資源簡介

(共50張PPT)
第六節　雙曲線
課前自主預習案
課堂互動探究案
課前自主預習案
必 備 知 識
1.雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離的__________等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的________，兩焦點間的距離叫做雙曲線的________．
差的絕對值
焦點
焦距
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程
圖形
簡單幾何性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：________，對稱中心：________ 頂點 ____________ A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 ____________ ____________ 離心率 實虛軸 實軸長|A1A2|＝________；虛軸長|B1B2|＝__________；實半軸長__________，虛半軸長__________ a，b，c的關系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) 坐標軸
原點
A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
2a
2b
a
b
a2＋b2
【常用結論】
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝，其中θ為∠F1PF2.
夯 實 基 礎
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
(3)雙曲線＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是＝0，即±＝0.(　　)
(4)關于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
×
√
√
×
2．(教材改編)雙曲線2x2－y2＝8的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：由題意，＝1的漸近線方程為y＝± x＝±x.故選C.
3．(教材改編)經過點A(4，1)且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為__________．
＝1
解析：由題意，設等軸雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入點A(4，1)的坐標得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求雙曲線的方程為＝1.
4．(易錯)已知雙曲線x2－＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
6
解析：設雙曲線x2－＝1的左右焦點分別為F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
則||PF1|－|PF2||＝2，
可設|PF2|＝4，
則|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
5．(易錯)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為________．
2或
解析：由題意知＝tan ＝或＝tan ＝，
當＝時，e＝ ＝＝2；
當＝時，e＝ ＝ ＝.
課堂互動探究案
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程．
2．掌握雙曲線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)．
3．了解雙曲線的簡單應用．
問題思考·夯實技能

【問題1】　方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？




【問題2】　如何由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求出其漸近線方程？已知雙曲線的漸近線方程為y＝kx，如何設雙曲線方程？
答案：若A＞0，B＜0表示焦點在x軸上的雙曲線；若A＜0，B＞0表示焦點在y軸上的雙曲線，當上述兩種條件都不滿足時，不表示雙曲線，所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB＜0.
答案：由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求漸近線方程，只需把1變成0，整理得±＝0.反過來，若雙曲線的漸近線方程為y＝kx，則雙曲線方程可設為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
關鍵能力·題型剖析
題型一 雙曲線的定義及應用
例1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
答案： A　
解析：如圖，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B.
根據兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數且小于|C1C2|.
又根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離比到C1的距離大)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8，故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．故選A.
(2)已知雙曲線x2－y2＝2，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為(　　)
A．2 B．2
C． D．2
答案：D
解析：設θ＝∠F1PF2＝60°，則＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故選D.
題后師說
(1)在利用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡時，要注意分清是雙曲線還是雙曲線的一支．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系．
鞏固訓練1
(1)[2024·江西上饒模擬]已知圓x2＋y2－4y＝0的圓心為S，過點T(0，－2)的直線m交圓S于C，D兩點，過點T作SC的平行線，交直線SD于點M，則點M的軌跡為(　　)
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
答案： D　
解析： x2＋y2－4y＝0，即圓x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因為SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故點M的軌跡為雙曲線．
故選D.
(2)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l經過F2且與雙曲線右支相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則△ABF1的周長為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能確定
答案：C
解析：雙曲線x2－my2＝1(m>0)的實半軸長a＝1，
由雙曲線的定義，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
則△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故選C.
題型二 雙曲線的標準方程
例2(1)經過點P(－3，2)和Q(－6，－7)的雙曲線的標準方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案： B　
解析：設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，
則解得
故雙曲線的標準方程為＝1.故選B.
(2)[2024·河南許昌模擬]已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y＝0，且經過點(3，2)，則C的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：A　
解析：根據漸近線方程可設雙曲線C方程為：＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線C過點(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴雙曲線C的標準方程為＝1.故選A.
(3)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PQ|＝4，△PQF1的周長為20，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
答案：C
解析：因為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
所以＝，
因為過F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
則△PQF1的周長為|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，則b＝1，
所以雙曲線的標準方程為－y2＝1.故選C.
題后師說
求雙曲線方程的兩種方法
鞏固訓練2
(1)[2024·河北張家口模擬]“k>2”是“＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案： B　
解析：當(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2時，＝1表示雙曲線，
所以“k>2”是“＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選B.
