資源簡介

第 01 講 平面向量的概念、線性運算及其坐標運算
（5 類核心考點精講精練）
1. 5 年真題考點分布
5 年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024 年新 I 卷，第 3 題,5 分 平面向量線性運算的坐標表示 向量垂直的坐標表示
向量垂直的坐標表示
2023 年新 I 卷，第 3 題,5 分 平面向量線性運算的坐標表示
利用向量垂直求參數
2022 年新Ⅱ卷，第 4 題,5 分 平面向量線性運算的坐標表示 數量積及向量夾角的坐標表示
數量積的坐標表示
2021 年新Ⅱ卷，第 10 題,5 分 坐標計算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化簡、求值
二倍角的余弦公式
向量加法的法則
2020 年新Ⅱ卷，第 3 題,5 分 無
向量減法的法則
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為 5 分
【備考策略】1 了解向量的實際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示
2 掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義
3 掌握向量的數乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義
4 理解向量的線性運算性質及其幾何意義
5 會向量間的坐標運算
【命題預測】本節一般考查平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，易理解，易得分，需重點復習
知識講解
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于 1 個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0 與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
交換律：a＋b＝b＋a；
加法 求兩個向量和的運算 結合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求 a 與 b 的相反向量
減法 a－b＝a＋(－b)
－b 的和的運算
|λ a|＝|λ||a|，當 λ>0 時，
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝
求實數 λ 與向量 a 的 λa 與 a 的方向相同；當
數乘 λa＋μa；
積的運算 λ<0 時，λa 與 a 的方向相
λ(a＋b)＝λa＋λb
反；當 λ＝0 時，λa＝0
1．平面向量加減法求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”．對平面向量減法應抓
住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉化，即可快速得到結果．
2．在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于代數中合并同
類項的運算，在計算時可以進行類比．
3.向量共線定理
向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且只有一個實數 λ，使得 b＝λa.
向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數；對于線段的定比分點問題，
用向量共線定理求解則更加簡潔．
→ → →
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ 為常數)，則 A，B，C 三點共線的充要條件是 λ＋μ＝1.
→ 1 → →
（2）P 為線段 AB 的中點 OP＝ (OA＋OB)．
2
4.向量的坐標運算
（1）兩點間的向量坐標公式：
A x1, y1 ， B x2 , y2 ， AB 終點坐標 始點坐標 x2 x1, y2 y1
（2）向量的加減法
a x1, y1 ，b x2 , y2 a b x1 x2，y1 y2 ， a b x1 x2，y1 y2
（3）向量的數乘運算
a x, y ，則： a x, y x, y
（4）向量的模
a x, y a a x2 2，則 的模 y
（5）相反向量
已知 a (x, y) ，則 a ( x, y) ；已知
（6）單位向量
a x, y
x y
同向單位向量為 ,
x2 y2 x
2 y2

x , y

反向單位向量為
x2 y2 x2 y
2

（7）向量的平行關系
a x1, y1 ，b x2 , y2 ， a // b a b x1 y2 x2 y1
考點一、平面向量基本概念的綜合考查
1．關于平面向量，下列說法正確的是（ ）
A．向量可以比較大小 B．向量的模可以比較大小
C．速度是向量，位移是數量 D．零向量是沒有方向的
【答案】B
【分析】根據向量的相關概念直接判斷即可.
【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數量，可以比較大小，A 錯誤，B 正確；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C 錯誤；
零向量方向任意，D 錯誤.
故選：B
2．下列結論正確的是：（ ）
r r r r
A．若 a 與b 都是單位向量，則a b．
r r r r
B．若 a 與b 是平行向量，則a b．
uuuur uuur
C．若用有向線段表示的向量 AM 與 AN 相等，則點 M，N 重合
D．直角坐標平面上的 x 軸、y 軸都是向量
【答案】C
【分析】根據題意，由平面向量的相關定義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
r r r r
【詳解】對于 A、B，只有當 a 與b 的方向相同且模長相等時才有a b，故 A、B 均錯誤；
uuuur uuur
對于 C，若向量 AM AN ，又因為 A 是公共點，所以 M 與 N 重合，故正確；
對于 D，因為 x 軸與 y 軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故 D 錯誤；
故選：C.
3．（多選）下列結論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
r r r r
B．若 a b，則 a ，b 不是共線向量；
uuur uuur
C．若 AB DC ，則四邊形 ABCD是平行四邊形；
ar
r r r r
D． 與b 同向，且 a > b ，則ar > b
【答案】BCD
【分析】根據平面向量的表示，共線向量的定義，以及向量的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷
和選擇.
【詳解】對 A：表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，故 A 正確；
r r r r
對 B：若 a b，也有可能 a ，b 長度不等，但方向相同或相反，即共線，故 B 錯誤；
uuur uuur uuur uuur
對 C：若 AB DC ，則 AB ，DC 可以方向不同，所以四邊形 ABCD不一定是平行四邊形，故 C 錯誤；
對 D：因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，故 D 錯誤.
故選：BCD.
1．下列說法正確的是（ ）
A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行
C．模為 1 的向量都是相等向量
D．向量的模可以比較大小
【答案】D
【分析】由向量的相關概念逐一判斷即可.
【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故 A 錯；
由于零向量的方向不確定，故規定零向量與任意向量平行，故 B 錯；
長度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長為 1 的向量只規定了長度相等，方向不一等相同，故 C 錯；
向量的模長是一個數量，因此可以比較大小，故 D 正確.
故選：D.
2．下列說法正確的是（ ）
A ar
r r r r r r
．若 / /b ，b / /cr ，則 a / /c B．若 ar b 2ar ，則 3b
arr
C．對任意非零向量 a， ar 是和它同向的一個單位向量 D．零向量沒有方向
【答案】C
【分析】結合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項判斷即得.
r r r r r
【詳解】對于 A，當b 0時，任意向量都與b 共線，則 a,c 不一定共線，A 錯誤；
對于 B，向量不能比較大小，B 錯誤；
arr
對于 C，對任意非零向量 a， ar 是和它同向的一個單位向量，C 正確；
對于 D，零向量有方向，其方向是任意的，D 錯誤.
故選：C
3．下列說法錯誤的是（ ）
uuur uuur
A． CD DC
ur uur ur uur
B． e1 ， e2 是單位向量，則 e1 e2
uuur uuur uuur uuur
C．若 AB > CD ，則 AB > CD
D．兩個相同的向量的模相等
【答案】C
【分析】由向量的模、單位向量等概念對選項一一判斷即可得出答案.
uuur uuur
【詳解】對于 A， CD DC ，故 A 正確；
ur uur ur uur
對于 B， e1 ， e2 是單位向量，則 e1 e2 1，故 B 正確；
uuur uuur uuur uuur
對于 C，若 AB > CD ，則 AB,CD 不能比較大小，故 C 錯誤；
對于 D，兩個相同的向量的模相等，故 D 正確.
故選：C.
4．（多選）下列說法錯誤的是（ ）
r r
A．若 ar b r與 都是單位向量，則 a b
B．方向為南偏西 60°的向量與北偏東 60°的向量是共線向量
C．直角坐標平面上的 x 軸、y 軸都是向量
uuuur uuur
D．若用有向線段表示的向量 AM 與 AN 不相等，則點 M 與 N 不重合
【答案】AC
【分析】根據題意，由平面向量的相關定義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
r
【詳解】對于 A，因為 ar與b 的方向可能不同，故錯誤；
對于 B，因為這兩個向量的方向是相反的，所以是共線向量，故正確；
對于 C，因為 x 軸、y 軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故錯誤；
uuuur uuur
對于 D，假設點 M 與點 N 重合，則向量 AM AN ，與已知矛盾，所以假設不成立，即點 M 與 N 不重合，
故正確；
故選：AC
考點二、相等向量及其應用
r r
r r a b
1．（23-24 高三上·遼寧·階段練習）設 a，b 都是非零向量，下列四個條件中，能使 rar b 一定成立的是
（ ）
A ar
r r r r r
． 2b B r． a2 r b 2 C． a 2b D． a b
【答案】C
【分析】根據非零向量的方向是否相同分別判斷各個選項即可.
ar
r
b r r
【詳解】因為 rar b ，故 a,b 同向.
r r r r
對于 A: a 2b ， a,b 方向相反,A 選項錯誤；
B: ar
r r r
對于 2 b 2，得出 a b ,不能得出方向，B 選項錯誤；
r r
r urr a b
對于 C: ar 2b , a,b 方向向相同,則 r arb 成立，C 選項正確；
r r r
對于 D: a b , ar不能確定 ,b 的方向，D 選項錯誤.
故選：C．
ur uur ur uur ur uur
2．（2024 高三·上海·專題練習）已知向量 e1 ， e2 不共線，實數 x ， y 滿足 (x y)e1 (x y)e2 e1 3e2 ，則 x 2y
（ ）
A．4 B． 4 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】由已知結合平面向量基本定理可求 x ， y ，進而求出答案.
ur uur ur uur ur uur
【詳解】由 e1 ， e2 不共線，實數 x ， y 滿足 (x y)e1 (x y)e2 e1 3e2 ，
ìx y 1
得 í ，解得 x 2x y 3 ，
y 1，

