x
= 2e x1x2 x - x 1 22 1 ÷÷
è x1 x2
ln x ln x
故只需證 2e x1x2 x - x 1 22 1 - ÷÷ 0，
è x1 x2
ln x
下面給出證明：設(shè) h(x) = ，則 h (x)
1- ln x
=
x x2
，
即在 (e, + )上h (x) < 0,h(x)遞減，
所以 x1 - x2 é h x1 - h x2 ù 0，
2e x x ln x ln x x 1 2即 1 2 2 - x1 -x x ÷÷ 0 .è 1 2
1
綜上， ln x1 + ln x
2
2 - e x1x2 ln x1x2 + e x1 ln x2 + x2 ln x1 p ln x1 ln x2 成立，4
故 g x1 × x2 g x1 × g x2 ，得證.
（3）①令 g(x) = ( f (m) - f (n))x - f (x)(m - n)， g (x) = f (m) - f (n) - f (x)(m - n) ，
由可用結(jié)論，令 x = x 為該函數(shù)的駐點，則0 = g (x ) = f (m) - f (n) - f (x )(m - n) ，
即取x (m, n)，則有 f (m) - f (n) = f (x )(m - n)，得證.
②取 x1, x2 (a,b)，設(shè) x1 < x2 ,uk (0,1),k {1,2}，
記 2x0 = x1 + x2 , h = x2 - x0 = x0 - x1，則 x1 = x0 - h, x2 = x0 + h ，由①中的結(jié)論，則有:
f x0 + h - f x0 = hf x0 + u1h （1）
f x0 - h - f x0 = hf x0 - u2h （2）
由(1) - (2)，得 f x0 - h + f x0 + h - 2 f x0 = h é f x0 + u1h - f x0 - u2h ù 對 f (x) 在區(qū)間 x0 - u2h, x0 + u1h
使用①中的結(jié)論，則：
f (x ) u1 + u2 h2 = h é f x0 + u1h - f x0 - u2h ù ，
其中，x x0 - u2h, x0 + u1h .
由于 f (x) 是嚴(yán)格減函數(shù)，則 f (x ) 0，
f x + h + f x - h即 f x 0 0 0 ，2
即 f
x1 + x2 f x + f x
÷
1 2 .
è 2 2
所以 p 是q的必要條件.
【例 3】已知函數(shù) f x 的定義域為 0, + f x ，導(dǎo)函數(shù)為 f x ，若 f x < 恒成立，求證：
x +1
f 3 - 2 f 1 < 0 .
f xg x x 0 f fx x 【解析】設(shè)函數(shù) = ，因為 < ， x 0 ，
x +1 x +1
x +1 f x - f x
所以 x +1 f x - f x < 0 '，則 g x = < 0 ，x +1 2
所以 g x 在 0, + 上單調(diào)遞減，
g 1 g 3 f 1 f 3 從而 ,即 ，所以 f 3 - 2 f 1 < 0 .
2 4
1 2 1
【例 4】已知函數(shù) f x 滿足 f x + f ' x = x ，且 f 0 =1，判斷函數(shù) g x = 3é f x ù - f x 零點的個數(shù).e 2
【解析】 f x + f ' x 1= ex f x + ex f ' x =1 éx e
x f x ù x ' =1，∴ e f x = x + c， f x
x + c
= x ，∵e e
f 0 =1 x +1代入，得 c =1，∴ f x =
ex
.
2g x 1= 3 é f x ù - f x = 0 f x = 0或 f x
1
= ，
2 6
f x 0 x +1= x = 0 x = -1； f x
1 x +1 1
= x = e
x = 6 x +1 ，
e 6 e 6
如圖所示，
1
函數(shù) y = ex 與函數(shù) y = 6 x +1 的圖像交點個數(shù)為 2 個，所以 f x = 的解得個數(shù)為 2 個；綜上，零點個數(shù)為
6
3 個.
【例 5】已知定義在 R 上的函數(shù) f x 的導(dǎo)數(shù)為 f x ,且滿足 f x + f -x = 2sin x ,當(dāng) x 0 時
f x x -sin x -cos x π ,求不等式 f 2x - f x - ÷ < sin 2x + cos x的解集.
è 2
【解析】設(shè) g x = f x - sin x ,則 g -x = f -x + sin x ,所以 g x - g -x
= f x - f -x -2sin x = 0 ,所以 g x 是偶函數(shù),設(shè) h x = x - sin x x 0 ,則 h x = 1- cos x 0 ,所
以 h x h 0 , 即 x - sin x 0 , 所 以 x 0 時 f x x - sin x - cos x -cos x , 所 以 x 0 時
g x = f x + cos x 0 , g x 在 0, + 上 是 增 函 數(shù) , 所 以 f 2x - f π x - ÷ < sin 2x + cos x
è 2
f 2x - sin 2x
< f x π- - sin x π ÷ -

÷ g 2x g
x π g 2x < g x π- π< - ÷ ÷ 2x < x - è 2 è 2 è 2 è 2 2
2
2x 2 x π x π 3x π π π< - ÷ + ÷ - ÷ < 0 - < x < ,故選 C.