(2)已知點F1，F2分別是等軸雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面積為8，則雙曲線C的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：D
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中點，所以PF1⊥PF2，
a＝b，則c＝a，
解得a＝2，
所以雙曲線方程為＝1.故選D.
題型三 雙曲線的幾何性質
角度一　漸近線
例3(1)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1(－2，0)，F2(2，0)，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案： D　
解析：由題意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
漸近線方程為y＝± x＝±x.故選D
(2)已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：設雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，
因為＝ ＝，所以＝4，則＝2，
所以漸近線方程為y＝±x＝±x.故選C.
題后師說
求雙曲線漸近線方程的兩種常用方法
角度二　離心率
例4(1)[2024·河南鄭州模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c，0)，點P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|OP|＝c，|PF|＝2a，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
答案： B　
解析：
由題意知點P在第一象限且在雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線上，
設漸近線的傾斜角為α，則tan α＝，即＝，
結合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
結合題意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故選B.
(2)[2024·九省聯考]設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
答案：D
解析：由雙曲線的對稱性可知＝＝，有四邊形AF1BF2為平行四邊形，
令＝＝m，則＝＝2m，
由雙曲線定義可知＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
則cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
則有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，則e2＝7，由e>1，故e＝.故選D.
題后師說
求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
鞏固訓練3
(1)[2024·江蘇鎮江模擬]點(0，4)到雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．5
答案： C　
解析：由題意可得雙曲線的一條漸近線為：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距離為d＝＝＝，所以＝，
不妨設b＝4m(m>0)，則c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故選C.
(2)[2024·河北唐山模擬]已知直線l：x－y－2＝0過雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且與C的一條漸近線平行，則C的實軸長為______．
2　
解析：直線x－y－2＝0與x軸交點為(2，0)，斜率為，
由題意解得
所以雙曲線的實軸長為2a＝2.
(3)[2024·安徽黃山模擬]設雙曲線＝1(a>0，b>0)，其右焦點為F，過F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點H，且與另一條漸近線交于點Q，若＝，則雙曲線的離心離為__________．
2
解析：設點H為第一象限內一點，如圖所示，
設雙曲線的左焦點為F′，因為＝，則H為FQ的中點，
又因為OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因為∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，則∠FOH＝，
直線OH的方程為y＝x，則＝tan ＝，
因此，該雙曲線的離心率為e＝＝＝＝＝2.
1.(多選)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲線C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為
C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± x
D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線
答案：ACD
解析：對于選項A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可變形為＝1，∴該方程表示焦點在y軸上的橢圓，正確；對于選項B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝，該方程表示半徑為 的圓，錯誤；對于選項C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正確；對于選項D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny2＝1 y＝± ，該方程表示兩條直線，正確．綜上選ACD.
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為________________.
y＝±x
解析：因為雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
3．[2022·全國甲卷] 若雙曲線y2－＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
解析：由題意，得雙曲線的一條漸近線方程為y＝，即x－my＝0.圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，故圓心坐標為(0，2)，半徑r＝1.由漸近線與圓相切，結合點到直線的距離公式，得＝1，解得m＝±.又因為m＞0，所以m＝.