所以 x 2y 4 .
故選：A
r r
r r a b r r
1．（2023·北京大興·三模）設 a ，b 是非零向量，“ r r ”是“ ”a b a b 的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.
r r
a b r r r r
【詳解】由 r ra b 表示單位向量相等，則 a,b同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a b，
r r
r r r r a b
由a b表示 a,b同向且模相等，則 r ra b ，
r r
a b r r
所以“ r r ”a b 是“ a b ”的必要而不充分條件.
故選：B
2．已知平行四邊形 ABCD 的頂點 A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），則頂點 D 的坐標為 ．
【答案】（1，5）
【分析】設出點 D，利用向量的坐標的求法求出兩個向量的坐標，再利用向量相等的坐標關系列出方程組，
求出點的坐標．
【詳解】設 D（x，y）則
在平行四邊形 ABCD 中
uuur uuur
∵ AB 4，1 ，DC 5 x，6 y
uuur uuur
又∵ AB DC
ì4 5 x ìx 1
∴ í1 6 y 解得
í
y 5
故答案為：（1，5）
【點睛】本題考查向量的坐標的求法；相等向量的坐標相同．
考點三、平面向量線性運算的綜合考查
uuur
1．（廣東·高考真題）如圖所示，已知在VABC 中，D是邊 AB 上的中點，則CD （ ）
uuur 1 uur uuur uur
A．BC BA BC 1B． BA
2 2
uuur 1 uur uuur uur
C． BC BA 1D．BC BA
2 2
【答案】B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由題意得BD BA，再由CD CB BD BC
1
BA，即可得到答案.
2 2
uuur 1 uuur
【詳解】由于D是邊 AB 上的中點，則BD BA .
2
uuur uuur uuur uuur uuur
CD CB BD 1 BC BA .
2
故選：B.
uuur
2．（海南·高考真題）在VABC 中，D 是 AB 邊上的中點，則CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD CA B．CD 2CA C． 2CD CA D．CD 2CA
【答案】C
【分析】根據向量的加減法運算法則算出即可.
【詳解】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurCB CA AB CA 2AD CA 2 CD CA 2CD CA
故選：C
【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.
uuuur
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形 ABCD中， AB//CD ，且 AB 2CD ，點M 是BC 的中點，則 AM
（ ）
2 uuur uuur uuurAB 1 AD 1 AB 2
uuur
A． B． AD
3 2 2 3
uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
C． AB AD D． AB AD
2 4 2
【答案】D
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
【詳解】依題意可得 AM AB AC AB
1
AD DC
2 2 2 2
1 uuur uuur uuur uuur uuur
AD 1 AB 1 AB 3 1 AB AD
2 4 2 4 2 ．
故選：D
uuur 1 uuuur
4．（2024·全國·模擬預測）已知M 4, 2 ， N 6, 4 ，且MP MN ，則點 P 的坐標為（ ）
2
A． 1,1 B． 9, 1 C． 2,2 D． 2,-1
【答案】B
1 uuuur uuur uuur uuuur
【分析】由M , N 的坐標得出 MN ，設點P x, y ，得出MP ，根據MP
1
MN 列出方程組求解即可．
2 2
【詳解】因為M 4, 2 ， N 6, 4 ，
1 uuuur 1
所以 MN 10, 2 5,1 ，
2 2
uuur
設P x, y ，則MP x 4, y 2 ，
uuur uuuur
又MP
1
MN ，
2
ìx 4 5 ìx 9
所以 í
y 2 1
，解得 í ，
y 1
所以點 P 的坐標為 9, 1 ．
故選：B．
uuur uuur
1．（2024·河南·模擬預測）已知向量 AB 2, 1 ， AC 3,2 ，點C 1,2 ，則點 B 的坐標為（ ）
A． 2, 1 B． 0,5 C． 2, 5 D． 2,-1
【答案】A
【分析】由向量坐標的線性運算求解即可.
uuur uuur uuur
【詳解】由題意得，CB AB AC (2, 1) (3, 2) ( 1, 3)，
uuur
設點 B 的坐標為 (x, y)，則CB (x 1, y 2) ( 1, 3)，所以點 B 的坐標為 ( 2, 1) .
故選：A.
uuur
2．（山東·高考真題）已知平行四邊形 ABCD，點E ，F 分別是 AB ，BC 的中點（如圖所示），設 AB ar，
uuur r uuur
AD b ，則EF 等于（ ）
1 r r 1 r r rA． a b B． a b 1 b arC． 2 2 2
1 r r
D． a b
2
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；
【詳解】連結 AC ，則 AC 為VABC 的中位線，
uuur 1 uuur 1 r 1 r EF AC a b ，
2 2 2
故選：A
uuur uuur uuur uuur uuur
3．（2024·河南三門峽·模擬預測）在VABC 中， AN 3NC, BP 4PN ，則 AP （ ）
1 uuur 3 uuur uuur uuur
A． AB CA
3 4
B． AB CA
5 5 5 5
3 uuur uuur uuurAB 1 CA 1 AB 3
uuur
C． D． CA
5 5 5 5
【答案】D
【分析】運用平面向量加法、減法、數乘運算即可.
【詳解】如圖，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因為BP 4PN ，所以 AP AB BP
4
AB BN 4 1 4 AB AN AB AB AN ，
5 5 5 5
uuur uuur uuur 3 uuur
又 AN 3NC ，所以 AN AC ，4
uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur uuur
所以 AP AB AC AB
3
CA .
5 5 5 5
故選：D.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
4．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形 ABCD是平行四邊形， EC 2BE ， DF 2FC ，記 AB=a ， AD b ，
uuur
則EF （ ）
1 r 2 r 1 r 2 r
A． a b B． a b
3 3 3 3
2 r 1 r 2 r 1 r
C． a b D． a b
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用平面向量的線性運算求解即得.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
【詳解】在YABCD中，EC 2BE ，DF 2FC ， AB=a ， AD b ，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur r r
所以EF CF CE CD
2