è 2 è 2 è 2 2 6
【例 6】已知定義域為R 的函數(shù) y = f x ，其導(dǎo)函數(shù)為 y = f x ，滿足對任意的 x R 都有 f x <1.
sin x
(1)若 f x = ax + ，求實數(shù) a 的取值范圍；
4
(2)若存在M 0，對任意 x R ，成立 f x M ，試判斷函數(shù) y = f x - x 的零點個數(shù)，并說明理由；
(3)若存在 a、b a < b ，使得 f a = f b ，證明：對任意的實數(shù)x1、 x2 a,b ，都有
f x f x b - a1 - 2 < .2
sin x cos x
【解析】（1）若 f x = ax + ，則 f (x) = a + ，
4 4
由題意，對任意的 x R 都有 f x <1，
a cos x則 + <1
cos x
，即-1< a + <1，
4 4
cos x cos x
所以-1- < a <1- ，
4 4
1 cos x 3 cos x 3由于 - 的最小值為 ，-1- 的最大值為- ，
4 4 4 4
3 3 3 3
所以- < a < ，即實數(shù) a 的取值范圍為 - ,4 4 4 4 ÷
；
è
（2）依題意， y = f x -1< 0，
所以， y = f x - x 在R 上為減函數(shù)，所以至多一個零點；
f x M -M < f x < M ，，
當(dāng) x = -M -1時， y = f x - x = f -M -1 + M +1 0，
當(dāng) x = M +1時， y = f x - x = f M +1 - M -1 < 0，
所以 y = f x - x 存在零點，綜上存在 1 個零點；
f x - f x
（3）因為 f x 1 2 <1，由導(dǎo)數(shù)的定義得 <1，
x1 - x2
即 f x1 - f x2 < x1 - x2 ，
不妨設(shè) a x1 x2 b
若 x
b - a
1 - x2 ，則 f x1 - f x
b - a
2 < x1 - x2 2 2
b - a
若 x1 - x2 ，2
則 f x1 - f x2 = f x1 - f b + f a - f x2
< f x1 - f b + f a - f x2
< b - x1 + x2 - a
b a b - a b - a< - - = .
2 2
1.若定義域為 D 的函數(shù) y = f x 使得 y = f x 是定義域為 D 的嚴(yán)格增函數(shù)，則稱 f x 是一個“T 函數(shù)”．
(1) x 3分別判斷 f1 x = 3 ， f2 x = x 是否為 T 函數(shù)，并說明理由；
(2)已知常數(shù) a 0，若定義在 0, + 上的函數(shù) y = g x 是 T 函數(shù)，證明：
g a +1 - g a < g a + 3 - g a + 2 ；
(3)已知 T 函數(shù) y = F x 的定義域為R ，不等式F x < 0的解集為 - ,0 ．證明：F x 在R 上嚴(yán)格增．
2．對于一個函數(shù) f x 和一個點M a,b ，令 s x = (x - a)2 + ( f x - b)2 ，若P x0 , f x0 是 s x 取到最小
值的點，則稱 P 是M 在 f x 的“最近點”．
1
(1)對于 f (x) = (x 0) ，求證：對于點M 0,0 ，存在點 P ，使得點 P 是M 在 f x 的“最近點”；
x
(2) x對于 f x = e , M 1,0 ，請判斷是否存在一個點 P ，它是M 在 f x 的“最近點”，且直線MP 與 y = f (x)
在點 P 處的切線垂直；
(3)已知 y = f (x) 在定義域 R 上存在導(dǎo)函數(shù) f (x) ，且函數(shù) g(x) 在定義域 R 上恒正，設(shè)點
M1 t -1, f t - g t ，M 2 t +1, f t + g t ．若對任意的 t R ，存在點 P 同時是M1, M 2 在 f x 的“最近
點”，試判斷 f x 的單調(diào)性．
3．（2024 屆江蘇省鹽城市濱海縣高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函
數(shù) z = f (x, y)在約束條件 g(x, y) 的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)
L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中 l 為拉格朗日系數(shù)．分別對 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求導(dǎo)，并使之為 0，
得到三個方程組，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程組，得出解 (x, y)，就是二元函數(shù) z = f (x, y)在約束條件 g(x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
的可能極值點． x, y 的值代入到 f (x, y)中即為極值．
補充說明：【例】求函數(shù) f (x, y) = x2 + xy + y2關(guān)于變量 x 的導(dǎo)數(shù)．即：將變量 y 當(dāng)做常數(shù)，即： fx (x, y) = 2x + y ，
下標(biāo)加上 x ，代表對自變量 x 進行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的 Lx , Ly , Ll 表示分別對 x, y, λ進行求
導(dǎo)．
(1)求函數(shù) f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2關(guān)于變量 y 的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng) x =1處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù) x, y 滿足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
1
(3)①若 x, y, z為實數(shù)，且 x + y + z =1 x2 + y2 + z2，證明： ．
3
2a2 1 1②設(shè) a b c 0，求 + + -10ac + 25c2ab a(a b) 的最小值．-
4．（2024 屆浙江省寧波市寧波九校高三上學(xué)期期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函
y = u x v x 數(shù)，其一般形式為 u x 0，u x 1 ，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對
y = xx x é lnx x 于冪指函數(shù) ， y = x = e ù = exlnx = exlnxê ú lnx +1 .