4．[2023·新課標Ⅰ卷]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，
則C的離心率為________．
解析：由題意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，設A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因為＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因為⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因為點A(c，－y0)在雙曲線C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化簡得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.課后定時檢測案61　雙曲線　
一、單項選擇題
1．[2024·遼寧沈陽模擬]若方程＋＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－1，2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．[2024·江蘇泰州模擬]若雙曲線ky2－8x2＝8的焦距為6，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　　B．C．3　　　D．
3．[2024·山東臨沂模擬]知雙曲線C：－＝1的一條漸近線斜率為－2，實軸長為4，則C的標準方程為(　　)
A．y2－＝1B．－＝1
C．－x2＝1D．－＝1
4．[2024·山西呂梁模擬]若雙曲線C的一條漸近線的方程為x＋2y＝0，則下列選項中不可能為雙曲線C的方程的是(　　)
A．－y2＝1B．－＝1
C．－＝1D．－＝1
5．[2024·河北邯鄲模擬]若雙曲線x2－m2y2＝λ(λ≠0)的兩條漸近線互相垂直，則m＝(　　)
A．－1　　B．±1C．2　　　D．±2
6．[2024·河北保定模擬]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，B為虛軸上端點，M是BF中點，O為坐標原點，OM交雙曲線右支于N，若FN垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　B．2C．　　D．
7．已知圓M：(x＋4)2＋y2＝16，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A(4，0)，線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，則當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(x≤－2)
B．－＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1
8．(素養提升)[2024·重慶沙坪壩模擬]設F1，F2分別是雙曲線C：－＝1的左、右兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且||＝|－|，則△PF1O的面積為(　　)
A．4B．2
C．3D．2
二、多項選擇題
9．[2024·山東棗莊模擬]已知曲線C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，則(　　)
A．C1的長軸長為
B．C2的漸近線方程為x±2y＝0
C．C1與C2的離心率互為倒數
D．C1與C2的焦點相同
10．(素養提升)[2024·河北滄州模擬]已知F1，F2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上第一象限內一點，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2，F1關于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，則(　　)
A．C的實軸長為2
B．C的離心率為2
C．△F1PF2的面積為2
D．∠F1PF2的平分線所在直線的方程為x－y－1＝0
三、填空題
11．[2024·河北石家莊模擬]已知雙曲線－＝1(b>0，a為正整數)的離心率e＝，焦距不大于4，試寫出雙曲線的一個方程：________________．
12．[2024·安徽六安模擬]已知雙曲線－＝1(a，b>0)的左右焦點分別為F1，F2，過點F1作與一條漸近線垂直的直線l，且l與雙曲線的左右兩支分別交于M，N兩點，若|MN|＝|NF2|，則該雙曲線的漸近線方程為________________．
四、解答題
13．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－).
(1)求雙曲線方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；
(3)在(2)的條件下，求△F1MF2的面積．
?優生選做題?
14．[2024·河北石家莊模擬]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦點分別是F1，F2，左右頂點分別是A1，A2，離心率為2，點P在C上，若直線A1P，A2P的斜率之和為，△PF1F2的面積為，則a＝(　　)
A．1B．
C．D．2
15．[2024·山東濰坊模擬]已知雙曲線E：－＝1(a>1)的中心為坐標原點O，左、右焦點分別為F1，F2，且點A(5，－)在雙曲線E上．
(1)求雙曲線E的漸近線方程；
(2)若直線l1與直線l2：x＝交于點C，點D是雙曲線E上一點，且滿足＝0，記直線CD的斜率為k1，直線OD的斜率為k2，求k1·k2.
課后定時檢測案61　雙曲線
1．解析：依題意，得(k＋1)(k－2)<0，則－1答案：A
2．解析：因為ky2－8x2＝8為雙曲線，所以k≠0，化為標準方程為：－＝1.由焦距為6可得：c＝＝3，解得k＝1.所以雙曲線為－＝1.所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.故選A.
答案：A
3．解析：由題意雙曲線C：－＝1的焦點在y軸上，則2a＝4，a＝2，又－＝－2，則b＝1，故C的標準方程為－x2＝1.故選C.
答案：C
4．解析：對于A，由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±2y＝0，符合題意；
對于B，由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±2y＝0，符合題意；
對于C，由題易知雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±2x，不符題意；
對于D，由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為：y＝±x，即x±2y＝0，符合題意．故選C.
答案：C
5．解析：當λ>0時，雙曲線焦點在x軸上，a2＝λ，b2＝，故＝，漸近線方程為y＝±x，當λ<0時，雙曲線焦點在y軸上，b2＝－λ，a2＝－，故＝，漸近線方程為y＝±x，所以其漸近線方程為y＝±x，又因為雙曲線x2－m2y2＝λ(λ≠0)的兩條漸近線互相垂直，所以－×＝－1，解得m＝±1.故選B.
答案：B
6．解析：由題意，在雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)中，右焦點為F，FN垂直于x軸，
由題意可知：F(c，0)，B(0，b)，N(c，)，
因為M是BF中點，則M(，)，可得＝(，)，＝(c，)，
且O，M，N三點共線，則∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝.故選A.