CB 1 2 a b .
3 3 3 3
故選：A
考點四、平面向量共線定理與點共線問題
uuur r r uuur r r uuur r r
1．（2022·四川綿陽·二模）已知平面向量 a，b 不共線， AB 4a 6b ，BC a 3b,CD a 3b ，則（　　）
A．A，B，D 三點共線 B．A，B，C 三點共線
C．B，C，D 三點共線 D．A，C，D 三點共線
【答案】D
【分析】根據平面向量共線的定義一一判斷求解.
uuur uuur uuur r r r r r
【詳解】對 A，BD BC CD a 3b a 3b 6b uuur與 AB 不共線，A 錯誤；
uuur r r uuur r r uuur uuur
對 B， AB 4a 6b, BC a 3b 則 AB 與BC 不共線，B 錯誤；
uuur r r uuur r r uuur uuur
對于 C，BC a 3b,CD a 3b 則BC 與CD不共線，C 錯誤；
uuur uuur uuur r r r r r r uuur
對于 D， AC AB BC 4a 6b a 3b 3a 9b 3CD，
uuur uuur
即 AC //CD，又線段 AC 與 CD 有公共點 C，所以 A，C，D 三點共線，D 正確.
故選：D.
uuur uuur
2．（2024·浙江·模擬預測）已知向量 e
r
1， e
r
2是平面上兩個不共線的單位向量，且 AB e
r r r r
1 2e2，BC 3e1 2e2，
uuur
DA 3er 6er1 2 ，則（ ）
A．A 、 B 、C 三點共線 B．A 、 B 、D三點共線
C．A 、C 、D三點共線 D． B 、C 、D三點共線
【答案】C
r r r r
【分析】根據向量 a,b共線則 a b R 判斷即可.
uuur r r uuur r uuur uuur
【詳解】對 A，因為 AB e1 2e2，BC 3e1 2e
r
2，不存在實數 使得 AB BC ，故A 、 B 、C 三點不共
線，故 A 錯誤；
uuur
B AB er r
uuur uuur uuur
對 ，因為 1 2e2，DA 3e
r
1 6e
r
2 ，不存在實數 使得 AB DA，故A 、 B 、D三點不共線，故 B 錯
誤；
uuur uuur uuur
AC AB BC 2er r
uuur uuur 2 uuur
對 C，因為 1 4e2，DA 3e
r r
1 6e2 ，則 AC DA，故A 、C 、D三點共線，故 C 正確；3
uuur
BC 3er 2er
uuur uuur uuur uuur
對 D，因為 1 2，BD DA AB DA
r
3e1 6e
r r r r r
2 e1 2e2 4e1 4e2 ，不存在實數 使得
uuur uuur
BC BD，故 B 、C 、D三點不共線，故 D 錯誤.
故選：C
uuur uuur 3π
3．（2024·貴州黔東南·二模）已知向量 AB 1, 3 , AC 1, tana , A, B,C 三點共線，則 tan a .
4
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】由點共線可得 tana 3，再利用兩角和的正切公式即可求得結果.
uuur P uuur【詳解】因為 A, B,C 三點共線，所以 AB AC ，
所以 tana 3 1 3，
tana 3π 3π tan 3 1 1
可得 tan a 4
4 1 tana tan 3π 1 3 1 2
4
1
故答案為： 2
r r uuur
AB ar
r uuur r uuur r
1．已知 a,b為不共線向量， 5b , BC 2a
r
8b ,CD 3 ar b ，則（ ）
A． A, B, D 三點共線 B． A, B,C 三點共線
C． B,C , D 三點共線 D． A,C , D 三點共線
【答案】A
uuur uuur
【分析】運用向量的加法運算，求得 BD AB ，從而得出結論.
uuur uuur uuur r r r r r r uuur
【詳解】因為 BD BC CD 2a 8b 3a 3b a 5b AB，所以 A, B, D 三點共線，
故選：A．
2．（2024·遼寧·二模）（多選）VABC 的重心為點G ，點 O，P 是VABC 所在平面內兩個不同的點，滿足
uuur uuur uuur uuur
OP OA OB OC ，則（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三點共線 B．OP 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP AP BP CP D．點 P 在VABC 的內部
【答案】AC
【分析】根據三角形重心的性質，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】OP OA OB OC OG GA OG GB OG GC
uuur uuur uuur uuur
3OG GA GB GC ，
因為點G 為VABC 的重心，
uuur uuur uuur r uuur uuur
所以GA GB GC 0 ，所以OP 3OG ，
所以O, P,G 三點共線，故 A 正確，B 錯誤；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP BP CP AO OP BO OP CO OP
uuur uuur uuur uuur
(AO BO CO) 3OP，
uuur uuur uuur uuur
因為OP OA OB OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 (AO BO CO) 3OP OP 3OP 2OP，即2OP AP BP CP，故 C 正確；
uuur uuur
因為OP 3OG ，
所以點 P 的位置隨著點O位置的變化而變化，故點 P 不一定在VABC 的內部，故 D 錯誤；
故選：AC．
考點五、平行向量（共線向量）求參數
r r r
1．（2024·上海·高考真題）已知 k R,a 2,5 ,b 6,k r，且 a / /b ，則 k 的值為 ．
【答案】15
【分析】根據向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.
r r
【詳解】Qa / /b ， 2k 5 6，解得 k 15．
故答案為：15．
r r r r r r
2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量 a ，b 滿足 a b ∥ a 2b ，則正數 （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】思路一：根據向量共線的判定條件即可解出 .思路二：由共線向量基本定理即可得解.
【詳解】方法一：由已知有1×2 × ， > 0，解得 2 .
r r r r
方法二：設 a b m a 2b ì1 m , m R ，由題意 í 2 0，解得 m > 2 .
故選：B.
ur uur r ur uur r ur uur r r
3．（23-24 高一下·廣東河源·期中）已知 e1,e2 是兩個不共線的向量， a e1 3e2 ,b ke1 e2 ，若 a與b 是共線
向量，則 k .
1
【答案】
3
r r
【分析】根據向量共線可設b a, R ，進而對比系數列式求解即可.
ur uur r ur uur r ur uur
【詳解】因為 e1,e2 是兩個不共線的向量， a e1 3e2 ,b ke1 e2 ，
r r r r ur uur ur uur ur uur
若 a與b 是共線向量，設b a, R ，則 ke1 e2 e1 3e2 e1 3 e2 ，
ìk 1
則 í1 3 ，解得
k .
3
1
故答案為： .
3
r r r r r r
4．（2024·全國·模擬預測）已知向量 a 1,2 ,b x,6 ，若 a 2b / / 2a b ，則 x ．
【答案】 3
【分析】根據向量線性運算的坐標表示，及向量平行的坐標表示進行計算即可.
ar
r