1
(1) x-已知 f x = x x，x 0，求曲線 y = f x 在 x =1處的切線方程；
1
(2)若m 0且m 1， x 0 .研究 g x 1+ m
x x
= ÷ 的單調(diào)性；
è 2
s s
t s
t t
(3)已知 a，b，s，t 均大于 0 a + b a + b，且 a b ，討論 ÷ 和 ÷ 大小關(guān)系.
è 2 è 2
5．（湖北省八市高三下學(xué)期 3 月聯(lián)考）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng) f x 在 x = 0處
3 n
n n N* f 0 的 階導(dǎo)數(shù)都存在時， f x = f 0 + f 0 x + x2 f 0 f 0+ x3 + ×××+ xn + ×××．注： f x
2! 3! n!
表示 f x 的 2 階導(dǎo)數(shù)，即為 f x f n 的導(dǎo)數(shù)， x n 3 表示 f x 的 n階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.
(1)根據(jù)該公式估算 sin
1
的值，精確到小數(shù)點后兩位；
2
x2 x4 x6 2(2)由該公式可得： cosx =1- + - + ×××．當(dāng) x 0 時，試比較 cosx 1 x與 - 的大小，并給出證明（不使
2! 4! 6! 2
用泰勒公式）；
n 1 1
(3) * n -設(shè) n N ，證明： k =1 n + k tan 1 4n + 2 .
n + k
6. f (x) (ex )2函數(shù) 滿足 f (x
f (-x)
+ 2) = （ e為自然數(shù)的底數(shù)），且當(dāng) x 1時，都有 f (x) + f (x) 0（ f 2 (x) 為e
f (x) f (2022) f (2020)的導(dǎo)數(shù)），比較
e2020
,
e2022
的大小 .
7.設(shè)函數(shù) f (x) 在 R 上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 f (x) ，且 2 f (x) + xf (x) 0 ．求證： f (x) 0 .
8.已知函數(shù) f x 及其導(dǎo)函數(shù) f x 的定義域均為R ， f 2x + 3 是偶函數(shù)，記 g x = f x ， g x + 2 也是偶
函數(shù)，求 f 2023 的值.
9. 定義在 0, + 上的函數(shù) y = f x 有不等式 2 f x < xf x < 3 f x 恒成立，其中 y = f x 為函數(shù) y = f x
f 2
的導(dǎo)函數(shù)，求證： 4 < < 8f 1 .
10．已知 f x 為定義域R 上函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù)，且 f x + f 2 - x = 0 ， x 1， x -1 f x + 2 f x 0
且 f 3 =1，求不等式 f x
4

x -1 2 的解集
f (2)
11.定義在區(qū)間 (0, + )上函數(shù) f (x) 使不等式 2 f (x) < xf '(x) < 3 f (x) 恒成立，（ f '(x)為 f (x) 的導(dǎo)數(shù)），求 f (1) 的
取值范圍.
12.設(shè) y = f x f x 是定義在R 上的奇函數(shù).若 y = (x 0) 是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱 y = f x 為“ D函數(shù)”.
x
(1)分別判斷 y = -x x 和 y = sinx 是否為D函數(shù)，并說明理由；
1 1
(2)若 y = - 是D函數(shù)，求正數(shù) ax 的取值范圍；a +1 2
(3)已知奇函數(shù) y = F x 及其導(dǎo)函數(shù) y = F x 定義域均為R .判斷“ y = F x 在 0, + 上嚴(yán)格減”是“ y = F x
為D函數(shù)”的什么條件，并說明理由.
13.設(shè)M 是定義在R 上且滿足下列條件的函數(shù) f x 構(gòu)成的集合：
①方程 f (x) - x = 0有實數(shù)解；
②函數(shù) f x 的導(dǎo)數(shù) f x 滿足0 < f (x) <1．
x sin x
（1）試判斷函數(shù) f (x) = + 是否集合M 的元素，并說明理由；
2 4
（2）若集合M 中的元素 f x 具有下面的性質(zhì)：對于任意的區(qū)間 m, n ，都存在 x0 [m,n]，使得等式
f (n) - f (m) = (n - m) f x0 成立，證明：方程 f (x) - x = 0有唯一實數(shù)解．
（3）設(shè)x1是方程 f (x) - x = 0的實數(shù)解，求證：對于函數(shù) f (x) 任意的 x2 , x3 R，當(dāng) x2 - x1 <1， x3 - x1 <1時，
有 f x3 - f x2 < 2．
14.設(shè)定義在R 上的函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù)為 f x ，若 f x + f x 2 ， f 0 = 2024，求不等式
f (x) 2 2022 + x （其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集e

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