答案：A
7．解析：因為線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，所以有|QA|＝|QP|，由圓M：(x＋4)2＋y2＝16，得M(－4，0)，該圓的半徑r＝4，因為點P在圓上運動時，有||QP|－|QM||＝4，于是有||QA|－|QM||＝4，所以點Q的軌跡是以A，M為焦點的雙曲線，所以c＝4，2a＝4，可得a＝2，所以b2＝c2－a2＝12，所以點Q的軌跡方程為－＝1.故選B.
答案：B
8．解析：由||＝|－|＝||＝c＝，
所以P是以原點為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的交點，
又F1(－，0)，F2(，0)，即它們也在P點所在的圓上，且||為直徑，
所以△PF1F2為直角三角形，∠F1PF2＝90°，
如圖，||－||＝2a＝2，且||2＋||2＝4c2＝24，
所以(2＋||)2＋||2＝24 ||2＋2||－8＝0 ||＝－，
則||＝＋，故△PF1O的面積為×||||＝2．故選D.
答案：D
9．解析：曲線C1：5x2＋y2＝5整理得＋x2＝1，則曲線C1是焦點在y軸上的橢圓，其中a＝5，b＝1，所以c＝a－b＝4，離心率為e1＝＝＝，故曲線C1的長軸長2a1＝2，故A錯誤；
曲線C2：x2－4y2＝4整理得－y2＝1，則曲線C2是焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝4，b＝1，所以c＝a＋b＝5，離心率為e2＝＝，C2的漸近線方程為y＝±x，即x±2y＝0，故B正確；
e1·e2＝×＝1，所以C1與C2的離心率互為倒數，故C正確；
C1的焦點在y軸上，C2的焦點在x軸上，焦點位置不同，故D錯誤．故選BC.
答案：BC
10．解析：由題意，在C：－＝1(a>0，b>0)中，
∵F1關于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，
∴P，F2，Q三點共線，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝，∴|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|.
設|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，
根據雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，
解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.
在△F1PF2中，根據勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，
∴C的實軸長為2，所以A正確；
又a＝1，c＝，∴C的離心率為，所以B不正確；
△F1PF2的面積為×2×2＝2，∴C正確；
∵PQ⊥F1F2，∴P(，2)，
∵∠F1PF2＝，易得∠F1PF2的平分線的傾斜角為，
∴∠F1PF2的平分線所在直線的方程為y－2＝(x－)，即x－y－1＝0，所以D正確．故選ACD.
答案：ACD
11．解析：由e＝＝得4c2＝7a2，又c2＝a2＋b2，所以4(a2＋b2)＝7a2，即2b＝a.又c≤2，所以≤20，得7a2≤80.因為a為正整數，所以a＝1或a＝2或a＝3，即b＝或b＝或b＝，則雙曲線方程為x2－＝1或－＝1或－＝1.
答案：x2－＝1，－＝1，－＝1(寫出其中一個即可)
12．解析：如圖，設直線l：y＝－x，F1S⊥l且垂足為S，
因為|F1N|－|F2N|＝2a，故|F1M|＝2a，所以|F2M|＝4a，
而F1S⊥l，故F1S＝b，故cos∠SF1F2＝，
在△F1MF2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2c×2a×，
整理得到：2a2＋2ab－b2＝0，故＝1＋，
因此該雙曲線的漸近線方程為y＝±(＋1)x.
答案：y＝±(＋1)x
13．解析：(1)因為e＝，
所以可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0).
因為過點P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以雙曲線方程為x2－y2＝6，即－＝1.
(2)證明：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，所以c＝2，不妨設F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，
則F1(－2，0)，F2(2，0).
方法一　kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
因為點M(3，m)在雙曲線上，
所以9－m2＝6，m2＝3，
所以kMF1·kMF2＝－1，
所以MF1⊥MF2，所以·＝0.
方法二　因為＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
因為M點在雙曲線上，
所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以·＝0.
(3)△F1MF2的底邊長|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝6.
14．解析：∵e＝＝2，c2＝4a2，c2＝a2＋b2，
∴c＝2a，3a2＝b2，
∵＝·2c·|yP|＝，
∴|yP|＝＝　①，
|xP|＝＝＝　②，
∵kA1P＋kA2P＝>0，A1(－a，0)，A2(a，0)，
∴kA1P＋kA2P＝＋＝＝2××＝＝，故＝　③，
由①②③，得＝×，解得a＝1.故選A.