【詳解】由題意得 2b 1,2 2 x,6 1 2x, 10 ，
r
2ar b 2,4 x,6 2 x, 2 ．
rar 2b / / 2ar r又 b ，
所以 10 2 x 2 1 2x ，
解得 x 3．
故答案為： 3 .
r r r
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）設向量 a 1, k
1
，b 2, k 2 r，若2 a / /b ，則實數 k 的值為（ ）
A． 2 B． 1 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.
r r 2
【詳解】 a / /b ，故 k 2
1
k 0 ，解得 k 1.
2
故選：D
ur uur r ur uur r ur ur r r
2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量 e1 ， e2 不共線， a (2k 1)e1 2e2 ，b e1 e2 ，且 a//b ，則 k
（ ）
1 3
A． B．0 C．1 D．
2 2
【答案】A
r r
【分析】依題意可得 a tb ，根據平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
r ur uur r ur ur r r
【詳解】因為 a (2k 1)e1 2e2 ，b e1 e2 且 a//b ，
r r ur uur ur uur
所以 a tb ，即 (2k 1)e1 2e2 t e1 e2 ，
ur uur
又 e1 ， e2 不共線，
ì2k 1 t ìt 2
所以 í2 ，解得 t í 1
.
k 2
故選：A
r r r r
3．（2024·江蘇·二模）已知非零向量 a (cos 2a ,sin(a
π
))，b (sin(a
π
),1)，若 a / /b，則 sin 2a （ ）4 4
4 3
A． 1 B 10． C． D．
10 5 5
【答案】D
2 π
【分析】利用兩個向量平行的性質可得 sin (a ) cos2a
1
，化簡可得 tana ，利用齊次式即可得到答
4 3
案.
ì π k1π
r r ìcos 2a 0 a 4 2
【詳解】因為 a，b 為非零向量，所以 í ，即 k Z,k Z
sin(a
π) 0 í 1 2
4 a
π
k π
4 2
r r π
因為 a / /b，所以 sin2 (a
π) cos2a 1 cos 2a ，則
4 2 cos2a
，
2
即1 sin 2a 2cos2a ，
即 sin2a cos2a 2sinacosa 2cos2a 2sin2a ，由于 cosa 0，所以兩邊同除 cos2a ，
可得：3tan2a 2tana 1 0，解得：tan = 1或 tana 1(3 舍去),
2
sin2a 2tana 3 3所以 1 tan2a .1 1 5
9
故選：D
一、單選題
1．（23-24 高三下·江蘇揚州·階段練習）下列命題中，正確的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a b ，則a b B．若 a > b ，則 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a b，則 a / /b D．若 a // b,b // c ，則 a / /c
【答案】C
【分析】根據向量的概念逐一判斷.
r r r r
【詳解】對于 A：若 a b ，則 a,b只是大小相同，并不能說方向相同，A 錯誤；
對于 B：向量不能比較大小，只能相同，B 錯誤；
r r r r
對于 C：若a b，則 a,b方向相同，C 正確；
r r r r r r r
對于 D：若 a // b,b // c ，如果b 為零向量，則不能推出 a,c 平行，D 錯誤.
故選：C.
uuur uuur uuur
2．（22-23 高一下·貴州遵義·階段練習）在四邊形 ABCD中，若 AC AB AD ，則（ ）
A．四邊形 ABCD是平行四邊形 B．四邊形 ABCD是矩形
C．四邊形 ABCD是菱形 D．四邊形 ABCD是正方形
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由 AC AB AD 推出BC AD，再根據向量相等的定義得 BC AD 且BC / / AD ，從而可得答案.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】因為 AC AB AD ，故 AC AB AD，即BC AD，
故 BC AD 且BC / / AD ，故四邊形 ABCD一定是平行四邊形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故 A 正確；BCD 不正確.
故選：A.
uuur uuur
3．（2024 高三·全國·專題練習）設D, E, F 分別為VABC 的三邊BC,CA,AB 的中點，則EB FC （ ）
uuur 1 uuur uuur uuur
A． AD B． AD
1
C． BC D．
2 2 BC
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算可得結果.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】EB FC EC BC FB BC uuur uuur EC FB
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur AB AC AB AC AD，2 2 2
故選：A.
uuur uuur uuur
4．（2021·全國·二模）已知向量 a和b 不共線，向量 AB a mb ，BC 5a 3b，CD 3a 3b，若A B D
三點共線，則m （ ）
A．3 B．2 C．1 D． 2
【答案】A
uuur uuur
【分析】根據 A、B、D 共線的條件得到BD AB ，進而得到 2a 6b a m b ，根據平面向量基本定理
中的分解唯一性，得到關于m, 的方程組，求解即得.
【詳解】因為A B D三點共線，
uuur uuur
所以存在實數 λ，使得BD AB ，
uuur uuur uuur r r
BD BC CD 2a 6b，
所以 2a 6b a m b ，
ì 2
∴ í m 3 .
6 m
，解得
故選：A.
5．（2024·陜西西安·一模）已知點 P 是VABC 的重心，則（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur uuurAP AB AC AP 1
uuur 1 uuur
A． B． AB AC
6 6 4 4
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur
C． AP AC BC D． AP AB BC
3 3 3 3
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性質，結合平面向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】設BC 的中點為 D，連接 AD ，點 P 是VABC 的重心，則 P 在 AD 上，
uuur 2 uuur uuur uuurAP AD 2 1 AB AC 1 uuur uuur uuur2AB BC 2 AB 1 uuur且 BC3 3 2 3 3 3
2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur
(AC CB) 1 BC AC BC ，
3 3 3 3
由此可知 A，B，C 錯誤，D 正確，
故選：D
7 uuur uuur
6．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知點 A 2,6 ，B 2, 3 ，C 0,1 ，D ,6 ，則與向量 AB 2CD同方向
2
的單位向量為（ ）
3 10 10 10 3 10
A． , B． ,
10 10

10 10


2 5 , 5
4 3
C． D
,
5 5 ． 5 5
【答案】A
【分析】由單位向量的定義、向量坐標的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.
uuur uuur 7 uuur uuur
【詳解】由題意 AB 4, 9 ,CD ,5 ，所以 AB 2CD 3,1 ，
2
uuur uuur
uuur uuur AB
從而與向量 AB 2CD同方向的單位向量為 uuur
2CuuDur 1 3,1 3 10 10 ,
AB 2CD 9 1
.
10 10
故選：A.
r r
r r r r a b
7．（22-23 高一下·江西九江·期中）設 a,b為兩個非零向量，則“ a 2023b ”是“ r r ”的（ ）
| a | | b |
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
【答案】A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合共線向量的定義分析判斷
r r
r r r r a b
【詳解】因為 a 2023b ，所以 a,b同向共線，所以 r r ，
| a | | b |
r r
a b r r r r
因為 r r ，所以 a,b同向共線，此時 a 2023b 不一定成立，
| a | | b |
r r
r r a b
所以“ a 2023b ”是“ r r ”的充分不必要條件.
| a | | b |
故選：A
二、多選題
8．（22-23 高一下·吉林四平·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線
C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】根據零向量的定義與性質，判斷出 A 項的正誤；根據共線向量與相等向量的定義，判斷出 B、D 兩
項的正誤；根據單位向量的定義，判斷出 C 項的正誤．
【詳解】解：對于 A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故 A 項正確；
對于 B，根據共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故 B 項錯誤；
對于 C，根據單位向量的定義，可知 C 項正確；
對于 D，方向相同且模相等的兩個向量相等，因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D 項正確．
故選：ACD．
三、填空題 r r
9．（22-23 高三上·福建廈門·開學考試）寫出一個與向量 a 1,2 共線的向量b .
【答案】 2,4 （答案不唯一）
【分析】根據共線向量定理求解即可
r r
【詳解】與向量 a 1,2 共線的向量為 a 1,2 .
r r
取 2，可得出一個與向量 a 1,2 共線的向量為b 2,4
r
（答案不唯一，滿足 a R 即可）.
故答案為： 2,4 （答案不唯一）
r r r r r
10．（2024·陜西西安·一模）已知平面向量 a 2, 1 ,b 4, x ，若b 與 a b 共線，則實數 x ．
【答案】2
【分析】利用向量共線的坐標表示可得答案.
r r
【詳解】 a b 2, 1 4, x 2, x 1 ，
r r r若b 與 a b 共線，則 4 x 1 2x 0，
解得 x 2 .
故答案為： 2 .
一、單選題
1．給出下列命題：
①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.
②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.
③ av
v
0（ 為實數），則 必為零.
v v
④ , m v
v
為實數，若 a mb ，則 a與b 共線.
其中正確的命題的個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上，則也不共線，命題錯誤；由于兩個向量不能比
v v v
較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若 a 0（ 為實數），則 a也可以零，因此命題也
v v v v
是錯誤的；若 , m 為 0，盡管有 a mb ，則 a與b 也不一定共線，即命題也是錯誤的，應選答案 A．
2．已知， A 2,3 , B 4,5 uuuv，則與 AB 共線的單位向量是（ ）
r 3 10 10 v 3 10 10 v e , e , 3 10 10

A． 10 10
B． 10 10
或 e ,
10 10
erC． ( 6,2)
v
D． e 6,2 ev或 6,2
【答案】B
uuur
AB uuur
【分析】利用± uuurAB 求得與 AB 共線的單位向量
uuur
uuur uuur uuur AB 3 10 10
【詳解】 AB 6,2 , AB 36 4 2 10 ，故與 AB 共線的單位向量為± uuur ± ,10 10 ，即AB
r
e 3 10
r
, 10 3 10 10

或 e 10 10
,
10 10
，故選 B.