答案：A
15．解析：(1)由題意得－(－)2×＝1，a>1，解得a＝4.
所以雙曲線方程為：－＝1，
于是其漸近線為y＝x或y＝－x，即3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
(2)設C(，t)，D(x0，y0)，F2(5，0)，因為·＝0，
所以(5－，－t)·(5－x0，－y0)＝0，整理得ty0＝(x0－5).
因為點D(x0，y0)在雙曲線上，所以－＝1，即y＝(x－16)，
所以k1·k2＝·＝
＝＝.第六節　雙曲線
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程．
2．掌握雙曲線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)．
3．了解雙曲線的簡單應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？
【問題2】　如何由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求出其漸近線方程？已知雙曲線的漸近線方程為y＝kx，如何設雙曲線方程？
關鍵能力·題型剖析
題型一 雙曲線的定義及應用
例1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
(2)已知雙曲線x2－y2＝2，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為(　　)
A．2 B．2
C． D．2
題后師說
(1)在利用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡時，要注意分清是雙曲線還是雙曲線的一支．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系．
鞏固訓練1
(1)[2024·江西上饒模擬]已知圓x2＋y2－4y＝0的圓心為S，過點T(0，－2)的直線m交圓S于C，D兩點，過點T作SC的平行線，交直線SD于點M，則點M的軌跡為(　　)
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
(2)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l經過F2且與雙曲線右支相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則△ABF1的周長為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能確定
題型二 雙曲線的標準方程
例2(1)經過點P(－3，2)和Q(－6，－7)的雙曲線的標準方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2024·河南許昌模擬]已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y＝0，且經過點(3，2)，則C的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PQ|＝4，△PQF1的周長為20，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
題后師說
求雙曲線方程的兩種方法
鞏固訓練2
(1)[2024·河北張家口模擬]“k>2”是“＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
(2)已知點F1，F2分別是等軸雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面積為8，則雙曲線C的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
題型三 雙曲線的幾何性質
角度一　漸近線
例3(1)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1(－2，0)，F2(2，0)，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
題后師說
求雙曲線漸近線方程的兩種常用方法
角度二　離心率
例4(1)[2024·河南鄭州模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c，0)，點P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|OP|＝c，|PF|＝2a，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
(2)[2024·九省聯考]設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
題后師說
求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
鞏固訓練3
(1)[2024·江蘇鎮江模擬]點(0，4)到雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．5
(2)[2024·河北唐山模擬]已知直線l：x－y－2＝0過雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且與C的一條漸近線平行，則C的實軸長為______．
(3)[2024·安徽黃山模擬]設雙曲線＝1(a>0，b>0)，其右焦點為F，過F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點H，且與另一條漸近線交于點Q，若＝，則雙曲線的離心離為__________．
1.(多選)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲線C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為
C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± x
D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為________________.
3．[2022·全國甲卷] 若雙曲線y2－＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
4．[2023·新課標Ⅰ卷]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，則C的離心率為________．
第六節　雙曲線
問題思考·夯實技能
【問題1】　答案：若A＞0，B＜0表示焦點在x軸上的雙曲線；若A＜0，B＞0表示焦點在y軸上的雙曲線，當上述兩種條件都不滿足時，不表示雙曲線，所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB＜0.
【問題2】　答案：由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求漸近線方程，只需把1變成0，整理得±＝0.反過來，若雙曲線的漸近線方程為y＝kx，則雙曲線方程可設為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：
如圖，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B.
根據兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數且小于|C1C2|.
又根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離比到C1的距離大)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8，故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．故選A.
解析：設θ＝∠F1PF2＝60°，則＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故選D.
答案： A　
答案：D
鞏固訓練1　解析： x2＋y2－4y＝0，即圓x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因為SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故點M的軌跡為雙曲線．
故選D.
解析：雙曲線x2－my2＝1(m>0)的實半軸長a＝1，
由雙曲線的定義，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
則△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故選C.
答案： D　
答案：C
例2　解析：設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，
則解得
故雙曲線的標準方程為＝1.故選B.
解析：根據漸近線方程可設雙曲線C方程為：＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線C過點(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴雙曲線C的標準方程為＝1.故選A.