【點睛】本小題主要考查單位向量的知識，考查共線向量的坐標表示，屬于基礎題.
uuur uuur uuur
3．（2022·四川綿陽·模擬預測）已知O為坐標原點，P1P 2PP2 ，若P1 1,2 、P2 2, 1 ，則與OP 共線的單
位向量為（ ）
A． 3, 4 B． 3, 4 或 3,4
3 , 4 3 , 4 3 4C． 或

D．
5 5 5 5
,
5 5
【答案】C
uuur uuur
【分析】求出OP 的坐標，除以 OP ，再考慮方向可得．
uuur uuur uuur uuur r uuuur uuur r uuuur uuur
【詳解】由P1P 2PP2 得P1P 2PP2 0，即P1P2 PP2 0，P1P2 P2P ，
uuur uuur uuur uuur
OP2 OP1 OP OP2 ，
uuur uuur uuur
OP 2OP2 OP1 2(2, 1) (1, 2) (3, 4) ，
uuur
OP 32 ( 4)2 5，
uuur
uuur OP 3 4 3 4
與OP 同向的單位向量為 uuur ( , )OP 5 5 ，反向的單位向量為
( , )．
5 5
故選：C．
4．下列命題中正確的是（ ）
r r
A．若 ar b ，則3ar > 2b
uuur uuur uuur uuur
B．BC BA DC AD
r r
C．若 a
r b ar b r r，則 a與b 的方向相反
ar
r
b cr r rD r．若 ，則 a b c
【答案】B
【分析】對于 A：利用向量不能比較大小直接判斷；對于 B：利用向量的線性運算法則直接判斷；對于 C：
r r r
由 a
r
b ar b r r r r r r，可以得到 a與b 的方向相同或 a與b 中有零向量.對于 D： a,b ,c 的方向不確定.即可判
斷.
【詳解】對于 A：因為向量不能比較大小，所以 A 錯誤；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
對于 B：BC BA DC AC DC CD CA AD .故 B 正確；
r r ra b ar b r r r r對于 C：若 ，則 a與b 的方向相同或 a與b 中有零向量.故 C 錯誤；
r r r
對于 D：若 a b c
r
ar，但 ,b ,cr的方向不確定.故 D 錯誤.
故選：B
uuur uuur
5．（2024·四川·模擬預測）如圖，D是VABC 邊 AC 的中點，E 在BD上，且 DE 2EB，則（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuurAE AB AC AE 2
uuur 1 uuur
A． B． AB AC
3 6 3 3
uuur 5 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur
C． AE AB AC D． AE AB AC
6 6 4 8
【答案】A
【分析】利用平面向量加減法則，即可得到答案.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】由題意有BE
1
BD 1 1 BA BC 1 AB AC 1 1 AB AB AC ，3 3 2 6 3 6
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AE AB BE AB
1
AB 1 AC 2 AB 1 AC ．
3 6 3 6
故選：A
uuur uuuur
6．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在VABC 中，M 為線段BC 的中點，G 為線段 AM 上一點， AG 2GM ，
uuur uuur uuur uuur 4 1
過點 G 的直線分別交直線 AB ， AC 于 P，Q 兩點， AB xAP x > 0 ， AC y AQ y > 0 ，則 x y 1的最
小值為（ ）．
3 9
A． B． C．3 D．9
4 4
【答案】B
uuur x uuur y uuur
【分析】先利用向量的線性運算得到 AG AP AQ，再利用三點共線的充要條件，得到 x y 3，再利
3 3
用基本不等式即可求出結果.
uuuur 1 uuur uuur uuur uuuur
【詳解】因為 M 為線段BC 的中點，所以 AM (AB AC)，又因為 AG 2GM ，所以2
uuur 2 uuuur 1 uuur uuurAG AM (AB AC)，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB xAP x x y> 0 ， AC y AQ y > 0 ，所以 AG AP AQ，
3 3
又 P,G,Q
x y
三點共線，所以 1，即 x y 3，
3 3
4 1 1 (4 1 ) x (y 1) 1 é4 x 4(y 1) 1ù 1 (5 2 x 4(y 1) 9所以 ê × ) ，x y 1 4 x y 1 4 y 1 x ú 4 y 1 x 4
x 4(y 1) 8 1
當且僅當 ，即 x , y y 1 x 時取等號. 3 3
故選：B.
二、填空題
r r r r r r
7．（2024·青海西寧·二模）若向量 a,b不共線，且 xa b / / a yb ，則 xy的值為 ．
【答案】1
r r
【分析】根據題意，可設 a,b 為一組基向量，利用向量共線定理和向量基本定理運算求解.
r r r r
【詳解】因為 a,b 不共線，所以可設 a,b 為一組基向量，
r r r r r因為 xa b ar∥ yb ，所以$ R，使得 xar b ar yb ，
r r ìx ,
所以 xar b ar yb ，所以 í ，消去 ，得 xy 1．
1 y,
故答案為：1.
r r r r r r
8．（2022·廣西柳州·三模）已知平面向量 a 2, 1 ，b k, 2 ，若 a / /b，則 3a 2b .
【答案】 5
r r
【分析】由向量平行可得 k 4，再由向量線性運算的坐標表示可得3a 2b ( 2,1)，最后應用向量模長的
r r
坐標運算求 3a 2b .
r
【詳解】由題設， 4 k 0，即 k 4，則b 4,2 ，
r r r r
所以3a 2b (6, 3) ( 8,4) ( 2,1)，故 3a 2b ( 2)2 12 5 .
故答案為： 5 .
9．（2024·山西·三模）如圖，函數 f x cos wx φ uur uuur 的圖象經過點 A，B，點 T 在 x 軸上，若TB 2AB ，則
點 B 的縱坐標是 ．
【答案】 3 1/ 1 3
【分析】設T (t,0)
p 2kπ j
，計算出 t ， k Z，再設 A x0 , y0 ，根據中點公式得到 B 的坐標，將其代入w
2
三角函數解析式并結合二倍角的余弦公式得到 2y0 2y0 1 0，解出即可.
p 2kπ j
【詳解】由題意設T (t,0) ，則wt j π 2kπ, t ， k Z，
w
設 A x0 , y0 y
uur uuur
， 0 cos wx0 j ，因為TB 2AB ，
所以A 為線段TB的中點，所以B

2x
π 2kπ j
0 , 2y0 ， k Z，
w
又點 B 在函數圖象上，所以 2y0 cos 2wx0 π 2kp j j cos 2 wx0 j ，
又 cos 2 wx0 j 2cos2 wx0 j 1 ， k Z，
所以 2y 20 2y0 1 2y
2
即 0 2y 1 0 y
3 1
0 ，所以 0 （負舍），2
則點 B 的縱坐標是 3 1.
故答案為： 3 1.
r
10．（2022 高三·全國·專題練習）設兩個向量 a ( 2， 2 cos2
r
a ) 和b ＝ m,
m
sina
2 ，其中
、m、a 為

r r
實數.若 a 2b ，則 的取值范圍是 .m
【答案】[ 6,1]
r r
【分析】由 a 2b 可得 2 2m ，且 2 cos2 a m 2sin a，整理得 4m2 9m 4 1 sin2 a 2sina ，結
合三角函數和二次函數性質求出1 sin2 a 2sina 范圍，即可得m 范圍，同時將 代換成關于m 表達式，即
可求解.
r
【詳解】∵2 b ＝ (2m,m 2sin a) a
r
， ( 2， 2 cos2a ) ，
∴ 2 2m ，且 2 cos2 a m 2sin a，
∴ (2m 2)2 m cos2 a 2sina ，即 4m2 9m 4 1 sin2 a 2sina ，
又∵1 sin2 a 2sina (sina 1)2 2， sina [ 1,1]，
∴ (sina 1)2 2 [ 2,2]，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
1
解得 ≤m≤2，
4
1 1
∴ 4，又∵λ＝2m－2，
2 m