解析：因為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
所以＝，
因為過F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
則△PQF1的周長為|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，則b＝1，
所以雙曲線的標準方程為－y2＝1.故選C.
答案： B　
答案：A　
答案：C
鞏固訓練2　解析：當(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2時，＝1表示雙曲線，
所以“k>2”是“＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選B.
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中點，所以PF1⊥PF2，
a＝b，則c＝a，
解得a＝2，
所以雙曲線方程為＝1.故選D.
答案： B　
答案：D
例3　解析：由題意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
漸近線方程為y＝± x＝±x.故選D.
解析：設雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，
因為＝ ＝，所以＝4，則＝2，
所以漸近線方程為y＝±x＝±x.故選C.
答案： D　
答案：C
例4　解析：
由題意知點P在第一象限且在雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線上，
設漸近線的傾斜角為α，則tan α＝，即＝，
結合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
結合題意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故選B.
解析：由雙曲線的對稱性可知＝＝，有四邊形AF1BF2為平行四邊形，
令＝＝m，則＝＝2m，
由雙曲線定義可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
則cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
則有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，則e2＝7，由e>1，故e＝.故選D.
答案： B　
答案：D
鞏固訓練3　解析：由題意可得雙曲線的一條漸近線為：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距離為d＝＝＝，所以＝，
不妨設b＝4m(m>0)，則c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故選C.
解析：直線x－y－2＝0與x軸交點為(2，0)，斜率為，
由題意解得
所以雙曲線的實軸長為2a＝2.
解析：設點H為第一象限內一點，如圖所示，
設雙曲線的左焦點為F′，因為＝，則H為FQ的中點，
又因為OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因為∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，則∠FOH＝，
直線OH的方程為y＝x，則＝tan ＝，
因此，該雙曲線的離心率為e＝＝＝＝＝2.
答案： C　
答案：2　
答案：2
隨堂檢測
1．解析：對于選項A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可變形為＝1，∴該方程表示焦點在y軸上的橢圓，正確；對于選項B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝，該方程表示半徑為 的圓，錯誤；對于選項C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正確；對于選項D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny2＝1 y＝± ，該方程表示兩條直線，正確．綜上選ACD.
答案：ACD
2．解析：因為雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
3．解析：由題意，得雙曲線的一條漸近線方程為y＝，即x－my＝0.圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，故圓心坐標為(0，2)，半徑r＝1.由漸近線與圓相切，結合點到直線的距離公式，得＝1，解得m＝±.又因為m＞0，所以m＝.
答案：
4．解析：由題意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，設A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因為＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因為⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因為點A(c，－y0)在雙曲線C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化簡得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：第六節　雙曲線
必 備 知 識
1.雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離的__________等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的________，兩焦點間的距離叫做雙曲線的________．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
圖形
簡單幾何性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：________，對稱中心：________
頂點 ____________ A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 ____________ ____________
離心率 e＝，e∈____________ 離心率決定雙曲線開口的大小，e越大開口越大
實虛軸 實軸長|A1A2|＝________；虛軸長|B1B2|＝__________；實半軸長__________，虛半軸長__________
a，b，c的關系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
【常用結論】
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝，其中θ為∠F1PF2.
夯 實 基 礎
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
(3)雙曲線＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是＝0，即±＝0.(　　)
(4)關于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
2．(教材改編)雙曲線2x2－y2＝8的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．(教材改編)經過點A(4，1)且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________．
4．(易錯)已知雙曲線x2－＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
5．(易錯)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為________．
第六節　雙曲線
必備知識
1．差的絕對值　焦點　焦距
2．坐標軸　原點　A1(－a，0)，A2(a，0)　y＝±x　 y＝±x　(1，＋∞)　2a　2b　a　b　a2＋b2
夯實基礎
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由題意，＝1的漸近線方程為y＝± x＝±x.故選C.
答案：C
3．解析：由題意，設等軸雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入點A(4，1)的坐標得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求雙曲線的方程為＝1.
答案：＝1
4．解析：設雙曲線x2－＝1的左右焦點分別為F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
則||PF1|－|PF2||＝2，
可設|PF2|＝4，
則|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
答案：6
5．解析：由題意知＝tan ＝或＝tan ＝，
當＝時，e＝ ＝＝2；
當＝時，e＝ ＝ ＝.
答案：2或

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