∴ 2
2
，
m m
∴ 6 2
2
1，
m

∴ 的取值范圍是[ 6,1] .
m
故答案為：[ 6,1] .
一、單選題 uuur uuur uuur
1．（四川·高考真題）如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BA CD EF （ ）
r uuur uuur uuur
A．0 B． BE C． AD D．CF
【答案】D
【詳解】將 平移到 ， 平移到 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故BA CD EF CB BA AF CF ，
故選 D.
本題主要考查平面向量的基本概念及線性運算
考點：向量的加法.
uuur uuur uuur
2．（安徽·高考真題）若 AB (2, 4)， AC (1,3) , 則BC （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
【答案】B
uuur uuur
【詳解】試題分析：因為向量 AB (2, 4)， AC (1,3)，所以 ．故
選 B．
考點：向量減法的坐標的運算．
3．（遼寧·高考真題）已知點 A 1,3 , B 4, 1 , uuuv則與 AB 同方向的單位向量為
3 4 4 3 3 4 4 3 A． ， B． ， C． ， D． ， 5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
uuur
uuur uuur r AB 1 3 4
【詳解】試題分析： AB (4 1, 1 3) (3, 4) ,所以與 AB 同方向的單位向量為 e uuur (3, 4) ( , )AB 5 5 5 ，
故選 A.
考點：向量運算及相關概念.
uuur r uuur r uuuur
4．（山東·高考真題）如下圖，M 是線段OB的中點，設向量OA a，OB b，那么 AM 能夠表示為（ ）
r 1 r r r
A． a b
1
B． a b
2 2
r r r r
C． a
1
b D． a
1
b
2 2
【答案】B
【分析】由向量的線性運算，可得解
uuuur uuuur uuur r r
【詳解】由題意， AM OM OA
1
b a ．
2
故選：B
uuuv
5．（全國·高考真題）在△ ABC 中， AD 為BC 邊上的中線，E 為 AD 的中點，則EB
3 uuuv 1 uuuvAB AC 1
uuuv uuuv
A． B． AB
3
AC
4 4 4 4
3 uuuv 1 uuuv uuuv uuuv
C． AB
1 3
AC D． AB AC
4 4 4 4
【答案】A
uuuv 1 uuuv 1 uuuv
【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得BE BA BD ，之后應用向量
2 2
uuuv uuuv uuuv uuuv 3 uuuv 1 uuuv
的加法運算法則-------三角形法則，得到BC BA AC ，之后將其合并，得到BE BA AC ，下一步應4 4
uuuv 3 uuuv 1 uuuv
用相反向量，求得EB AB AC ，從而求得結果.
4 4
【詳解】根據向量的運算法則，可得
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
BE 1 BA 1 BD 1 BA 1 BC 1 BA 1 BA AC
2 2 2 4 2 4
1 uuuv 1 uuuv 1 uuuv 3 uuuv 1 uuuv
BA BA AC BA AC ，
2 4 4 4 4
uuuv 3 uuuv 1 uuuv
所以EB AB AC ，故選 A.
4 4
【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加
法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.
6．（福建·高考真題）設 M 為平行四邊形 ABCD 對角線的交點，O 為平行四邊形 ABCD 所在平面內任意一點，
uuur uuur uuur uuur
則OA OB OC OD等于
uuuur uuuur uuuur uuuur
A．OM B． 2OM C．3OM D． 4OM
【答案】D
【詳解】試題分析：由已知得，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
而CA AC, DB BD,所以OA OB OC OD 4OM ，選 D.
考點：平面向量的線性運算，相反向量.
r uuur r uuur r uuur r
7．（山東·高考真題）已知向量 ar b r與 且 AB a 2b，BC 5ar 6b，CD 7ar 2b 則一定共線的三點是（ ）
A．A，C，D 三點 B．A，B，C 三點
C．A，B，D 三點 D．B，C，D 三點
【答案】C
【分析】利用向量的線性運算及共線定理即可求解.
uuur
A AB ar
r uuur r r uuur r r
【詳解】對于 ，因為 2b，BC 5a 6b，CD 7a 2b ，
uuur uuur uuur r r r r r r
所以 AC AB BC a 2b 5a 6b 4a 8b ，
uuur uuur
所以 AC CD ,所以 A，C，D 三點不共線，故 A 錯誤；
uuur r r uuur r r
對于 B，因為 AB a 2b，BC 5a 6b ，
uuur uuur
所以 AB BC ,所以 A，B，C 三點不共線，故 B 錯誤；
uuur r r uuur r uuur r
對于 C，因為 AB a 2b，BC 5ar 6b r，CD 7a 2b
uuur uuur uuur r r r r r r
所以 BD BC CD 5a 6b 7a 2b 2a 4b ，
uuur uuur
所以BD 2AB ，又 B 是BD與 AB 的公共點，
所以 A，B，D 三點共線，故 C 正確；
uuur r r uuur r r
對于 D，因為BC 5a 6b，CD 7a 2b ，
uuur uuur
所以BC CD ,所以 B，C，D 三點不共線，故 D 錯誤.
故選：C.
r r r r r r
8．（廣東·高考真題）已知平面向量 a 1,2 ，b 2, m ，且a∥b，則 2a 3b等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
r r r
【分析】由a∥b，求得b 2, 4 ，再利用向量的坐標運算求解.
r r
【詳解】解：因為 a 1,2 ，b r r 2, m ，且a∥b，
r
所以 m=-4，b 2, 4 ，
r r
所以 2a 3b =（-4，-8），
故選：D
v
9．（海南·
v
高考真題）平面向量 a，b 共線的充要條件是（ ）
v v
A． av v，b 方向相同 B． a，b 兩向量中至少有一個為零向量
v v v
C．$ R v，b av D．存在不全為零的實數 1， 2 ， 1a 2b 0
【答案】D
r r r r
【解析】根據 a，b 共線的定義得到向量 a，b 共線的充要條件
r r
【詳解】由 a，b 共線的定義，
r r r r r
若 a，b 均為零向量，則顯然符合題意，且存在不全為零的實數 1， 2，使得 1a 2b 0 ；
r r r r
若 a 0，則由兩向量共線知，存在 0，使得b a ，
r r r
即 a b 0，符合題意.
故選:D.
【點睛】本題考查了對向量共線定義的理解，特別注意零向量與任意向量共線，屬于基礎題.
二、填空題 r r
10 r．（全國·高考真題）已知向量 a (m, 4),b (3, 2)，且 ar∥b ，則m ___________.
【答案】 6
【分析】由向量平行的坐標表示得出 2m 4 3 0，求解即可得出答案.
r r
【詳解】因為 a∥b ，所以 2m 4 3 0，解得m 6 .
故答案為： 6
【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數，屬于基礎題.
r uuur
11 r．（上海·高考真題）已知點 A( 1,5) 和向量 a (2,3)，若 AB 3a ，則點 B 的坐標為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：設點 ， ，因此 ，得 ，得點
．
考點：平面向量的坐標表示．
r r r r
12 r r．（全國·高考真題）設向量 a，b 不平行，向量 a b 與a 2b 平行，則實數 ．
1
【答案】 2
r r r r r r r k， 1
【詳解】因為向量 a b 與 a 2b 平行，所以 a b r （k a 2b），則{ 1 2k,所以 ．2
考點：向量共線．
v v v v v v
13．（全國·高考真題）已知向量 a= 1,2 ，b= 2, 2 ， c= 1, ．若 c P 2a+b ，則 ．
1
【答案】 2
【分析】由兩向量共線的坐標關系計算即可．
r r
【詳解】由題可得 2a b 4,2
r
Qcr / / 2ar b , cr 1,
1
4λ 2 0 ,即 λ
2
1
故答案為 2
【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，以及兩向量共線的坐標關系，屬于基礎題．
14．（浙江·高考真題）已知 a > 0，若平面內三點 A（1， a），B（2， a2 ），C（3， a3 ）共線，則
a= ．
【答案】1 2 / 2 1
uuur uuur
【詳解】Q AB (1, a2 a)，BC (1,a3 a2 ) ，
a2 a a3 a2 a > 0 a2 2a 1 0, a 1 2 (舍負)．
故答案為：1 2 .
r r r r r
15．（陜西·高考真題）已知向量 a 2 r（ ，﹣1），b （﹣1，m）， c （﹣1，2），若（ a b ）∥ c ，則 m＝
【答案】-1
r r r r r
【分析】先求出 a b （1，m﹣1），再由（ a b ）∥ c ，能求出 m．
r r r
【詳解】解：∵向量 a （2，﹣1），b （﹣1，m）， c （﹣1，2），
r r
∴ a b （1，m﹣1），
ar
r r
∵（ b ）∥ c ，
1 m 1
∴ ，
1 2
解得 m＝﹣1．
【點睛】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量坐標運算法則的合理運用．21世紀載言
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「小學致有資源攻許卷成川川合
第01講平面向量的概念、線性運算及其坐標運算
(5類核心考點精講精練)
.考情探究。
1.5年真題考點分布
5年考情
考題示例
考點分析
關聯考點
2024年新1卷，第3題，5分
平面向量線性運算的坐標表示
向量垂直的坐標表示
向量垂直的坐標表示
2023年新1卷，第3題，5分
平面向量線性運算的坐標表示
利用向量垂直求參數
2022年新Ⅱ卷，第4題，5分
平面向量線性運算的坐標表示
數量積及向量夾角的坐標表示
數量積的坐標表示
2021年新Ⅱ卷，第10題，5分
坐標計算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化簡、求值
二倍角的余弦公式
向量加法的法則
2020年新卷，第3題，5分
無
向量減法的法則
2.命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為5分
【備考策略】1了解向量的實際背景，理解平面向量的基本概念，理解向量的幾何表示
2掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義
3掌握向量的數乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義
4理解向量的線性運算性質及其幾何意義
5會向量間的坐標運算
【命題預測】本節一般考查平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，易理解，易得分，需重點復習
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21世紀載言
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小學教肖資源及絲爸應平個
知識點1向量的有關概念
知識點2向量的線性運算
核心知識點
知識點3向量共線定理
知識點4向量的坐標運算
平面向量的概念、
考點1平面向量基本概念的綜合考查
線性運算及其坐標運算
考點2相等向量及其應用
考點3平面向量線性運算的綜合考查
核心考點
考點4平面向量共線定理與點共線問題
考點5平行向量（共線向量）求參數
知識進邂
1.向量的有關概念
()向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量平行.
(⑤)相等向量：長度相等且方向相同的向量，
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量：
2.向量的線性運算
向量運算
定義
法則（或幾何意義）
運算律
a+b
6
交換律：a十b=b十a:
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
結合律：
a+b
(a+b)+c=a+(b+c)
平行四邊形法則
求a與b的相反向量
減法
a-b=a+(-b)
一b的和的運算
三角形法則
24=4,當>0時，
(ua)=(u)a:(入+)a=
求實數1與向量a的
a與a的方向相同：當
數乘
a十ua:
積的運算
<0時，a與a的方向相
A(a+b)=ia+ib
反：當元=0時，1a=Q
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